ІЧ19. Означення визначеного інтегралу Римана. Необхідна… — Transcript

Василенко. Математичний аналіз, інтегральне числення, визначений інтеграл.

Ми сьогодні дамо означення визначеного інтегралу.

На минулому занятті ми розібрали інтуїтивно зрозуміле поняття визначеного інтегралу, який виходить з обчислення площі криволінійного трапеції.

Мета сьогоднішнього заняття - дати строге означення, ну і деякі властивості, які з нього будуть випливати.

Отже, нехай на відрізку АБ задана функція f(x).

Зробимо наступне: по-перше, розіб'ємо відрізок АБ на n підвідрізків частинок x(i-1), x(i), i дорівнює 1, 2 і так далі n.

Причому так, що a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Тобто вони розташовані в порядку зростання на відрізку AB. І позначимо через тау множину цих точок, що утворюють розбиття.

І назвемо це розбиття відрізку AB тау. Далі, через дельта x(i) ми позначимо довжину і-того відрізку: x(i) - x(i-1). Дельта x(i) - це довжина кожного і-того відрізку. І нарешті, через лямбда позначимо найбільшу з цих довжин, лямбда = max дельта x(i), і назвемо дрібністю розбиття тау. Лямбда залежить від тау, кожне розбиття має свою дрібність. Це довжина найбільшого з відрізків цього певного розбиття.

Другим кроком, в кожному відрізку оберемо довільну точку ксі(і), і = 1, 2, ... n. Далі я позначу літерою ксі набір цих всіх точок ксі(і), і від одиниці до n. От набір точок у мене буде одною літерою ксі. Відмітимо, що розбиття первинне, вибір точок вторинний. Спочатку нам треба зробити розбиття, а тоді вже можемо обирати точки.

Третім кроком будуємо інтегральну суму. Я її позначу сигма від тау ксі, дорівнює сума і від одиниці до n f від ксі(і) на дельта x(і). Інтегральна сума. Інтегральна сума Рімана, вона називається сумою Рімана.

Ну і нарешті, четвертим кроком перейдемо до границі, коли лямбда прямує до нуля. Написано інтегральної суми сигма тау ксі. Вона і називається визначеним інтегралом від a до b f(x) dx.

У випадку, коли ця границя не залежить ні від вибору методів розбиття, ні від вибору точок ксі(і). Якщо ми все одно будемо отримувати кожного разу один і той же вираз. Ну, здавалось би, з означенням все в порядку, але є одна дрібничка. Написана границя, вона не вписується в ті означення границі, що ми мали на сьогоднішній день. Це не є границя послідовності, ніякої послідовності тут зараз не сформульована. Це не є границя функції однієї змінної, тому що сигма не є функцією якоїсь змінної. В принципі, функціональна залежність тут є від тау ксі, але значно більш складна, ніж ті означення, які ми наводили в зв'язку з границею функції. Останнє рівність потребує уточнення, що мається на увазі під цією границею.

Отже, сформулюємо чіткіше, що ми маємо на увазі, коли пишемо границю інтегральної суми. Число І буде називатись границею інтегральної суми сигма тау ксі, коли лямбда прямує до нуля. Якщо для будь-якого скільки завгодно малого епсілон знайдеться таке дельта більше за нуль, що як тільки дрібність подрібнення менша за дельта.

То для всіх обраних точок ксі, модуль різниці І мінус сигма тау ксі буде менше за епсілон. Це те ж саме, тільки в розгорнутому вигляді. Це ми будемо і мати на увазі, коли кажемо границя інтегральної суми існує і дорівнює якомусь числу, а саме інтегралу АБ.

Далі стає питання, постає питання, а для яких функцій буде виконуватись ця умова? Тобто для яких функцій існує ця границя і не залежить ні від чого зайвого, і для чого, і для яких функцій існує, відповідно, визначений інтеграл. Функції, для яких інтеграл від a до b f(x) існує, називається інтегровною на відрізку АБ. Множина всіх інтегровних на відрізку АБ функцій будемо позначати R(a,b), множина всіх інтегровних функцій.

Літера R в позначенні пов'язана зокрема з тим, що ми розглядаємо інтеграл Рімана. Це означення за Ріманом. І функція називається інтегровною за Ріманом. До умов інтегровності функції за Ріманом ми ще повернемось, а сьогодні розберемо одну умову, необхідну умову інтегровності функції за Ріманом. Теорема. Необхідна умова інтегровності. Необхідна умова означає, що нехай функція у нас інтегровна, тобто існує інтеграл від a до b f(x) dx. Тоді f(x) обмежена на відрізку АБ. Якщо функція інтегровна на АБ, то вона обмежена на АБ.

Доведемо. Доведення від супротивного. Ми припустимо, що функція у нас необмежена на АБ. f(x) необмежена на АБ. Оберемо довільне розбиття відрізку АБ тау. І це буде означати, що функція буде необмеженою принаймні на одному з підвідрізків, які ми позначимо x(j-1), x(j). От на цьому відрізочку функція необмежена. Це один з відрізків розбиття. Тоді інтегральну суму я розпишу на дві частини. Сигма тау ксі дорівнює сума і від одиниці до n f від ксі(і) дельта x(і), крім і дорівнює j, а один доданок викинув окремий доданок. Плюс f від ксі(j) дельта x(j). Нам треба показати, що ця функція, що ця інтегральна сума може бути зроблена скільки завгодно великою. Будемо вважати, що точки ксі ми вже обрали. І таким чином ця величина є, її можна обчислити, це буде якесь число S. А точку ксі(j) ми залишили ще вільною. Нам треба показати, що інтегральна сума сигма тау ксі, яка дорівнює S плюс f від ксі(j) на дельта x(j) може бути зробленою більше будь-якого наперед заданого числа. Нехай це буде число якесь М. Довільне число я обрав велике, і я покажу, що завдяки вибору ксі(j). Я виберу якусь ксі(j) з зірочкою точку, так, що оця величина стане більше за будь-яке число М. Як це можна зробити? А дуже просто. Оскільки функція у нас необмежена, ми можемо взяти f від ксі(j) більше за М мінус S і поділено на дельта x(j). Якщо f від ксі(j) буде більше за цей вираз, відповідно, інтегральна сума у нас зразу буде більша за М. Отже, інтегральна сума необмежена, і вона не може мати скінченної границі. Інтегровна функція обов'язково обмежена. Звідси випливає наслідок, якщо функція необмежена, вона не може бути інтегровною. Не може мати скінченної границі інтегральної суми. Подальші властивості інтегралів ми розберемо в наступних зустрічах. А на сьогодні все. Я прощаюсь з вами, але ви залишаєтесь на каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки. Будемо продовжувати. Я з вами, Олексій Василенко.