Speaker A
Я Олексій Василенко. Вивчаємо математичний аналіз, визначений інтеграл.
Лекція про достатні умови інтегровності: неперервність, монотонність та розривні функції на відрізку.
Key Takeaways
- Будь-яка неперервна функція на відрізку є інтегрованою.
- Монотонні та обмежені функції також інтегровані на відрізку.
- Різниця верхньої та нижньої сум Дарбу можна контролювати через дрібність розбиття і коливання функції.
- Функції з кінцевою кількістю розривів, якщо вони обмежені, теж інтегровані.
- Критерій інтегрованості базується на контролі коливань функції на дрібних відрізках.
Summary
- Визначення інтегралу як границі інтегральної суми та умови його існування.
- Критерій інтегрованості за сумами Дарбу та поняття коливань функції на відрізках.
- Теорема про інтегрованість неперервної функції на відрізку з використанням рівномірної неперервності.
- Інтегрованість монотонних і обмежених функцій на відрізку, з доведенням через різницю верхньої та нижньої сум Дарбу.
- Пояснення ролі дрібності розбиття (лямбда тау) у контролі різниці сум Дарбу.
- Розгляд функцій з кінцевою кількістю точок розриву та їх інтегрованості.
- Ілюстрація ідеї розбиття відрізка для функції з єдиною точкою розриву.
- Визначення коливання функції на відрізку як різниця між максимальним та мінімальним значенням.
- Важливість обмеженості функції для інтегрованості.
- Застосування критеріїв інтегрованості для розширення класу інтегрованих функцій.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ми вже знаємо, що інтеграл, як границя інтегральної суми, існує не для будь-якої функції, зокрема необмежені функції взагалі не мають інтегралів.
Speaker A
Сьогодні ми розберемо умови, коли інтеграл існує, додатні умови існування інтеграла, перш за все це функції неперервні на відрізку і монотонні на відрізку.
Speaker A
Минулого разу ми розібрали критерій інтегрованості, який каже, що якщо інтеграл у нас від А до Б f(x) dx
Speaker A
існує, то для будь-якого скільки завгодно малого епсилон знайдеться таке дельта,
Speaker A
що для будь-якого розбиття такого, що дрібність розбиття менше за дельта, буде виконуватись рівність S велике від тау мінус S маленьке від тау і це є сума і від одиниці до n супремума на кожному відрізку, інфімума на кожному відрізку дельта x іте.
Speaker A
А це є коливання функції на кожному відрізку і від одиниці до n омега іте на дельта x іте, так оця сума
Speaker A
буде менше за епсилон. Для будь-якого епсилон знайдеться таке дельта, що якщо взяти розбиття достатньо дрібним, то у нас різниця сум Дарбу,
Speaker A
тобто сума коливань функції на кожному відрізку на довжини цих відрізків, буде менше за обраний нами епсилон.
Speaker A
Ми будемо посилатись на цю, на цей критерій в подальших наших викладках.
Speaker A
Так от, тепер достатні умови, перша з них неперервність, теорема
Speaker A
про інтегрованість неперервної функції.
Speaker A
Нехай функція f(x) неперервна на відрізку AB.
Speaker A
За теоремою Кантора це означає, що функція буде рівномірно неперервною на цьому відрізку.
Speaker A
Тобто, для будь-якого скільки завгодно малого епсилон знайдеться таке дельта, що як тільки x' - x'' за модулем буде менше дельта, дві точки, які відстоять одна від одної менше ніж на дельта,
Speaker A
f(x') - f(x'') буде менше за епсилон, ну, скажімо, на b - a.
Speaker A
За будь-який епсилон, скажімо, і таке.
Speaker A
Якщо тепер взяти дрібність розбиття менше за дельта, то для будь-якого відрізку x(i-1) x(i) і для будь-яких двох точок
Speaker A
f(x'i) - f(x''i) з цього відрізку, дві точки я візьму, модуль різниці
Speaker A
буде менше епсилон на b - a. Це наслідок з рівномірної неперервності.
Speaker A
Адже точки x'i і x''i обидві належать відрізку, довжина відрізку менше за дельта, а якщо дві точки відстоять менше за дельта, то відстань між значень функцій буде менше за епсилон на b - a за означенням рівномірної неперервності.
Speaker A
І це виконується для будь-яких двох точок ітого відрізку.
Speaker A
Тоді і супремум
Speaker A
по всіх точках x(i-1) x(i) буде менше за епсилон на b - a.
Speaker A
Розглянемо, нехай у нас оце буде x(i-1)
Speaker A
x(i).
Speaker A
Для будь-яких двох точок різниця значень функції буде менше за
Speaker A
епсилон на b - a.
Speaker A
А це означає, що і коливання функції,
Speaker A
яке є супремумом по всіх цих значеннях,
Speaker A
на ітому відрізку буде менше за епсилон на b - a.
Speaker A
Залишилось знайти суму по всіх відрізках.
Speaker A
Розглянемо тепер суму і від одиниці до n омега іте на дельта x іте.
Speaker A
Але омега іта у нас менше ніж епсилон на b - a.
Speaker A
Ми менше ніж епсилон на b - a під сумою залишиться.
Speaker A
Я виніс максимальне значення, під сумою залишиться в мене і від одиниці до n дельта x іте.
Speaker A
А це є сума просто всіх відрізків.
Speaker A
І є довжина відрізка b - a.
Speaker A
Епсилон b - a помножити на b - a дорівнює епсилону.
Speaker A
Виявилось сума коливань на відрізочки менше за епсилон.
Speaker A
Що і треба було.
Speaker A
Отже, будь-яка неперервна на відрізку функція задовільняє критерію інтегрованості
Speaker A
і функція буде інтегрованою.
Speaker A
Неперервна функція інтегрована.
Speaker A
Але для того, щоб бути інтегрованою, функція не обов'язково повинна бути неперервною.
Speaker A
Зокрема, має місце теорема.
Speaker A
Теорема.
Speaker A
Якщо f(x) монотонна і обмежена на відрізку AB,
Speaker A
то вона інтегрована на цьому відрізку.
Speaker A
Функція монотонна і обмежена.
Speaker A
Будемо вважати для зручності функцію монотонно не спадаючу для визначеності.
Speaker A
Це буде означати, що для кожної точки x1 менше x2 f(x1) буде менше або дорівнювати f(x2).
Speaker A
Монотонно не спадаюча.
Speaker A
Зокрема, для будь-якої точки відрізку AB f(x) буде більше або дорівнювати f(a) менше або дорівнює f(b).
Speaker A
Бо це крайні точки, які у нас будуть давати найменші і найбільші значення.
Speaker A
Позначимо через K коливання функції на всьому відрізку.
Speaker A
M - m - це коливання функції на відрізку AB.
Speaker A
Розглянемо тепер довільне розбиття тау.
Speaker A
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Speaker A
Ну, звичайне розбиття відрізку AB.
Speaker A
І позначимо через лямбда тау максимальне з дельта x ітих відрізків розбиття.
Speaker A
Дрібність цього розбиття.
Speaker A
Тоді розглянемо суму, різницю сум Дарбу.
Speaker A
Верхня сума Дарбу мінус нижня сума Дарбу.
Speaker A
Нам ця різниця потрібна для використання критерію інтегрованості.
Speaker A
Верхня сума Дарбу - це є значення сума і від одиниці до n
Speaker A
супремуми на кожному відрізочку на дельта x іте, нижня сума Дарбу m іте дельта x іте.
Speaker A
Подивимось на відрізок.
Speaker A
Функція монотонна на кожному з відрізочків, це в нас і-1 і і.
Speaker A
І оскільки функція монотонно не спадає, вона поводить себе якимось таким чином.
Speaker A
У неї є точки розриву, вона, але вона монотонно не спадає, вона зростаюча.
Speaker A
Найменше значення буде в точці x(i-1), а найбільше завжди буде в точці x(i).
Speaker A
Отже, M(i) є ніщо інше, як f(x(i)), а m(i) є ніщо інше, як f(x(i-1)).
Speaker A
Отже, різниця сум Дарбу дорівнює сумі і від одиниці до n f(x(i)) - f(x(i-1)) дельта x(i).
Speaker A
Згадаємо, що через лямбда тау ми позначили максимальні з усіх відрізків.
Speaker A
Тоді, якщо замість дельта x(i) поставити лямбда тау, наша сума
Speaker A
може тільки збільшиться.
Speaker A
Отже, можемо написати менше або дорівнює лямбда тау сума і від одиниці до n f(x(i)) - f(x(i-1)).
Speaker A
Я розпишу суму, яка у мене стоїть в згорнутому вигляді.
Speaker A
І ми будемо мати лямбда тау, коли і дорівнює одиниці, будемо мати f(x1) - f(x0).
Speaker A
Плюс наступний доданок, коли і дорівнює двом, f(x2) - f(x1).
Speaker A
Плюс далі буде f(x3) і так далі, останній доданок буде f(xn) - f(x(n-1)).
Speaker A
Якщо придивитись, можна побачити,
Speaker A
що всі доданки,
Speaker A
крім першого і останнього, зникнуть.
Speaker A
Бо всі вони будуть парами, один доданок з плюсом, інший з мінусом.
Speaker A
Отже, від цієї всієї суми залишається лямбда тау f(b) - f(a).
Speaker A
f(b) - f(a) - це є M велике - m маленьке, це є саме коливання функції на всьому відрізку.
Speaker A
Менше або дорівнює лямбда тау на коливання функції, яке ми позначили K.
Speaker A
Ми прийшли до твердження, що різниця сум Дарбу не перебільшує
Speaker A
дрібності розбиття на коливання функції на всьому відрізку AB.
Speaker A
Повернемось до критерію.
Speaker A
Візьмемо довільний епсилон, а в якості дельта візьмемо
Speaker A
епсилон обраний поділений на K.
Speaker A
Тоді, якщо взяти лямбда тау менше за обраний дельта,
Speaker A
звідси буде випливати, що коливання функції
Speaker A
не перебільшить, а дельта ж це у нас епсилон на K.
Speaker A
Якщо підставити, буде просто епсилон.
Speaker A
Виявляється, що якщо для обраного епсилон ми візьмемо дельта
Speaker A
дорівнюючи епсилон на K, то різниця сум Дарбу буде не перебільшувати
Speaker A
нашого обраного епсилон.
Speaker A
А це означає інтегрованість функції за нашим критерієм.
Speaker A
Отже, якщо функція обмежена і монотонна на відрізку AB, вона на ньому інтегрована.
Speaker A
Зробимо іще один крок в напрямку розширення множини функцій, які будуть інтегрованими.
Speaker A
Теорема.
Speaker A
Якщо функція f(x) має на відрізку AB
Speaker A
скінченну кількість точок розриву,
Speaker A
і вона обмежена, тоді вона інтегрована на цьому відрізку.
Speaker A
Я не буду строго доводити цю теорему, але проілюструю ідеї, які використовуються
Speaker A
в напрямку дослідження розривних функцій на інтегрованість.
Speaker A
Нехай маємо розбиття відрізку AB.
Speaker A
Тау розбиття відрізку AB.
Speaker A
Ну, як завжди, лямбда тау - це дрібність розбиття.
Speaker A
Розглянемо спочатку випадок, коли функція має єдину точку розриву C.
Speaker A
Тоді вона попаде в якісь відрізки розбиття.
Speaker A
Нехай C буде належати відрізку x(k-1) x(k).
Speaker A
В якийсь відрізок вона попаде.
Speaker A
Тоді досліджувана нами сума коливання функції на дельта x(i)
Speaker A
розпадеться на дві частини.
Speaker A
Замість цієї суми я зможу написати і не дорівнює K і окремо виділю доданок, пов'язаний з
Speaker A
цією точкою розриву омега K на дельта xK.
Speaker A
Оскільки функція неперервна
Speaker A
всюди, крім відрізка, в який ми виділили,
Speaker A
вона буде інтегрована на цих множинах, де вона інтегрована.
Speaker A
Тобто оця величина для будь-якого епсилон
Speaker A
можна знайти таке дельта 1,
Speaker A
що сума і не дорівнює K до n омега іте на дельта x іте буде менше за епсилон на 2.
Speaker A
В будь-якому випадку наша функція обмежена на AB.
Speaker A
Тоді ми можемо через K велике позначити коливання функції на всьому відрізку AB, як і раніше.
Speaker A
Але тоді на K-тому відрізочку, K маленьке, на K-тому відрізочку омега K
Speaker A
буде менше за коливання на всьому відрізку, буде менше або дорівнювати, взагалі кажучи, коливання на всьому відрізку.
Speaker A
І тоді омега K дельта xK буде менше або дорівнювати K велике на дельта xK.
Speaker A
Позначимо через дельта 2 епсилон поділене на 2K велике.
Speaker A
На два коливання.
Speaker A
Тоді, якщо взяти дельта xK менше за дельта 2,
Speaker A
тоді омега K дельта xK виявиться меншим за K на дельта xK.
Speaker A
Дельта xK менше епсилон на 2K, буде менше за епсилон на 2.
Speaker A
Якщо тепер через дельта позначити мінімальне з дельта 1 і дельта 2,
Speaker A
наша сума, яка складається з двох частин, все одно буде менше за епсилон.
Speaker A
Оскільки сума 2 епсилон на 2.
Speaker A
Що і треба було для інтегрованості функції.
Speaker A
Виявляється функція f(x) буде інтегрованою на AB,
Speaker A
якщо множина точок розриву цієї функції
Speaker A
має лебегову міру нуль.
Speaker A
Ми не будемо зараз зупинятись на означенні лебегової міри, може ми до неї дійдемо.
Speaker A
Я тільки хочу відмітити, що скінченна кількість точок розриву
Speaker A
підходить під цю теорему.
Speaker A
Навіть нескінченна, зліченна кількість точок розриву
Speaker A
завжди підходить під цю теорему.
Speaker A
Тобто тут не обов'язково було б скінченну кількість точок розриву.
Speaker A
Можна було б ставити зліченну точок розриву першого роду на відрізку AB.
Speaker A
Функція все одно буде інтегрованою.
Speaker A
На цьому ми закінчуємо сьогоднішню зустріч.
Speaker A
Подальші властивості інтегралів в наступних зустрічах.
Speaker A
Залишайтесь на каналі, підписуйтесь.
Speaker A
Ставте лайки.
Speaker A
Я з вами, Олексій Василенко.
Speaker A
До побачення.
Topics:інтегралінтегрованістьнеперервністьмонотонністьсумі Дарбуколивання функціїрівномірна неперервністьточки розривуматематичний аналізвизначений інтеграл
