Das Geheimnis der Primzahlen

Primzahlen als Bausteine der Zahlen: von Euklids Beweis über Gauß und Riemann bis zur RSA-Verschlüsselung beim Online-Banking.

Key Takeaways

Primzahlen sind unendlich viele, wie bereits Euklid bewiesen hat.
Die Verteilung der Primzahlen folgt einer Grundstruktur (Primzahlsatz), bleibt aber in Details ungeklärt.
Die Riemannsche Vermutung ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
Im Alltag schützt die RSA-Verschlüsselung auf Basis großer Primzahlen unsere Daten beim Online-Banking.

What the video covers

Primzahlen gelten seit der Antike als die 'Atome' der Zahlenwelt, da sich jede natürliche Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt.
Euklid bewies mit einem Widerspruchsbeweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, indem er zeigte, dass das Produkt aller Primzahlen plus 1 zu einem Widerspruch führt.
Das Primfaktorzerlegungsverfahren wird am Beispiel der Zahl 210 (2 x 3 x 5 x 7) erklärt.
Pierre de Fermat vermutete, dass Zahlen der Form 2^(2^n)+1 stets prim sind; Euler widerlegte dies für n=5.
Gauß entdeckte, dass die Verteilung der Primzahlen einer Ordnung folgt, beschrieben durch den Primzahlsatz: Primzahlen werden mit wachsenden Zahlen seltener.
Bernhard Riemann stellte im 19. Jahrhundert die Riemannsche Vermutung auf, die das Verhalten der Primzahlen über die Nullstellen der Zeta-Funktion beschreibt.
Milliarden berechneter Nullstellen stimmen mit der Vermutung überein, ein allgemeiner Beweis fehlt jedoch noch.
Primzahlen sind Grundlage der RSA-Verschlüsselung, die Online-Banking und Online-Einkäufe absichert.
Die Bank veröffentlicht ein Produkt zweier großer Primzahlen als öffentlichen Schlüssel; nur sie kennt die Faktoren und kann die Kommunikation entschlüsseln.

Chapters

Warum gibt es unendlich viele Primzahlen?

Euklid zeigte per Widerspruchsbeweis: Nimmt man an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, so ergibt das Produkt aller plus 1 einen Rest bei jeder Primfaktorzerlegung. Daraus folgt, dass diese Zahl selbst prim sein muss, also gibt es immer weitere Primzahlen.

Was besagt der Primzahlsatz von Gauß?

Der Primzahlsatz beschreibt, dass Primzahlen mit wachsenden Zahlen immer seltener auftreten, aber einer festen Regelmäßigkeit folgen. Er liefert keine exakten Primzahlen, zeigt aber eine Grundstruktur im scheinbaren Chaos.

Wie werden Primzahlen beim Online-Banking genutzt?

Die Bank erstellt aus zwei sehr großen Primzahlen einen öffentlichen Schlüssel, mit dem Daten verschlüsselt werden. Nur die Bank kennt die beiden Primzahlen und kann die Daten wieder entschlüsseln, da das Zurückrechnen selbst mit modernen Computern extrem lange dauern würde.

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Speaker A

Primzahlen sind mehr als nur zahlen sie sind geheimnisvolle Bausteine die die Mathematik seit Jahrtausenden faszinieren und für unser heutiges Leben viel wichtiger sind als du jetzt gerade denkst die Faszination für Primzahlen begann schon in der Antike die allen

Speaker A

Griechen kannten zwar noch nicht den modernen nutzen aber sie bewunderen ihre Einzigartigkeit für sie stellten die Zahlen so etwas wie die Atome der Zahlenwelt da denn eine jede Zahl kann eindeutig aus Primzahlen erschaffen bzw in Primzahlen zerlegt werden wir nennen

Speaker A

das Primfaktorzerlegung Beispiel wenn wir die Zahl 6 haben dann können wir sie in die Primzahlen 2 und 3 zerlegen bei der Zahl 55 sind es die 5 und die 11 und so hat jede Zahl eine bis auf die

Speaker A

Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung in diesem Zuge haben sich die Mathematiker schon damals zwei Fragen gestellt die uns bis heute faszinieren zum einen gibt's unendlich viele Primzahlen und zum anderen folgen die Primzahlen irgendeinem Muster also kann ich Prim Zahlen Vorhersagen auf die

Speaker A

erste Frage fand eukid eine Antwort ja es gibt uneendlich viele Primzahlen und um das zu zeigen hat er ein sogenannten widerspruchsbeweis durchgeführt er hat angenommen dass es nicht unendlich viele Primzahlen gibt und dann gezeigt dass das Quatsch ist wodurch es dann

Speaker A

unendlich viele Primzahlen geben muss wie genau wir erinnern uns daran dass wir jede Zahl ohne Rest in Primfaktoren zerlegen können und das geht mit einem bestimmten Verfahren ganz einfach aus der 210 z.B ziehen wir zuerst den kleinsten Primfaktor also die 2 dann

Speaker A

haben wir 2 x 105 und aus der 105 ziehen wir dann den nächsten Primfaktor nämlich die 3 wodurch wir 2 x 3 x 35 haben aus der 35 ziehen wir dann auch die 5 und schon haben wir die finale

Speaker A

Primfaktorzerlegung der 210 nämlich 2 x 3 x 5 x 7 hat sich jetzt gesagt wenn es wirklich nur eine begrenzte Menge an Primzahlen geben sollte dann kann ich ja all diese Primzahlen nehmen und miteinander multiplizieren und am Ende +

Speaker A

1 rechnen die Zahl die dann rauskommt dürfte ja eigentlich keine Primzahl sein denn sie kommt offensichtlich nicht in der Liste mit allen Primzahlen vor wenn das so ist dann kann man sie ja genau wie die 210 vorhin in Primfaktoren

Speaker A

zerlegen wir könnten eine zwe ausier ziehen danach eine 3 und immer so weiter bis wir am Ende auch den letzten Primfaktor nämlich PN aus ihr gezogen haben das Problem es bleibt dann ein Rest von ein übrig und das bedeutet dass

Speaker A

wir die Zahl nicht ohne Rest in die Primfaktoren 2 bis PN zerlegen können was ja eigentlich nicht sein darf denn jede Zahl muss eine eindeutige Primfaktorzerlegung haben ohne Rest und das wiederum bedeutet dass die Zahl selbst eine Primzahl sein muss und schon

Speaker A

hat EU klied gezeigt dass die Annahme dass es nur endlich viele Primzahlen gibt Quatsch ist auf die zweite Frage fand man allerdings damals keine Antwort auch nicht im Mittelalter in dem das Interesse an Primzahlen immer weiter wuchs während dieser Zeit waren sie

Speaker A

immer noch eine Art Rätsel das Mathematiker unentwegt anzog einer von ihnen war Pierre de ferm er glaubte ein Muster gefunden zu haben mit dem man vorhersagen konnte dass bestimmte Zahlen Primzahlen sind konkret vermutete er das Zahlen der Form 2 hoch 2 hoch n + 1

Speaker A

immer eine Primzahl ergeben doch dann kam Leonard Euler ins Spiel und stellte fest dass fmatsvermutung schon für n= 5 nicht mehr gilt das entfachte hitzige Diskussion darüber ob sich Primzahlen überhaupt mit einem Muster beschreiben lassen können oder ob sie nicht

Speaker A

vielleicht mehr völlig zufällig auftreten ein erster Lichtblick in diesem Konf fckt kam schließlich von einem weiteren mat Genie Karl Friedrich Gaus Gaus entdeckte dass Primzahlen nicht völlig zufällig erscheinen ihre Verteilung folgt einer bestimmten Ordnung der sogenannte primzahlsatz beschreibt diese Regelmäßigkeit je

Speaker A

größer die Zahlen werden desto seltener treten Primzahlen auf ähnlich wie eine Treppe dessen Stufen immer länger und länger werden Gaus konnte damit zwar keine exakten Primzahlen vorhersagen aber er zeigte dass im scheinbaren Chaos doch eine Art Grundstruktur liegt

Speaker A

nachkaos in der blieb die Frage nach einer genaueren Struktur der Primzahlen jedoch offen und genau hier kam im 19 Jahrhundert Bernhard rieann ins Spiel rieann stellte die berühmte rimansche Vermutung auf die beschreibt das Verhalten der Primzahlen durch die

Speaker A

Nullstellen in der rimanschen Zet Funktion wenn diese Vermutung stimmt dann folgen Primzahlen nicht nur einem groben Muster sondern einer sehr präzisen Regelmäßigkeit die die Funktion ganz genau vorhersagt das erstaunliche bis heute konnten Mathematiker mit Hilfe von Computern Milliarden dieser

Speaker A

Nullstellen berechnen und alle stimmen exakt mit rieans Vorhersage überein trotzdem bleibt die Vermutung ein ungelöstes Rätsel denn in der Mathematik gilt egal wie oft etwas funktioniert ohne einen allgemeinen Beweis kann es nicht als gesichert gelten es braucht nur ein einziges Gegenbeispiel und die

Speaker A

Vermutung stimmt schon nicht mehr ganz schön spannend wie aus einem Geheimnis der Antike nach und nach ein greifbares Konzept wird das vermutlich irgendwann von uns Menschen vollkommen entschlüsselt wird oder Schlüssel ist übrigens ein gutes Stichwort denn in unserem alltäglichen Leben sind Prim

Speaker A

zahlen viel präsenter als dir jetzt gerade vielleicht bewusst ist besonders in der sogenannten RSA Verschlüsselung diese Technik schützt unsere Daten wenn wir z.B online einkaufen Bankgeschäfte erledigen oder Nachrichten verschicken beim Online Banking kannst du dir das ganze so vorstellen die Bank nutzt für

Speaker A

die Sicherheit beim Online Banking ein cleveres System das auf zwei riesigen Primzahlen mit mehreren hundert Stellen basiert sie multipliziert diese beiden Primzahlen miteinander und erstellt daraus ein Schloss den sogenannten öffentlichen Schlüssel diese Schloss ist für alle sichtbar und kann von jedem

Speaker A

genutzt werden doch nur die Bank kennt die beiden Primzahlen aus denen das Schloss entstanden ist und nur sie kann damit das Schloss öffnen selbst mit den modernsten Computern würde es Millionen von Jahren dauern um die Zahl in die

Speaker A

ursprünglichen Primzahlen zurückzurechnen und das Schloss zu knacken wenn du nun eine Online-Überweisung machst erzeugt dein Computer einen einmaligen Sitzungsschlüssel du legst diesen Sitzungsschlüssel in einen digitalen Umschlag und verschließt ihn mit dem Schloss der Bank nun schickst du ihn

Speaker A

rüber und dann nur nur die Bank die geheimen Primzahlen kennt kann auch nur sie den Umschlag wieder öffnen und den Sitzungsschlüssel lesen und ab diesem Zeitpunkt wird die gesamte Kommunikation während deiner Online Banking sititzung durch diesen geschützt was meinst du

Speaker A

wird das große Geheimnis um die riemche Vermutung irgendwann endlich gelüftet schreib uns in die Kommentare und sei die dein wie immer sicher Matthe kann jeder wir wollen es beweisen

Topics:PrimzahlenMathematikRiemannsche VermutungRSA-VerschlüsselungEuklidPrimfaktorzerlegungOnline-BankingGaußKryptografieMatheMind

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