Speaker A
Продовжуємо поглиблюватись в математичний аналіз.
Відео пояснює виведення формул таблиці похідних, включно з логарифмічними, степеневими та тригонометричними функціями.
Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.
Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.
Key Takeaways
- Знання таблиці похідних важливе для математичного аналізу.
- Похідні логарифмічних і показникових функцій виводяться через границі та властивості логарифмів.
- Похідна степеневої функції застосовується для будь-яких дійсних степенів.
- Тригонометричні похідні виводяться через границі та формули зведення.
- Похідні обернених тригонометричних функцій базуються на властивостях обернених функцій.
What the video covers
- Виведення формули похідної натурального логарифма та логарифма з будь-якою основою.
- Обґрунтування похідної показникової функції a^x, зокрема e^x.
- Похідна степеневої функції x^α для будь-якого дійсного α.
- Пояснення похідних для окремих випадків, таких як похідна x, x^-1, корінь з x.
- Виведення похідної синуса через тригонометричні формули та границі.
- Похідна косинуса через формулу зведення та похідну синуса.
- Обчислення похідної котангенса через похідну частки та тригонометричні тотожності.
- Згадка про похідну тангенса та рекомендація вивести її самостійно.
- Початок розгляду похідних обернених тригонометричних функцій arcsin та arccos.
- Пояснення області визначення та множини значень для arcsin.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Сьогодні у нас таблиця похідних.
Speaker A
Більшості з вас вона добре знайома, мета сьогоднішнього заняття протягом наступних 15 хвилин вивести всі формули таблиці похідних.
Speaker A
Це, до речі, допомагає запам'ятати саму таблицю похідних, бо знати її на пам'ять дуже важливо.
Speaker A
Перший рядок в таблиці похідних, похідна сталої дорівнює нулю, ми пропускаємо, минулого разу ми про це говорили.
Speaker A
А почнемо з середини, з натурального логарифма, нехай маємо натуральний логарифм x.
Speaker A
Функція, яка задана на додатній частині числової вісі.
Speaker A
І для знаходження похідної дамо в довільній точці x приріст дельта x.
Speaker A
Отримаємо відповідний приріст функції дельта y.
Speaker A
Дельта y для логарифма - це в нас буде x, логарифм x + дельта x - логарифм x.
Speaker A
Точка, в якій ми беремо похідну.
Speaker A
Це є, користуючись властивостями логарифма, це в нас буде логарифм частки.
Speaker A
Тобто x + дельта x / x.
Speaker A
Дорівнює.
Speaker A
Поділю почленно, маю логарифм 1 + дельта x / x.
Speaker A
Це мій приріст функції.
Speaker A
Тоді похідна y' буде дорівнювати границі, коли дельта x прямує до нуля, дельта y / дельта x.
Speaker A
Підставляю дельта y, отримуємо.
Speaker A
Границя дельта x прямує до нуля, логарифм 1 + дельта x / x / дельта x.
Speaker A
Це схоже на другу, на наслідок з другої важливої границі.
Speaker A
Але нам треба, щоб аргумент логарифма співпадав зі знаменником.
Speaker A
Недостає x, я його допишу.
Speaker A
Раз він нам потрібен.
Speaker A
Тепер ми маємо той же самий вираз, що після одинички.
Speaker A
І це в нас перетворюється в наслідок з другої важливої границі.
Speaker A
Це прямує до одинички.
Speaker A
Таким чином, а x - величина стала відносно границі.
Speaker A
І маємо, що це буде просто 1 / x.
Speaker A
Ну і отримали відому формулу: логарифм x дорівнює 1 / x.
Speaker A
Якщо ми маємо логарифм не натуральний, а логарифм за основою a x.
Speaker A
То, користуючись відомими формулами, пов'язаними з логарифмом.
Speaker A
Його можна записати, помінявши основу, перейдемо до основи натурального логарифма.
Speaker A
І тоді похідна від логарифма логарифм за основою a x похідна.
Speaker A
Ну, буде тим, що в нас стоїть в таблиці похідних: x - це похідна від логарифма.
Speaker A
І логарифм a зберігається в знаменнику.
Speaker A
Ми вивели формулу для логарифма з будь-яким, будь-якою основою.
Speaker A
Рухаємось далі по таблиці похідних, трошки вище.
Speaker A
Ми маємо формулу a в степені x.
Speaker A
y = a в степені x.
Speaker A
Знайдемо похідну від показникової функції.
Speaker A
Ну, a в степені x - це функція обернена до логарифма.
Speaker A
x = логарифм за основою a y.
Speaker A
Я піду цим шляхом.
Speaker A
За формулою похідної оберненої функції будемо мати y' = 1 / x'.
Speaker A
А x', а ми похідну логарифма тільки що вивели.
Speaker A
Маємо 1 / 1 / y логарифм натуральний a.
Speaker A
Ну, знаменник знаменника переносимо в чисельник.
Speaker A
Маємо y логарифм натуральний a.
Speaker A
Згадуємо, що y - це є a в степені x.
Speaker A
І отримаємо формулу, яка стоїть в таблиці похідних.
Speaker A
y' = a в степені x логарифм натуральний a.
Speaker A
Зокрема, коли a буде числом e, основою натурального логарифма.
Speaker A
Оскільки логарифм числа e дорівнює одиниці.
Speaker A
Формула спрощується: похідна від e в степені x дорівнює e в степені x.
Speaker A
Продовжуємо рухатись вверх по таблиці.
Speaker A
І розглядаємо похідну степеневої функції.
Speaker A
Я буду писати похідну степеневої функції, степеневу функцію у вигляді y = x в степені альфа.
Speaker A
А не традиційне n.
Speaker A
Підкреслюючи цим, що альфа не тільки ціле число.
Speaker A
А це будь-яке число, будь-яке дійсне число.
Speaker A
В цьому випадку все одно формула буде працювати точно так.
Speaker A
Ну, подивимося.
Speaker A
Я запишу у вигляді функцію y e в степені логарифм натуральний x в степені альфа.
Speaker A
Я користуючись тим, що експонента і натуральний логарифм, вони взаємно обернені функції.
Speaker A
І тому все зникає, залишається x в степені альфа.
Speaker A
А тепер скористаюсь тим, що у логарифма альфа можна винести у вигляді коефіцієнта.
Speaker A
Маємо складену функцію.
Speaker A
y = e в степені u, а u - це в нас альфа логарифм x.
Speaker A
Тоді похідна від цієї функції буде дорівнювати e в степені u.
Speaker A
Ну, u в нас я поставлю альфа логарифм x.
Speaker A
І помножити на похідну від u, похідну від альфа логарифм x похідна.
Speaker A
Альфа - константа, яку можна винести далеко.
Speaker A
e в степені альфа я запишу, як воно було: e в степені логарифм x в степені альфа.
Speaker A
А похідна від логарифма 1 / x.
Speaker A
Дорівнює.
Speaker A
Альфа e в степені логарифм x в степені альфа - це просто x в степені альфа.
Speaker A
Помножити на 1 / x.
Speaker A
От звідки береться -1 у показнику.
Speaker A
Виявляється, ми просто повинні скоротити x в степені альфа в чисельнику і знаменником.
Speaker A
Отримаємо x в степені альфа - 1.
Speaker A
Часткові випадки, які наведені.
Speaker A
Дуже часто зустрічаються, їх треба варто пам'ятати.
Speaker A
Що похідна від x - це коли альфа дорівнює 1.
Speaker A
Ми будемо мати просто одиничку.
Speaker A
В цьому випадку 1 / x можна записати як x в степені -1.
Speaker A
В -1 степені, і тоді за формулою похідної, яку ми маємо.
Speaker A
Ми будемо мати -1 / x в -2 степені - це є x².
Speaker A
Ну і нарешті, останній, досить часто зустрічається корінь з x.
Speaker A
Ми можемо його записати як x в степені 1/2.
Speaker A
Тобто показник не обов'язково цілий.
Speaker A
І за цією ж самою формулою ми теж будемо мати 1/2 x в степені -1/2.
Speaker A
Ну, це і є формула для похідної від кореня з x.
Speaker A
Переходимо до тригонометричних формул.
Speaker A
Спочатку синус з косинусом.
Speaker A
Починаємо з синуса.
Speaker A
y = sin x.
Speaker A
Знову дамо приріст дельта x аргументу x.
Speaker A
І отримаємо дельта y як різницю sin x + дельта x - sin x.
Speaker A
За формулою з тригонометрії різниця синусів є 2 sin напіврізниці.
Speaker A
sin напіврізниця - це буде просто дельта x / 2.
Speaker A
І на косинус напівсуми.
Speaker A
Сума - це 2x + дельта x, якщо на 2 поділити, залишиться x + дельта x / 2.
Speaker A
Це наш дельта y.
Speaker A
Тепер можемо отримати похідну y' - це у нас границя дельта x прямує до нуля дельта y дельта x.
Speaker A
Дорівнює.
Speaker A
Границя, ну, двійку я поставлю так, sin дельта x / 2 / дельта x.
Speaker A
Нам треба ділити на дельта x.
Speaker A
Три множники у нас.
Speaker A
Я поділю середній.
Speaker A
sin дельта x / 2 / дельта x, ну і додасться ще тут cos x + дельта x / 2.
Speaker A
Я буду говорити зараз про першу важливу границю.
Speaker A
Для того, щоб її використати, треба, щоб аргумент синуса стояв у знаменнику.
Speaker A
А у нас двійка є, ми її можемо спокійно перенести в знаменник знаменника.
Speaker A
І тоді все буде нормально.
Speaker A
І тут не буде.
Speaker A
А буде дельта x / 2.
Speaker A
І маємо в знаменнику якраз аргумент синуса.
Speaker A
І це дасть одиницю.
Speaker A
Прямує до одиниці за першою важливою границею.
Speaker A
І тоді, якщо розписати границю, коли дельта x прямує до нуля на дві границі.
Speaker A
Ми будемо мати: перша дасть одиницю, а друга залишиться.
Speaker A
Границя дельта x прямує до нуля cos x + дельта x / 2.
Speaker A
А що з цим робити?
Speaker A
Та нормально все, косинус функція неперервна.
Speaker A
Ми можемо границю внести в аргумент, дельта x прямує до нуля, перетворить на нуль другий доданок аргумента.
Speaker A
І залишиться в чистому вигляді cos x.
Speaker A
Похідна від синуса є косинус.
Speaker A
А похідна від косинуса?
Speaker A
Ми будемо йти більш простим шляхом.
Speaker A
Ми згадаємо формулу зведення.
Speaker A
cos x = sin π / 2 - x.
Speaker A
За формулою зведення.
Speaker A
Тоді похідна від косинуса cos x похідна в нас буде складена функція.
Speaker A
Похідна від синуса - це у нас косинус цього ж аргументу π / 2 - x.
Speaker A
Помножити на похідну від аргумента.
Speaker A
А похідна від π / 2 - x, π / 2 - константа, похідна 0, а від -x -1.
Speaker A
Маємо - cos π / 2 - x.
Speaker A
А cos π / 2 - x - це ж є sin x за тією самою формулою зведення.
Speaker A
Тому маємо - sin x.
Speaker A
Що і треба було.
Speaker A
Тригонометричні функції синус і косинус.
Speaker A
Прийшов час тангенса і котангенса.
Speaker A
Формули виводяться приблизно однаково.
Speaker A
Я пропоную тангенс вам вивести самостійно.
Speaker A
А я поговорю про котангенс.
Speaker A
Котангенс x похідна.
Speaker A
Так котангенс - це ж у нас cos x / sin x.
Speaker A
І похідна від котангенса зводиться до похідної частки.
Speaker A
Використовуємо формулу для похідної частки.
Speaker A
І ми маємо.
Speaker A
Похідна від cos x * sin x - cos x без змін на похідну sin x.
Speaker A
І квадрат знаменника sin² x.
Speaker A
Знаходимо відповідні похідні.
Speaker A
Похідна від косинуса синус з мінусом, - sin і на sin буде - sin² x.
Speaker A
Похідна від синуса - це косинус.
Speaker A
І з цим косинусом разом дасть нам - cos² x.
Speaker A
Поділити на sin² x.
Speaker A
Якщо я мінус винесу за дужки, я отримаю одиницю, тригонометрична одиниця.
Speaker A
І тоді ми маємо -1 / sin² x.
Speaker A
Що і треба було.
Speaker A
Ну, тангенс іще простіше, просто мінуса не буде.
Speaker A
Ну, а тепер обернені тригонометричні функції.
Speaker A
Arcsin і arccos.
Speaker A
Почнемо з arcsin.
Speaker A
y = arcsin x.
Speaker A
Ну, це функція за своїм означенням обернена до функції x = sin y.
Speaker A
Функція визначена на відрізку -1, 1 і має множину значень -π/2, π/2.
Speaker A
Це у нас y.
Speaker A
Будемо знаходити похідну цієї оберненої функції.
Speaker A
Її існування, неперервність ми вже обговорили в попередніх зустрічах.
Speaker A
Знаходимо похідну як похідну оберненої функції.
Speaker A
Тобто y' = 1 / x'.
Speaker A
x' - це похідна від синуса.
Speaker A
Маємо 1 / cos y.
Speaker A
Похідна від синуса - косинус.
Speaker A
Нам би цю похідну тепер виразити через x.
Speaker A
x - це у нас синус, тобто для такого виразу мені треба косинус виразити через синус.
Speaker A
Згадую тригонометричну одиницю.
Speaker A
sin² x + cos² x = 1.
Speaker A
І звідси cos y буде дорівнювати ±√1 - sin² y.
Speaker A
Що робити з ±?
Speaker A
Він трошки заважає.
Speaker A
Але я підкреслив, що y у нас від -π/2 до π/2.
Speaker A
Тобто кут у нас в четвертій і першій чвертях.
Speaker A
А там косинус додатній, завжди додатній.
Speaker A
Коли аргумент косинуса оцього косинуса на від -π/2 до π/2.
Speaker A
У нас косинус додатнє значення приймає.
Speaker A
Таким чином, мінус можна просто відкинути.
Speaker A
Залишиться плюс.
Speaker A
В нашому випадку косинус y буде коренем.
Speaker A
Ну, а синус - це у нас вже просто x.
Speaker A
sin y.
Speaker A
Отже, y' буде дорівнювати 1 / √1 - x².
Speaker A
А, ну, да, це ж і є те, що нам, що ми хотіли отримати.
Speaker A
Похідна від arcsin - це 1 / √1 - x².
Speaker A
Щодо arccos.
Speaker A
arccos x.
Speaker A
Це є π / 2 - arcsin x за формулами зведення - це обернені функції.
Speaker A
І тоді похідна від arccos - це просто похідна від π / 2 - arcsin x.
Speaker A
Похідна від π / 2 - 0, а це мінус залишається перед нашим коренем.
Speaker A
-1 / √1 - x².
Speaker A
Те, що і треба було.
Speaker A
Похідна від arccos відрізняється мінусом від arcsin.
Speaker A
В нашій таблиці залишилися arctg і arcctg.
Speaker A
y = arctg x.
Speaker A
arctg x - це функція обернена до функції x = tg y.
Speaker A
Ну, раз обернена, будемо користуватись формулою для оберненої функції.
Speaker A
y' = 1 / x'.
Speaker A
x' - похідна від тангенса.
Speaker A
Ми вже її отримали, це 1 / cos² y.
Speaker A
От тепер би нам cos² y виразити через тангенс, щоб отримати x.
Speaker A
Ну, так є ж формула.
Speaker A
1 / cos² y = 1 + tg² y.
Speaker A
Так я її сюди і підставлю.
Speaker A
1 / 1 + tg² y.
Speaker A
А tg² y - це x².
Speaker A
Отже, і маємо y' = 1 / 1 + x².
Speaker A
З arcctg точно так, як з arccos.
Speaker A
Тобто похідна arcctg - це π / 2 - arcctg x похідна.
Speaker A
Похідна від π / 2 - 0, а це мінус залишається перед нашим коренем.
Speaker A
-1 / 1 + x².
Speaker A
Відрізняється мінусом завдяки цьому π / 2.
Speaker A
Оскільки наш математичний аналіз не обійдеться без гіперболічних функцій.
Speaker A
Подивимось, як виглядають похідні гіперболічних функцій.
Speaker A
Похідна гіперболічного синуса.
Speaker A
За означенням синус гіперболічний - це у нас e в степені x - e в степені -x / 2.
Speaker A
І треба взяти похідну.
Speaker A
Похідні відповідні від експонент будемо мати e в степені x, похідна від e в степені -x буде -e в степені -x.
Speaker A
Тобто буде просто плюс / 2.
Speaker A
А це є cos гіперболічний x.
Speaker A
Отже, похідна від гіперболічного синуса - гіперболічний косинус, як і можна було очікувати за аналогією з тригонометричними функціями.
Speaker A
Дивимось на похідну косинуса.
Speaker A
Похідна косинуса дуже схожа.
Speaker A
e в степені x + e в степені -x / 2 похідна, беремо похідну від експонент.
Speaker A
Маємо e в степені x, тепер цей мінус стане перед косинусом, буде мінус.
Speaker A
Виходить просто sin гіперболічний x без мінуса, як в тригонометрії.
Speaker A
Ну, в цьому різниця.
Speaker A
Ну, повинна бути різниця.
Speaker A
Переходимо до тангенса.
Speaker A
Тангенс гіперболічний x.
Speaker A
Тангенс гіперболічний нам дасть sin гіперболічний / cos гіперболічний.
Speaker A
Використовуємо формулу частки.
Speaker A
Маємо sin x похідна на cos x - sin x на cos x похідна.
Speaker A
І поділити все це на cos² x.
Speaker A
Дорівнює.
Speaker A
Так, похідна від синуса гіперболічного - cos гіперболічний, cos².
Speaker A
Похідна від косинуса - синус, sin².
Speaker A
А за формулою гіперболічних функцій.
Speaker A
Це гіперболічна одиниця.
Speaker A
cos² - sin² - це одиниця.
Speaker A
Поділене на cos² x.
Speaker A
Маємо похідна від тангенса виявляється 1 / гіперболічний косинус².
Speaker A
Аналогічно від котангенса гіперболічного.
Speaker A
Котангенс гіперболічний дасть нам відношення cos гіперболічного до sin гіперболічного.
Speaker A
І точно так за формулою похідної частки.
Speaker A
Ми будемо мати.
Speaker A
Похідна від косинуса гіперболічного - це у нас sin гіперболічний на sin буде sin² x.
Speaker A
Мінус cos² x / sin² x.
Speaker A
Маємо sin² гіперболічний - cos².
Speaker A
Це гіперболічна одиниця з оберненим знаком.
Speaker A
Відрізняється мінусом.
Speaker A
-1 / sin² x.
Speaker A
А тут мінус збережеться.
Speaker A
Як в тригонометрії.
Speaker A
Ну, от на цьому всі варіанти таблиць похідних, мабуть, вичерпані.
Speaker A
Залишається їх використовувати.
Speaker A
Треба підкреслити: таблицю похідних треба пам'ятати на пам'ять.
Speaker A
Обов'язково.
Speaker A
Її треба знати.
Speaker A
Щоб її запам'ятати, є єдиний шлях: треба розв'язувати задачі, використовуючи ці формули.
Speaker A
Тоді він відкладається.
Speaker A
Просто визубриш, через тиждень забудеться.
Speaker A
Це вже з досвіду.
Speaker A
Отже, наступні заняття у нас будуть присвячені розв'язанню типових задач на знаходження похідних.
Speaker A
А на сьогодні все.
Speaker A
Залишайтесь на нашому каналі.
Speaker A
Я з вами.
Speaker A
До побачення.
Topics:похіднатаблиця похіднихматематичний аналізлогарифмпоказникова функціятригонометріясинускосинустангенскотангенс
