Speaker A
Вітаю вас, шановні студенти. Я Олексій Василенко.
Відео пояснює основні властивості визначеного інтегралу: лінійність та аддитивність з детальними доказами.
Key Takeaways
- Визначений інтеграл є лінійним оператором.
- Стала множник може бути винесена за знак інтегралу.
- Інтеграл суми функцій дорівнює сумі інтегралів цих функцій.
- Докази базуються на границі інтегральних сум і довільних розбиттях відрізка.
- Лінійність і аддитивність є основою для подальшого вивчення інтегрального числення.
Summary
- Огляд базових властивостей визначеного інтегралу: лінійність і аддитивність.
- Пояснення лінійності: сталу можна виносити за знак інтегралу.
- Доказ винесення сталої за знак інтегралу через границю інтегральної суми.
- Пояснення, що інтеграл суми функцій дорівнює сумі інтегралів цих функцій.
- Доказ аддитивності інтегралу через розбиття відрізка і границі інтегральних сум.
- Використання довільного розбиття відрізка та вибору точок для побудови інтегральних сум.
- Пояснення лінійності границі та суми інтегральних сум.
- Підкреслення, що докази базуються на означенні визначеного інтегралу.
- Розгляд двох функцій f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
- Підсумок: лінійність і аддитивність є фундаментальними властивостями визначеного інтегралу.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Математичний аналіз, визначений інтеграл.
Speaker A
Ми сьогодні розбираємо базові основні властивості, найпростіші властивості визначеного інтегралу.
Speaker A
А саме лінійність і адитивність.
Speaker A
Починаємо з лінійності.
Speaker A
Лінійність складається з двох операцій: інтеграл суми функції дорівнює сумі інтегралів і сталу можна виносити за знак інтегралу.
Speaker A
Почнемо зі сталої.
Speaker A
Отже, нехай функція f(x) інтегрована на відрізку AB, і це велике довільне дійсне число.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В С f(x) dx дорівнює С інтеграл від А до В f(x) dx.
Speaker A
Доведення спирається безпосередньо на означення визначеного інтегралу, як границі інтегральної суми.
Speaker A
Отже, розглянемо довільне розбиття відрізку AB точками x_i-ми, і в кожному відрізочку [x_i-1, x_i] оберемо точку ξ_i-ту, яка належить, довільна точка. Через λ_τ, як звичайно, позначаємо дрібність цього розбиття, тобто це максимальний з довжин (x_i - x_i-1) або максимальний Δx_i.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В, я розгляну ліву частину, С f(x) dx за цим означенням буде дорівнювати границі λ_τ прямує до нуля інтегральної суми від одиниці до n значення функції в точці ξ_i-тій, але функція у нас С на f(x). Отже, маємо С f(ξ_i) на Δx_i.
Speaker A
Скінченна сума від одиниці до n С стала, можна винести за знак суми. Границя теж лінійна, тобто С можна винести і за знак ліміту. Будемо мати С границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) на Δx_i.
Speaker A
Ми брали довільні розбиття, розглянули прямування до нуля дрібності цих розбиттів і прийшли до висновку, що тут у нас стоїть границя інтегральної суми, а це і є інтеграл від оцієї функції f. С інтеграл від А до В f(x) dx. Що і треба було довести. Стала виноситься за знак інтегралу.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так. Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми буде дорівнювати сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Але це скінченна сума, і ми можемо розділити її на дві. Будемо мати і границю теж розкласти на, бо границя суми дорівнює сумі границь. Отже, границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) Δx_i + границя λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n g(ξ_i) Δx_i.
Speaker A
Маємо границя суми дорівнює сумі границь, але кожна з цих границь є інтеграл відповідний. Тому що в нас довільне розбиття, дрібність розбиття прямує до нуля, і ми будемо мати за означенням інтегралу, це буде від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Що і треба було.
Speaker A
Друга лінійна операція - це інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Тобто в нас є дві функції f(x) і g(x), кожна з яких інтегрована на відрізку AB.
Speaker A
Тоді інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює сумі інтегралів від А до В f(x) dx + інтеграл від А до В g(x) dx. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
Speaker A
Доводимо точно так.
Speaker A
Обираємо довільне розбиття, позначаємо через λ_τ максимальний з відрізків Δx_i-ті, довжини відрізків Δx_i-ті. Обираємо в кожному відрізочку точку ξ_i-ту, x_i-1, x_i.
Speaker A
І будуємо інтегральну суму інтеграла, що стоїть ліворуч. Маємо інтеграл від А до В f(x) + g(x) dx дорівнює границі λ_τ прямує до нуля суми і від одиниці до n f(ξ_i) + g(ξ_i) Δx_i.
Topics:визначений інтеграллінійність інтегралуаддитивність інтегралуматематичний аналізінтегральні сумидокази інтегралуфункціїінтегруванняОлексій Василенкоматематика
