Speaker A
Вітаю вас, шановні студенти. Я Олексій Василенко.
Відео пояснює поняття визначеного інтегралу через обчислення площі криволінійної трапеції з використанням інтегральних сум.
Key Takeaways
- Визначений інтеграл є точним значенням площі криволінійної трапеції при нескінченному поділі відрізка.
- Невизначений інтеграл — це антипохідна і відноситься до диференціального числення, а визначений інтеграл — нове поняття.
- Інтегральна сума є наближенням площі через суму площ прямокутників, висота яких визначається значенням функції у вибраних точках.
- Дрібність розбиття λ контролює точність наближення: чим менше λ, тим точніше інтегральна сума наближає площу.
- Якщо границя інтегральної суми не залежить від вибору розбиття і точок, функція інтегрована на відрізку.
Summary
- Олексій Василенко вводить поняття визначеного інтегралу як нового математичного об'єкта.
- Пояснюється різниця між невизначеним інтегралом (антипохідною) та визначеним інтегралом.
- Розглядається задача обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, двома вертикальними лініями та віссю x.
- Фігуру розбивають на n тонких смужок для апроксимації площі через суму площ прямокутників.
- Вводиться позначення розбиття відрізка AB точками X0, X1, ..., Xn та довжини дельта Xi кожного відрізка.
- Для кожного відрізка вибирається довільна точка xi*, у якій береться значення функції для висоти прямокутника.
- Площа криволінійної трапеції наближено дорівнює сумі площ цих прямокутників, що є інтегральною сумою.
- Визначається дрібність розбиття λ як максимальна довжина дельта Xi і пояснюється, що при λ → 0 наближення стає точним.
- Пояснюється, що границя інтегральної суми, якщо вона не залежить від розбиття і вибору точок, і є визначеним інтегралом.
- Автор анонсує подальше вивчення строгих означень, властивостей та застосувань визначеного інтегралу у наступних відео.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Математичний аналіз, інтегральне числення, сьогодні поняття визначеного інтегралу.
Speaker A
Невизначений інтеграл вважаємо уже залишився в минулому.
Speaker A
Переходимо до визначеного.
Speaker A
Мета сьогоднішньої зустрічі не формулювати строгі поняття, властивості, використання, це в наступних зустрічах.
Speaker A
Сьогодні тільки поняття суті, що таке визначений інтеграл, як новий математичний об'єкт.
Speaker A
Відмітимо, що невизначений інтеграл за своєю суттю не зовсім інтеграл.
Speaker A
Він більше відноситься, тяжіє до диференційного числення.
Speaker A
Він обернення похідної, навіть є термін.
Speaker A
Антипохідна, от що таке невизначений інтеграл.
Speaker A
Визначений же інтеграл суттєво нове математичне поняття.
Speaker A
Яке нам і доведеться сьогодні розібрати.
Speaker A
Ми розберемо його на прикладі обчислення площі криволінійної трапеції.
Speaker A
Отже, криволінійна трапеція.
Speaker A
Фігура, площу якої ми збираємось знайти.
Speaker A
Ця фігура обмежена графіком функції y = f(x) зверху.
Speaker A
Дві вертикальні прямі і вісь іксів.
Speaker A
Якби функція була сталою, то криволінійна трапеція перетворилась би на прямокутник.
Speaker A
І ми б легко знайшли площу, помноживши висоту.
Speaker A
Значення функції сталої на довжину AB.
Speaker A
Але у нас крива зверху.
Speaker A
Криволінійна трапеція.
Speaker A
Ми спробуємо звести обчислення криволінійної трапеції до площі.
Speaker A
До формули площі прямокутників.
Speaker A
Для цього ми розріжемо нашу фігуру на тоненькі смужки.
Speaker A
При цьому ми отримуємо розбиття відрізку AB якимись точками.
Speaker A
X1, X2, так далі, тут десь X і -1, X і, так далі, Xn -1.
Speaker A
У нас утворилось n смужок.
Speaker A
Ми зробили n смужок.
Speaker A
І тоді площа криволінійної трапеції шукана буде дорівнювати площі оцих смужок.
Speaker A
Кожна з них, оця площа має S і.
Speaker A
S1, S2 і так далі.
Speaker A
І та смужка має площу S і.
Speaker A
S = S1 + S2 + ... + S і + ... + Sn.
Speaker A
Або в згорнутому вигляді S дорівнює сумі і від одиниці до n S і.
Speaker A
Сумі площ оцих смужок.
Speaker A
Я вже казав, що ми отримали розбиття відрізку AB точками X і.
Speaker A
Запишемо це так: a = X0 < X1 < X2 < ... < X і -1 < X і < ... < Xn = b.
Speaker A
У нас при цьому створилось n відрізків.
Speaker A
Відрізки X і -1, X і.
Speaker A
Отакі.
Speaker A
Їх n штук.
Speaker A
І 1, 2 і так далі n.
Speaker A
n відрізків на вісі іксів.
Speaker A
Позначимо через дельта X і довжину і того відрізку.
Speaker A
X і - X і -1.
Speaker A
Це у нас буде дельта X і.
Speaker A
От довжина.
Speaker A
Це у нас дельта X і.
Speaker A
От довжина.
Speaker A
Це довжина відрізочка, який на вісі іксів.
Speaker A
І тепер розглянемо окремо оцю одну і ту смужечку.
Speaker A
Ну я її намалюю тут трошки в збільшеному вигляді.
Speaker A
Щоб було зручніше.
Speaker A
От є якась вона і та смужка.
Speaker A
Це у нас X і -1, X і.
Speaker A
І тут зверху якась наша крива.
Speaker A
От це площа її S і.
Speaker A
Це її площа.
Speaker A
А довжина тут у нас дельта X і.
Speaker A
Це довжина відрізочка, який на вісі іксів.
Speaker A
Ми виберемо довільну точку.
Speaker A
На цьому відрізку, позначу її ксі і.
Speaker A
X і -1, X і.
Speaker A
На цьому відрізку я обрав довільну точку.
Speaker A
І так я зроблю в кожному відрізку.
Speaker A
Повибираю точки в кожному.
Speaker A
І при цьому зроблю таку хитрість: я заміню нашу криволінійну, маленьку криволінійну трапецію.
Speaker A
Нашу смужечку прямокутником.
Speaker A
З висотою, яка дорівнює f від ксі і.
Speaker A
Це висота нашого прямокутника.
Speaker A
Значення функції в цій точці.
Speaker A
Тоді площа S і, площа нашого маленького криволінійного.
Speaker A
Нашої криволінійної трапеції, нашої смужки і тої.
Speaker A
Буде наближено дорівнювати площі цього прямокутника.
Speaker A
А площа прямокутника f від ксі і на дельта X і.
Speaker A
І це ми зробимо з кожним відрізочком.
Speaker A
Ми отримаємо таку ступеневу фігуру.
Speaker A
Замість криволінійної трапеції.
Speaker A
У нас буде така ступенева фігура.
Speaker A
З прямокутничків складатись.
Speaker A
Отже, ми маємо наближено формулу обчислення площі і тої смужки.
Speaker A
Тоді площа всієї криволінійної трапеції S.
Speaker A
Буде наближено дорівнювати сумі всіх таких площ.
Speaker A
Сумі і від одиниці до n f від ксі і на дельта X і.
Speaker A
Ми отримали наближене значення площі нашої криволінійної трапеції.
Speaker A
Наближене.
Speaker A
А чому наближене?
Speaker A
А тому, що замість кривої ми тут брали пряму.
Speaker A
Але якщо ми будемо зменшувати довжину дельта X і.
Speaker A
У нас різниця буде зменшуватись.
Speaker A
Між прямокутником і криволінійною трапецією.
Speaker A
Між площинами прямокутника, криволінійної трапеції.
Speaker A
Щоб здійснити цей процес, я позначу через лямбда.
Speaker A
Максимальність довжин дельта X і.
Speaker A
Лямбда називається дрібністю розбиття.
Speaker A
І характеризує, наскільки дрібні у нас ці відрізочки.
Speaker A
Якщо я лямбда спрямую до нуля.
Speaker A
То це буде означати, що найбільші прямують до нуля, значить і інші менші теж будуть прямувати до нуля їх довжини.
Speaker A
Тобто всі відрізочки будуть стягуватись в точку кожний.
Speaker A
Їх кількість при цьому буде необмежено зростати.
Speaker A
Але кожен з них буде стягуватись в точку.
Speaker A
І в кінці кінців стягнеться в одну таку полоску із зверху.
Speaker A
Вже не буде мати значення, там криве чи рівне.
Speaker A
В одній точці не відрізняється криве від прямого.
Speaker A
Тому, якщо ми перейдемо до границі, коли лямбда прямує до нуля.
Speaker A
Ми отримаємо точне значення площі.
Speaker A
Це вже буде точне значення площі.
Speaker A
У нас зникне причина, яка породжувала оцей знак наближено.
Speaker A
І у нас залишиться точне значення.
Speaker A
Саме це точне значення і називається визначеним інтегралом.
Speaker A
Функції f(x) на відрізку AB.
Speaker A
Замітимо, правда, що все це має сенс.
Speaker A
Коли результат не залежить від того, як ми розбивали на шматочки і які точки вибирали.
Speaker A
Де у нас точка ксі і там розташована.
Speaker A
Тому кажуть, що якщо оця границя інтегральної суми не залежить.
Speaker A
Від методів розбиття відрізку AB.
Speaker A
І від вибору точок ксі і.
Speaker A
То ця границя називається визначеним інтегралом.
Speaker A
А функція називається інтегрованою на відрізку AB.
Speaker A
На цьому поняття інтеграла, первісне таке означення інтеграла.
Speaker A
Ми будемо вважати сформована.
Speaker A
І тема сьогоднішня вичерпана.
Speaker A
Строгі означення, властивості, використання ми розберемо в наступних наших зустрічах.
Speaker A
А сьогодні я з вами прощаюсь, але ви залишайтесь на каналі.
Speaker A
Підписуйтесь.
Speaker A
Ставте лайки.
Speaker A
Будемо продовжувати.
Speaker A
Я з вами.
Speaker A
Олексій Василенко.
Topics:визначений інтегралінтегральне численнякриволінійна трапеціяплоща фігуриінтегральна сумаматематичний аналізфункціярозбиття відрізкадрібність розбиттяантипохідна
