Speaker A
Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, диференційне числення. Сьогодні у нас формула Тейлора.
Доведення формули Тейлора, побудова полінома Тейлора та аналіз залишкового члена для наближення функцій.
Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.
Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.
Key Takeaways
- Поліном Тейлора наближує функцію в околі точки x₀, співпадаючи з нею та її похідними до n-го порядку.
- Коефіцієнти полінома Тейлора визначаються через похідні функції в точці x₀, поділені на факторіали.
- Залишковий член R_n(x) показує точність наближення і залежить від відстані від точки x₀.
- Формула Маклорена є частковим випадком формули Тейлора при x₀=0.
- Якщо залишковий член прямує до нуля при n→∞, функція може бути точно представлена рядом Тейлора.
What the video covers
- Відео присвячене доведенню формули Тейлора для наближення функції поліномом.
- Обґрунтування вибору полінома, який співпадає з функцією та її похідними в точці x₀.
- Пояснення геометричного змісту співпадіння похідних для точності наближення.
- Виведення формули для коефіцієнтів полінома Тейлора через похідні функції в точці x₀.
- Запис полінома Тейлора та формули Маклорена як часткового випадку при x₀=0.
- Визначення залишкового члена R_n(x) як різниці між функцією та поліномом Тейлора.
- Обговорення важливості залишкового члена для точності наближення функції.
- Умови, за яких ряд Тейлора збігається з функцією, при нескінченній кількості похідних.
- Введення допоміжної функції φ_n(x) для аналізу властивостей залишкового члена.
- Застосування теореми Коші для знаходження точки, що пов’язана з залишковим членом.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ми будемо формулювати і доводити формулу Тейлора з міркувань наближення функції поліномом.
Speaker A
Яка мета? Ну, якщо ми маємо якусь функцію, маємо дослідити функцію якусь дуже коряву, ну, скажімо, арктангенс, логарифм, арксинуса, x³ або ще щось гірше, і нам треба її дослідити.
Speaker A
Замість неї, виявляється, іноді можна підставити поліном. Поліном - приємна функція, з ним приємно завжди мати справу, він зрозумілий і легко досліджуваний.
Speaker A
Але треба так, щоб вони все ж таки були близькі одна до одної.
Speaker A
Так от, що будемо міркувати близькістю?
Speaker A
Ми будемо вважати близькістю співпадіння значень функції і ряду її похідних.
Speaker A
Отже, нехай функція f(x) в околі точки x₀ має n+1, скажімо, похідну f^(n+1)(x₀) і в околі точки існує.
Speaker A
Існує така похідна.
Speaker A
Тоді підберемо многочлен n-го степеня вигляду такого: T_n(x) у нас буде мати вигляд a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + ... + a_n(x-x₀)^n.
Speaker A
Отакий у нас буде многочлен, яким ми будемо наближувати функцію.
Speaker A
Так от, підберемо такий многочлен, щоб він задовільняв таким умовам.
Speaker A
Значення многочлена в точці x₀ повинна співпасти зі значенням функції, це логічно.
Speaker A
Точно так, значення похідної в точці x₀ повинно співпасти зі значенням похідної нашої функції.
Speaker A
Значення другої похідної в точці x₀ дасть нам значення другої похідної функції в цій точці.
Speaker A
І так далі, аж до n-ої похідної. n-а похідна в точці x₀ повинна співпасти з n-ою похідною функції f, яку ми наближаємо.
Speaker A
Геометрично, як це уявляємо собі?
Speaker A
Це можна так собі представити, от наша нехай якась функція така.
Speaker A
І є точка x₀, в якій ми намагаємося наблизити.
Speaker A
Ну, по-перше, поліном повинен пройти через цю точку.
Speaker A
По-друге, похідні співпали, це значить, вони повинні мати спільну дотичну.
Speaker A
І поліном, і функція мають спільну дотичну.
Speaker A
Друга похідна відповідає за опуклість функції.
Speaker A
Тобто поліном повинен в околі цієї точки бути таким же опуклим, як і наша функція.
Speaker A
Подальші похідні теж і ще більше уточнюють поведінку полінома, наближуючи до поведінки функції.
Speaker A
Хоча геометрично такого прозорого змісту подальші похідні не мають.
Speaker A
Тим не менше, зрозуміло, що наближення буде чим більше похідних, тим точніше.
Speaker A
Оцим ми і будемо користуватись.
Speaker A
Отже, будемо поліном виходячи з цих отриманих нами умов.
Speaker A
Ну, знайдемо коефіцієнти полінома.
Speaker A
Знайдемо коефіцієнти нашого полінома T_n.
Speaker A
Перше, T_n в точці x₀.
Speaker A
Чому дорівнює T_n в точці x₀?
Speaker A
Якщо замість x підставити x₀, всі доданки, крім першого, перетворяться в нулі.
Speaker A
Тобто у нас T_n(x₀) дорівнює просто a₀.
Speaker A
А за умовою a₀ - це у нас буде якраз f(x₀).
Speaker A
Перший коефіцієнт ми вже знайшли.
Speaker A
Тепер знайдемо похідну полінома.
Speaker A
Похідна в точці x.
Speaker A
Похідна нашого полінома, a₀ - константа, зникає, залишається a₁ + 2a₂(x-x₀)² + 3a₃(x-x₀) + ... + n a_n(x-x₀)^(n-1).
Speaker A
Це похідна полінома.
Speaker A
А значення похідної в точці x₀, похідна в точці x₀.
Speaker A
Знову зникнуть всі доданки, крім першого, a₁.
Speaker A
Буде дорівнювати, і за умовою це f'(x₀).
Speaker A
Може не всі такі будуть?
Speaker A
Зараз подивимось.
Speaker A
Знаходимо другу похідну.
Speaker A
В точці x.
Speaker A
Друга похідна від нашого полінома, це вже буде похідна звідси, a₁ зникло, а тут буде 2a₂ + 3 * 2a₃(x-x₀) вже без степеня + ... останній доданок буде n(n-1)a_n(x-x₀)^(n-2).
Speaker A
Це друга похідна.
Speaker A
І відповідно, значення другої похідної в точці x₀.
Speaker A
Буде мати 2a₂.
Speaker A
І це співпадає з похідною в точці, з другою похідною в точці x₀.
Speaker A
Зрозуміло, якщо я візьму третю похідну.
Speaker A
І залишиться в мене перший коефіцієнт 3 * 2 * a₃.
Speaker A
І тоді третя похідна в точці x₀ дасть мені 3 * 2a₃.
Speaker A
І це в мене буде, ну, от так от вийде.
Speaker A
І так далі.
Speaker A
Випишемо останній n-ий.
Speaker A
Член n-а похідна многочлена в точці x.
Speaker A
Що буде n-ою похідною?
Speaker A
Ну, всі степені, крім останньої, перетворяться в нуль.
Speaker A
Залишиться тільки останній доданок.
Speaker A
І коефіцієнт у нього буде так n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * a_n.
Speaker A
Ну, це буде просто n! * a_n.
Speaker A
От якщо по черзі всі похідні брати, ми отримаємо послідовність, яка приводить нас до факторіалу.
Speaker A
І це в мене буде співпадати з n-ою похідною в точці x₀ за нашою умовою.
Speaker A
Отже, ми тепер можемо знайти всі n коефіцієнтів нашого полінома.
Speaker A
Виходячи з цих міркувань.
Speaker A
Зрозуміло, a₀ у нас вже є.
Speaker A
a₁ теж є.
Speaker A
a₂ в мене тут буде дорівнювати f''(x₀) / 2.
Speaker A
Я навіть можу написати 2! для порядку, це одне і те ж саме.
Speaker A
Тому що, якщо я буду знаходити a₃.
Speaker A
a₃ звідси буде дорівнювати f'''(x₀) / (3 * 2 * 1), це буде 3!.
Speaker A
Ну, і по останньому.
Speaker A
Ми будемо мати a_n звідси, це n-а похідна в точці x₀ / n!.
Speaker A
Зрозуміло, як будуються ці коефіцієнти.
Speaker A
Залишилось підставити в наш поліном.
Speaker A
Давайте я підставлю тепер.
Speaker A
І він буде саме називатись поліномом Тейлора.
Speaker A
Многочлен Тейлора для цієї функції в точці x₀.
Speaker A
Нехай у нас T_n(x) буде дорівнювати f(x₀) - це a₀ + f'(x₀) / 1! (x-x₀) + f''(x₀) / 2! + ... + f^(n)(x₀) / n! (x-x₀)^n.
Speaker A
Оце і є многочлен Тейлора.
Speaker A
Саме про нього я натякав, що він наближує функцію в околі точки x₀.
Speaker A
x₀.
Speaker A
Наближує.
Speaker A
Наближує, але не заміняє.
Speaker A
Так от, наближує.
Speaker A
Це означає, що f(x) буде наближено дорівнювати T_n(x) в околі точки x₀.
Speaker A
Виходячи з таких от умов.
Speaker A
Ну, оце наближене, воно якось, ну, не строго.
Speaker A
Хотілось би строго.
Speaker A
Ну, дуже просто, наближення так, що є похибка.
Speaker A
Причому ця похибка, різниця між ними, для різних x буде різна.
Speaker A
Чим ближче до x₀, тим вона буде менша.
Speaker A
А по подалі там кудись пішов поліном собі, а функція собі.
Speaker A
Різниця розбігається.
Speaker A
Тобто похибка буде функцією від x.
Speaker A
Оцю функцію я і позначу R_n(x).
Speaker A
І тепер я можу поставити строго дорівнює.
Speaker A
З урахуванням цієї похибки.
Speaker A
Оце і є наша формула Тейлора.
Speaker A
R_n називається залишковим членом формули Тейлора.
Speaker A
T_n - поліном вигляду, який написаний вище.
Speaker A
Функція наближено дорівнює цьому поліному.
Speaker A
Якщо x₀ = 0, функція, поліном Тейлора спрощується.
Speaker A
І навіть він має іншу назву.
Speaker A
Формула Маклорена.
Speaker A
Це формула Тейлора.
Speaker A
Маємо формулу Маклорена.
Speaker A
Який вигляд буде мати формула Маклорена для функції? f(x) = f(0) + f'(0) / 1! * x + f''(0) / 2! * x² + ... + f^(n)(0) / n! * x^n.
Speaker A
І плюс залишковий член R_n(x).
Speaker A
Формула Маклорена.
Speaker A
Звернемо увагу тепер на залишковий член.
Speaker A
Наближення буде мати сенс, якщо залишковий член буде достатньо маленький.
Speaker A
Більше того, якщо ми будемо мати, скажімо, функцію, що має нескінченну кількість похідних.
Speaker A
Всі похідні можливі вона має.
Speaker A
Нескінченно диференційована.
Speaker A
Тоді ми можемо виписати таку формулу, ну, до нескінченності.
Speaker A
Врахувати так от до нескінченності.
Speaker A
Ми перейдемо від формули Тейлора або Маклорена до ряду Тейлора або ряду Маклорена відповідно.
Speaker A
Причому залишковий член, причому повинен зникнути.
Speaker A
Повинен стати нулем.
Speaker A
Якщо залишковий член буде прямувати до нуля, то у нас вийде, що функція може бути точно представлена у вигляді ряду Тейлора або ряду Маклорена.
Speaker A
Але це у нас дослідження буде трошки пізніше.
Speaker A
Окремо ми про це будемо говорити.
Speaker A
А сьогодні ще звернемо увагу на поведінку самого залишкового члена.
Speaker A
Отже, я хочу отримати представлення залишкового члена R_n(x).
Speaker A
В якомусь, ну, такому зручному вигляді, яким можна користуватись.
Speaker A
Для цього.
Speaker A
Я розгляну, да, залишковий член - це у нас що?
Speaker A
Це у нас f(x) - T_n(x).
Speaker A
Я звернув увагу, що.
Speaker A
R_n(x₀) = 0.
Speaker A
R_n'(x₀) теж дорівнює 0.
Speaker A
Різниця.
Speaker A
І так далі, будь-яка k-а похідна, коли k = 0, 1, ..., n, буде дорівнювати 0.
Speaker A
Крім нашого залишкового члена, розглянемо ще одну функцію допоміжну.
Speaker A
Я її позначу φ_n(x), ну, хоча n - це у нас буде (x-x₀)^(n+1).
Speaker A
Я отаку функцію розгляну.
Speaker A
І подивлюсь на її значення в точці x₀.
Speaker A
Зрозуміло, що функція в точці x₀ обертається в нуль.
Speaker A
Але нуль будуть обертатись всі її похідні, тому що диференціюючи цю функцію.
Speaker A
Я кожного разу буду отримувати (x-x₀) в зниженому степені, але все-таки (x-x₀).
Speaker A
Яке при підставленні замість x x₀ буде обертатись в нуль.
Speaker A
Отже, можна написати, і це буде до самої n-ої похідної.
Speaker A
n+1-а похідна дасть мені вже n+1, вже не нуль.
Speaker A
Тому φ_n^(k)(x₀) = 0, коли k таке ж саме.
Speaker A
Для всіх k від 0 до n.
Speaker A
От, користуючись цими властивостями.
Speaker A
Ми розглянемо R_n(x) / φ_n(x).
Speaker A
Я розгляну отаку різницю.
Speaker A
Відношення таке.
Speaker A
Користуючись тим, що R_n(x₀) = 0.
Speaker A
І φ_n(x₀) = 0.
Speaker A
Я відніму чисельник у знаменнику відповідні вирази.
Speaker A
І отримаю таку різницю.
Speaker A
Причому рівність не змінилась.
Speaker A
Згадуємо теорему Коші.
Speaker A
Яка стверджує.
Speaker A
Що знайдеться точка x₁ така, що це відношення буде дорівнювати R_n'(x₁) / φ_n'(x₁).
Speaker A
x₀, якась точка x у нас.
Speaker A
x₁ між ними, x₁ якась точка між ними.
Speaker A
Але.
Speaker A
І похідні R_n'(x₀) і φ_n'(x₀) дорівнюють 0.
Speaker A
Тому я можу відняти.
Speaker A
R_n'(x₁) - R_n'(x₀) / (φ_n'(x₁) - φ_n'(x₀)).
Speaker A
І знову використати теорему Коші.
Speaker A
За якою я отримаю, що ця різниця, це цей дріб буде дорівнювати R_n''(x₂) / φ_n''(x₂).
Speaker A
Причому точка x₂ розташована між x₀ і x₁.
Speaker A
Неважко здогадатись, що ми будемо продовжувати цей процес.
Speaker A
До яких пір?
Speaker A
А доки ми можемо віднімати нулі?
Speaker A
А це буде останній раз, коли n-ий раз.
Speaker A
R_n.
Speaker A
Ну, і останній такий от відношення буде мати вигляд R_n^(n+1)(c) / φ_n^(n+1)(c).
Speaker A
x₁ x₂ і так далі.
Speaker A
Остання точка у мене c.
Speaker A
Це на n+1-му кроці.
Speaker A
Але що буде n+1-а похідна?
Speaker A
φ_n^(n+1)(x).
Speaker A
Я про це вже казав.
Speaker A
Дорівнює (n+1)!.
Speaker A
З іншого боку, а що є R_n^(n+1)?
Speaker A
R_n^(n+1)(x) - це є R_n(x) - T_n(x).
Speaker A
Це є різниця функції і многочлена n-го степеня.
Speaker A
Але n+1-а похідна від многочлена n-го степеня є 0.
Speaker A
Тобто n+1-а похідна від залишкового члена співпадає з n+1-ою похідною функції.
Speaker A
І відповідно, в точці c таке буде.
Speaker A
Отже, R_n(x) / φ_n(x).
Speaker A
Маємо.
Speaker A
В чисельнику буде стояти f^(n+1)(c) / (n+1)!.
Speaker A
На (n+1)!.
Speaker A
Звідси R_n(x) буде дорівнювати f^(n+1)(c) / (n+1)! * (x-x₀)^(n+1).
Speaker A
Ми знайшли формулу для залишкового члена формули Тейлора.
Speaker A
Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
Speaker A
Ця форма представлення залишкового члена називається формою Лагранжа.
Speaker A
Чимось натякає теорему Лагранжа.
Speaker A
Де у нас існувала точка c між крайніми точками інтервалу.
Speaker A
В якій похідна дорівнює.
Speaker A
Ну, схоже на Лагранжа.
Speaker A
Поговоримо ще трохи про залишковий член.
Speaker A
Тут він записаний в формі Лагранжа.
Speaker A
Ми говорили про те, що функція добре наближується, коли x близько до x₀.
Speaker A
Тобто величина (x-x₀) можна вважати малою.
Speaker A
А для точності взагалі нескінченно малою.
Speaker A
В цьому випадку.
Speaker A
Розглянемо порядок цієї нескінченно малої.
Speaker A
Оскільки тут стоїть степінь n+1.
Speaker A
Я можу написати, що (x-x₀)^(n+1) як нескінченно мала є o((x-x₀)^n).
Speaker A
Тобто границя відношення, це означає, що границя відношення, коли x прямує до x₀.
Speaker A
(x-x₀)^(n+1) / (x-x₀)^n = 0.
Speaker A
Це якраз означає, що o маленьке.
Speaker A
Величина порядку малості більш високого порівняно з n+1.
Speaker A
І якщо помножити цю величину на константу f^(n+1)(c).
Speaker A
Це ж константа, в якійсь точці значення функції.
Speaker A
Поділене на (n+1)!.
Speaker A
Ця величина все одно буде o маленьке від за порядком вона буде порядку більш високого порівняно з (x-x₀)^n.
Speaker A
І ми можемо записати R_n(x) просто як o маленьке від (x-x₀)^n.
Speaker A
Ну, якось начебто небагато інформації.
Speaker A
Але насправді це іноді буває дуже зручно.
Speaker A
І ця форма представлення залишкового члена називається формою Пеано.
Speaker A
Залишковий член в формі Пеано.
Speaker A
Ну, цим зауваженням ми закінчуємо сьогоднішню тему.
Speaker A
Ми довели формулу Тейлора.
Speaker A
Частковий випадок її - це формула Маклорена, найбільш вживана.
Speaker A
І проаналізували залишковий член, в якому вигляді її можна використовувати.
Speaker A
На сьогодні все.
Speaker A
Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього.
Speaker A
Ставте лайки.
Speaker A
А я з вами, Олексій Василенко.
Speaker A
До побачення.
Topics:формула Тейлораполіном Тейлоразалишковий членматематичний аналіздиференційне численняряд Тейлораформула Маклоренанаближення функціїпохіднітеорема Коші
