ІЧ20. Суми Дарбу. Критерій інтегровності за Риманом. — Transcript

Василенко. Математичний аналіз, інтегральне числення. Тема сьогоднішньої зустрічі критерій інтегрованості функції за Ріманом.

Через суми Дарбу. Фактично ми введемо поняття сум Дарбу, розглянемо їх властивості і доведемо основну теорему, яка є критерієм інтегрованості.

Будуючи інтеграл Рімана, ми відрізок АБ, на якому визначена функція f(x), розбивали точками x_i, які утворюють розбиття тау.

Після цього на кожному відрізочку x_i-1, x_i, ми обирали точку ксі_і і будували інтегральну суму Рімана. Інтегральна сума Рімана.

Суми Дарбу будуються трошки по-іншому. Ми беремо те ж саме розбиття тау і згадуємо, що для того, щоб функція була інтегрованою за Ріманом, вона необхідна повинна бути обмеженою.

Отже, f(x) обмежена на відрізку АБ. А це означає, що вона буде обмежена на кожному з підвідрізків. А якщо в нас функція обмежена на відрізку x_i-1, x_i, то вона має на цьому відрізку точно верхню і точну нижню межу.

Позначимо через m_i інфімум f(x) на відрізку x_i-1, x_i. А через M велике_i супремум на цьому відрізку x_i-1, x_i, f(x).

На кожному відрізку свої m_i і M_i велике.

І побудуємо суми Дарбу. Нижня сума Дарбу використовує інфімуми. S від тау, S маленьке від тау - це буде сума і від одиниці до n m_i дельта x_i. Сума найменших значень, сума інфімумів, помножених на відповідні відрізки.

А S велике, верхня сума Дарбу - це є сума M_i на дельта x_i і від одиниці до n. Дві суми Дарбу: верхня і нижня. Неважко бачити, що f від ксі_і, ксі_і у нас в сумі Рімана, буде між m_i і буде M_i на будь-якому відрізочку.

Оскільки це інфімум, це супремум цих значень. Таким чином стає очевидним, що нижня сума Дарбу S від тау буде менше або дорівнювати інтегральній сумі Рімана для будь-якого ксі.

Для будь-якого вибору точок ксі. І менше ніж верхня сума Дарбу для цього розбиття. Для кожного конкретного розбиття виконується, зокрема, S від тау менше або дорівнює S велике від тау.

Більше того, оскільки m_i - це інфімуми на кожному з відрізочків, то S від тау буде інфімум по всім можливим вибором точок ксі суми Рімана. І відповідно S велике від тау буде супремумом суми Рімана по всім можливим вибором точок ксі. Ці нерівності, рівності нам знадобляться в подальшому. Ми побудували суми Дарбу.

Дослідимо тепер поведінку сум Дарбу в залежності від розбиття, яке вони, на якому вони будуються. Для одного і того ж розбиття тау у нас нижня сума Дарбу менше або дорівнює верхній сумі Дарбу. Нам це знадобиться.

Тепер розглянемо різні розбиття. Нехай у нас дамо таке означення. Кажемо, що тау2 буде подрібненням розбиття тау1, якщо всі точки тау1 містяться в розбитті тау2. Тобто тау2 утворено додаванням до розбиття тау1 і ще якихось точок. Крім точок, які не були, ще декілька точок додали, отримали тау2. В цьому випадку пишуть, що тау1 міститься в тау2.

Тау2 є подрібнення, там ще є додаткові точки. Так от, виявляється, в цьому випадку є така властивість, що якщо тау1, якщо тау2 є подрібненням тау1, то нижня сума Дарбу тау1 буде менше або дорівнювати нижньої суми Дарбу тау2.

Ну, тау2 у нас менше або дорівнює S від тау2 і менше або дорівнює S велике від тау1. Нас цікавлять оці дві нерівності, бо середня у нас уже відома. Так от, що це означає? Це означає, що якщо ми додаємо додаткові точки до розбиття, нижня сума може тільки збільшитись, а верхня може тільки зменшитись.

Доведемо. Ну, я доведу ліву частину. Тау2 є додаванням, утворюється додаванням декількох точок. Додамо, припустимо, спочатку одну. Якусь одну точку до розбиття тау1 додамо. Нехай вона попала в відрізок x_i-1, x_i. От туди вона попала в цей відрізочок. І я її позначу, тому x_i буде штрих.

Ця точка більше або дорівнює x_i-1, менше або дорівнює x_i. От вам попала в цей відрізок. Я намалюю відрізок x_i-1, x_i. Тут якась була у нас функція. Отак була функція. І тут у нас попала точка x_i штрих. Я стверджую, що це у нас було M велике. Функція була обмежена, це було M_i.

І на відрізочку x_i-1, x_i, супремум, я його позначу M_i штрих. І на відрізочку x_i штрих, x_i, супремум тут я позначу M два штриха. Ну, він в даному випадку співпав з M_i. Будуть мати нерівність x_i штрих менше або дорівнює M_i. І M_i два штриха менше або дорівнює M_i. Виконуються отакі нерівності.

Тоді розглянемо, що буде відбуватись з верхньою сумою Дарбу. Сума Дарбу після додавання цієї точки буде відрізнятись тільки на цьому відрізку від попередньої суми Дарбу.

Замість доданка M_i на дельта x_i, в новій сумі Дарбу буде доданок M_i штрих помножити на довжину першого відрізка x_i штрих мінус x_i-1, плюс M_i два штриха помножити на довжину другого відрізка x_i штрих, x_i мінус x_i штрих.

Але кожна з цих двох M менше або дорівнює M_i. Менше або дорівнює M_i. Можна винести M_i. І в дужках опиниться x_i штрих мінус x_i-1, плюс x_i мінус x_i штрих. Скоротивши x_i штрих, ми маємо M_i x_i мінус x_i-1. Тобто, оці два нові доданки після додавання додаткової точки, привели до того, що відповідний доданок тільки зменшився порівняно з тим, що у нас було до цього. При додаванні точки верхня сума зменшилась.

Точно так, якщо додавати іще точки, кожного разу можна повторювати цю процедуру.

І в кінці кінців отримати нерівність.

Верхня сума Дарбу при додаванні точок зменшується. Для нижньої суми те ж саме. Тільки тут буде в інший бік нерівності.

Розглянемо тепер два розбиття тау1 і тау2, ну, взагалі кажучи, ніяк не пов'язаних між собою. Тобто не одне з них не є подрібненням іншого, взагалі кажучи. І покажемо, що в цьому випадку в цьому випадку нижня сума, пов'язана з першим розбиттям, буде менше або дорівнює верхньої суми, пов'язаної з другим розбиттям.

З огляду на довільність, як ми обрали ці два розбиття.

Виходить, що нижня сума будь-якого розбиття.

Менше або дорівнює верхньої суми будь-якого іншого розбиття, а не тільки свого власного.

Для того, щоб довести, розглянемо третє розбиття.

Тау3. Тау3 буде в нас містити всі точки тау1 і тау2. Об'єднаємо точки розбиття двох розбитів. Тобто в цьому випадку виходить тау3 буде подрібненням тау1 і одночасно тау3 буде подрібненням і тау2.

Тау3 є подрібнення і одного, і іншого. В цьому випадку ми можемо написати, що нижня сума, по доведеному раніше, тау1 буде менше або дорівнювати нижньої суми тау3.

Але нижня сума розбиття тау3 менше за верхню суму цього розбиття. Оскільки тау3 подрібнення тау2, ми можемо написати S від тау2.

Звідси випливає, що S від тау1, нижня сума Дарбу, менше або дорівнює верхній сумі Дарбу іншого розбиття. З огляду на довільність, це буде справедливо для будь-яких.

Більше того, якщо ми тепер розглянемо множину всіх розбитів, всіх можливих розбитів, виявляється, що нижні суми Дарбу на цій множині обмежені.

Ну, скажімо, будь-який, будь-якою верхньою сумою по будь-якому розбиттю. Все одно менше буде. Тобто ця множина обмежена зверху. А оскільки множина всіх нижніх сум обмежена зверху, вона має точну верхню межу. Супремум по всіх розбиттях нижніх сум Дарбу ми позначимо І зірочкою знизу і назвемо нижнім інтегралом Дарбу.

Аналогічно, множина всіх верхніх сум буде обмежена знизу. Тобто вона має інфімум. І тоді я позначу І зірочкою зверху інфімум всіх верхніх сум по всім можливим розбиттям.

Найбільш цікавий випадок, коли вони співпадають. При співпадінні цих інтегралів їх спільне значення можна назвати інтегралом.

Що ми і зробимо наступною теоремою. Отже, теорема.

Критерій інтегрованості функції за Ріманом. Для того, щоб існував інтеграл f(x)dx на відрізку АБ, необхідно і достатньо, щоб границя, коли дрібність розбиття тау прямує до нуля, різниці верхньої суми Дарбу і нижньої суми Дарбу дорівнювала нулю. Інтеграл існує, коли отака границя дорівнює нулю.

Необхідно і достатньо. Доведемо спочатку необхідність.

Нехай інтеграл, який я позначу літерою І, f(x)dx існує.

Тобто І - скінченне число якесь, яке є границею інтегральної суми. За означенням, це означає, що для будь-якого епсілон існує таке дельта, що як тільки дрібність розбиття тау буде менше ніж дельта, то для будь-якого вибору точок ксі, різниця між інтегральною сумою тау ксі і інтегралом буде менше ніж епсілон. Розпишемо останній модуль таким чином.

Сігма тау ксі більше ніж І мінус епсілон, менше ніж І плюс епсілон. Це одне і те ж саме. Раніше ми відмітили, що нижня сума Дарбу є точною нижньою межею по всім можливим вибором точок суми Рімана відповідної.

А верхня сума Дарбу є супремум суми Рімана по всім можливим вибором точок ксі. І оскільки написана нерівність виконується для будь-якого ксі, це буде означати, що вона буде виконуватись і для інфімума, і для супремума по всіх ксі.

Тобто ми приходимо до нерівності одиниця мінус І мінус епсілон менше ніж S маленьке від тау, менше або дорівнює S велике від тау. Ця нерівність нам відома раніше. Менше ніж І плюс епсілон. Якщо намалювати інтервал І, І мінус епсілон, І плюс епсілон. Звідси виходить, що S маленьке і S велике обидва попали в цей інтервал. А це означає, що різниця між ними менше ніж 2 епсілон.

А це і означає, що якщо тау обрати так, щоб дрібність цього розбиття була менша за дельта, буде виконуватись така нерівність. Це і є означення границі. Отже, границя дорівнює нулю.

Границя різниці.

Необхідність доведена.

Достатність. Нехай тепер границя різниці дорівнює нулю, коли дрібність розбиття прямує до нуля.

Спочатку відмітимо, дрібність розбиття прямує до нуля. Це означає, що ми зможемо побудувати якусь послідовність розбитів, таких, що кожен, кожне наступне розбиття буде подрібненням попереднього.

В цьому випадку послідовність S велике від тау n буде спадаючою з ростом n. І таким чином границя S тау, коли лямбда тау прямує до нуля, співпадає з інфімумом по всіх тау S великих від тау і дорівнює відповідно верхньому інтегралу Дарбу. Аналогічно, границя нижніх сум, коли лямбда тау прямує до нуля, буде дорівнювати нижньому інтегралу.

Оскільки ці дві границі співпадають за умовою, ми приходимо до того, що нижній інтеграл дорівнює верхньому інтегралу, і їх спільне значення ми позначимо літерою просто І. І покажемо, що І є інтеграл Рімана, як границя інтегральних сум Рімана.

Дійсно, з означення І випливає, що для будь-якого розбиття S від тау менше І, менше S велике від тау. За побудовою. З іншого боку, ми знаємо, що для будь-якого S від тау, сігма від тау ксі більше ніж S маленьке від тау, нижня сума Дарбу, і менше ніж S велике від тау, тут менше або дорівнює.

Отже, якщо намалювати S маленьке, S велике, І і десь тут сігма. Тоді для будь-якого скільки завгодно малого епсілон, ми можемо підібрати таке дельта, що як тільки дрібність тау буде менше ніж дельта, оскільки це границя, різниця між S мінус S від тау буде менше за епсілон. Довжина відрізка менше епсілон. А це означає, що І мінус сігма за модулем буде менше за епсілон. А це означає, що границя інтегральної суми Рімана існує і дорівнює скінченному числу, коли лямбда прямує до нуля.

Теорема доведена повністю.

На завершення наведемо ще одну поширену форму запису цієї теореми.

Для розбиття тау на відрізку x_i-1, x_i, через омега_і позначимо різницю супремума і інфімума функції на цьому відрізку. Омега називається коливанням функції на відрізку x_i-1, x_i. Розпишемо одне із тверджень теореми.

Границя лямбда прямує до нуля сума і від одиниці до n M_i на дельта x_i мінус сума і від одиниці до n m_i дельта x_i дорівнює. І це є границя лямбда тау прямує до нуля сума і від одиниці до n коливання функції на кожному відрізочку на дельта x_i. Отже, інтеграл Рімана існує, коли існує границя суми коливань на дельта x_i, і вона дорівнює нулю.

На цьому сьогоднішню зустріч можна завершити, але залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки, ми будемо продовжувати і я буду з вами. Олексій Василенко.