ІЧ26. Невласні інтеграли по нескінченному проміжку. — Transcript

Василенко. Математичний аналіз, інтегральне числення. Сьогодні в нас невласні інтеграли з по нескінченному проміжку, тобто інтеграли з нескінченними межами.

Про що йдеться? Коли ми мали звичайний інтеграл від А до Б f(x) dx, визначений інтеграл, то він був границею інтегральної суми і від одиниці до n f(xi) на дельта xi. Де у нас інтегральна сума містить n скінченне число доданків.

Причому відрізок AB інтегрування розбитий на підвідрізки дельта і, і вони можуть бути скільки завгодно малими ці підвідрізочки. Але, якщо у нас функція визначена на нескінченному проміжку, то розбити на скінченну кількість нескінченний проміжок неможливо. І ця сума становиться нескінченною, і це означення втрачає сенс. Але, ми можемо визначити інтеграл трохи по-іншому. Вони і називаються невласні інтеграли.

Отже, нехай тепер функція f(x) визначена на нескінченному проміжку А плюс нескінченність. І нехай f така, що для будь-якого b з А плюс нескінченність існує інтеграл від А до b f(x) dx. Тобто вона інтегрована на будь-якому скінченному підпроміжку нашого нескінченного проміжку. Тоді, якщо при цьому ще існує границя, коли b прямує до плюс нескінченності цього інтеграла. Цей інтеграл і називається невласним інтегралом від функції f(x) від А до плюс нескінченності f(x) dx. Причому границя існує, передбачається, що вона скінченна, і в цьому випадку кажуть, що інтеграл у нас збігається. Якщо існує ця границя, інтеграл існує і збігається. Якщо ж нескінченність, інтеграл буде розбігатись. Збіжний, розбіжний. Термінологія така.

Розглянемо один, але дуже важливий приклад. Інтеграл від одиниці до плюс нескінченності dx / x в степені альфа. Де альфа будь-яке дійсне число.

Ми розглянемо декілька випадків. Нехай спочатку альфа буде більше за одиницю. Тоді для обчислення цього інтегралу за означенням, ми повинні перейти до границі, коли b прямує до плюс нескінченності інтеграл від А до b. А x в степені альфа я запишу в чисельник з від'ємним степенем, щоб було ближче до таблиці інтегралів, як в таблиці інтегралів. І тоді ми беремо цей інтеграл, це звичайний інтеграл по скінченному проміжку, функція інтегрована. Ми беремо цей інтеграл, знаходимо первісну. Це в нас буде границя b прямує до плюс нескінченності. Первісна x в степені мінус альфа, це буде x в степені одиниця мінус альфа поділена на одиницю мінус альфа. Одиниця на одиниця мінус альфа x в степені одиниця мінус альфа в межах від одиниці до b. Тут я поставив літеру А, треба одиничку поставити. Отак.

Альфа більше за одиницю. Отже, у нас в чисельнику стоїть від'ємний, у нас в показнику стоїть від'ємне число. А коли у нас число від'ємне в показнику, це означає, що ми можемо x перенести в знаменник з додатнім показником. Одиниця на одиниця мінус альфа - це в мене константа, я винесу за границю. Маю границя b прямує до плюс нескінченності. І тепер у мене буде тут стояти одиниця на x в степені альфа мінус один в межах від одиниці до b. Підставляю верхню, верхню, нижню межу. Маємо одиниця на одиниця мінус альфа границя b прямує до плюс нескінченності. Одиниця на b в степені альфа мінус один і мінус одиниця. Альфа мінус один більше за нуль. b прямує до плюс нескінченності. Цей вираз прямує до нуля. Одиниця на b в степені альфа прямує до нуля. Отже, весь цей вираз буде дорівнювати мінус одиниця помножити на альфа, одиниця альфа мінус один. Інтеграл обчислився. Інтеграл скінченний. Тобто, цей невласний інтеграл збігається і дорівнює одиниця на альфа мінус один, коли альфа більше за одиницю.

Розглянемо тепер інший випадок. Нехай альфа менше за одиницю. Якщо альфа менше за одиницю, ну, в принципі, все це можна повторити, я не буду переписувати. Перейду зразу до підстановки інтеграл від одиниці до плюс нескінченності dx на x в степені альфа. Переходжу, отримаю отакий вираз. І я звертаю увагу, що в мене тут буде показник додатній, бо альфа менше за одиницю. Я його залишу в чисельнику. Границя b прямує до плюс нескінченності. Одиниця на одиниця мінус альфа x в степені одиниця мінус альфа в межах від одиниці до b. Підставляю тепер верхню, нижню межу. Виношу за границю одиниця мінус альфа. Границя b прямує до плюс нескінченності. Замість ікса підставляю b, маю b в степені одиниця мінус альфа мінус одиниця. І що це? Коли b прямує до плюс нескінченності, показник додатній, ми маємо нескінченність. Інтеграл розбігається. Ця границя нескінченна.

У нас залишився ще один випадок, коли у нас альфа дорівнює одиниці. Подивимось на цей межовий випадок. Інтеграл від одиниці до плюс нескінченності dx просто на x. Ну, в цьому випадку ми теж можемо написати границя b прямує до плюс нескінченності. Інтеграла від одиниці до b dx на x. Це є просто логарифм, якщо взяти первісну. Причому у нас x додатній, модуль можна не ставити під логарифмом. Будемо мати границю b прямує до плюс нескінченності. Логарифм x в межах від одиниці до b. Якщо підставити замість ікса b, логарифм b мінус логарифм одиниці нуль, можна не писати, але все одно ця величина прямує до нескінченності. Коли b нескінченність, логарифм b теж нескінченність. Інтеграл знову розбігається. Отже, коли ми маємо справу от з таким інтегралом, збіжність або розбіжність цього інтеграла залежить від показника альфа. Якщо альфа більший за одиницю, скажемо dx на x квадрат, цей інтеграл буде збігатись і дорівнює скінченному числу. Якщо ж альфа менше за одиницю, навіть від'ємний, ну, від'ємний тим більше. Або дорівнює одиниці, інтеграл розбігається. З таким інтегралом ми не маємо права нічого робити, бо він не має ніякого сенсу. Це одне, що одиниця поділена на нуль. Це ніщо, що на нуль ділити, що з невласним інтегралом працювати. Якщо альфа менше або дорівнює одиниці.

Неважко здогадатись, що якщо ми маємо справу з інтегралом, у якого нижня межа нескінченна, скажімо, інтеграл від мінус нескінченності до b f(x) dx. Його можна означити точно так, як ми мали означення для інтеграла з верхньою нескінченною межею. Тобто, границя А прямує до мінус нескінченності інтеграл від А до b f(x) dx. Ми нижню межу спрямовуємо до мінус нескінченності. Якщо всі такі інтеграли існують і ця границя скінченна, інтеграл буде збіжним і називається невласним інтегралом, як і всі решта.

А от цікаво, що буде, коли обидві межі нескінченні. Інтеграл від мінус нескінченності до плюс нескінченності f(x) dx. Тут не все так просто. Цей інтеграл буде збіжним, коли для будь-якого c дійсного числа, інтеграл цей буде збіжним. Повинні існувати, тобто бути збіжними обидва ці інтеграли. Якщо розписати, кожен з інтегралів, ми отримаємо границя А прямує до мінус нескінченності інтеграл від А до c f(x) dx плюс границя b прямує до плюс нескінченності інтеграл від c до b f(x) dx. Коли існують обидві ці границі і вони є скінченними, інтеграл з нескінченними межами буде існувати. В принципі, можна об'єднати ці два інтеграли і записати це як границя А прямує до мінус нескінченності, b прямує до плюс нескінченності інтеграл від А до b f(x) dx. Але треба підкреслити, що А і b повинні прямувати до нескінченності незалежно. Без будь-якого закону, що їх пов'язує. Якщо для будь-якого прямування до нескінченності цей інтеграл існує і скінченний, наш інтеграл буде збіжним. Буде існувати цей невласний інтеграл. Наприклад, інтеграл від мінус нескінченності до плюс нескінченності dx поділено на 1 + x квадрат. Ну, інтеграл простенький. Якщо подивитись на графік цієї функції, це у нас локон Аньєзі. От приблизно така функція, яка має асимптотою вісь іксів. Від цієї функції ми повинні знайти інтеграл від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Маємо за означенням границя А прямує до мінус нескінченності, b прямує до плюс нескінченності інтеграл від А до b dx на 1 + x квадрат. Ну, інтеграл, як я сказав, простий, бо він стоїть в таблиці. Це табличний інтеграл, і це є арктангенс x просто. І тому я можу записати границя А прямує до мінус нескінченності, b прямує до плюс нескінченності арктангенса x в межах від А до b. Підставляємо верхню і нижню межі, маємо границя А прямує до мінус нескінченності, b прямує до плюс нескінченності арктангенс b мінус арктангенс А. Ну, коли b прямує до плюс нескінченності, арктангенс b прямує до пі на 2. Арктангенс плюс нескінченності - це пі на 2. Отже, маємо пі на 2. А коли А прямує до мінус нескінченності, арктангенс на мінус нескінченності прямує до мінус пі на 2. І маємо пі. Виявляється, площа під локоном Аньєзі в нас пі. В спрощеному вигляді такий запис, мабуть, має право на існування. Але якщо вас цікавить строгий запис, строгі викладки, якщо ви про це хвилюєтесь, то треба користуватись границею, коли межі інтеграла скінченно прямують до нескінченності.

Нарешті зауваження щодо незалежності прямування до нескінченності меж інтеграла. Розглянемо такий приклад: інтеграл від мінус нескінченності до плюс нескінченності dx / x. Я розпишу його як інтеграл від мінус нескінченності до нуля dx / x плюс інтеграл від нуля до плюс нескінченності dx / x. Ми вже знаємо, що кожен з цих інтегралів розбігається. Навіть не на всьому проміжку від нуля, але від нуля теж, вони розбіжні. Але давайте спробуємо його обчислити, не замислюючись про це прямування. Якщо я розгляну цей інтеграл, ну, так в лоб, мінус нескінченність, плюс нескінченність dx / x. Навіть напишу границя А прямує до плюс нескінченності інтеграл від мінус А до А dx / x. Я візьму два кінця, які прямують однаково, пропорційно прямують до нескінченності. Що в цьому випадку ми маємо? Формально, якщо обчислити цей інтеграл, ми отримаємо границя А прямує до плюс нескінченності. Це в нас буде логарифм x в межах від модуль x від мінус А до А. Підставляю межі інтегрування. Границя А прямує до плюс нескінченності логарифм А мінус логарифм А, тому що модуль мінус А - це буде А. Маємо просто нуль. Якщо не замислюватись про незалежність прямування і не знаходити інтеграл, розбиваючи його на два, ми приходимо до не зовсім, або невірного все-таки висновку, що інтеграл збігається і просто дорівнює нулю. Але цей інтеграл розбіжний. Однаково, однозначно розбіжний, бо ці інтеграли розбіжні. Але в цьому нулі є певний сенс. Перед нами була просто гіпербола. Якщо геометрично подивитись на те, що ми знайшли, ми знайшли сумарну площу. Але скільки тут площі є плюс, стільки мінус, і в сумі все-таки буде нуль. Цей нуль - відображення геометричного змісту, який добре видно. Але інтеграл розбіжний. Втім, оскільки є якийсь сенс в цьому, цей сенс відносять до інтегралу такого вигляду і кажуть, що цей інтеграл існує в сенсі головного значення. Позначається V.P. інтеграл мінус нескінченність, плюс нескінченність f(x) dx. Це є границя, коли А прямує до плюс нескінченності інтеграл від мінус А до А f(x) dx. На цьому можна зупинити сьогоднішнє заняття. Ми розібрали невласні інтеграли по нескінченному проміжку. Попереду у нас невласні інтеграли від необмежених функцій, і такі бувають. І ще питання, пов'язані з невласним інтегралом, а це в наступних роликах. Залишайтесь на нашому каналі, ставте лайки, підписуйтесь на нього. Будемо продовжувати. Я з вами, Олексій Василенко. До побачення.