Speaker A
Олексій Василенко.
Доведення правила Лопіталя для розв’язання невизначеностей 0/0 та ∞/∞ у математичному аналізі.
Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.
Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.
Key Takeaways
- Правило Лопіталя дозволяє знайти границі відношень функцій у випадках невизначеностей 0/0 та ∞/∞.
- Доведення базується на теоремі Коші та диференційовності функцій у околі точки А.
- Показникові функції зростають швидше за степеневі при x прямує до нескінченності.
- Правило Лопіталя спрощує обчислення границь і є важливим інструментом математичного аналізу.
- Для застосування правила необхідно, щоб похідна знаменника не дорівнювала нулю в околі точки.
What the video covers
- Огляд теореми правила Лопіталя та її умов: диференційовність функцій f(x) і g(x) в околі точки А, границі яких дорівнюють нулю.
- Доведення правила Лопіталя за допомогою теореми Коші, що пов’язує границю відношення функцій з границею відношення їх похідних.
- Розгляд випадку, коли x прямує до точки А з правого боку (x > А) та аналогічне доведення для x < А.
- Пояснення, що правило Лопіталя застосовується для невизначеності типу 0/0, а також для ∞/∞ з відповідними змінами у формулюванні.
- Приклад знаходження границі sin(x)/x при x прямує до 0 з використанням правила Лопіталя.
- Приклад знаходження границі відношення степеневої функції до показникової при x прямує до нескінченності, демонструючи, що показникова функція зростає швидше.
- Пояснення, що після кількох диференціювань невизначеність зникає, і границя дорівнює нулю.
- Висновок, що правило Лопіталя допомагає спростити доведення границь, а також показує перевагу показникової функції над степеневою.
- Заклик до підписки на канал для подальшого вивчення прикладів застосування правила Лопіталя.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, сьогодні розглянемо доведення теореми, яка носить назву правило Лопіталя.
Speaker A
Правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеності, для розв'язання конкретних задач, але самі приклади на розв'язання задач ми розглянемо пізніше, сьогодні тільки доведення теореми, теоретичне підґрунтя.
Speaker A
Отже, теорема.
Speaker A
Нехай перше: функції f(x) і g(x) визначені і диференційовні в околі точки А за виключенням, можливо, самої точки А.
Speaker A
По-друге: границя x прямує до А f(x) дорівнює границі x прямує до А g(x) і дорівнює нулю.
Speaker A
По-третє: g'(x) не дорівнює нулю в околі точки А, там, де ми розглядаємо наші функції.
Speaker A
Якщо існує границя, коли x прямує до А відношення похідних, тоді існує і границя відношення самих функцій, причому ці дві границі дорівнюють між собою.
Speaker A
Доведемо.
Speaker A
Ми казали про те, що функції можуть бути невизначеними в точці А, нам тільки треба, щоб границі були визначені цих функцій в точці А і дорівнювали нулю.
Speaker A
Якщо невизначене, то довизначимо функції нулем в точці А, тобто покладемо f(А) = g(А) = 0.
Speaker A
Це довизначення за неперервністю, і тому тепер функції стали неперервними і, відповідно, диференційовними в околі точки А.
Speaker A
Розглянемо випадок, нехай x > А, тобто я оберу якийсь x. Мені треба довести, що границя відношення функцій дорівнює границі відношення похідних.
Speaker A
Ну, розгляну границя x прямує до А f(x) / g(x), оцю границю відношення. Користуючись тим, що f(А) і g(А) дорівнює нулю, я можу приписати сюди в чисельник f(x) - f(А), g(x) - g(А). Рівність не порушилась.
Speaker A
І, користуючись тим, що функції диференційовні за першою умовою, і g'(x) не дорівнює нулю в околі точки А, я використаю теорему Коші. За теоремою Коші існує точка С з інтервалу (А, x) така, що це відношення буде дорівнювати f'(С) / g'(С).
Speaker A
Це теорема Коші. Відношення приростів дорівнює відношенню похідних в деякій точці всередині інтервалу АВ, в точці С. А де у нас точка С? У нас точка С буде тут між А і x. А x прямує до А. Куди буде прямувати С? Зрозуміло, С більше нема куди діватися, і я можу написати, що це буде границя С прямує до А f'(С) / g'(С). А тут не в літері справа. Хоч літерою Z познач. Все одно, якщо ця величина прямує до А, границя відношення цих функцій буде те ж саме, що і можна переписати, як границя x прямує до А f'(x) / g'(x).
Speaker A
Ми довели теорему для випадку, коли x > А. Ну, зрозуміло, те ж саме можна повторити, якщо x < А, просто це буде, ну, в інший бік все буде. Теорема в цьому вигляді доведена.
Speaker A
Ми користувались умовою тим, що у нас границя f(x) і g(x) в точці А дорівнює нулю. Таким чином, відношення f(x) / g(x) є відношення невизначеності 0/0. Тільки 0/0.
Speaker A
Але аналогічна теорема зберігає ту ж саму формулював той же самий висновок, коли у нас невизначеність нескінченність на нескінченність. Ну, як можна переформулювати було б? Все дуже просто, ми просто поміняємо тут на нескінченність. І тоді формулювання залишається таким же, але доведення там інше, я повторювати доведення для нескінченності не буду.
Speaker A
Розглянемо деякі приклади.
Speaker A
Нехай треба знайти границю, коли x прямує до нуля sin(x) / x. Перша важлива границя, ми її проходили. Всі з нею добре знайомі. Доведемо її.
Speaker A
Використовуючи правило Лопіталя, тому що тут у нас невизначеність 0/0, ми знаходимо похідну окремо чисельника і знаменника. Похідна в чисельнику дасть нам cos(x), похідна знаменника - це просто одиниця. Отже, маємо одиницю, ну, про яку ми й так знали, але метод доведення значно простіше, ніж це буває елементарними методами можна довести це саме співвідношення.
Speaker A
І ще приклад. Розглянемо границю, коли x прямує до нескінченності. Я відмічу, що число А умовно названо числом А, тому що, якщо замінити А на нескінченність, зміст твердження зберігається. А не обов'язково повинно бути скінченним числом.
Speaker A
Користуємось тим, що x прямує до нескінченності і розглянемо відношення x^n / e^x. Отакий дріб. В даному випадку у нас нескінченність на нескінченність. Відношення степеневої функції до показникової.
Speaker A
Нескінченність на нескінченність дозволяє нам використати правило Лопіталя, диференціюємо. Маємо границя x прямує до нескінченності n*x^(n-1), а знаменник не змінюється, бо похідна від e^x є e^x. Підставляємо замість x нескінченність на нескінченність. Невизначеність збереглась. Що робити? Знову використовуємо правило Лопіталя.
Speaker A
Диференціюємо чисельник і знаменник. Границя x прямує до нескінченності. Ну, тут вийде тепер степінь n-2. І знову буде невизначеність нескінченність на нескінченність. Ми знову будемо диференціювати. Навіщо? А тому що на n-ному кроці, саме на n-ному кроці, ми отримаємо в чисельнику n!, а в знаменнику збережеться n-1. n разів ми продиференціювали, n кроків зробили. Тепер вже, коли x прямує до нескінченності, у нас знаменник прямує до нескінченності, а чисельник прямує до нуля. Чисельник залишається константою. Отже, коли x прямує до нескінченності, цей вираз буде нулем.
Speaker A
Хочу звернути увагу, в принципі, тут був би той же, та сама відповідь була, але далі диференціювати не можна. До цього відношення правило Лопіталя уже не не підходить, тому що у нас границі не є ні нуль, ні нескінченність, у нас зникла невизначеність.
Speaker A
Хочеться відмітити, що ця границя показує, що знаменник у нас прямує до нескінченності швидше, потужніше, ніж чисельник. Він в кінці кінців задавив наш степене, нашу степінь. Показникова функція потужніша за степеневу, прямує до нескінченності швидше. Це висновок з отриманої границі.
Speaker A
На цьому можна питання доведення правила Лопіталя завершити. На наступній зустрічі ми розглянемо приклади використання. Залишайтесь на каналі, підписуйтесь. Я з вами, буду допомагати. Олексій Василенко.
Topics:правило Лопіталяматематичний аналізграниця функціїневизначеність 0/0невизначеність нескінченністьдиференціюваннятеорема Кошіпохідніпоказникова функціястепенева функція
