Speaker A
Я Олексій Василенко. У нас математичний аналіз, інтегральне числення, невласні інтеграли від необмежених функцій.
Відео пояснює невласні інтеграли від необмежених функцій, їх збіжність на прикладі інтегралу dx/x^α від 0 до 1.
Key Takeaways
- Невласні інтеграли дозволяють інтегрувати необмежені функції через границю інтегралу з відступом від точки особливості.
- Інтеграл від 0 до 1 dx/x^α збігається лише при 0 < α < 1.
- Якщо α ≥ 1, інтеграл розбігається через нескінченність в точці 0.
- Звичайні методи інтегрування застосовні і до невласних інтегралів.
- Обмеженість функції є необхідною умовою для інтегралу Рімана, але не для невласних інтегралів.
What the video covers
- Відео присвячене темі невласних інтегралів від необмежених функцій у математичному аналізі.
- Пояснюється, що звичайний інтеграл Рімана не може бути визначений для необмежених функцій через вимогу обмеженості.
- Вводиться поняття невласного інтеграла для функції з особливістю (вертикальною асимптотою) у точці a на проміжку (a, b].
- Описується умова збіжності такого інтеграла через границю інтегралу від a+δ до b при δ, що прямує до нуля.
- Розглядається приклад інтеграла від 0 до 1 dx/x^α, де α > 0, з особливістю в точці 0.
- Аналізуються три випадки для α: α > 1 (інтеграл розбігається), 0 < α < 1 (інтеграл збігається), α = 1 (інтеграл розбігається).
- Пояснюється, що для α між 0 і 1 інтеграл має скінченне значення і збігається.
- Наголошується, що методи роботи з невласними інтегралами схожі на методи для звичайних визначених інтегралів.
- Відео містить детальний розбір обчислення границь та підстановок меж інтегрування.
- Підкреслюється важливість запам’ятовування поведінки інтегралу dx/x^α для різних значень α.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
На минулому занятті ми вже познайомились з невласними інтегралами по нескінченному проміжку. Можна ознайомитись за посиланням, яке ми тут маємо.
Speaker A
Сьогодні розглянемо інтеграл від необмежених функцій.
Speaker A
Справа в тому, що звичайний інтеграл Рімана за означенням не може бути від необмеженої функції.
Speaker A
Необхідною умовою інтегровності за Ріманом є обмеженість функції.
Speaker A
Але в певному сенсі інтегрувати функції необмежені іноді можна.
Speaker A
Нехай функція f(x) задана на напівінтервалі (a, b] і має особливість в точці a.
Speaker A
Особливість в сенсі, що функція необмежена в околі точки a, необмежена праворуч, справа в точці a.
Speaker A
Ну, скажімо, отака ситуація, у нас є вертикальна асимптота в точці a, тут точка b, і функція отакого вигляду.
Speaker A
Функція необмежено зростає, наближуючись, коли аргумент наближується до точки a.
Speaker A
В цьому випадку кажуть, має особливість в точці a. Так от, функція має особливість в точці a, але якщо ми трошки відступимо, a + δ.
Speaker A
Якщо для будь-якого, скіль завгодно малого δ, існує інтеграл від a + δ до b f(x) dx, і ще границя, коли δ прямує до нуля, цього інтеграла скінченна, він називається невласним інтегралом від f(x) dx по відрізку ab, по проміжку ab.
Speaker A
В точці, в околі точки a функція необмежена, але ми пишемо такий інтеграл, називаємо його невласним.
Speaker A
І він називається буде збіжним, коли така границя існує і скінченна.
Speaker A
Наприклад, розглянемо той же важливий приклад, який ми розглядали на нескінченному проміжку.
Speaker A
Нехай у нас буде інтеграл від 0 до 1 dx на x в степені α, де α будь-яке число, ну зараз ми будемо розглядати α більше за 0, бо якщо α менше за 0, цей інтеграл нецікавий, він не має ніяких особливостей.
Speaker A
А от якщо α більше за 0, перед нами в 0 підінтегральна функція не існує.
Speaker A
При наближенні до 0 вона прямує до плюс нескінченності, отже, у нас в точці 0 особливість.
Speaker A
Розглянемо випадки, нехай α більше за одиницю, як і минулого разу, розглянемо α більше за одиницю.
Speaker A
Цей інтеграл, за означенням, цей інтеграл буде дорівнювати границя δ прямує до 0.
Speaker A
Інтеграл від δ до 1, ну a у нас 0, тому просто δ, і x в степені -α dx.
Speaker A
Інтегруємо, маємо границя δ прямує до 0.
Speaker A
Інтеграл тут буде x в степені 1 - α, α більшу за одиницю, тому буде від'ємний у нас показник, і я його так від'ємний і запишу.
Speaker A
Тоді я буду мати 1 на 1 - α, 1, x в степені α - 1 в межах від δ до 1.
Speaker A
Обчислили інтеграл, тепер треба підставити межі інтегрування.
Speaker A
Підставляємо 1, маємо 1 на 1 - α, 1, мінус, а якщо підставити сюди δ.
Speaker A
В знаменник прямує до 0, нескінченність.
Speaker A
Плюс нескінченність, інтеграл розбігається.
Speaker A
Виявляється, коли α більше 1, цей інтеграл розбігається.
Speaker A
Глянемо, що у нас буде у випадку, коли α менше за 1.
Speaker A
Як ми домовились, більше за 0.
Speaker A
Тоді маємо інтеграл від 0 до 1 dx на x в степені α, ну це ж саме, тільки границя δ прямує до 0.
Speaker A
Але в нашому випадку тепер α, 1 - α тут, якщо додати, у нас буде величиною додатною.
Speaker A
Я не буду записувати x знаменником, залишу його в чисельнику.
Speaker A
x в степені 1 - α в межах від δ до 1.
Speaker A
Підставляємо межі, маємо 1 на 1 - α, 1, мінус, ну а тепер δ підставити замість x, коли δ прямує до 0, буде 0.
Speaker A
1 на 1 - α, інтеграл збігається.
Speaker A
Тобто має скінченне значення границя цього інтеграла.
Speaker A
Ну і нарешті, останній третій випадок, коли треба розглянути, коли α дорівнює 1.
Speaker A
Подивимось, що в цьому випадку буде.
Speaker A
Якщо α дорівнює 1, це буде інтеграл від 0 до 1 dx на x.
Speaker A
Границя, коли δ прямує до 0, інтеграла від δ до 1 від dx на x.
Speaker A
Це є просто логарифм, границя δ прямує до 0, логарифм x в межах від δ до 1.
Speaker A
Підставляємо 1, це буде 0.
Speaker A
Мінус границя логарифм δ, логарифм δ, δ прямує до 0, логарифм 0 прямує до нескінченності.
Speaker A
Мінус мінус нескінченність, плюс нескінченність, інтеграл розбігається.
Speaker A
Отже, у випадку, коли у нас інтеграл невласний від необмеженої функції dx на x в степені α від 0 до 1, цей інтеграл буде збігатись, коли α між 0 і 1.
Speaker A
І буде розбігатись, коли α більше або дорівнює 1.
Speaker A
Варто запам'ятати дуже важливий інтеграл.
Speaker A
Виявляється, в роботі з невласними інтегралами можна використовувати і основні методи, прийоми, які використовуються і для звичайних інтегралів визначених.
Topics:невласні інтегралинеобмежені функціїматематичний аналізінтегральне численняінтеграл dx/x^αзбіжність інтегралувертикальна асимптотаінтеграл Ріманаособливість функціїінтегрування
