ІЧ25. Заміна змінної і інтегрування частинами в визначе… — Transcript

Олексій Василенко.

Продовжуємо математичний аналіз, визначений інтеграл.

Ми сьогодні розберемо два, мабуть, основних методи обчислення інтегралів - це заміна змінної або підстановка і інтегрування частинами.

Ми вже знайомі з цими методами у випадку невизначеного інтеграла, це дійсно дуже поширені основні методи обчислення невизначених інтегралів.

Подивимося сьогодні, як це ці методи виглядають у випадку визначеного інтеграла.

У випадку, коли почнемо з заміни змінної, для невизначеного інтегралу формула заміни змінної мала такий вигляд, де у нас функція фі дає залежність x від t.

Ну, за певних умов, зокрема, функція повинна бути диференційована.

Сформулюємо аналогічне твердження для визначеного інтегралу: нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], а функція φ(t) неперервна і неперервно диференційована, тобто має неперервну похідну на відрізку [α, β].

Літера t змінюється на відрізку [α, β], а x на [a, b]. При цьому зв'язок φ(α) = a, а φ(β) = b. Кінці відрізка відображаються в кінці відрізка [a, b].

Тоді інтеграл від a до b f(x) dx дорівнює інтегралу від α до β f(φ(t)) φ'(t) dt. Та ж сама формула, але у нас додались межі інтегрування.

Причому межі інтегрування різні, тому що це різні змінні, але відрізки, на яких визначена функція, пов'язані своїми кінцями. Доведемо. Виходячи з формули, яку ми вже маємо, ми бачимо, що у нас тут рівність двох множин первісних.

Якщо F(x) є первісна функції f(x), а Φ(t) є первісна функції f(φ(t))φ'(t), то рівність між цими інтегралами означає, що Φ(t) буде дорівнювати F(x) + C.

Ці дві первісні відрізняються на сталу.

Тоді, виходячи з формули Ньютона-Лейбніца, користуючись тим, що Φ - це первісна від функції, що стоїть під інтегралом, ми можемо записати, що інтеграл від α до β f(φ(t))φ'(t) dt буде дорівнювати різниці значень первісної від α до β. Але Φ(t) дорівнює ось цьому виразу, тобто ми можемо замість Φ(t) підставити F(φ(t)) в межах від α до β. Літеру C я ігнорую, тому що якщо брати C в різниці, то це все одно буде нуль. Тому C не впливає на результат. А це в свою чергу, якщо згадати, що φ(α) - це у нас a, φ(β) - це b, це у нас буде дорівнювати F(x) в межах від a до b. Ну, а це і є наш інтеграл, який стоїть ліворуч. І формула доведена.

Тобто, при використанні формули заміни змінної у нас, крім самої змінної, змінюються ще й межі інтегрування.

Розглянемо приклад. Нехай треба обчислити інтеграл від одиниці до п'яти від от такого виразу. Ми тут маємо лінійну ірраціональність.

В цьому випадку стандартна заміна, стандартна підстановка x - 1 = t², щоб ми позбулись оцього кореня. При такій заміні інтеграл раціоналізується. Звідси x = t² + 1, dx = 2t dt. І подивимось, як змінюються межі інтегрування. Коли x змінюється від одиниці до п'яти, t буде змінюватись як це взнати?

Замість x підставлю одиницю, отримаю нуль, таким чином t буде у нас нуль. t буде змінюватись від нуля до, якщо замість x підставлю 5 - 1 = 4, t² буде двійка. t змінюється від нуля до двох, x при цьому від одиниці до п'яти. Те, що нам треба. Підставляємо все в інтеграл. Межі інтегрування тепер будуть від нуля до двох. Замість x тепер буде стояти у нас t² + 1. Далі dx, dx у нас 2t dt, а в знаменнику буде просто t.

Ми так ввели заміну змінної. Інтеграл раціоналізувався, корінь зник, причому t скорочується і інтеграл стає зовсім простеньким. Інтеграл, ну, двійку я винесу, буде інтеграл від нуля до двох (t² + 1) dt. В визначеному інтегралі не треба переходити до старої змінної. У нас нові межі інтегрування, у нас нова змінна, тому ми просто беремо первісну і підставляємо межі інтегрування. Первісна у нас буде 2(t³/3 + t) в межах інтегрування від нуля до двох. І остаточно підставляємо верхню межу: 8/3 на 2 буде 16/3. Якщо тут підставити двійку і на 2 буде 4, плюс 4, і маємо 28/3. Ну, от ми обчислили інтеграл заміною змінної.

В чому особливість? Знаходження змінної, яку підстановкою треба використати, та ж сама, що і в невизначеному інтегралі, тут ніяких немає відмінностей. Але ми додали ще один елемент - зміна меж інтегрування. Це дозволяє в кінці, коли ми обчислили інтеграл, не переходити до старої змінної. Це особливо корисно, коли у нас декілька вкладень, декілька послідовних замін змінної, що часто буває при інтегруванні.

І ще один приклад. Інтеграл від нуля до a від кореня квадратного a² - x². Ну, перед нами тепер квадратична ірраціональність. Для квадратичної ірраціональності можна використовувати тригонометричні підстановки.

Я цим і скористаюсь. Теорія каже, що для випадку, коли у нас a² - x², ми повинні використати підстановку x = a sin t. Це дає можливість після того, як ми знайдемо dx, побачити, що корінь квадратний a² - x² - це у нас буде a² за дужками, тут у мене буде стояти одиниця мінус синус квадрат t. Одиниця мінус синус квадрат перетворюється на косинус квадрат, a² косинус квадрат, якщо добути корінь, ми маємо просто a cos t. Ну і нарешті межі інтегрування. Коли x змінювався у нас від нуля до a, подивимося, що буде у нас t. Коли x = 0, sin t = 0, t = 0. А коли x = a, щоб тут було a, треба, щоб синус дорівнював одиниці. Якщо синус буде одиниця, то t буде дорівнювати π/2. Маємо межі інтегрування.

Підставляємо в наш новий інтеграл. Інтеграл від нуля до π/2. Замість кореня ми маємо a cos t, а замість dx маємо a cos t dt. Коротше, тут буде a² cos² t dt. Якщо я a² винесу за знак інтегралу, як сталу, під інтегралом у мене залишиться інтеграл від нуля до π/2 від косинус квадрата. Тригонометрична функція синус-косинус в парному степені, треба знижувати степінь за правилами інтегрування. Маємо a²/2 (1 + cos 2t) dt.

Інтегруємо. Інтеграл від одиниці дасть нам просто різницю меж інтегрування π a²/4. А інтеграл від cos 2t - це в мене буде плюс a²/4, і ще двійка одна піде в знаменник, але тут буде стояти sin 2t в межах від нуля до π/2. Залишилось підставити межі інтегрування в синус. Я підставляю π/2 замість t, отримую sin π, а sin π - це нуль. І нуль, якщо підставити нуль, другого доданку просто не буде. Відповідь π a²/4. Ми обчислили інтеграл підстановкою x = a sin t. Змінивши межі інтегрування, ми перейшли до нових меж і обчислили без повертання до старої змінної. Ну, от.

Розглянемо тепер інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Ну, формула за своїм виглядом мало відрізняється від формули інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Хіба що межі інтегрування з'являються. Якщо у нас функції u(x) і v(x) визначені на відрізку [a, b], і при цьому мають неперервні похідні, тобто і неперервні, і диференційовані ці функції на відрізку [a, b], і неперервні їх похідні.

Тобто, оці похідні u'(x) і v'(x) будуть неперервними. Якщо знайти похідну добутку двох функцій (u(x)v(x))', ми будемо мати u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Ну, звичайна формула добутку похідної.

За умовою ці функції неперервно диференційовані, тобто оця похідна теж буде неперервною, як добуток двох функцій з неперервними похідними. Тому я можу написати інтеграл від a до b від (u(x)v(x))' dx. Але інтеграл від похідної, первісна від похідної є сама функція, від якої ми беремо первісну. Тобто, первісна від підінтегральної функції буде просто u(x)v(x) за формулою Ньютона-Лейбніца, мені достатньо додати різницю значень похідної в кінцях. Це інтеграл від лівої частини. А тепер запишемо інтеграл від правої частини. Праворуч у нас буде стояти інтеграл від a до b. Я зразу скористаюсь лінійністю визначеного інтегралу і напишу суму двох інтегралів: u'(x)v(x) dx + інтеграл від a до b u(x)v'(x) dx.

З останньої формули нам залишилось виразити останній інтеграл через попередні два вирази. Маємо інтеграл від a до b u(x)v'(x) dx дорівнює u(x)v(x) від a до b мінус інтеграл від a до b u'(x)v(x) dx. Це і є формула інтегрування частинами. Або в більш компактному вигляді, як її частіше використовують, запам'ятовують інтеграл від a до b u dv дорівнює uv від a до b мінус інтеграл від a до b v du. Ну, от друга форма запису формули інтегрування частинами, ну, ми маємо на увазі те, що там всюди стоїть змінна одна і та ж сама.

Розглянемо пару прикладів. Методи використання інтегрування частинами ті ж самі, що і в невизначеному інтегралі, зокрема інтеграл від логарифма можна взяти частинами, ну і по-іншому його не візьмеш, якщо його не записати, не запишете в таблицю інтегралів. Це в мене літера e.

Основа натурального логарифма. Коли ми беремо інтеграл частинами від логарифма, саме log x ми повинні позначити літерою u. Ну, а все, що залишилось, у нас стає dv. dv у нас буде dx. Тоді du - це просто буде dx / x. А v, ну, якщо dv = dx, то v буде дорівнювати x. Підставляємо формулу інтегрування частинами. Маємо x log x в межах від одиниці до e. Мінус інтеграл від одиниці до e. Тепер визначений інтеграл, і тут ми межі поставили в позаінтегральному члені. Від одиниці до e, v на du. v на du, ой, там залишається тільки dx, бо x скорочується. Тоді ми маємо підставити верхню межу сюди, ми будемо мати e, а логарифм e - це одиниця. Тобто буде e просто на одиницю помножене, я її писати не буду. А якщо підставити одиницю, логарифм одиниці - це нуль, віднімати немає чого. Тепер мінус інтеграл, мінус e мінус одиниця стає плюс одиниця. Так це просто одиниця. Оцей інтеграл виявляється дорівнює одиниці.

Мене завжди дивують, коли отакі якісь трансцендентні функції, типу синуса від нуля до π/2, або логарифм від одиниці до e, інтегруєш зовсім трансцендентні ірраціональні числа тут стоять функції, а відповідь красива - одиничка. Красиво.

До речі, геометрично це означає, що от якщо це у нас логарифм проходить через одиничку, а тут у нас число e, оця площа дорівнює одиниці. Геометричний сенс інтегралу полягає в площі криволінійної трапеції. От виявляється, тут така площа під логарифмічною кривою від одиниці до e дорівнює одиниці.

Ми вже сьогодні брали інтеграл від нуля до a корінь квадратний a² - x² dx за допомогою тригонометричної підстановки. Але відомо, що інтеграли такого вигляду можна брати і частинами. Давайте його ж візьмемо ще й частинами.

Ну, у нас буде можливість порівняти два методи. Подивимось, що, як, як його можна брати частинами. Ну, мабуть, в цьому випадку через u я позначу корінь квадратний a² - x², а через dv у мене залишається знову dx. Тоді знаходжу du. du у мене буде дорівнювати похідна від кореня - це в мене буде 1 / 2 кореня, мінус і помножити на -2x. Ну, коротше, -x / корінь квадратний a² - x² і це ще dx. Зате v буде просто іксом. Підставляю формулу інтегрування частинами. Маємо x корінь квадратний a² - x² в межах від нуля до a. Межі інтегрування я підставляю. Мінус інтеграл від нуля до a. x і x перемножиться, в мене буде -x² dx / корінь квадратний a² - x².

Ну, коли ми беремо такий інтеграл частинами, то теорія каже, тут буде циклічний інтеграл. Тобто ми все одно ще повинні один разочок цей інтеграл взяти і прийти до того, з чого виходили. Давайте подивимось, як цього можна, як це можна отримати. Я тут під інтегралом додам і відніму a². Під інтегралом плюс-мінус a². Що це мені дасть? Так, ну, перш ніж підставляти в інтеграл, я зразу обчислю позаінтегральний член. Його можна обчислювати по ходу, необов'язково тримати його до кінця. Підставимо межі інтегрування. Якщо я підставлю сюди a замість x, в мене корінь перетвориться в нуль. А якщо я підставлю нуль замість x, то x зробить нуль. Ну, тут нічого не залишиться. Тому ми будемо мати що? Ми будемо мати інтеграл, якщо тут додати a², це в мене буде мінус інтеграл від нуля до a, a² - x² dx. Це в мене буде перший інтеграл з коренем a² - x² в знаменнику. А другий інтеграл буде, коли я відніму a². Але віднімаючи a² під інтегралом, я тепер згадаю, що в мене перед інтегралом стоїть мінус. Тоді в мене стане плюс інтеграл від нуля до a. Просто буде стояти в мене a² dx на корінь квадратний a² - x².

А цей інтеграл доведеться обчислити. Давайте подивимося, як його обчислити. a² у мене виходить. Так, плюс буде a² виходить. А інтеграл dx на корінь квадратний з a² - x² - це табличний інтеграл. Це арксинус. Це просто arcsin x / a в межах від нуля до a. І тепер, якщо я підставлю замість x a і 0, я зможу обчислити цей вираз. Давайте я його запишу. Це в мене буде мінус інтеграл від нуля до a корінь a² - x² dx. А тут arcsin, якщо a підставити, буде arcsin одиниці. Arcsin одиниці - це π/2. a² π/2. А якщо я підставлю нуль, буде просто нуль, я його і писати не буду. Все, крапка. Тепер, щоб обчислити цей інтеграл, я повинен акуратно цей інтеграл перенести в ліву частину. І після того, як я його туди перенесу, їх стане двоє. І щоб знайти один із них, доведеться поділити на два. Тобто ми будемо мати інтеграл від нуля до a корінь квадратний a² - x² dx буде дорівнювати половині того виразу, що залишиться у мене праворуч. a² π / 4. Ну, вийшов той же самий результат, навряд чи ми могли чекати щось інше. Ну, от, ми розібрали сьогодні використання методів заміни змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Далі будемо продовжувати. Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього. Я буду з вами. Олексій Василенко. До побачення.