Speaker Олексій Василенко
Я Олексій Василенко, ми з вами продовжуємо вивчати математичний аналіз.
Відео пояснює поняття диференціалу функції, його властивості та геометричний зміст на прикладах.
Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.
Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.
Key Takeaways
- Диференціал функції – це лінійна частина приросту, що визначається похідною.
- Диференційованість функції в точці еквівалентна існуванню похідної в цій точці.
- Диференціал можна використовувати для наближених обчислень приросту функції.
- Геометрично диференціал відповідає приросту дотичної лінії до графіка функції.
- Існують прості правила для обчислення диференціалів суми, добутку та частки функцій.
What the video covers
- Визначення диференційованості функції через розклад приросту функції на диференціал і малу додаткову частину.
- Диференціал – це головна лінійна частина приросту функції, що пропорційна приросту аргументу.
- Диференційована функція є неперервною в точці диференціювання.
- Якщо функція диференційована, то вона має похідну в цій точці, і навпаки.
- Формула диференціалу записується як dy = f'(x) * dx.
- Правила обчислення диференціалів для суми, добутку та частки функцій.
- Геометричний зміст диференціалу – приріст дотичної до графіка функції в точці.
- Дотична розбиває приріст функції на диференціал і малу додаткову частину, що прямує до нуля швидше.
- Пояснення через границі та нескінченно малі величини для формального обґрунтування.
- Заклик до підписки та підтримки каналу наприкінці відео.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker Олексій Василенко
Диференційне числення, оскільки диференційне, сьогодні у нас диференціал функції.
Speaker Олексій Василенко
Почнемо зразу з означення диференційовності функції.
Speaker Олексій Василенко
Функція y = f(x) називається диференційованою в точці x0, якщо її приріст Δy представимий у вигляді A * Δx + α(Δx).
Speaker Олексій Василенко
Де A — величина, яка не залежить від Δx, константа відносно Δx, тобто A * Δx — це лінійна функція, це коефіцієнт при Δx.
Speaker Олексій Василенко
А α(Δx) — нескінченно мала порядку малості більш високого порівняно з Δx, це означає, що границя, коли Δx прямує до нуля, α(Δx) / Δx буде дорівнювати нулю.
Speaker Олексій Василенко
В чисельнику величина порядку малості більшого, ніж знаменник.
Speaker Олексій Василенко
Так от, наш приріст функції розпався на дві частини.
Speaker Олексій Василенко
Причому ця частина більш вагома, тому що це, ну, малявочка така, вона прямує до нуля дуже швидко.
Speaker Олексій Василенко
А весь приріст в основному міститься тут, це називається головна частина, і вона саме і називається диференціалом.
Speaker Олексій Василенко
Диференціалом називається головна лінійна відносно Δx частина приросту функції.
Speaker Олексій Василенко
Це і є диференціал.
Speaker Олексій Василенко
І функція диференційована, коли її приріст можна розкласти на дві такі частини: диференціал плюс якась малявка.
Speaker Олексій Василенко
Як видно, ми ще можемо написати диференціал наближено дорівнює приросту, коли Δx достатньо мале.
Speaker Олексій Василенко
Цим і користуються іноді для використання диференціала в наближених обчисленнях.
Speaker Олексій Василенко
Тепер поговоримо про властивості диференційованих функцій.
Speaker Олексій Василенко
Спочатку відмітимо, що диференційована функція обов'язково буде неперервною, бо якщо функція диференційована, її приріст представимий у такому вигляді, то коли Δx прямує до нуля, очевидно, і головна частина, тобто диференціал, буде прямувати до нуля, і тим більше α(Δx), частина, яка порядку малості більш високого, навіть ніж Δx, теж буде прямувати до нуля.
Speaker Олексій Василенко
Δy
Speaker Олексій Василенко
І функція неперервна.
Speaker Олексій Василенко
Більше того, ми зараз покажемо, що якщо функція диференційована,
Speaker Олексій Василенко
то вона має похідну в тій точці, в якій вона диференційована.
Speaker Олексій Василенко
Для цього розглянемо відношення приросту функції до приросту аргумента Δy / Δx.
Speaker Олексій Василенко
Δy за умовою представимий у вигляді суми, тоді границя цього дробу буде розпадатись на дві границі.
Speaker Олексій Василенко
Границя Δx прямує до нуля A * Δx / Δx + границя Δx прямує до нуля α(Δx) / Δx.
Speaker Олексій Василенко
За означенням диференційованості A не залежить від Δx, тобто A можна винести за границю.
Speaker Олексій Василенко
У нас залишиться одиниця, оскільки Δx скорочується.
Speaker Олексій Василенко
А друга границя дорівнює нулю, знову-таки за означенням диференційованості.
Speaker Олексій Василенко
Оскільки α(Δx) має порядок малості більший порівняно з Δx + 0.
Speaker Олексій Василенко
І це буде просто A, так це ж і є якраз похідна в точці x0.
Speaker Олексій Василенко
Виявляється, якщо функція диференційована в точці x0, то вона має в цій точці похідну.
Speaker Олексій Василенко
Причому ця похідна дорівнює множником перед Δx в головній частині, в диференціалі.
Speaker Олексій Василенко
І ми можемо написати диференціал буде дорівнювати f'(x0) * Δx.
Speaker Олексій Василенко
Якщо не фіксувати x0, маючи на увазі будь-яку точку, як це зручно.
Speaker Олексій Василенко
Ми можемо записати Δx позначають через dx.
Speaker Олексій Василенко
І тоді маємо формулу, якою, звичайно, користуються при обчисленні диференціалів.
Speaker Олексій Василенко
Так виглядає диференціал.
Speaker Олексій Василенко
Ця формула має трошки більше змісту, в подальшому ми про це будемо говорити.
Speaker Олексій Василенко
А поки що ми з'ясували, що диференціал є добуток похідної на dx.
Speaker Олексій Василенко
І якщо функція диференційована, то вона обов'язково має похідну в цій точці.
Speaker Олексій Василенко
До речі, можна показати, що й навпаки.
Speaker Олексій Василенко
Якщо функція має похідну в якійсь точці, то вона буде диференційована в цій точці.
Speaker Олексій Василенко
Давайте це покажемо.
Speaker Олексій Василенко
Так от, нехай функція y = f(x) має похідну в точці x0.
Speaker Олексій Василенко
Покажемо, що вона диференційована.
Speaker Олексій Василенко
Тобто її приріст представимий у такому вигляді.
Speaker Олексій Василенко
Має похідну, це означає, що існує скінченна границя Δx прямує до нуля.
Speaker Олексій Василенко
Відношення Δy / Δx — це і є значення функції похідної в точці x0.
Speaker Олексій Василенко
Існує така границя.
Speaker Олексій Василенко
Розглянемо різницю.
Speaker Олексій Василенко
Δy / Δx - f'(x0).
Speaker Олексій Василенко
І я візьму границю Δx прямує до нуля.
Speaker Олексій Василенко
Цієї різниці.
Speaker Олексій Василенко
Очевидно, що ця границя дорівнює нулю, тому що f(x0) константа, це буде нуль.
Speaker Олексій Василенко
Таким чином, ця різниця є нескінченно мала.
Speaker Олексій Василенко
Я її позначу якимось ε(Δx), нескінченно мала при Δx прямуючому до нуля.
Speaker Олексій Василенко
Залишилось помножити обидві частини на Δx.
Speaker Олексій Василенко
Будемо мати Δy = f'(x0) * Δx + ε(Δx) * Δx.
Speaker Олексій Василенко
Якщо позначити останній доданок через α(Δx).
Speaker Олексій Василенко
Ми отримаємо, що цей доданок буде нескінченно малою порядку малості більш високого порівняно з Δx.
Speaker Олексій Василенко
Тому що границя відношення α(Δx) / Δx в даному випадку буде просто ε(Δx), яке прямує до нуля.
Speaker Олексій Василенко
Ми маємо означення диференційованості функції.
Speaker Олексій Василенко
Якщо функція має похідну в якійсь точці, то вона й диференційована.
Speaker Олексій Василенко
Таким чином, об'єднавши ці два твердження, приходимо до теореми.
Speaker Олексій Василенко
Яка стверджує, що для того, щоб функція була диференційована в якійсь точці,
Speaker Олексій Василенко
необхідно і достатньо, щоб вона мала похідну в цій точці.
Speaker Олексій Василенко
Виходячи з отриманого співвідношення dy = f'(x) * dx.
Speaker Олексій Василенко
Ми можемо отримати деякі правила обчислення диференціалів.
Speaker Олексій Василенко
Наприклад, диференціал суми u + v.
Speaker Олексій Василенко
Це у нас буде за означенням (u + v)' * dx.
Speaker Олексій Василенко
Але похідна суми є сума похідних.
Speaker Олексій Василенко
Таким чином, будемо мати u'dx + v'dx і є du + dv.
Speaker Олексій Василенко
Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.
Speaker Олексій Василенко
Точно так отримуються диференціал добутку u * v.
Speaker Олексій Василенко
Це є du * v + u * dv.
Speaker Олексій Василенко
І диференціал частки u / v.
Speaker Олексій Василенко
Якщо вона в нас буде du * v - u * dv / v^2.
Speaker Олексій Василенко
Ті ж самі формули отримуються через аналогічні формули для похідних.
Speaker Олексій Василенко
Розглянемо геометричний зміст диференціалу.
Speaker Олексій Василенко
Нехай задана функція f(x).
Speaker Олексій Василенко
Зафіксуємо точку x0, значення функції f(x0) і дамо аргументу приріст Δx.
Speaker Олексій Василенко
Отримаємо відповідний приріст функції.
Speaker Олексій Василенко
Щоб на графіку отримати диференціал, ми скористаємось тим, що диференціал пов'язаний з похідною.
Speaker Олексій Василенко
А геометричний зміст похідної є дотична, точніше, тангенс кута нахилу дотичної.
Speaker Олексій Василенко
Проводимо дотичну.
Speaker Олексій Василенко
І бачимо, що дотична до графіка функції в точці x0 розбиває відрізок приросту функції Δy на дві частини.
Speaker Олексій Василенко
Червону і зелену.
Speaker Олексій Василенко
Саме червона частина є диференціал.
Speaker Олексій Василенко
Тому що, якщо ми Δx помножимо на тангенс кута нахилу, в даному випадку тангенс φ.
Speaker Олексій Василенко
Ми отримаємо саме інший катет, протилежний куту φ.
Speaker Олексій Василенко
Таким чином, на малюнку червоний відрізок — це саме є диференціал.
Speaker Олексій Василенко
Зелений відрізок — це наше α(Δx), яке прямує до нуля дуже швидко.
Speaker Олексій Василенко
Якщо ми будемо зменшувати Δx, видно, як графік підлизується до дотичної.
Speaker Олексій Василенко
Зникає дуже швидко.
Speaker Олексій Василенко
Так от, можна сказати, що геометричний зміст диференціалу — це приріст дотичної до графіка функції в точці x0.
Speaker Олексій Василенко
Який відповідає приросту незалежного аргументу Δx.
Speaker Олексій Василенко
В цьому є геометричний зміст диференціалу.
Speaker Олексій Василенко
На цьому можемо вважати, що заняття наше закінчено.
Speaker Олексій Василенко
Залишайтесь на нашому каналі, ставте лайки, підписуйтесь.
Speaker Олексій Василенко
Будьте з нами, а я з вами, Олексій Василенко.
Speaker Олексій Василенко
До побачення.
Topics:диференціал функціїдиференційованістьпохіднаматематичний аналізгеометричний зміст диференціалуправила диференціюваннянескінченно малі величининаближені обчисленнядиференціал сумидиференціал добутку
