Speaker A
Василенко. Ми продовжуємо математичний аналіз, визначений інтеграл.
Відео розглядає інтегрування нерівностей та теорему про середнє значення для неперервних функцій на відрізку.
Key Takeaways
- Інтегрування нерівностей дозволяє порівнювати інтеграли функцій за умови порівняння самих функцій.
- Інтеграл від невід’ємної функції завжди невід’ємний, а при наявності строго додатної точки – строго більший за нуль.
- Модуль інтеграла не перевищує інтеграл від модуля функції.
- Теорема про середнє значення гарантує існування точки, де функція приймає своє інтегральне середнє значення.
- Для неперервних функцій теорема про середнє має чітку геометричну інтерпретацію.
Summary
- Пояснення інтегрування нерівностей: якщо f(x) ≤ g(x) на відрізку, то інтеграл від f менший або дорівнює інтегралу від g.
- Доведення властивості інтегрування нерівностей через інтегральні суми та межі.
- Наслідок: інтеграл від невід’ємної функції завжди невід’ємний, а якщо функція строго додатна в точці, інтеграл строго більший за нуль.
- Властивість модуля інтеграла: модуль інтеграла не перевищує інтеграл від модуля функції.
- Інтеграл від сталої функції дорівнює цій сталій, помноженій на довжину відрізка.
- Формулювання та доведення теореми про середнє значення для неперервних функцій на відрізку AB.
- Існування точки c, де значення функції дорівнює інтегральному середньому значенню.
- Геометрична інтерпретація теореми про середнє: площа під графіком дорівнює площі прямокутника з висотою f(c).
- Приклад функції з розривом, де теорема про середнє не виконується у класичній формі.
- Узагальнення теореми про середнє для добутку двох інтегрованих функцій.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Подальші властивості визначеного інтегралу.
Speaker A
Сьогодні у нас буде інтегрування нерівності і дуже важлива теорема про середнє.
Speaker A
Почнемо з інтегрування нерівностей, про що йдеться.
Speaker A
Нехай у нас є дві функції f(x) і g(x), які інтегровані на відрізку AB.
Speaker A
Причому для будь-якого x цього відрізку функція f менша за g.
Speaker A
Тоді відповідне співвідношення є між інтегралами з цих функцій.
Speaker A
Нерівність між функціями забезпечує нерівність між відповідними інтегралами.
Speaker A
Геометрично майже очевидно, не майже, а точно очевидно.
Speaker A
Тому що, якщо у нас функція f на відрізку AB трошки нижча, ніж функція g.
Speaker A
Відповідно, площа, як геометричний зміст інтеграла, буде менша, ніж площа під функцією g.
Speaker A
Доведемо це формально.
Speaker A
Для цього розіб'ємо відрізок AB точками x_i на n частин.
Speaker A
В кожній точці, в кожному відрізку виберемо по точці x_i.
Speaker A
І як завжди, позначимо через лямбда цього розбиття.
Speaker A
Дрібність розбиття.
Speaker A
Найбільший з відрізочків розбиття.
Speaker A
Це довжини відрізків.
Speaker A
Тоді першому інтегралу відповідає інтегральна сума.
Speaker A
Але за умовою в кожній точці x відрізку AB у нас f(x) менше за g(x).
Speaker A
Отже, f(x_i) менше, ніж відповідні g(x_i).
Speaker A
І тоді їх сума теж буде менша.
Speaker A
Залишилось перейти до границі в останній нерівності.
Speaker A
Якщо перейти до границі, то за правилом переходу границі в нерівностях, ми будемо мати.
Speaker A
Але ця границя - це є інтеграл від a до b f(x) dx.
Speaker A
А остання границя є інтеграл від a до b g(x) dx.
Speaker A
Що і треба було довести.
Speaker A
Знак нерівності між інтегралами.
Speaker A
Інтегрування нерівності.
Speaker A
Зокрема.
Speaker A
Якщо функція f(x) більше або дорівнює нуля на всьому відрізку AB.
Speaker A
Звідси зразу випливає, що інтеграл від невід'ємної функції.
Speaker A
Завжди буде теж невід'ємним.
Speaker A
До речі, останнє твердження можна трохи посилити.
Speaker A
Якщо у нас функція невід'ємна на відрізку AB і знайдеться така точка c.
Speaker A
З відрізку AB, в якій значення функції буде строго більше за нуль.
Speaker A
Це тоді буде означати, що.
Speaker A
До речі, це буде означати, що, якщо це в мене точка c.
Speaker A
То знайдеться окіл цієї точки, на якому функція буде строго більше за нуль.
Speaker A
Це теорема про збереження знака неперервної функції.
Speaker A
Тоді інтеграл від a до b f(x) dx.
Speaker A
Весь інтеграл буде строго більше, не більше, а строго більше буде за нуль.
Speaker A
Хоча б в одній точці більше, але точки неперервності, тоді інтеграл буде більше.
Speaker A
Наступне твердження пов'язане з модулем.
Speaker A
А саме, модуль інтеграла від a до b f(x) dx менше або дорівнює інтегралу від модуля функції f(x) dx.
Speaker A
Якщо функція f(x) інтегрована, то її модуль теж інтегрований.
Speaker A
Тобто достатньо інтегрованості функції f(x) на відрізку AB.
Speaker A
І тоді модуль інтеграла менше або дорівнює інтегралу від модуля.
Speaker A
Ми будемо спиратись на очевидні нерівності, пов'язані з модулями.
Speaker A
Тому що, от, скажімо, будь-яке число a більше або дорівнює мінус свій модуль.
Speaker A
Менше або дорівнює свій модуль.
Speaker A
Ну, насправді, тут a співпадає чи з лівим, чи з правим кінцем цієї нерівності.
Speaker A
Але в будь-якому випадку ця нерівність виконується.
Speaker A
Тоді в будь-якій точці x відрізку AB f(x).
Speaker A
Більше або дорівнює мінус модуль f(x) менше або дорівнює модуль f(x).
Speaker A
І використавши правило інтегрування нерівності.
Speaker A
Я можу проінтегрувати від a до b dx, інтеграл від a до b dx і інтеграл від a до b dx.
Speaker A
Нерівність зберігається.
Speaker A
Тепер ми маємо і ще одну тотожність.
Speaker A
Якщо у нас a більше мінус епсилон, менше або дорівнює епсилон.
Speaker A
Якщо у нас a між двома значеннями з протилежним знаком.
Speaker A
Це означає, що модуль a менше або дорівнює епсилон.
Speaker A
Це еквівалентні нерівності.
Speaker A
У нас те ж саме, подивіться, модуль інтеграла від a до b f(x) dx.
Speaker A
Менше або дорівнює, тут мінус такий інтеграл, тут плюс такий інтеграл.
Speaker A
От виходить менше або дорівнює інтеграл від a до b модуль f(x) dx.
Speaker A
Ну, те, що й треба було довести.
Speaker A
Нерівність ми довели.
Speaker A
Перш ніж довести теорему про середнє, зробимо одне невеличке зауваження.
Speaker A
Інтеграл від сталої по відрізку AB дорівнює m на довжину відрізку AB.
Speaker A
Ця стала помножена на довжину відрізку AB.
Speaker A
Ну, дійсно.
Speaker A
Інтеграл є границя інтегральної суми.
Speaker A
Інтеграл від a до b m dx дорівнює границя лямбда та у прямої до нуля суми від i до n.
Speaker A
Функція m у нас в кожній точці x_i все одно m.
Speaker A
Дельта x_i.
Speaker A
m можна винести за знак і суми і границі, і ми будемо мати.
Speaker A
m границя дельта x прямої до нуля суми від i до n дельта x_i.
Speaker A
Залишилось просто сума довжин відрізків розбиття.
Speaker A
А це якраз і є весь відрізок AB.
Speaker A
Якщо просумувати всі довжини, ми отримаємо довжину відрізку b - a.
Speaker A
Отже, інтеграл від сталої є ця стала помножена на довжину відрізку інтегрування.
Speaker A
Тепер ми готові довести теорему про середнє.
Speaker A
Формулюємо.
Speaker A
Теорема.
Speaker A
Нехай функція f(x) неперервна на відрізку AB.
Speaker A
Тоді існує точка c з цього відрізку, така, що інтеграл від a до b f(x) dx.
Speaker A
Буде дорівнювати значенню функції в цій точці на довжину відрізку b - a.
Speaker A
Доведемо.
Speaker A
Відмітимо, що оскільки функція неперервна на AB, вона інтегрована.
Speaker A
Тому інтеграл цей існує.
Speaker A
І ще з неперервності функції f(x) за теоремою Вейєрштрасса випливає, що.
Speaker A
Існують числа m маленьке і m велике, такі, що f(x) буде більше або дорівнювати m маленького і m великого.
Speaker A
Тобто неперервна на відрізку функція обмежена.
Speaker A
Найменше, найбільше значення функції.
Speaker A
Проінтегруємо цю нерівність.
Speaker A
Інтеграл m dx від a до b менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює інтеграл від a до b m dx.
Speaker A
Інтеграл, що стоїть ліворуч, за зауваженням, яке ми зробили, буде дорівнювати m(b - a).
Speaker A
Менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює m(b - a).
Speaker A
Поділимо всі три частини на b - a.
Speaker A
Отримаємо m маленьке менше або дорівнює 1 на b - a інтеграл від a до b f(x) dx менше або дорівнює m велике.
Speaker A
Інтеграл поділений на b - a - це певне число.
Speaker A
Я його позначу оце число літерою мю.
Speaker A
Невдала літера.
Speaker A
Отак от ми її напишемо.
Speaker A
О, мю.
Speaker A
Це є якесь число, яке розташоване між m маленьким і m великим.
Speaker A
А тепер згадаємо, що функція f у нас неперервна.
Speaker A
Тоді, приймаючи будь-які два значення, а неперервна функція приймає і m маленьке, і m велике.
Speaker A
Вона приймає всі проміжні значення за теоремою про проміжні значення.
Speaker A
Отже, існує така точка c з відрізку AB, що f(c) буде дорівнювати мю.
Speaker A
Залишилось побачити, що мю насправді - це є оцей інтеграл.
Speaker A
Запишемо.
Speaker A
Мю дорівнює 1 на b - a інтеграл від a до b f(x) dx.
Speaker A
І наше мю дорівнює f(c).
Speaker A
f(c).
Speaker A
Ми отримали рівність, яка еквівалентна формулюванню задачі.
Speaker A
Існує така точка c, що виконується ця рівність.
Speaker A
До речі, оце значення f(c) або мю і є середнім значенням.
Speaker A
Називається середнім значенням функції на відрізку AB.
Speaker A
Інтегральним середнім, бо є інші середні.
Speaker A
Інтегральне середнє значення на відрізку AB.
Speaker A
І це значення співпадає зі значенням функції в якійсь точці.
Speaker A
Геометрично це означає.
Speaker A
Що якщо у нас є якась функція AB.
Speaker A
То знайдеться така точка, що площа прямокутника буде дорівнювати площі криволінійної трапеції.
Speaker A
Прямокутник рівновеликий площі криволінійної трапеції.
Speaker A
Для неперервної функції знаходиться точка, яка має таке значення.
Speaker A
Якби функція не була неперервною, такої точки могло б і не знайтись.
Speaker A
Давайте подивимося, отака функція, скажімо, порвалась вона.
Speaker A
І от тут у неї точка розриву.
Speaker A
AB.
Speaker A
Якщо знайти площу, то ми побудуємо рівновеликий прямокутник.
Speaker A
Але точки, в якій досягається значення середнє значення функції, немає.
Speaker A
Це наше значення мю.
Speaker A
Функція має середнє значення, все одно середнє значення буде мати.
Speaker A
Але такої точки c, в якій досягається це значення, немає.
Speaker A
Для неперервної виконується.
Speaker A
Відмітимо ще одне узагальнення теореми про середнє.
Speaker A
Або і ще друге формулювання більш загальна теорема про середнє.
Speaker A
Нехай функції f(x) і φ(x) інтегровані на відрізку AB.
Speaker A
І нехай m маленьке і m велике - точна нижня і точна верхня межа функції f(x).
Speaker A
Ці числа існують, тому що функція обмежена, як інтегрована.
Speaker A
Інтегрована, значить обмежена.
Speaker A
Тоді існує таке число лямбда між m маленьким і m великим, що.
Speaker A
Інтеграл від a до b f(x) φ(x) dx дорівнює оце число лямбда помножене на інтеграл від a до b φ(x) dx.
Speaker A
Ми якби виносимо одне значення функції за знак інтеграла, виноситься функція, перетворюється на константу, на певну.
Speaker A
Ну, доведення.
Speaker A
Таке ж саме, як і було у нас в попередній теоремі доведення.
Speaker A
Тобто, оскільки функція у нас між m маленьким і m великим, ми можемо написати f(x) φ(x).
Speaker A
У нас буде більше або дорівнює m маленьке φ(x) менше або дорівнює m велике φ(x).
Speaker A
Проінтегруємо ці нерівності.
Speaker A
AB dx, інтеграл AB dx, інтеграл AB dx.
Speaker A
Винесемо константу за знак інтеграла за властивістю лінійності.
Speaker A
Ми будемо мати.
Speaker A
Отримаємо.
Speaker A
Ну, я просто винесу отак от m і винесу тут m φ(x).
Speaker A
Поділимо всі три частини на інтеграл від φ(x).
Speaker A
Маємо m менше або дорівнює інтеграл від a до b f(x) на φ(x) dx поділене на інтеграл від a до b φ(x) dx менше або дорівнює m.
Speaker A
Ну, от залишилось оцей вираз позначити літерою лямбда.
Speaker A
Із цього позначення буде випливати твердження, яке ми доводимо.
Speaker A
Ну, от на цьому можна вважати заняття, пов'язані з нерівностями і теоремами про середнє, ми закінчили.
Speaker A
Далі буде.
Speaker A
Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього.
Speaker A
Ставте лайки.
Speaker A
Я з вами Олексій Василенко.
Speaker A
До побачення.
Topics:інтегрування нерівностейтеорема про середнє значеннявизначений інтегралматематичний аналізнеперервні функціїінтегральне середнємодуль інтегралаінтегральні сумитеорема Вейєрштрасагеометрична інтерпретація
