Speaker A
Я Олексій Василенко, математичний аналіз, інтегральне числення, сьогодні у нас питання обчислення визначеного інтегралу.
Відео пояснює обчислення визначеного інтегралу через формулу Ньютона-Лейбніца та властивості інтегралу зі змінною межею.
Key Takeaways
- Інтеграл зі змінною межею задає неперервну функцію.
- Похідна функції, заданої інтегралом зі змінною межею, дорівнює підінтегральній функції.
- Формула Ньютона-Лейбніца дозволяє обчислювати визначений інтеграл через первісну.
- Позначення змінної інтегрування не впливає на значення інтегралу.
- Обчислення визначеного інтегралу через границю інтегральної суми практично не застосовується.
Summary
- Визначений інтеграл як границя інтегральної суми та складнощі його обчислення таким способом.
- Зв’язок визначеного інтегралу з невизначеним через первісні функції.
- Інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
- Визначення інтегралу зі змінною верхньою межею як функції на відрізку.
- Доведення неперервності функції, заданої інтегралом зі змінною межею.
- Властивість адитивності визначеного інтегралу та її застосування для приросту функції.
- Доведення диференційовності інтегралу зі змінною межею за умови неперервності підінтегральної функції.
- Похідна інтегралу зі змінною межею дорівнює значенню підінтегральної функції.
- Вивід формули Ньютона-Лейбніца як зв’язку між первісною та визначеним інтегралом.
- Пояснення, що інтеграл від А до x є первісною функції f.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Визначений інтеграл - це границя інтегральної суми, але обчислювати інтеграл, як границю інтегральної суми, для конкретної функції дуже незручно.
Speaker A
Так, звичайно, не роблять, є інші методи, які ми сьогодні розглянемо.
Speaker A
Ці методи пов'язують визначений інтеграл з невизначеним, через невизначений інтеграл вдається, через первісні, вдається обчислити визначений інтеграл.
Speaker A
Цей зв'язок якраз нам сьогодні і треба розібрати.
Speaker A
Перш ніж перейти до конкретних формулювань, зробимо невеличке зауваження.
Speaker A
Щодо того, що якщо інтеграл від А до В f(x) dx існує,
Speaker A
то ця ж сама, це ж саме значення буде інтеграл мати інтеграл f(t) dt.
Speaker A
Незалежить від позначення змінної інтегрування.
Speaker A
Це може бути f(u) du.
Speaker A
Аби тільки функція була одна і та ж сама.
Speaker A
Літера інтегрування, не змінна інтегрування, не має впливу на результат цього інтегралу.
Speaker A
Значення буде однаково.
Speaker A
Тепер деякі твердження.
Speaker A
Перше з них, нехай функція f(x) інтегрована на відрізку АВ.
Speaker A
От наша функція.
Speaker A
Інтегрована, тобто має сенс оцей інтеграл.
Speaker A
Це площа цієї криволінійної трапеції, якщо казати геометрично.
Speaker A
Інтегрована на відрізку АВ.
Speaker A
Це означає, що для будь-якого x з цього відрізку функція буде інтегрована і на відрізку Аx.
Speaker A
Якщо я тепер візьму відрізок Аx для якогось x,
Speaker A
функція буде інтегрована і на цьому відрізку.
Speaker A
І ми можемо обчислити інтеграл від А до x f(t) dt.
Speaker A
Отут я використовую літеру t для зручності.
Speaker A
Тому що x літера зайнята вже на верхній межі.
Speaker A
Але це ж вірно для будь-якого x цього відрізку АВ.
Speaker A
Я можу взяти якийсь інший x.
Speaker A
І для цього x теж буде в мене значення цього інтегралу можна обчислити.
Speaker A
Функція буде інтегрованою.
Speaker A
Отже, для будь-якого x з відрізку АВ ми можемо знайти певне значення цього інтегралу.
Speaker A
Тобто ми визначили функцію на відрізку АВ, яку я позначу літерою F велике.
Speaker A
F велике - це є функція задана на відрізку АВ, яка називається інтегралом зі змінною верхньою межею.
Speaker A
Розглянемо деякі властивості цієї функції.
Speaker A
Спочатку покажемо, що для будь-якої інтегрованої функції f маленьке, функція F велике від x буде неперервною.
Speaker A
Отже, нехай f(t) інтегрована на відрізку АВ.
Speaker A
Візьмемо довільний x з відрізку АВ.
Speaker A
І дамо йому приріст дельта x.
Speaker A
І розглянемо приріст функції дельта F.
Speaker A
Це є F від x + дельта x - F від x.
Speaker A
F від x + дельта x за нашим означенням, це у нас інтеграл від А до x + дельта x f(t) dt.
Speaker A
Мінус інтеграл від А до x f(t) dt.
Speaker A
За властивістю інтеграла ми можемо змінити межі інтегрування, а мінус стане плюсом.
Speaker A
Дорівнює інтеграл від А до x + дельта x f(t) dt плюс інтеграл від x до А f(t) dt.
Speaker A
Тепер можна використати властивість адитивності визначеного інтегралу.
Speaker A
Оскільки, ну, якби першим був написаний наш цей інтеграл від x до А, плюс інтеграл від А до x + дельта x,
Speaker A
ми приходимо до інтегралу від x до x + дельта x f(t) dt.
Speaker A
Приріст функції F від x виявився дорівнюючим інтегралу від x до x + дельта x.
Speaker A
Геометрично дуже зрозуміло, якщо я дам приріст x до дельта x,
Speaker A
x + дельта x, то приріст площини буде дорівнювати якраз смужці між x і x + дельта x.
Speaker A
Площа смужки якраз і дасть нам приріст функції F від x.
Speaker A
Розглянемо тепер модуль цієї величини.
Speaker A
Модуль цієї величини приросту.
Speaker A
Є модуль інтегралу.
Speaker A
Менше або дорівнює.
Speaker A
Менше або дорівнює інтегралу від модуля x + x + дельта x модуль f(t) dt.
Speaker A
Тепер згадаємо, що наша функція інтегрована.
Speaker A
А якщо функція інтегрована, то вона обмежена, необхідна умова інтегрованості.
Speaker A
Тобто існує таке число М велике, що наша функція менше за це число.
Speaker A
Цю константу я зможу винести тоді за інтеграл і отримаю М.
Speaker A
Інтеграл від x до x + дельта x dx.
Speaker A
Ну, а інтеграл просто від одиниці dx - це є довжина.
Speaker A
М на дельта x.
Speaker A
Модуль.
Speaker A
Тепер.
Speaker A
Якщо я задам довільний епсилон.
Speaker A
І оберу у якості дельта епсилон поділене на цю константу М.
Speaker A
То як тільки модуль дельта x у нас буде менше за дельта,
Speaker A
остання нерівність буде менше за М епсилон на М менше за епсилон.
Speaker A
Ми отримали.
Speaker A
Що для довільного епсилон ми знайшли такий дельта.
Speaker A
Що як тільки приріст функції менше за дельта, приріст аргументу менше за дельта.
Speaker A
Приріст функції буде меншим за епсилон.
Speaker A
Таким чином функція неперервна в точці x.
Speaker A
А оскільки точка x була довільною точкою відрізку АВ, функція буде неперервною на всьому відрізку АВ.
Speaker A
Отже, якщо проінтегрувати інтегровану функцію зі змінною верхньою межею, ми отримаємо неперервну функцію.
Speaker A
Наступне твердження пов'язано з диференційованістю функцію F велике від x.
Speaker A
Нехай тепер наша функція F від x задана на відрізку АВ інтегрована на ньому.
Speaker A
Інтегрована на відрізку АВ.
Speaker A
Але крім того, вона ще й неперервна в околі точки x нульове.
Speaker A
З відрізку АВ, вона неперервна в якійсь точці.
Speaker A
Тоді ми стверджуємо, що похідна.
Speaker A
Від інтегралу зі змінною верхньою межею в цій точці існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в цій точці.
Speaker A
Це наше твердження.
Speaker A
Розглянемо різницю дельта F на дельта x - f(x) нульове.
Speaker A
Приріст аргументу і функції в точці x нульове.
Speaker A
Якщо ця границя буде прямувати до нуля, коли дельта x прямує до нуля, це буде означати, що похідна існує і дорівнює саме f(x) нульове.
Speaker A
Нам треба довести, що ця величина буде прямувати до нуля, коли дельта x прямує до нуля.
Speaker A
Ми вже знаємо, що приріст дельта F є інтеграл.
Speaker A
Від x до x + дельта x f(t) dt.
Speaker A
Мінус.
Speaker A
Тепер скористаємось тим, що одиниця на дельта x інтеграл від x до x + дельта x від dt дорівнює одиниці.
Speaker A
Оскільки цей інтеграл дорівнює просто дельта x, довжині відрізку інтегрування.
Speaker A
Від x + дельта x.
Speaker A
Тоді, якщо помножити цей інтеграл і ще на f(x) нульове, ми отримаємо f(x) нульове.
Speaker A
Отже, замість f(x) нульове я можу написати саме цей вираз.
Speaker A
І ще й внести f(x) нульове під інтеграл, бо це константа, я її можу занести.
Speaker A
Одиниця на дельта x інтеграл від x до x + дельта x f(t) - f(x) нульове dt.
Speaker A
Для зручності домовимось вважати, що дельта x більше за нуль.
Speaker A
Тоді ми можемо скористатись нерівністю.
Speaker A
З пов'язаною з модулем, тобто модуль інтегралу менше або дорівнює інтегралу від модуля.
Speaker A
Одиниця на дельта x у нас вийде за інтеграл тоді, оскільки додатнім буде.
Speaker A
x x + дельта x і тут буде стояти модуль f(t) - f(x) нульове dt.
Speaker A
Тепер згадаємо, що наша функція f неперервна.
Speaker A
А оскільки вона неперервна в точці x нульове, то для будь-якого скільки завгодно малого епсилон.
Speaker A
Знайдеться таке дельта.
Speaker A
Що як тільки величина t - x нульове буде менше за дельта.
Speaker A
Різниця значень функції f(t) - f(x) нульове буде менше за обраний нами епсилон.
Speaker A
Для будь-якого епсилон таке дельта знайдеться.
Speaker A
Так от, ми тепер візьмемо дельта x менше дельта.
Speaker A
Дельта x менше дельта, межі інтегрування відстоять одне від одного менше ніж на дельта.
Speaker A
Це означає, що t від x нульового відстоїть менше ніж на дельта.
Speaker A
Звідси саме і буде випливати, що t - x нульове буде менше за дельта.
Speaker A
А різниця значень функції буде менше ніж за епсилон.
Speaker A
Продовжимо нашу рівність.
Speaker A
Менше навіть строго менше за епсилон.
Speaker A
Менше ніж модуль різниці епсилон, я його виношу за знак інтегралу.
Speaker A
Під інтегралом залишається просто dt.
Speaker A
А це є просто епсилон.
Speaker A
Оскільки інтеграл цей дорівнює дельта x.
Speaker A
Ми отримали.
Speaker A
Для будь-якого епсилон знайшли такий дельта.
Speaker A
Що як тільки дельта x менше за дельта, модуль різниці цих двох виразів буде менше ніж за епсилон.
Speaker A
Це означає, що границя дельта x прямує до нуля, дельта F на дельта x існує.
Speaker A
І дорівнює саме f(x) нульове.
Speaker A
Але це ж і є похідна функції F.
Speaker A
F штрих від x нульове.
Speaker A
Дорівнює, що й треба було довести.
Speaker A
Якщо функція F неперервна в точці x нульове, функція F велике, інтеграл зі змінною верхньою межею.
Speaker A
Диференційовна в цій точці і похідна дорівнює значенню функції.
Speaker A
Якщо не фіксувати точку x, а обрати будь-яку точку з АВ, вважаючи, що функція F неперервна на всьому відрізку АВ.
Speaker A
Ми отримаємо це твердження, що буде пов'язувати дві функції задані на відрізку АВ.
Speaker A
На всьому відрізку АВ похідна інтегралу зі змінною верхньою межею дорівнює значенню підінтегральної функції.
Speaker A
Перейдемо до виводу формули Ньютона-Лейбніца.
Speaker A
Ми отримали, що похідна F велике від x дорівнює f(x).
Speaker A
Це означає, що F велике від x - це первісна від функції f маленьке.
Speaker A
За означенням первісної.
Speaker A
Отже, інтеграл від А до x f(t) dt є первісна f(x).
Speaker A
Нехай тепер літерою F я позначу якусь іншу первісну.
Speaker A
За властивостями первісних, ці дві первісні відрізняються на сталу.
Speaker A
Знайдемо цю сталу, на яку вони відрізняються.
Speaker A
Для цього я покладу x дорівнюючи А в цьому інтегралі.
Speaker A
Отримаю інтеграл від А до А f(t) dt буде дорівнювати F від А + С.
Speaker A
Але ж цей інтеграл від А до А - це ж нуль.
Speaker A
Звідси випливає, що С буде дорівнювати -F від А.
Speaker A
Отже, я можу написати інтеграл від А до x f(t) dt буде дорівнювати.
Speaker A
F від x - F від А.
Speaker A
Якщо тепер покласти x дорівнюючи В.
Speaker A
Ми отримаємо інтеграл від А до В f(x) dx буде дорівнювати.
Speaker A
F від В - F від А.
Speaker A
Це є формула Ньютона-Лейбніца.
Speaker A
Для обчислення визначеного інтегралу.
Speaker A
Задача зводиться до того, щоб знайти первісну.
Speaker A
А ми це вміємо, оскільки невизначені інтеграли вже позаду і ми можемо обчислити.
Speaker A
Ну, дуже велику кількість первісних можемо знайти.
Speaker A
По ходу доведення в нас виникла отака рівність.
Speaker A
Яка сама по собі буває корисною і її можна записати в трошки іншій формі.
Speaker A
Що тут написано? Тут написано, що оце f маленьке - це похідна від F велике.
Speaker A
Якщо я тепер запишу таким чином, у якості F великого я буду використовувати f маленьке.
Speaker A
А це тоді буде похідна.
Speaker A
Коротше, з цієї рівності випливає, що f(x) буде дорівнювати f(А) + інтеграл від А до x f(t) dt.
Speaker A
Рівність, яку іноді називають іншою формулою запису формули Ньютона-Лейбніца.
Speaker A
Яка дозволяє функцію записати як інтеграл від похідної.
Speaker A
На завершення розглянемо простенький приклад.
Speaker A
Інтеграл від нуля до пі на 2 sin x dx.
Speaker A
Інтеграл від синуса.
Speaker A
Первісна синус - це f маленьке, первісна від синуса - це мінус косинус.
Speaker A
Так і пишемо: -cos x в межах від А до В.
Speaker A
Від нуля до пі на 2.
Speaker A
Залишилось підставити ці значення.
Speaker A
-cos пі на 2 мінус, ну, мінус мінус дасть мені плюс cos 0.
Speaker A
Але cos пі на 2 - це ж нуль.
Speaker A
А cos 0 - це одиниця.
Speaker A
В результаті ми отримаємо одиницю.
Speaker A
Якщо подивитись на геометричний зміст того, що ми отримали.
Speaker A
Нехай це у нас синусоїда.
Speaker A
Точка пі на 2 - це точка першого максимуму.
Speaker A
Виявляється, площа від нуля до пі на 2, отака крива лінія синусоїда.
Speaker A
Але оця площа дорівнює одиниці.
Speaker A
Геометрично площа під синусоїдою до пі на 2 дорівнює одиниці.
Speaker A
На цьому сьогоднішнє заняття закінчилось.
Speaker A
Декілька методів обчислення інтегралів і приклади.
Speaker A
Це теми наступних наших занять.
Speaker A
Ми розберемо ще багато прикладів на обчислення інтегралів.
Speaker A
А сьогодні все.
Speaker A
Підписуйтесь на канал, ставте лайки.
Speaker A
Будемо рухатись далі.
Speaker A
І я з вами.
Speaker A
Олексій Василенко.
Speaker A
До побачення.
Topics:визначений інтегралформула Ньютона-Лейбніцаінтеграл зі змінною межеюпервісна функціяматематичний аналізінтегральне численнянеперервність функціїдиференціювання інтегралуінтегральна сумапохідна
