Speaker A
Продовжуємо вивчення математичного аналізу. Сьогодні в нас приклади використання формули Тейлора для розкладання, розвинення функцій.
Відео розглядає приклади застосування формул Тейлора і Маклорена для розкладання функцій у степеневі ряди.
Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.
Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.
Key Takeaways
- Формула Тейлора дозволяє розкладати функції у степеневі ряди в околі будь-якої точки.
- Формула Маклорена є частковим випадком формули Тейлора при центрі розкладу в нулі.
- Похідні функцій та їх значення в точці розкладу є ключовими для знаходження коефіцієнтів ряду.
- Залишковий член формули Тейлора дає оцінку похибки наближення функції рядом.
- Розкладання функцій, таких як експонента та синус, мають характерні закономірності, що спрощують обчислення.
What the video covers
- Пояснення формули Тейлора на прикладі розкладання многочлена в околі точки X0 = -1.
- Обчислення похідних многочлена та їх значень у точці розкладання.
- Приклад розкладання натурального логарифма в околі точки X0 = 1 до четвертого степеня.
- Визначення залишкового члена формули Тейлора для оцінки похибки наближення.
- Введення формули Маклорена як часткового випадку формули Тейлора при X0 = 0.
- Розкладання експоненти за формулою Маклорена з поясненням рівності похідних.
- Розгляд розкладання функції sin(X) за формулою Маклорена з циклічним характером похідних.
- Виведення загальної формули для N-ної похідної sin(X) та її значень у нулі.
- Формулювання ряду Тейлора для sin(X) з непарними степенями та чергуванням знаків.
- Підкреслення важливості розуміння формул для подальшого вивчення математичного аналізу.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Формула Тейлора.
Speaker A
Почнемо з многочлена, нехай його треба розкласти по степенях X + 1.
Speaker A
Тобто представити у вигляді цей же самий многочлен у вигляді A0 + A1(X + 1) + A2(X + 1)² + A3(X + 1)³ і плюс.
Speaker A
І все, бо в нас третій степінь, більше нічого не буде.
Speaker A
Тобто нам треба знайти чотири коефіцієнти в такому представленні.
Speaker A
Причому ці коефіцієнти знаходяться з формули Тейлора.
Speaker A
Для використання формули Тейлора, до речі, вона буде в околі точки X0 = -1.
Speaker A
Якщо X0 = -1, X - X0 буде X + 1.
Speaker A
Саме -1.
Speaker A
Тобто формула Тейлора для X0 = -1.
Speaker A
Але похідні знаходити все одно треба.
Speaker A
Знаходимо похідні.
Speaker A
P'3(X) - це у нас буде похідна від нашого многочлена.
Speaker A
6X² - 6X + 5.
Speaker A
Друга похідна.
Speaker A
12X - 6.
Speaker A
Третя похідна.
Speaker A
Просто 12.
Speaker A
І все.
Speaker A
Бо подальші похідні нуль, і вони нас не цікавлять.
Speaker A
Нам потрібно до третьої похідної.
Speaker A
Але потрібні не самі похідні, а значення цих похідних в точці X0 = -1.
Speaker A
Підставляємо сюди значення -1.
Speaker A
Сама функція, тобто многочлен P3(-1).
Speaker A
Сюди, якщо підставити, будемо мати -2 - 3 - це -5, і тут -5, -10 + 1, -9.
Speaker A
Підставляємо в похідну -1.
Speaker A
P'3(-1).
Speaker A
Це у нас буде 6 + 6 і + 5.
Speaker A
Це у нас аж 17.
Speaker A
Друга похідна -1.
Speaker A
Тут буде -12 - 1.
Speaker A
Друга похідна у нас буде дорівнювати -18.
Speaker A
І третя похідна все одно 12.
Speaker A
В якій точці не бери, все одно буде 12, бо це константа.
Speaker A
От, ми знайшли всі похідні, їх значення в точці X0, можемо підставляти в формулу.
Speaker A
Ми маємо P3(X) буде дорівнювати.
Speaker A
Це у нас -9.
Speaker A
Похідна перша 17, ну, буде просто 17(X + 1).
Speaker A
X + 1.
Speaker A
Друга похідна -18.
Speaker A
Але поділене на 2, 2! - двієчка.
Speaker A
-18 / 2 - це буде -9(X + 1)².
Speaker A
Ну і нарешті, остання третя похідна.
Speaker A
12, але поділити треба на 3!.
Speaker A
3! - це 6.
Speaker A
12 / 6 буде 2.
Speaker A
+2(X + 1)³.
Speaker A
Ну, я відповідь написав трошки не так, більш, як то, звичніше, коли у нас старший степінь спереду.
Speaker A
Те ж саме, просто їх поміняти місцями: 2(X + 1)³ - 9(X + 1)² + 17(X + 1) - 9.
Speaker A
От ми представили наш многочлен, який був нам даний, розклали його по степенях X + 1.
Speaker A
По степенях X + 1.
Speaker A
Нехай тепер треба розкласти логарифм натуральний X в околі точки X0 = 1.
Speaker A
Отримавши до четвертого степеня.
Speaker A
Тобто, коли N = 4.
Speaker A
Для цього нам знадобиться знайти відповідні похідні.
Speaker A
З чого і починаємо.
Speaker A
F'(X) буде 1/X.
Speaker A
Друга похідна.
Speaker A
Будемо мати похідна від 1/X - це буде -1/X².
Speaker A
Третя похідна.
Speaker A
Третя похідна дає -2 степінь.
Speaker A
-2 на -1 дасть двійку, і -2 - 1 - це буде -3, X в -3 степені, тобто в кубі X.
Speaker A
F четверта похідна.
Speaker A
Похідна від третьої, тут X в -3 степені.
Speaker A
Тепер -3 на 2 дає мені -6, поділене тепер уже на X в четвертому степені.
Speaker A
Степені ще віднімається 1, від'ємна рухається.
Speaker A
Ну і все.
Speaker A
Нам чотири похідних треба.
Speaker A
Знаходимо значення цих похідних в околі, в зна- в точці одиниця.
Speaker A
F від одиниці, сама функція, дорівнює нулю.
Speaker A
Логарифм одиниці - нуль.
Speaker A
F' від одиниці, похідна від одиниці, буде дорівнювати одиниці.
Speaker A
Друга похідна.
Speaker A
Дасть нам -1.
Speaker A
Третя похідна.
Speaker A
Дає двійку.
Speaker A
І четверта похідна.
Speaker A
-6.
Speaker A
Підставляємо в формулу Тейлора.
Speaker A
Маємо логарифм X дорівнює.
Speaker A
Це у нас нуль.
Speaker A
Перша похідна дає одиницю, на 1! буде просто (X - 1).
Speaker A
X0 - одиниця.
Speaker A
Ну, я дужку поставлю.
Speaker A
Далі.
Speaker A
Друга похідна -1, -2!.
Speaker A
-1/2(X - 1)².
Speaker A
Третя похідна дає двійку.
Speaker A
Двійка, але поділити треба на 3! - це 6.
Speaker A
2 / 3 буде 1/3, і вона йде з плюсом.
Speaker A
+1/3(X - 1)³.
Speaker A
Четверта похідна -6.
Speaker A
Підставляємо, тут от стоїть четверта похідна, поділимо на 4!.
Speaker A
4! - це у нас 24.
Speaker A
-1/4(X - 1) в четвертому степені.
Speaker A
Але рівність я ставити не можу.
Speaker A
Тому що тут іще є хвіст.
Speaker A
Похибка.
Speaker A
Яку можна оформити залишковим членом R4(X).
Speaker A
Тепер рівність вірна.
Speaker A
Без залишкового члена це можна писати тільки наближено.
Speaker A
Наближено дорівнює цьому виразу.
Speaker A
У випадку, коли X0 = 0, формула Тейлора називається формулою Маклорена.
Speaker A
Це та ж сама формула, тільки X0 = 0.
Speaker A
І вона трошки простіше виглядає.
Speaker A
Розглянемо розведення деяких функцій за формулою Маклорена.
Speaker A
Експонента.
Speaker A
І легко розкладати, тому що всі похідні співпадають з E^X.
Speaker A
І так далі, скільки не бери, все одно і N-на похідна буде дорівнювати E^X.
Speaker A
І в нулі вони теж всі будуть однакові.
Speaker A
F(i) похідна в нулі буде дорівнювати одиниці.
Speaker A
Залишилось підставити ці одиниці в нашу формулу.
Speaker A
Отримаємо формулу Маклорена для E^X.
Speaker A
E^X буде дорівнювати.
Speaker A
Одиниця плюс.
Speaker A
Тут одиничка буде X.
Speaker A
Плюс одиничка на 2! X² / 2!.
Speaker A
Плюс X³ / 3! плюс і так далі, плюс X^N / N!.
Speaker A
Ну і плюс R_N(X).
Speaker A
Дуже проста формула, за якою можна обчислити значення E^X в будь-якій точці X, ну, з певною похибкою.
Speaker A
Але чим більше ми будемо брати доданків, тим точніше буде наше наближення.
Speaker A
Це зрозуміло.
Speaker A
Більш тонко ми до цього питання підійдемо в наступних наших розділах математичного аналізу.
Speaker A
А на сьогодні варто запам'ятати цю формулу, як розкладення E^X.
Speaker A
Розглянемо ще розкладення функції sin(X) за формулою Маклорена.
Speaker A
Знаходимо похідні.
Speaker A
F'(X) - це у нас буде cos(X).
Speaker A
Друга похідна.
Speaker A
Дає нам похідна від косинуса -sin(X).
Speaker A
Третя похідна.
Speaker A
Похідна від синуса дає нам -cos(X).
Speaker A
І далі четверта похідна.
Speaker A
Знову повертає нас до синуса.
Speaker A
Зрозуміло, далі процес буде продовжуватись так циклічно через чотири.
Speaker A
Відповідні значення похідних в нулі.
Speaker A
F від нуля - це нуль.
Speaker A
F' від нуля.
Speaker A
Це одиниця.
Speaker A
F'' від нуля.
Speaker A
Знову нуль.
Speaker A
А третя похідна дає -1.
Speaker A
Четверта похідна.
Speaker A
Нуль.
Speaker A
Ну і так далі.
Speaker A
А як буде з N-ною похідною?
Speaker A
Подивимось, що буде з N-ною.
Speaker A
Ми виводили значення N-ної похідної sin(X).
Speaker A
І можна згадати, що це дорівнює sin(X + πN/2).
Speaker A
N-на похідна sin(X).
Speaker A
А чому буде дорівнювати значення N-ної похідної в нулі?
Speaker A
Ну от, по черзі це буде чи нуль, чи 1, чи -1.
Speaker A
Я напишу формулу.
Speaker A
F N-на похідна в нулі буде дорівнювати, ну, по-перше, нулю, якщо у нас N парне.
Speaker A
І повірте мені, це буде (-1)^K, якщо N = 2K + 1.
Speaker A
Неважко перевірити.
Speaker A
Якщо K = 0, N - одиничка.
Speaker A
Будемо мати одиницю.
Speaker A
Якщо K = 1, тут буде мінус.
Speaker A
K = 1 дасть нам третю похідну.
Speaker A
N = 3.
Speaker A
-1.
Speaker A
Ну і так далі.
Speaker A
Будуть чергуватись по чи через одну + -1 по непарних значеннях степеня N.
Speaker A
Тоді формула Тейлора буде містити тільки непарні степені.
Speaker A
Подивимось, як вона буде виглядати.
Speaker A
F(X) буде дорівнювати.
Speaker A
Починається з першого степеня.
Speaker A
Перший степінь.
Speaker A
І ми маємо одиницю.
Speaker A
Це буде просто X.
Speaker A
Далі третій степінь.
Speaker A
Тут буде мінус, вони чергуються + -.
Speaker A
Мінус, але поділити треба буде X³ / 3!.
Speaker A
X³ / 3!.
Speaker A
Точно так буде X в п'ятому степені на 5!.
Speaker A
Плюс і так далі, плюс.
Speaker A
Загальний член.
Speaker A
По-перше, він буде непарним.
Speaker A
От він, нехай містить, от, це буде (-1)^K, далі відповідний факторіал буде відповідати N.
Speaker A
(2K + 1)! і помножене на степінь, відповідаючи цьому N.
Speaker A
X в степені 2K + 1.
Speaker A
Отак.
Speaker A
Це N-ний.
Speaker A
Член формули Тейлора.
Speaker A
І плюс R(2K + 1)(X).
Speaker A
Залишковий член.
Speaker A
Можна писати R_N, але N у нас тут 2K + 1, може так і буде.
Speaker A
Формула наближення синуса.
Speaker A
Це у нас синус, можна написати, щоб запам'ятати цю формулу.
Speaker A
Sin(X).
Speaker A
Представлення за формулою Маклорена.
Speaker A
На сьогодні достатньо.
Speaker A
Залишайтесь на нашому каналі.
Speaker A
Далі буде.
Speaker A
Я з вами, Олексій Василенко.
Speaker A
До побачення.
Topics:формула Тейлораформула Маклоренаматематичний аналізрозкладання функційпохіднінатуральний логарифмекспонентасинусряд Тейлорапохибка наближення
