Webinar #1 : Les outils fondamentaux de statistiques au service de la métrologie

Webinaire de Deltamu sur les outils statistiques fondamentaux appliqués à la métrologie : variabilité des mesures, lancers de dés, histogrammes, lois de probabilité et incertitudes.

Key Takeaways

Une mesure résulte de facteurs aléatoires et imparfaits, ce qui rend la statistique indispensable en métrologie
Un échantillon ne révèle pas nécessairement toutes les valeurs extrêmes d'un phénomène aléatoire
La moyenne ne correspond pas forcément à une valeur possible du phénomène et n'a pas de lien systématique avec la médiane ou le mode
Un échantillon limité permet d'estimer des paramètres mais avec une incertitude qu'il faut quantifier

What the video covers

Introduction du webinaire et présentation du cadre (environ 200 participants attendus, questions via le chat et par mail)
Explication de pourquoi la statistique est au cœur de la métrologie : toute mesure met en jeu des facteurs imparfaits et aléatoires
Exemples de sources de variabilité : hétérogénéité de l'objet mesuré (température, vaccins), opérateur, dispersion des instruments, mode opératoire, milieu ambiant
Introduction aux notions de probabilité à l'aide de simulations de lancers de dés sous Excel
Présentation des histogrammes et de la différence entre un échantillon et la loi parente qui le génère
Notions de loi uniforme, valeur moyenne, médiane et mode, et leurs propriétés
Lois de probabilité d'une somme de dés et lien avec le théorème central limite
Distinction entre probabilité d'un phénomène et sa fréquence d'observation sur un échantillon
Estimation de la moyenne et de l'écart-type à partir d'un échantillon, et intervalle dans lequel se trouve la valeur vraie
Limites de l'estimation : un petit nombre de mesures ne suffit pas à caractériser la dispersion totale, notamment pour la reproductibilité

Chapters

Pourquoi les statistiques sont-elles utiles en métrologie ?

Parce que toute mesure met en jeu des facteurs imparfaits et aléatoires comme l'objet mesuré, l'opérateur, l'instrument et le milieu ambiant. La statistique permet de modéliser et de quantifier ces variations.

Pourquoi utiliser des simulations de lancers de dés ?

Le dé est un objet familier dont on connaît la loi de probabilité, ce qui permet d'illustrer simplement les notions d'échantillon, d'histogramme et de loi parente avant de passer à la métrologie.

Un petit échantillon permet-il de connaître toutes les valeurs possibles d'un phénomène ?

Non. Comme le montrent les simulations, un échantillon de quelques valeurs peut ne pas contenir les valeurs extrêmes que le phénomène peut produire ; il faut donc un nombre suffisant de mesures pour estimer correctement la dispersion.

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Speaker A

Bonjour tout le monde. Euh ben voilà, écoutez bienvenue. Le séminaire va commencer enfin le webinaire va commencer dans dans quelques secondes. On va laisser euh une petite minute aux retardataires pour nous rejoindre. J'espère que vous m'entendez tous.

Speaker A

Évidemment, nous avons coupé les micros. Euh on attend un peu plus de 200 participants. Pour l'instant, vous êtes un peu moins de 100 personnes connectées.

Speaker A

Euh les autres vont nous rejoindre, j'imagine. Et donc avec euh avec tout ce monde-là, on peut pas laisser les micros ouverts, évidemment. Euh en revanche, sur le chat, vous pouvez poser vos questions qui vont être prises en compte par

Speaker A

par l'organisation euh et je pourrai répondre à ces questions à la fin du séminaire.

Speaker A

Euh en tout cas, les les questions principales qui reviendront le plus souvent. Euh vous pouvez aussi euh éventuellement pour des choses plus précises nous envoyer un mail, on verra ça sur la dernière diapositive, vous aurez toutes nos toutes nos coordonnées

Speaker A

pour pouvoir pour pouvoir nous interroger par mail. Voilà. Bon ben écoutez, on on on va démarrer.

Speaker A

J'ai prévu une petite heure euh peut-être un petit peu plus en fonction de de ce qui va se passer. Euh j'espère en tout cas que vous allez pas perdre votre temps et je suis très très content et je vous remercie de vous être

Speaker A

inscrits aussi nombreux. On pensait pas qu'autant de personnes seraient intéressées par notre problématique de statistique et de métrologie. Et euh nous voyons ça d'un œil très très positif.

Speaker A

Et et voilà. Donc euh comme c'est écrit dans le thème du du du webinaire, on va parler de statistique et essentiellement de statistique, mais évidemment, on utilise nous chez Data Mews cette statistique dans le champ très particulier de la

Speaker A

métrologie. Et j'aimerais d'abord dans un premier temps vous expliquer en quoi en quoi cette métrologie a du sens euh en en quoi les statistiques sont utiles en métrologie.

Speaker A

Quand on fait une mesure, je sais pas si vous êtes tous des métrologues, mais quand on fait une mesure, euh on met en jeu un certain nombre de facteurs euh pour obtenir un résultat de mesure. Les facteurs qu'on met en jeu, ce sont

Speaker A

évidemment déjà l'objet lui-même qu'on mesure. Je vais prendre juste un exemple très simple pour situer la problématique, c'est que si je demande quelle est la température dans ma cuisine tout de suite ou dans mon aquarium, ça n'a pas beaucoup de sens

Speaker A

puisque chacun comprend pour moi que suivant là où je vais mesurer cette température, je vais pas forcément trouver la même chose puisqu'elle est pas parfaitement homogène. Alors, en ces temps de de de pandémie, euh on peut aussi dire

Speaker A

que quand un fabricant de vaccins fabrique des litres et des litres de vaccins et qui va les qui va les les les les mettre dans des petites ampoules pour que on ait chacun notre dose, et ben on comprend bien que

Speaker A

cette question d'homogénéité, elle va se poser aussi puisqu'il n'y a aucune raison que dans des grands conteneurs, la concentration en agent actif soit la même n'importe où on va faire le prélèvement. Donc, on a déjà un aléa à

Speaker A

cause de l'objet lui-même qu'on va mesurer. Mais on a aussi tout un tas d'aléas euh différents. L'opérateur, par exemple, dans certains cas, influence la mesure. Et et du coup, j'ai pris la webcam qui ne sert pas à grand-chose

Speaker A

tout de suite. Et du coup, cet opérateur, suivant que ce soit Pierre, Paul ou Jacques qui fasse la mesure, ça peut impacter le résultat de mesure. On est face là encore à un phénomène aléatoire.

Speaker A

L'instrument de mesure, c'est un un appareil qui a été fabriqué dans une usine la plupart des des du du temps. Et donc, évidemment, l'usine, elle subit des dispersions. Donc, les instruments de mesure subissent des dispersions et suivant que je mesure avec cet

Speaker A

instrument-là ou avec cet instrument-là, je risque de pas avoir le même résultat de mesure car tous les instruments de mesure sont pas rigoureusement identiques.

Speaker A

Euh là encore, sur mon petit slide, il y a une question de mode opératoire puisque pour accéder à une même donnée, on peut avoir plusieurs technologies de mesure, plusieurs modes opératoires.

Speaker A

Donc là encore, on a des causes de variabilité. Et puis, celle que tout le monde va bien pouvoir comprendre, c'est le milieu ambiant. Euh imaginons que je veuille mesurer la la longueur d'une cale étalon, pour donner un exemple très

Speaker A

simple. Cette longueur est fonction de la température qu'il fait au moment de ma mesure. Cette température, elle est variable puisque ben elle peut pas rester fixe au cours du temps et tout le temps à la température de référence.

Speaker A

C'est donc cette variabilité va là aussi impacter mon résultat de mesure. Donc en gros, quand on fait une mesure on on utilise, on met en œuvre tout un tas de facteurs qui sont imparfaits et qui sont aléatoires. Et donc la statistique

Speaker A

est au cœur du métier de la métrologie puisque c'est bien ces phénomènes qu'il va falloir considérer. Donc on va maintenant sortir du monde pur de la statistique, enfin pardon de la métrologie, pour aller dans celui des statistiques qui

Speaker A

nous intéresse au cours de ce webinar. Et je vais essayer de vous expliquer quelles sont les propriétés qu'on utilise, les propriétés de base de manière à essayer de de mieux comprendre, de mieux appréhender ben tout un tas de choses qu'on fait des

Speaker A

fois par automatisme, sans toujours bien comprendre. En tout cas, mon expérience de 30 ans de métrologie et de beaucoup de d'heures de formation m'a permis de concevoir ça, c'est-à-dire que c'est pas toujours facile pour tout le monde d'appréhender comme il faut les

Speaker A

outils statistiques qu'on utilise. Alors la première des choses, pour sortir du monde de la métrologie, rentrer dans le monde de l'aléatoire et des probabilités dans un cadre que tout le monde connaît, et ben on va simplement s'amuser à

Speaker A

simuler des lancers de dés. Voilà, pour comprendre tout un tas de phénomènes qu'on va utiliser après en métrologie.

Speaker A

L'avantage du dé, c'est que tout le monde sait ce que c'est puisque tout le monde en a eu entre les mains. Là, je vais demander à Excel de me faire des simulations. Donc je vais j'ai programmé Excel pour qu'il simule des lancers de

Speaker A

dés, mais vous pourriez vous amuser à la maison à faire ça avec un dé chez vous si vous avez du temps. Vous trouveriez à peu près la même chose. Donc ce dé, il est comme un dé classique, un dé à six

Speaker A

faces. Et donc si je lance quatre fois un dé, je vais observer quatre valeurs différentes de mon dé. Et là, il se trouve que le hasard a voulu que sur les quatre valeurs différentes de mon dé que j'observe dans cet échantillon, et

Speaker A

ben, j'en ai trois qui font un, donc j'ai eu trois lancés qui ont conduit à faire un avec mon dé et un lancé qui a conduit à faire six.

Speaker A

Cette configuration est un peu extraordinaire, j'ai pas fait exprès, je vous promets. C'est que ici, on voit de façon voilà, assez singulière qu'on obtient dans notre échantillon les valeurs extrêmes que peut produire le dé.

Speaker A

Quand on fait de la simulation numérique, on sait ce qu'on simule. Donc là, on sait qu'on simule un dé qui varie entre un et six. Et il se trouve que notre échantillon de quatre lancés ici nous montre qu'on a effectivement fait

Speaker A

un et qu'on a fait six. Par contre, si je fais d'autres échantillons, ici on voit que on a pas du tout la même représentation, mais on a aussi le un et le six. Puis dans un autre échantillon, on a pas le six. Et puis dans un autre

Speaker A

échantillon encore et encore, on aurait des valeurs différentes. Et ici, on voit très bien que notre échantillon ne présente pas, ne nous révèle pas les valeurs extrêmes que le phénomène un dé peut produire.

Speaker A

Donc, il faut s'habituer à la notion d'histogramme. Donc évidemment, on va faire un cours sur les histogrammes, mais vous voyez, c'est très facile.

Speaker A

Imaginez que sur une feuille, je mets ici que avec mon dé, je peux faire un, avec mon dé, je peux faire dé, deux, avec mon dé, je peux faire trois.

Speaker A

Pardon, là, on ne voit pas, c'est blanc. Et quand je vais lancer mes dés, il suffit de faire une croix quand le un tombe, une autre croix quand le un tombe ou une croix quand le deux tombe. Et au

Speaker A

bout d'un moment, mes croix vont représenter ce qu'on appelle un histogramme. C'est très facile à comprendre. Et cet histogramme qu'on observe est un histogramme de l'échantillon de ce que je pourrais observer si je lançais mon dé plein de fois. Un

Speaker A

échantillon n'a aucune raison d'être la représentation miniature de la réalité. Si je voulais voir la réalité d'un dé sur ce phénomène-là qu'on connaît tous, ben, il faudrait que je fasse non pas un échantillon de quatre valeurs, mais par

Speaker A

exemple de 100000 valeurs. Et là, ben, j'obtiendrai ce qu'on appelle une loi de probabilité. La loi de probabilité, c'est ? C'est la description des valeurs que le phénomène peut produire. Donc ici, mon dé peut produire des 1, des 2,

Speaker A

des 3, des 4, des 5 et des 6. Et la loi de probabilité me dit quelle est la fréquence à laquelle je produis 1, à laquelle je produis 2, à laquelle je produis 3, à laquelle je produis 4. En

Speaker A

gros, quelle est la probabilité quand je lance mon dé de faire 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Donc vous voyez qu'ici, j'ai un échantillon très important, 100000 lancés, mais vous voyez que chacun des effectifs ici pour le 1 par exemple,

Speaker A

j'ai 16712, pour le 2, j'ai 16502 et ainsi de suite, ne sont pas rigoureusement égaux à 100000 divisé par 6. Et si je relançais ma simulation, il y a aucune raison que je retombe exactement sur les mêmes valeurs.

Speaker A

Autrement dit, un échantillon de six valeurs, ce n'est enfin de 100000 un échantillon de 100000 valeurs, ce n'est quand même qu'un échantillon.

Speaker A

Évidemment, il représente plus la réalité qui elle serait qu'on obtiendrait si on lançait le dé un nombre infini de fois. Donc là, on a une idée de ce qu'est la loi de probabilité de mon dé puisque ben on voit bien que

Speaker A

grosso modo, on ne le savait pas d'avance, mon dé peut produire 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 et qu'il a la même chance de produire 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Donc la loi de probabilité de 1 dé, c'est une loi

Speaker A

qu'on appelle équiprobable, ? Équiprobable parce que elle a autant de chance de produire chacune des valeurs possibles et étendue enfin de de de zone de variation comprise entre 1 et 6. Voilà ce qu'est la loi de probabilité de 1 dé. C'est

Speaker A

important de se familiariser se familiariser pardon avec cette notion de loi de probabilité. La loi de probabilité, il faut la voir simplement comme un histogramme. C'est un histogramme qui nous donne quelle est la fréquence d'apparition de telle ou telle

Speaker A

valeur d'un phénomène. Alors, sur un dé, ça a pas beaucoup d'intérêt de le faire.

Speaker A

Regardons ce qui se passe maintenant si au lieu de lancer un dé tout seul, j'en lance par exemple trois.

Speaker A

Je vais lancer trois dés. Donc quand je lance trois dés, ben comme je sais ce que c'est qu'un dé, ben je sais qu'en lançant trois dés, je vais pouvoir obtenir ben des valeurs qui varient entre trois un dé, enfin le premier dé à un, le

Speaker A

deuxième dé à un, le troisième dé à un, jusqu'à la valeur la plus grande que je peux obtenir, c'est-à-dire 18, le premier dé à six, le deuxième dé à six et le troisième dé à six. J'ai de la

Speaker A

chance puisque je connais le phénomène que j'observe, je le redis. Euh mais dans la vraie vie, on connaît pas toujours les phénomènes qu'on observe.

Speaker A

Par exemple, quelle est la température de l'eau dans mon ? Je ne je ne la connais pas a priori.

Speaker A

Je sais pas dire entre quelle valeur minimum et quelle valeur maximum elle varie. Je sais juste quand je l'observe que j'ai vu telle ou telle valeur. Ce qui est très très différent. Donc là, quand on fait de la simulation, on sait

Speaker A

quel est le phénomène qu'on observe. On sait qu'on peut obtenir trois, quatre, cinq, six ou jusqu'à 18. Et là, dans notre échantillon de cinq dés, de cinq lancés de trois dés, pardon, on n'obtient pas les valeurs extrêmes. On a

Speaker A

obtenu une fois un six, une fois un neuf, deux fois un 11 et une fois un 12.

Speaker A

Est-ce Est-ce qu'on peut dire pour autant que 11 est la valeur la plus ?

Speaker A

Ben c'est pas sûr du tout parce que vous voyez qu'en relançant une nouvelle simulation, j'ai plus du tout le même histogramme, tout simplement parce que cet histogramme est construit sur la base d'un échantillon d'une population parente qui est infinie et cet

Speaker A

échantillon n'a aucune raison d'être d'avoir la même forme, d'être la réalité en miniature. C'est juste des valeurs qui ont été obtenues par hasard, extraites d'une population parente dont je cherche la forme qu'elle peut avoir.

Speaker A

C'est très très important de comprendre ça. D'ailleurs, je suis assez surpris euh parfois d'entendre, et peut-être l'avez-vous dit vous-même, est-ce que cet échantillon est Souvent, on dit gaussien. Est-ce que cet échantillon est ? C'est une très mauvaise question et c'est pas du tout

Speaker A

comme ça qu'il faut la poser. C'est plutôt est-ce que cet échantillon que j'observe peut provenir d'une loi parente ? Ça n'a rien à voir, c'est pas du tout la même chose. L'échantillon, il sera jamais gaussien. L'échantillon, il est esquivé. Une loi de Gauss, ça se ça

Speaker A

se propage, ça se ça se disperse dans plus ou moins l'infini. Donc, mon échantillon sera jamais dans plus ou moins l'infini, donc il peut pas être gaussien. En revanche, ce qui m'intéresse de savoir, c'est est-ce qu'il peut provenir d'une population ?

Speaker A

Voilà, c'est très très important de comprendre ça. L'échantillon n'est pas la représentation miniature de la population parente. L'échantillon, il est esquivé et il est extrait de la population parente. Et si je prends un autre échantillon, puis un autre

Speaker A

échantillon, puis un autre échantillon, ben il y en a aucun qui se ressemble parce que il y a plein d'échantillons possibles de cinq valeurs quand je lance trois dés.

Speaker A

Comme on l'a vu tout à l'heure avec un dé pour se rendre compte de ce qu'est la population parente, pour avoir une idée de la réalité, faut pas se contenter d'un petit échantillon de rien du tout, mais prendre plusieurs valeurs. Donc là,

Speaker A

je vais demander à Excel de le faire à ma place. Imaginez à la main, ça serait pas très facile. De faire 100000 lancers de trois dés, de faire la somme des trois dés et de me faire l'histogramme.

Speaker A

Et là, j'observe une forme qui n'a plus rien à voir avec la forme de tout à l'heure.

Speaker A

Tout à l'heure, on avait une loi équiprobable, donc j'avais un phénomène aléatoire qui pouvait produire 1 2 3 4 5 ou 6 et qui avait la même chance de produire 1 2 3 4 5 ou 6. Alors qu'ici,

Speaker A

j'ai bien un phénomène aléatoire qui lui varie entre 3 et 18, donc tact, mais qui ne présente pas du tout la même probabilité de faire 3 que de faire 10 ou 11 ou de faire 18. Cette forme, vous

Speaker A

devez sûrement la reconnaître. Elle ressemble à une forme en cloche et regardez que c'est assez remarquable que cette forme apparaisse maintenant et et et c'est sûrement la raison pour laquelle vous la connaissez, c'est qu'en fait, quand on regarde bien ce qu'on a

Speaker A

fait en lançant trois dés, on a lancé une loi uniforme qui varie entre 1 et 6, c'est le premier dé, une autre loi uniforme qui varie entre 1 et 6, c'est mon 2e dé, une autre loi uniforme qui

Speaker A

varie entre 1 et 6, c'est mon 3e dé, et quand je fais le mélange de ces 3 dés, j'obtiens pas une loi uniforme, j'obtiens une loi qui a une forme que je connais, qui a une forme un peu en

Speaker A

cloche. Et regardez bien, si au lieu de lancer 3 dés maintenant, j'en lançais 6, c'est-à-dire le double, c'est-à-dire le mélange de 6 lois uniformes, j'obtiendrai ?

Speaker A

J'obtiendrai et ben le même type de forme, cette forme qu'on reconnaît très probablement, en tout cas en tout cas beaucoup d'entre vous, et qu'on appelle une loi normale.

Speaker A

La loi normale, en fait, c'est ? C'est la loi qui décrit les phénomènes, enfin le le le résultat de plusieurs phénomènes indépendants qui se mélangent entre eux. Cette loi, on la connaît, elle a une forme connue. Regardez-la sur

Speaker A

mon graphe du dessous, cette courbe en noir, c'est la l'équation de la loi normale. Avec une moyenne et un écart-type, on peut dessiner cette forme, et on voit que cette forme, elle couvre, alors c'est des problèmes d'échelle, hein, mais elle couvre

Speaker A

elle couvre les euh les histogrammes qu'on a obtenus de façon empirique. Cette loi normale, on la connaît très bien pour la raison que je viens d'évoquer, c'est que quand on mélange plein de facteurs, alors sous certaines conditions, j'y viendrai tout

Speaker A

de suite après, mais quand on mélange plein de facteurs, et ben on a une résultante qui est gaussienne. Autrement dit, un phénomène aléatoire qui est aléatoire parce qu'il y a à l'origine de ce phénomène aléatoire plusieurs phénomènes aléatoires qui se

Speaker A

mélangent, on a toutes les raisons de penser, sous un certain nombre de conditions, que ce phénomène va être gaussien. Voilà. Et donc du coup, au lieu de se traîner un histogramme, c'est-à-dire des valeurs et des effectifs, et ben on a une équation,

Speaker A

hein, l'équation de la loi normale, je la rappelle ici rapidement, je vais te la voir, voilà, elle est cachée ici. On a une équation qui décrit la forme en cloche, on la voit en dessous pardon.

Speaker A

On a une équation qui décrit la forme noire ici, et cette équation, elle va nous permettre de faire tout un tas de calculs et notamment des calculs de probabilité. Autrement dit, quand on a un phénomène aléatoire, on est

Speaker A

incapable de dire quand on va lancer nos six dés, quelle est la valeur qu'on va obtenir. En revanche, on sait qu'on peut obtenir des valeurs entre 6 et 36 et on sait dire grâce aux propriétés de la loi

Speaker A

normale, quelle est la probabilité de faire telle ou telle valeur parmi les valeurs possibles. Et ce qui nous intéresse le plus souvent, c'est quelle est la probabilité de faire telle ou telle ou telle valeur comprise dans un intervalle, sachant que notre phénomène

Speaker A

est de type gaussien. Euh, vous me voyez arriver avec ces histoires d'écarts-types et de moyenne, puisque chacun sait très probablement entre vous que quand on a un phénomène gaussien, et ben, on peut définir la probabilité d'obtenir une valeur dans

Speaker A

un intervalle de plus ou moins un écart-type, c'est une valeur très connue, elle est égale à 68 % ce qu'on trouve ici. Donc, on peut calculer ça très facilement avec Excel. Donc, dans un intervalle plus ou moins un

Speaker A

écart-type d'une loi normale, ben, on va pouvoir calculer avec Excel ce qu'il y a en dessous de valeur moyenne moins un écart-type, ce qu'il y a au- en dessous de valeur moyenne plus un écart-type et en faisant la différence des deux

Speaker A

surfaces, on retrouve les 68 % que vous connaissez. Voilà. Donc, les propriétés de la loi normale qu'on retrouve dans ce tableau-là pour des valeurs singulières plus ou moins un écart-type, plus ou moins deux écart-types, plus ou moins trois écart-types sont connues, mais

Speaker A

évidemment, on peut mettre le nombre d'écarts-types qu'on veut, on peut calculer la densité, enfin la surface qui est sous la courbe entre enfin dans l'intervalle plus ou moins un écart-type. Pour revenir sur mes courbes ici, là, je vais faire un petit

Speaker A

dessin là en mode crayon. Ben, dans l'intervalle plus ou moins un écart-type, excusez-moi de dessiner très mal puisque en plus à la souris, c'est pas facile.

Speaker A

En fait, ce qu'on est en train de dire dans le tableau du dessous, c'est que la surface qui est ici sous la courbe à plus ou moins un écart-type représente 68,27 % de la surface. Voilà, c'est une propriété de la loi normale et je redis,

Speaker A

on on connaît bien ces propriétés des lois normales. ? Parce que très souvent quand on observe un phénomène aléatoire, comme il est souvent composé de plusieurs phénomènes aléatoires également, et ben la résultante, le mélange de tous ces phénomènes aléatoires, ça nous donne une

Speaker A

loi normale dont les propriétés doivent être connues et sont souvent enseignées. Voilà, c'est important de connaître ça.

Speaker A

Euh Quand on était petit à l'école, on ne parlait pas d'écart-type. Et on Quand on était petit à l'école, on ne parlait pas d'écart-type. Et et c'est important d'en dire deux mots ici.

Speaker A

Je vais revenir avec un seul dé, je vais le lancer euh une fois. Voilà. Pour définir la loi euh une loi de probabilité, on a dit qu'il fallait avoir une forme. Donc ici, on voit bien qu'on a une forme rectangle, mais il

Speaker A

faut aussi avoir une position, ? C'est-à-dire, j'ai un phénomène aléatoire, mais il varie autour de ? Il varie autour de 1, il varie autour de 100, il varie autour de 0,04.

Speaker A

Il faut bien une variable de position. Cette variable de position, on l'a tous appris à l'école, c'est la variable qui s'appelle une moyenne. Voilà. Il existe d'autres variables de position que sont la médiane par exemple qui coupe la loi

Speaker A

de probabilité en deux, ? Donc avec en dessous de la médiane, 50 % de la population des valeurs possibles, au-dessus de la médiane, 50 % des valeurs possibles. Et on a un un autre paramètre de position qu'on utilise

Speaker A

souvent, c'est le mode, c'est-à-dire la valeur qui revient le plus fréquemment. Dans une loi uni- uni- uniforme, pardon, il n'y a pas de mode puisque toutes les valeurs sont équiprobables. Donc il n'y a pas de mode. Par contre, quand on a

Speaker A

mélangé trois dés, comme on l'a fait tout à l'heure, ici, on voit clairement apparaître un mode, ? Enfin, là, on ne voit pas dans cette simulation malheureusement, mais il est au milieu de notre population, il est par là notre

Speaker A

mode, la valeur la plus fréquente. Et il se trouve que quand on a une loi normale, la moyenne, le mode et la médiane ce sont les mêmes valeurs.

Speaker A

Voilà, c'est une propriété particulière qui n'est pas la même pour toutes les lois de probabilité qu'on va pouvoir rencontrer.

Speaker A

Donc si je reviens à ma à ma loi de probabilité la plus simple, ma loi uniforme, quand je lance un dé, on comprend qu'elle est décrite par cette forme-là, rectangle, qu'elle est positionnée autour d'une valeur moyenne, et là j'insiste pour vous montrer que la

Speaker A

valeur moyenne de ma loi uniforme, c'est 3,52, 3,52, c'est pas une valeur possible du phénomène aléatoire. Donc la valeur moyenne, ce n'est pas du tout comme elle n'a pas comme propriété d'être soit la médiane, soit le mode, puisque dans notre cas, la moyenne, on

Speaker A

sait la calculer, elle vaut 3,52. En tout cas, pour cet échantillon-là, 2000 valeurs, mais elle n'est pas possible, le le phénomène aléatoire un dé ne produit pas la valeur moyenne.

Speaker A

Donc la valeur moyenne, elle n'a pas comme propriété, on verra quelles sont ses propriétés tout à l'heure, elle n'a pas comme propriété d'être soit la plus fréquente, voilà. Bon, là en l'occurrence, elle est elle est la médiane, mais ça la propriété de la

Speaker A

moyenne est différente, voilà. Dans une loi normale, comme la moyenne est égale au mode, c'est la même chose, donc on on a tendance à penser que tout est gaussien et donc que la moyenne est la valeur la plus fréquente, mais ce n'est

Speaker A

pas vrai. Quand le phénomène est uniforme, la valeur moyenne n'est pas du tout la valeur la plus fréquente, puisque toutes les valeurs sont ont la même fréquence.

Speaker A

Ça, c'est pour la variable de position. Ensuite, la variable de dispersion. Vous voyez sur mon petit fichier Excel, j'ai écrit le mot barbare d'écart-type. Je ne vais pas rappeler la formule d'écart-type de l'écart-type, ça n'a aucune espèce d'intérêt, puisque Excel

Speaker A

la connaît. Ce qui est intéressant de comprendre dans l'écart-type, et on verra tout à l'heure en détail, c'est quelles sont ses propriétés, c'est pas quelle est sa formule. Sa formule n'a aucun espèce d'intérêt. Ce qui va nous intéresser, c'est les propriétés.

Speaker A

Euh on entend parler d'écart-type dans sa scolarité que que plus tard. Enfin on n'entend pas ça dès le début de notre scolarité. Pourtant, quand on est jeune et à l'école, quand on quand on est parents et qu'on regarde les notes de

Speaker A

nos enfants, on on a d'autres paramètres qui nous décrivent cette ce ce phénomène de dispersion, hein. Mon phénomène aléatoire, il a une forme, il a une position, il a une dispersion. Le phénomène qui varie dans plus ou moins

Speaker A

un, c'est pas la même chose qu'un phénomène qui varie dans plus ou moins 10 ou un phénomène qui varie dans plus ou moins 0,1. Donc, il faut bien donner une indication sur l'amplitude de la dispersion. Donc, cette indication,

Speaker A

quand on est petit à l'école, on l'a pas sous forme d'écart-type, on l'a sous forme de note minimum de la classe et note maximum de la classe.

Speaker A

Notez que on a gardé ce réflexe de raisonner en mine et en max, très souvent dans nos vies, on résine on raisonne en mine et en max. Voilà.

Speaker A

Alors, à l'école, quand la maîtresse ou le maître nous donnait la note moyenne à nous et la nos enfants, la moyenne la plus petite de la classe et la moyenne la plus grande ou la note la plus grande

Speaker A

de la classe, ça avait du sens. Ça avait du sens ? Parce que le maîtresse la la maîtresse pardon ou le maître, il avait toutes les notes de la classe. Quand on a toutes les notes de la classe,

Speaker A

c'est-à-dire quand on a la totalité de la population parente, alors ça a du sens de dire que la plus petite vaut tant et la plus grande vaut tant. C'est parfaitement sensé puisqu'on a toutes les valeurs. Et regardez par exemple si

Speaker A

je lance trois dés 10 fois. Bah, quand je lance trois dés 10 fois, dans mon échantillon, la valeur la plus petite que j'ai c'est sept et la valeur la plus grande que j'ai c'est 13. Or, nous, on sait très bien que dans la

Speaker A

réalité, la valeur la plus petite qu'on obtient en lançant trois dés c'est trois, donc on est très loin du sept, et que la valeur la plus grande c'est 18, donc on est très loin du 13. Et donc, la

Speaker A

valeur la plus petite et la valeur la plus grande de cet échantillon de vous à moi, n'ont absolument aucun espèce d'intérêt. Voilà. Quand on est face à un échantillon, la valeur la plus petite et la valeur la plus grande ce sont deux

Speaker A

valeurs parmi les valeurs. Si j'ai un autre échantillon de la même loi parente, ben je me rends compte que j'ai pas les mêmes extrémum. Ici, mon plus petit c'est six, alors tout à l'heure c'était sept, et là mon plus grand c'est

Speaker A

15, alors tout à l'heure je crois que c'était 16 aussi, enfin que c'était 16.

Speaker A

Voilà. Donc, vous voyez bien que ces valeurs-là n'ont pas beaucoup d'intérêt. Donc, depuis qu'on est petit, on a l'habitude de décrire on a l'habitude de décrire la dispersion par un mine et par un max parce que dans les notes de la classe, on avait toutes

Speaker A

les notes alors que quand on est face à des échantillons, la température dans mon aquarium, bah si je la mesure de temps en temps, j'ai pas beaucoup de chance d'être tombé sur la valeur la plus petite et la valeur la plus grande,

Speaker A

j'ai des valeurs possibles pour mon aquarium. C'est très important de comprendre ça et donc les statisticiens pour essayer de deviner à travers un échantillon, on verra très bien tout à l'heure, quelles sont les valeurs extrêmes possibles, et ben ils ont mis

Speaker A

au point, ils ont découvert, ils ont inventé, je sais pas comment on peut dire, un outil qui s'appelle écart-type.

Speaker A

Donc l'écart-type, ce n'est pas du tout une formule, l'écart-type, c'est un objet mathématique qui va permettre, sachant les valeurs d'un échantillon ? Qui va permettre de nous faire deviner, de nous faire imaginer quelles sont les valeurs qu'on a pas

Speaker A

vues et qui pourraient pourtant arriver. Donc l'écart-type, c'est un indicateur de la dispersion et cet écart-type, il a des propriétés particulières. On l'a vu tout à l'heure, on va revenir dans notre loi normale là.

Speaker A

Ou à peu près normale. Voilà, on a vu que quand on on était dans un intervalle de plus ou moins un écart-type, on avait 68 % des valeurs.

Speaker A

Cette propriété de 68 % dans plus ou moins un écart-type, elle n'existe que pour la loi normale. Une loi uniforme, elle a aussi un écart-type.

Speaker A

Hein, si je reprends une loi uniforme maintenant, je prends un seul dé. Je lance ma simulation, je peux calculer l'écart-type d'une loi uniforme, il y a pas de problème. Sauf que la propriété d'un écart-type pour une loi uniforme

Speaker A

n'a rien à voir avec la propriété d'un écart-type de loi normale. Il n'empêche que ou la des propriétés.

Speaker A

C'est-à-dire dans une loi uniforme, on sait par exemple on va faire un petit calcul très rapidement on sait que l'écart-type en gros hein là je vais très mal le dessiner euh euh il est au il est à autour d'un 1,7

Speaker A

comme Excel l'a calculé. Donc la moyenne est autour de 3,5 donc 3,5 - 1,7 3,5 + 1,7 hein ça va me donner des valeurs en gros voilà. Donc là en réalité comme j'ai une loi équiprobable voilà la surface dans plus ou moins un écart-type

Speaker A

donc je redis ici c'est la borne la propriété de l'écart-type d'une loi uniforme c'est la borne divisée par racine de 3 donc Q sur racine de 3 ici désolé pour l'écriture Q - Q sur racine de 3 ici

Speaker A

par rapport à une moyenne X barre qui est située ici alors normalement c'est pas très joli hein d'écrire à la à la souris c'est pas très joli. Enfin bon l'essentiel c'est que vous compreniez que finalement la propriété d'un

Speaker A

écart-type dans une loi uniforme c'est ? C'est la surface d'un rectangle par rapport à la surface du grand rectangle qui couvre toutes les valeurs. Donc en fait quand je regarde la surface alors ça c'est un dessin normal ça fait ça. La surface de du

Speaker A

rectangle qui tenait enfin dans lequel enfin à plus ou moins un écart-type de loi uniforme donc un écart-type de loi uniforme c'est Q sur racine de 3 la longueur du rectangle c'est donc 2 Q = 2 x Q la borne de notre rectangle divisée

Speaker A

par donc on peut faire comme ça. Racine de 3 ça c'est la longueur de notre rectangle c'est la valeur de notre rectangle je vais faire comme ça.

Speaker A

C'est la longueur du rectangle de d'amplitude plus ou moins un écart-type. Le rectangle total c'est c'est plus ou moins Q puisque c'est le rectangle total hein donc euh la longueur du rectangle total et si je fais 2 Q divisé par

Speaker A

racine de 3 divisé par 2 Q, ça revient à à faire égal 1 divisé C'est pas facile en webinaire, hein. C'est plus facile avec un tableau blanc.

Speaker A

Quand je vous vois, mais là je vois personne. Divisé par 1 par racine de 3 et donc ça me donne une probabilité de 57 %. Autrement dit, les propriétés d'un écart-type d'une loi uniforme, c'est dans l'intervalle plus ou moins un écart-type, j'ai 58 % des

Speaker A

valeurs possibles du phénomène uniforme. Or, quand j'ai un phénomène gaussien, c'est dans l'intervalle plus ou dans l'intervalle, pardon, plus ou moins un écart-type, j'ai 68 % des valeurs. Donc, il faut noter que l'écart-type on le calcule par la même formule, ? Mais il

Speaker A

n'a pas les mêmes propriétés suivant que la loi soit uniforme, suivant que la loi soit normale ou suivant la loi soit tartempion, parce que des lois, il en existe une infinité. Et donc, les écart-types ont des propriétés dans

Speaker A

chacune des lois, mais leurs propriétés, c'est pas d'avoir toujours le même pourcentage. Voilà, c'est important de bien avoir compris ça.

Speaker A

Donc, je reviens au phénomène gaussien qui nous intéresse le plus souvent. Donc, je vais prendre 3D.

Speaker A

Je vais revenir sur mon phénomène gaussien. Donc, il a cette allure en forme de cloche. On a bien compris qu'on on le connaissait, on en connaissait bien les propriétés parce que c'est celui qu'on rencontre le plus souvent, parce que quand on mélange plein de

Speaker A

phénomènes, la la résultante est gaussienne. Euh ça marche à deux conditions. Pour que, quand on mélange plein de phénomènes ensemble, le phénomène résultant soit gaussien, il faut 1 qu'aucun des facteurs qui est à l'origine du phénomène pèse plus plus

Speaker A

dans le phénomène global de 30 %. C'est-à-dire qu'il faut pas qu'il y ait un facteur, en fait, qui soit aléatoire et qui représente 80 % de la dispersion et d'autres petits facteurs à côté qui représenteraient les 20 % suivants.

Speaker A

Autrement dit, si je mélange une loi uniforme d'amplitude plus ou moins 100 avec une loi euh uniforme d'amplitude plus ou moins 0,1 et une autre loi d'amplitude plus ou moins 0,1, à l'arrivée, j'aurai une loi uniforme d'amplitude plus ou moins 100. Voilà.

Speaker A

Parce que il en a une qui l'emporte sur toutes les autres et comme il y en a une qui l'emporte sur toutes les autres, la résultante n'est pas gaussienne. Donc il est important qu'il y en ait aucune qui

Speaker A

dépasse 30 %. C'est pour ça que je prends 3D parce qu'avec 3D, bah comme les trois pèsent la même chose, les dés sont les mêmes, bah du coup je respecte cette règle à peu près des 30 % puisque

Speaker A

bah chaque phénomène ne pèse que 33 % du phénomène global. Et avec 6D, bah chaque phénomène pèse 1/6e du phénomène global global pardon et je suis encore plus gaussien. Voilà, parce que je respecte cette règle de d'avoir au moins trois facteurs pour que

Speaker A

chacun pèse moins de %. La deuxième condition pour que le phénomène résultant soit gaussien, donc elle est très très importante cette deuxième condition, c'est qu'il faut que les phénomènes soient indépendants entre eux. Euh cette notion d'indépendance, vous allez

Speaker A

voir avec les dés, elle est relativement simple. Imaginons une expérience dans laquelle je lance trois dés, un dé bleu et deux dés jaunes. Donc clairement toi je vais prendre des couleurs d'Excel.

Speaker A

Un dé bleu et deux dés jaunes et imaginons, alors je sais pas le faire pour de vrai mais je sais demander à Excel de le faire, que le dé bleu bah lui il donne des valeurs qu'il donne mais que les deux dés jaunes

Speaker A

tombent systématiquement sur la face opposée l'un de l'autre. Voilà. Alors à la main c'est très compliqué à faire, j'ai jamais réussi.

Speaker A

Par contre Excel je peux lui demander de me lancer trois dés en faisant en sorte qu'il y en ait un qui tombe comme il tombe, un dé bleu, et les et deux autres qui tombent systématiquement sur la face

Speaker A

opposée l'un de l'autre. Alors si je regarde chacun de mes trois dés quand je vais faire maintenant ces bah mon dé bleu, il varie bien de façon uniforme entre 1 et 6. Il y a aucune raison que il varie euh autrement que si que que il

Speaker A

a varié jusqu'à maintenant. Mon premier dé jaune, quand je vais le regarder tout seul, et bah il va bien être une variable aléatoire qui varie uniformément entre 1 et 6.

Speaker A

Sans l'ombre d'un problème. Et le deuxième dé jaune, si je le regarde tout seul, bah ça va être aussi une variable aléatoire qui varie entre 1 et 6 et qui est équiprobable. Donc normalement, quand je mélange mes 3 dés, je devrais

Speaker A

avoir eh ben la même forme que tout de suite, c'est-à-dire une loi normale. Or, pas de chance, ça ne marche pas. Alors, pourquoi dans ce cas-là ça marche ?

Speaker A

Simplement parce que, par construction, les faces opposées d'un dé sont toujours égales à 7. Voilà. Si vous avez un dé sous la main ou si vous en trouvez un dans un tiroir tout à l'heure, vous irez vérifier. Donc, quand on regarde un dé,

Speaker A

eh ben en face du 5, on a toujours le 2, en face du 1, on a toujours le 6 et en face du 4, on a toujours le 3.

Speaker A

Donc, du coup, mon 1er dé bleu, lui, il il varie entre 1 et 6 et c'est lui qu'on voit très probablement euh ici dans dans ma dans la loi uniforme résultante. Mon 2e dé jaune, mon 1er dé jaune, pardon,

Speaker A

il varie uniformément entre 1 et 6, donc il tombe sur une valeur au hasard, n'importe laquelle. En revanche, le 2e dé jaune, lui, il tombe sur la face opposée du 1er dé jaune et on vient de dire que, par construction, la somme des

Speaker A

deux faces fait toujours 7. Autrement dit, mes deux dés jaunes sont bien des variables aléatoires qui varient entre euh 1 et 6. En revanche, la somme de ces deux variables aléatoires donne toujours 7.

Speaker A

Voilà. Donc, et ce phénomène, il vient ? Il vient du fait que les dés jaunes, en fait, ils varient ensemble. C'est-à-dire que la valeur de l'un fixe la valeur de l'autre. Et donc, on dit qu'ils co-varient. Et donc, ça ça fait naître

Speaker A

ce qu'on appelle une co-variance. Voilà. Parce que il y a il y a un phénomène qui fait que la non-indépendance des deux dés jaunes, ben perturbe les propriétés de la loi normale dont on a vu tout à l'heure qu'on a vu tout à l'heure. Et

Speaker A

là, on voit clairement qu'on n'a pas du tout une loi normale. En fait, on a une loi biaisée, c'est-à-dire qu'on a toujours 7 à cause des deux dés jaunes qui sont aléatoires mais en co-variant, ils font toujours 7 tous les deux. Donc,

Speaker A

on a toujours 7 à cause des dés jaunes et ensuite, on a le dé bleu qui varie entre 1 et 6. Donc, 7 + 1 = 8, c'est pour ça qu'on commence à 8. Et 7 + 6 =

Speaker A

13 et donc voilà. Et on se retrouve avec une loi uniforme biaisée, donc qui s'est écartée de 7 et qui varie entre 1 et 6 puisque la seule variable la seule la seule résultante aléatoire en fait de ce

Speaker A

mélange de 3 dés c'est mon dé bleu. Voilà. Donc ça c'est ce qui se passe quand on on on tombe sur des faces opposées.

Speaker A

Maintenant, on peut demander à Excel ce qui se passe quand on tombe sur les mêmes faces.

Speaker A

Alors si je lance la même simulation avec les dés qui tombent sur les mêmes faces, et ben on voit ici qu'on n'a plus du tout une loi uniforme. Voilà. Et on n'a plus non plus une loi normale. Alors je vais prendre

Speaker A

100000 lancers que ce soit plus propre. Donc vous voyez, on a une loi bizaroïde.

Speaker A

Ben voilà, ça tombe comme ça. Alors elle varie elle aussi entre 3 et 18. On remarque que elle a beaucoup plus de chance de faire 3 que quand les dés étaient indépendants. Ben ce qui est normal puisque du coup quand il y en a

Speaker A

un des dés jaunes qui tombent sur un, l'autre il est déjà sur un. Donc du coup il y en a il y a plus que le dé bleu à être sur un pour faire 3 puisque les deux sont vont tomber ensemble et en

Speaker A

même temps sur un. C'est pour ça que on a plus de probabilité de faire 3. Puis après vous voyez que ben 4 on a la même probabilité que 3 puis voilà, on a une loi un peu en gradin qui est un peu

Speaker A

bizaroïde. Euh mais c'est comme ça. Voilà. Donc vous voyez que là quand on ne respecte pas les conditions qui font que un mélange est gaussien, alors on n'a plus une gaussienne et quand on n'a plus une gaussienne, et ben on n'a plus les mêmes

Speaker A

propriétés de l'écart-type. C'est très important de comprendre ça. Les propriétés de l'écart-type sont directement liées à la loi de probabilité et toutes les lois de probabilité ne sont pas gaussiennes.

Speaker A

Tant que j'en suis là, j'en profite pour vous rappeler enfin pour attirer votre attention sur un petit phénomène de ces histoires de probabilité.

Speaker A

Donc je me mettre dans un cas plus classique de de ma loi normale. Ici vous voyez la probabilité de faire 3 enfin la On voit pas la probabilité de faire 3. La probabilité de faire 3 ici, 3 on l'a eu 463 fois. Donc la

Speaker A

probabilité de faire 3 suivant cet échantillon, c'est 463 divisé par le nombre d'observations qu'on a fait.

Speaker A

Voilà. J'ai fait une erreur de frappe. Donc la probabilité de faire 3 c'est 0,46 % voilà.

Speaker A

0,46 % c'est pas beaucoup. En revanche, regardez quand même que on l'a obtenu 463 fois.

Speaker A

Donc la probabilité d'un phénomène, ça veut pas dire si on va le le voir fréquemment ou pas fréquemment. Ça va dépendre du nombre d'opportunités qu'on va lui donner pour se présenter.

Speaker A

Ici, je lui ai donné 100000 opportunités de se présenter et donc sur 100000 opportunités de se présenter, le phénomène qui n'avait que 0,46 % de chance de se produire, et ben il s'est produit 463 fois. D'ailleurs à peu près

Speaker A

autant que le phénomène 18 dans cet cet échantillon, 502 fois. C'est important de considérer ça. En métrologie, on nous dit qu'on calcule des incertitudes pour 95 %. Très bien, ça veut donc dire que dans 5 % des cas, la valeur vraie qu'on

Speaker A

recherche est en dehors de l'intervalle d'incertitude. Alors 5 % des cas, c'est déjà plutôt pas mal, mais quand je suis un laboratoire qui fait des mesures toutes les journées par rapport à un par exemple un laboratoire de biologie

Speaker A

médicale qui fait des milliers de mesures tous les jours, et ben ce 5 % s'applique à des milliers de mesures tous les jours. Et donc ça fait de nombreux cas dans lesquels et ben on croit qu'on est malade alors qu'on est

Speaker A

pas malade ou on croit qu'on est pas malade alors qu'on est malade parce qu'on a beaucoup d'opportunités de se tromper. C'est très très important de de comprendre ça. Il suffit pas d'avoir une faible probabilité pour qu'il y ait pas

Speaker A

de risque. Le le le risque de rencontrer le phénomène, c'est la probabilité multipliée par le nombre d'opportunités que vous offrez à ce phénomène de se produire. Voilà, donc ça c'est important. C'était la première remarque.

Speaker A

La deuxième remarque importante également, me semble-t-il, c'est pourquoi ça fait ça. Pourquoi on n'a pas une loi uniforme quand on mélange 3D alors que les 3D pris indépendamment sont des lois ?

Speaker A

Cette figure que vous avez à l'écran, en fait, elle est la matérialisation d'une loi en statistique qu'on utilise assez souvent qui est la loi des et et la loi des ou. Voilà. En statistique, quand on dit et, on multiplie les probabilités.

Speaker A

Et quand on dit ou, on on additionne les probabilités. Hein. Euh, c'est important. Alors, je reprends l'exemple de la biologie médicale. Quand on veut calculer un risque, ben, en fait, le risque de se tromper quand on fait une mesure, c'est le risque que la

Speaker A

réalité soit ce qu'elle est et le risque de la mesurer autrement. Hein. Donc là, il y a un et, donc il y a une multiplication. C'est-à-dire la probabilité que le phénomène soit ce qu'il soit, une probabilité P1 donnée,

Speaker A

et qu'on le mesure pas comme il est, ça fait fois une probabilité P2 donnée.

Speaker A

Voilà, c'est comme ça qu'on calcule les risques. Le but de ce webinar, c'est pas de calculer des risques. Peut-être que euh, puisque la période de confinement euh augmente, on sera peut-être amené à organiser d'autres webinars dans lequel on pourra parler des risques clients et

Speaker A

des risques fournisseurs, si cette si cette donnée est nécessaire. Je sais pas pourquoi j'ai un truc à l'écran qui est bizarre.

Speaker A

Désolé. Je sais pas ce que vous voyez. Voilà. Excusez-moi. J'espère que tout est revenu normal.

Speaker A

J'ai eu un petit souci d'affichage écran de mon côté. Alors, la loi des et et des ou, on va la comprendre ici sur cette sur cette figure. Pour faire 3, dont on lance 3 dés, ben, en fait, il faut faire

Speaker A

1 avec le dé 1, une chance sur 6, et donc fois une chance sur 6 avec le dé 2, c'est-à-dire pour faire 1 avec le dé 2, j'ai une chance sur 6, et une chance sur six avec le D3. Donc la probabilité de faire

Speaker A

trois quand on lance Ah ben là, ça tombe pile sur le 0,46 % de tout à l'heure, c'est une chance. La probabilité de faire trois quand je lance trois dés, c'est 0,46 %. Et ce 0,46 % multiplié par le nombre d'opportunités

Speaker A

que j'ai donné à mon phénomène de se réaliser égale 462,96. Notez avec moi que c'est la même probabilité pour 18. La probabilité de faire 18, c'est une chance sur six de faire six avec le D1 et donc fois une

Speaker A

chance sur six de faire six avec le D2 et donc fois une chance sur six de faire six avec le D3 égale exactement la même probabilité que de faire trois. Or ici, on voit dans notre échantillon qu'on a

Speaker A

eu 502 18 et 463 trois, tout simplement parce que même avec 100000, ce n'est qu'un échantillon qui n'a aucune raison d'être l'exacte représentation miniature de la loi parente. Et si je relance mon échantillon, ben vous voyez maintenant, moi j'ai 455 et 430, c'est pas

Speaker A

rigoureusement les mêmes valeurs que tout à l'heure, parce que même avec 100000 valeurs, ce n'est qu'un échantillon.

Speaker A

Donc là, on retrouve bien à peu près, d'accord, à l'échantillonnage près, la probabilité de faire trois. Qu'est-ce qui se passe quand on fait ? Ben quand on fait quatre, en fait, on a bien ben en gros la même probabilité,

Speaker A

c'est-à-dire ben une chance sur six de faire un et une chance sur six de faire un et une chance sur et une chance sur six, pardon, de faire deux.

Speaker A

Parce que pour faire quatre, il faut que j'aie 1 + 1 + 2. Donc c'est bien la même probabilité, sauf que là, j'ai un ou.

Speaker A

C'est-à-dire que c'est D1 à 1, D2 à 1, D2 D3 à 2 ou D1 à 1, à 2, D1 à 3 ou D2 à D1, pardon, à 2, D2 à 1 et D3 à 1. Donc j'ai trois combinaisons qui permettent

Speaker A

de faire quatre, alors que j'avais une seule combinaison qui permet de faire trois. Donc la probabilité de faire quatre, elle est 3 fois supérieure à la probabilité de faire 3. Et si effectivement je regarde 1337 divisé par 430 pour prendre

Speaker A

les valeurs expérimentales, je trouve bien à peu près autour de 3. Donc en fait ici, cet histogramme qui représente la loi normale, bah finalement il compte le nombre de proba- le nombre de combinaisons de faire 3, de faire 4, de

Speaker A

faire 5, de faire 10, de faire 11 et de faire 18. Et donc vous voyez que il y a beaucoup plus de combinaisons de faire des valeurs proches de la valeur moyenne que des combinaisons qui conduisent aux valeurs extremum de la distribution.

Speaker A

Voilà. Donc c'est très important de comprendre cette loi des et et des ou parce qu'on l'utilise très très fréquemment en métrologie, notamment dans le calcul des risques.

Speaker A

Donc là, si je résume où j'en suis après 40 minutes d'exposé, on a J'ai essayé, j'espère que j'ai réussi à vous expliquer ce qu'était une loi de probabilité. Donc une loi de probabilité, c'est l'ensemble des valeurs qu'un phénomène peut produire

Speaker A

sachant enfin et en décrivant la probabilité de chacune des valeurs possibles. Donc quand le phénomène est discret, comme quand on lance un dé, bah les valeurs possibles, c'est des valeurs discrètes, 1 2 3 4 5 ou 6. Puis des fois

Speaker A

on parle de phénomènes continus, par exemple la température dans mon aquarium, c'est un phénomène continu.

Speaker A

Euh et donc euh voilà, et ça change pas grand-chose à notre à notre problème de de loi de probabilité, qu'elle soit continue ou discrète, elle a une forme et il y a des valeurs qui peuvent se produire et on sait en calculer la

Speaker A

probabilité. Ça c'est la première chose qu'on a vue, la loi de probabilité. Euh elle peut être différente suivant qu'on ait un un dé par exemple une uniforme, qu'on mélange plusieurs lois uniformes et on a vu que quand les

Speaker A

facteurs étaient pas indépendants, il pouvait aussi se passer des choses bizarres. Donc notre loi de probabilité, elle peut avoir plusieurs formes possibles. Euh il faut garder ça en tête, il n'y a pas que la loi normale qui existe, il y en a il y en a beaucoup

Speaker A

d'autres. Cette loi de probabilité, elle est définie par sa forme, elle est définie aussi dans certains cas, alors je vais pas épiloguer là-dessus, par par paramètres, ? Pour calculer la loi normale qu'on a ici, il nous faut le paramètre moyenne mu ici

Speaker A

et le paramètre écart-type sigma. Avec ces deux paramètres mu et sigma, on est capable de calculer la forme ici de la de la loi normale. Mu 10,49, sigma 2,95, ça me permet de tracer cette courbe.

Speaker A

Donc cette loi de probabilité, elle est définie par des paramètres et les paramètres qu'on utilise le plus souvent, en tout cas pour les lois les plus usuelles, ce sont la moyenne, un paramètre de position, et l'écart-type, un paramètre de dispersion, on en a

Speaker A

parlé tout à l'heure. La dispersion, on ne peut pas quand on est dans dans le monde des échantillons, on ne peut pas définir la dispersion sur la base de l'étendue de l'échantillon, c'est-à-dire la valeur max et la valeur min. On a un

Speaker A

autre outil mathématique qui permet de décrire cette dispersion et on va en voir maintenant très rapidement les propriétés. Avant dans les d'aller dans les propriétés de l'écart-type, je voudrais mon vous montrer quelque chose d'assez euh surprenant.

Speaker A

On va se livrer une petite expérience. On va dire à Excel "Écoute, voilà, tu vas nous lancer un dé." Alors on sait qu'un dé, ça fait une loi uniforme.

Speaker A

Ensuite, tu vas nous lancer deux dés, trois dés, quatre dés, cinq dés jusqu'à 10 dés. Donc mélanger 10 dés ensemble, ?

Speaker A

On va lui dire de nous faire alors bon, peut-être là 100000, c'est beaucoup, on va lui demander de nous faire 1000 fois cette expérience.

Speaker A

? D'aller jusqu'à lancer un dé 1000 fois, lancer deux dés 1000 fois, lancer 10 dés 1000 fois et on va voir ce qui se passe.

Speaker A

On le laisse travailler. Une fois que quelque chose s'affiche sur votre écran. Voilà. Donc quand on lance un dé, bah on a une moyenne de 3,52, on n'est pas surpris. On a un écart-type de 1,73, donc la variance, je ne l'ai pas encore

Speaker A

euh introduite dans l'exposé, ce n'est que le carré de l'écart-type. Alors je sais que certains se disent "Mais alors en tout cas moi, je faisais partie de ces gens qui disaient "Bah alors euh on a un écart-type, alors pourquoi on

Speaker A

appelle euh variance le carré de ? On n'a qu'à dire le carré de l'écart-type." Je vais vous expliquer pourquoi il vaut mieux dire variance que carré des écarts-types.

Speaker A

Vous allez le comprendre très rapidement. Voilà. Donc, quand je lance un dé 1000 fois, je peux calculer une moyenne et un écart-type et donc le carré des écarts-types. Quand je lance deux dés, je peux calculer une moyenne et un écart-type et le carré des

Speaker A

écarts-types ainsi de suite jusqu'à 10 dés. Ce qui va m'intéresser, c'est de regarder comment évolue la moyenne par rapport au nombre de dés.

Speaker A

Donc là, j'ai fait un petit graphe qui nous montre comment la moyenne évolue en fonction du nombre de dés que je lance. Et là, vous voyez que nos points sont singulièrement alignés.

Speaker A

Voilà. Ils sont singulièrement alignés. On voit qu'on a un coefficient de corrélation égal pratiquement à 1. Et donc, regardez l'équation de la de cette droite, hein. Donc, je fais simplement Excel ajouter une droite des moindres carrés. Euh voilà. Pareil pour la

Speaker A

modélisation, il se peut qu'on fasse un webinaire autour des modélisations, surtout en métrologie parce qu'il y a beaucoup beaucoup de choses à raconter là-dessus.

Speaker A

Voilà. Mais là, pour l'instant, je vais prendre la fonction simple d'Excel. Donc, je fais une droite et regardez l'équation de la droite. Alors, elle nous dit Y, c'est-à-dire la moyenne en fonction du nombre de dés. X c'est le

Speaker A

nombre de dés, hein. C'est ce qu'on a en abscisse, c'est le nombre de dés que j'ai lancé dans mon échantillon. Et ben, Y égal environ 3,5 fois le nombre de dés plus bah, pratiquement 0. Or, 3,5, c'est ?

Speaker A

C'est justement la moyenne de 1 dé. Autrement dit, cette équation, elle nous dit ? Elle dit Y, la moyenne de N dés, est égale à N fois la moyenne de 1 dé.

Speaker A

Autrement dit, quand j'ai un phénomène aléatoire qui est composé de trois dés, la moyenne de mon phénomène aléatoire résultant est égale à la moyenne du dé 1 plus la moyenne du dé 2 plus la moyenne du dé 3.

Speaker A

? Il y a une propriété d'additivité des moyennes. C'est la propriété de l'objet moyenne qu'on utilise classiquement et souvent à la place de la notion de mode.

Speaker A

Parce que dans une loi normale, celle qu'on fréquente le plus souvent, bah le mode est égal à la moyenne. Voilà. Mais la propriété de la moyenne, ce n'est pas du tout d'être la valeur la plus fréquente, on l'a vu. La propriété de la

Speaker A

moyenne, c'est qu'elle peut s'additionner avec les autres moyennes dans un phénomène aléatoire complexe, et la moyenne finale est égale à la somme des moyennes des phénomènes qui le composent. Très très important d'avoir compris ça. Voilà. Propriété essentielle quand on va calculer des incertitudes de

Speaker A

de mesure. Voilà. Maintenant, si je je fais la même analyse avec l'écart-type, parce que ça serait bien quand même qu'on ait la chance que l'écart-type du phénomène global ce soit la somme des écart-types qui le composent. Bah là, on

Speaker A

voit que ça se passe pas tout à fait pareil. D'abord, regardez ma courbe, elle est pas du tout alignée. On voit même d'ailleurs qu'elle est elle a une forme en fait, on voit bien que les résidus, c'est-à-dire l'écart par

Speaker A

rapport à la courbe, bah au début, ils sont en dessous, après ils ont l'air d'être au-dessus, et après ils ont l'air d'être en dessous. On voit qu'on a un coefficient de corrélation qui est beaucoup enfin qui est moins bon, qui

Speaker A

est pas mauvais quand même, mais qui est moins bon, mais surtout, j'attire votre attention sur le terme le le l'ordonnée à l'origine de ma courbe.

Speaker A

Ici, ma courbe voudrait me dire que quand je ne quand je lance aucun dé, alors j'ai une variabilité de 1,69, un écart-type de 1,69. Vous voyez, si je prolonge ma courbe ici jusqu'à la droite, bah non, si je si j'ai zéro dé,

Speaker A

je n'ai pas de variation puisque je n'ai pas de phénomène aléatoire. Donc ce 1,69 plus la forme de mes points par rapport à ma droite attire mon attention me disant ça a pas l'air d'être exactement ça. Mais si je fais la même chose

Speaker A

au lieu d'un graphe des écart-types, je fais le graphe des variances, alors là, j'obtiens quelque chose qui me paraît déjà plus intéressant, un R2 qui est meilleur, un une un ordonnée à l'origine qui tend vers zéro, et ici, un terme coefficient

Speaker A

directeur de cette droite 2,80 2,119 pardon, qui ressemble étrangement à la variance de un dé.

Speaker A

Et donc là, comme je n'ai fait que 1000 simulations, on est dans des estimateurs, j'y viendrai tout de suite, et là, on voit en fait à l'écran la propriété du carré des écarts-types.

Speaker A

En fait, quand on mélange, quand on a un phénomène qui se mélange avec plusieurs phénomènes aléatoires, la moyenne du phénomène résultant, c'est la somme des moyennes des petits phénomènes qui se mélangent et la l'écart-type au carré, donc la variance du phénomène global,

Speaker A

c'est la somme des variances qui le composent. Voilà. Donc, les variances ont cette capacité, cette propriété de s'additionner. Alors, quand les phénomènes sont indépendants. Si jamais nos phénomènes n'étaient pas indépendants, alors il existerait un terme de covariance qui viendrait aussi

Speaker A

s'additionner, mais qui peut être négatif, donc il pourrait se soustraire aussi, qui viendrait s'additionner ou se soustraire dans la variance globale du phénomène.

Speaker A

Donc, tant que j'en suis là sur ces propriétés, je vous rappelle notre problématique en métrologie, hein, pour que ça fasse un petit peu sens, c'est que quand on fait de la métrologie, on mélange des facteurs aléatoires. Donc, par exemple,

Speaker A

petit stylo, par exemple, notre mesurande, on pourrait dire que c'est une gaussienne, que notre température, on pourrait dire que c'est une loi en dérivée d'arcsinus, que notre méthode induit une loi par exemple en uniforme, que notre instrument par exemple induit induit une

Speaker A

loi normale une loi normale, que nos opérateurs induisent aussi une dispersion de type gaussien. Bah, à l'arrivée, quand on mélange ces cinq facteurs alors on a une gaussienne, d'accord, de moyenne mu qui est égale à la somme de toutes

Speaker A

les moyennes des phénomènes et de variance qui est égale, désolé pour la qualité du dessin, à la somme des variances qui le composent tout. Donc, en fait, quand on évalue une incertitude de mesure, on fait ? On évalue une loi de probabilité.

Speaker A

L'incertitude de mesure, elle est définie dans le VIM avec une définition un peu exotique, très conceptuelle, qui est absolument incompréhensible. En réalité, on pourrait faire quelque chose de bien plus simple en terme de définition de l'incertitude de mesure,

Speaker A

c'est simplement de dire que l'incertitude de mesure, c'est la loi de probabilité des erreurs de mesure. Quand je fais une mesure, j'ai la valeur vraie, la valeur d'intérêt, d'accord, de mon mesurande, celle que je cherche à connaître. Il se trouve que quand je

Speaker A

vais faire ma mesure, cette valeur cette valeur vraie, je vais pas y accéder parce que tous les facteurs qui font qui participent à la réalisation de la mesure sont imparfaits, tous les facteurs qui participent à la réalisation de la mesure vont amener une

Speaker A

erreur, voilà, comme quand je lance mes dés, chaque dé va amener une valeur, bah là, chaque facteur va amener une erreur.

Speaker A

Et si tous ces facteurs sont indépendants, et s'il y en a pas un qui pèse beaucoup plus que tous les autres, alors la résultante de ces erreurs, qui est un phénomène aléatoire, c'est une loi normale de moyenne somme des

Speaker A

moyennes des phénomènes aléatoires. Donc si on a des biais non corrigés, bah on va additionner les biais pour chacun des facteurs, et dont la variance, c'est-à-dire le le carré de l'écart-type, cette loi normale qui représente la loi de probabilité des

Speaker A

erreurs de mesure, le carré de l'écart-type est égal à la somme de tous les carrés des écarts-types qui composent le processus de mesure. Ça, c'est exactement ce que décrit le GUM, alors avant cette fameuse loi de propagation, et là encore, on aura peut-être

Speaker A

l'occasion de faire un webinar sur l'utilisation du GUM dans l'évaluation des incertitudes de mesure.

Speaker A

Voilà. Donc pourquoi en métrologie on utilise les ? Bah, vous avez l'explication, alors mal dessinée, j'en conviens, euh mais vous avez l'explication sous les yeux. C'est que que une mesure, finalement, c'est la mise en jeu de facteurs aléatoires, et

Speaker A

que la résultante de tous ces facteurs aléatoires, c'est une un facteur aléatoire, et qu'on peut essayer de quantifier en cherchant la moyenne et sa moyenne et son écart-type.

Speaker A

Quand on calcule des incertitudes de mesure, quand on estime des incertitudes de mesure, on calcule des moyennes et des écarts-types.

Speaker A

Alors, pour avancer sur la propriété de l'écart-type, parce que je tiens vraiment à vous faire partager cette cette cette cette observation. Alors, il y aurait beaucoup beaucoup de choses à dire évidemment, mais là on on est sur de la vulgarisation. Donc là, je vais

Speaker A

vous dire l'essentiel de ce qu'il faut retenir pour ce webinar aujourd'hui, c'est ces fameuses propriétés de l'écart-type. C'est fondamental. Alors, je vais demander à Excel dans une autre page de simulation de faire la chose suivante à notre place, ça serait

Speaker A

beaucoup trop long si on le faisait à la main. Je vais lui dire de lancer 3D.

Speaker A

Donc on sait que quand on lance 3D, alors je vais même lui dire allez on va en lancer 5. Quand on lance 5D, on sait qu'on a une loi normale, pas de problème, le mélange de 5D c'est une loi

Speaker A

normale. Je vais lui dire de faire des échantillons de 5 valeurs. Autrement dit, je lance 5D 5 fois. Donc je vais avoir 5 valeurs de lancer de 5D. Et je lui dis de répéter l'opération 300 fois, c'est ce

Speaker A

qui va se passer dans mes colonnes de mon fichier Excel. ? Je vais aller jusqu'à la colonne machin truc. Euh pour faire mes 300 mes 300 simulations. Donc moi je suis je sais que quand je lance 5D, la valeur max que je peux trouver

Speaker A

c'est 30 et la valeur min que je peux trouver c'est 30. Alors, on va lancer nos simulations et on va regarder ce que nous trouvons. Sur le premier échantillon, là il est en train de finir. Je sais pas

Speaker A

si vous voyez mon curseur, donc vous ne le voyez pas, il est en train de finir les 300 échantillons.

Speaker A

J'espère que ça va plus tarder. Donc vous voyez déjà à l'écran en tout cas que dans notre premier échantillon, alors qu'on sait qu'on peut faire entre 5 et 30, dans notre premier échantillon, on observe des valeurs les valeurs : 11

Speaker A

22 16 18 et 25. La valeur la plus grande c'est 25, c'est donc pas 30. La valeur la plus petite c'est 11, c'est donc pas 5. Voilà. Donc notre échantillon, il n'est pas il ne permet pas de déterminer

Speaker A

l'étendue de notre phénomène. Dans l'échantillon numéro 2, la valeur la plus petite c'est 14, on est très loin des 5, la valeur la plus grande c'est 22, on est plus grand que 30, on est largement loin de 30 et ainsi de suite.

Speaker A

Donc si je regarde toutes les valeurs maxis que j'ai obtenues sur mes 300 échantillons.

Speaker A

? Et que j'en calcule la moyenne, et ben en moyenne, quand je lance 5 dés, en moyenne, moyenne, je redis ça veut pas dire grand-chose. Mais ça nous fixe quand même un peu les idées, en moyenne, j'ai 22 au lieu de 30.

Speaker A

Quand je regarde le min, en moyenne, j'ai 12,5 au lieu de 5. Donc autrement dit, je me trompe de 177 % en moyenne, si je regarde simplement le min et le max de mon échantillon. Je redis, mon échantillon n'a aucune raison d'être ma

Speaker A

réalité en tout petit. Mon échantillon, c'est une représentation de la réalité, c'est un petit c'est un tirage au hasard dans une réalité, mais ce n'est pas une une représentation rigoureuse de la réalité. ? Donc on voit ici qu'on se trompe de beaucoup quand on

Speaker A

s'en tient au min et au max. Maintenant, avec la même série de chiffres, mes 5 échantillons que j'ai obtenus, enfin mes 5 valeurs que j'ai obtenues dans mon échantillon 1, je vais pas faire beaucoup plus compliqué tout à

Speaker A

l'heure, je vais calculer la moyenne, ? Je vais calculer l'écart-type de cet échantillon de 5 valeurs. Et comme j'ai un présupposé gaussien, je me dis que dans l'intervalle plus ou moins 3 écart-types, donc moyenne plus 3S ici, moyenne moins 3S ici, ben je devrais

Speaker A

avoir environ 100 % des valeurs de la population parente. Et là, vous allez me dire oui mais 34,6 comme valeur max obtenue à la base de à partir de notre échantillon, c'est pas 30. Ben non, on n'est pas Dieu, on n'est

Speaker A

pas capable de savoir la réalité absolue. Par contre, 34,6 c'est beaucoup plus proche de 30, encore que là ça se discute, euh que des 25 que j'ai vus tout à l'heure. C'est encore plus clair sur mon 27 ici qui est plus proche de 30, ?

Speaker A

Alors tout à l'heure, j'étais euh j'avais 22 simplement, ? Et ici, le minimum que je calcule grâce à ma moyenne et mon écart-type, c'est 7,4.

Speaker A

C'est beaucoup plus proche de la valeur mini du phénomène que le 14 que j'avais obtenu sur ma sur mon simple échantillon. Au même titre que tout à l'heure, j'ai fait la moyenne ici, je sais pas si vous voyez mon curseur.

Speaker A

Là, j'ai calculé le 22 hein. Ici, je suis en colonne je suis je suis dans la cellule H3. C'était la le max qu'on obtenait quand on ne regardait l'échantillon, j'avais 22 au lieu de 30.

Speaker A

Et ben là, si je regarde le max que j'obtiens en utilisant la moyenne et l'écart-type sur mes 300 échantillons, j'ai 28,3. 28,3, c'est pas loin des 30 qui sont la valeur vraie. Et le 5,8 ici que j'obtiens en moyenne sur mes 300

Speaker A

échantillons, c'est pas loin non plus du 5 qui est qui est qui est égal à la valeur vraie. Donc on se rend compte on se rend compte qu'en utilisant les propriétés statistiques de la moyenne et de l'écart-type et

Speaker A

en supposant qu'on se trompe pas sur la loi de probabilité du phénomène qu'on observe, on peut tirer beaucoup plus d'informations de ces cinq échantillons que quand on regarde le mini et le max.

Speaker A

Là, le mini et le max me conduisaient à 25 et à 11, alors que par calcul, on arrive à envisager la réalité sous-jacente à notre petit échantillon de cinq valeurs. C'est absolument fondamental de comprendre ça. Un écart-type, c'est pas une formule, c'est

Speaker A

quelque chose qui nous permet de deviner des choses qu'on n'a pas vues sous réserve d'une certaine connaissance et notamment ici la connaissance de la loi parente. C'est pour ça qu'on parle d'inférence statistique. En gros, dans la dans les statistiques, il y a

Speaker A

plusieurs branches. Il y a de la statistique descriptive où par exemple, c'est celle qui constate et qui fait des des histogrammes. Et nous, ce qu'on utilise, c'est la branche qu'on appelle l'inférence statistique, c'est essayer de deviner la réalité qui est

Speaker A

sous-jacente à un échantillon. Voilà. Donc c'est fondamental de comprendre ça. Donc on mélange plein de trucs c'est gaussien. Quand on a un échantillon, on calcule les paramètres et avec ces paramètres, on est capable de deviner les choses qu'on n'a pas encore vu, ce

Speaker A

qui nous évite d'avoir des centaines de milliers de mesures à faire. Imaginez que quand on casse des voitures contre un mur pour savoir si elles sont conformes, on va pas toutes les casser.

Speaker A

Donc heureusement qu'avec des échantillons, on est capable d'envisager la totalité d'une production. Et ben, c'est exactement le le l'intérêt de ces objets statistiques qu'on utilise.

Speaker A

J'aurais fini et donc on aura pris à peu près 1h. J'aurais fini en vous faisant remarquer la chose suivante, c'est que ma population mère ici, la population parente, c'est 5 B. Si je lance une infinité de fois, je vais obtenir une

Speaker A

loi normale, d'accord, de de d'amplitude qui varie entre 5 et 30. Ah ben, avec et donc cette loi normale, elle a une moyenne mu donnée, la lettre mu, et un écart-type sigma donné que euh sous-jacent à ce phénomène-là. Donc tous

Speaker A

les phénomènes ont un mu et un sigma. Par contre, quand je n'ai pas toutes les valeurs possibles du phénomène, je dois me contenter d'un échantillon et quand j'ai un échantillon, je dois me contenter d'un estimateur de la moyenne, donc X barre, la moyenne

Speaker A

algébrique, celle qu'on utilise tous les jours depuis qu'on est tout petit, c'est un estimateur de mu. Et on comprend bien que c'est un estimateur puisque avec la même population parente, dans mon deuxième échantillon, j'obtiens un autre X barre. Donc X barre ici vaut 18,4, X

Speaker A

barre ici vaut 17,2, X barre ici vaut 17 et ainsi de suite. Ces valeurs-là ne sont que des estimateurs de mu. Et mu, on sait combien ça fait puisque c'est la somme des 5 moyennes, la moyenne d'un dé

Speaker A

c'est 3,5, donc 5 x 3,5 = 17,5. Personne n'a répondu, mais c'est normal, je n'entends pas les micros.

Speaker A

Donc ici, j'ai 18,4, c'est pas 17,5. Ici, j'ai 17,2, c'est pas 17,5 et ainsi de suite. Quand je calcule une moyenne, j'obtiens un estimateur de mu. En fait, j'aimerais trouver mu, mais je ne trouve qu'une une estimation de mu. Et donc,

Speaker A

quand on calcule une moyenne, on devrait avoir le réflexe de calculer un intervalle de confiance dans lequel on a toutes les bonnes raisons de penser que mu se trouve Je ne connaîtrai jamais mu.

Speaker A

Par contre, je peux dire, à partir de ma moyenne calculée et des valeurs de mon échantillon, dans quel intervalle se trouve mu, comme un métrologue va pouvoir dire, en faisant une mesure et en connaissant l'incertitude de mesure, dans quel intervalle se trouve la valeur

Speaker A

vraie. C'est exactement la même chose. Cet intervalle, quand on calcule des moyennes, on on l'établit grâce aux propriétés d'une loi qui s'appelle la loi de Student. Hein.

Speaker A

Donc, on sait faire ça très facilement avec Excel, c'est pas l'objet de ce webinar, mais on devrait systématiquement, quand on calcule un estimateur, se donner une idée de l'intervalle dans lequel se trouve la valeur qu'on cherche réellement, c'est-à-dire mu. Et de la même façon, on

Speaker A

peut pas dire, quand on compare deux échantillons, que cet échantillon a une moyenne différente de celui-là. On peut dire que l'estimateur de moyenne de l'échantillon 2 n'est pas le même estimateur de moyenne que l'échantillon 1. En revanche, est-ce qu'on peut dire

Speaker A

que que les populations parentes qui se cachent derrière sont différentes, c'est-à-dire est-ce que mu2 est différent de ? On peut pas le dire simplement algébriquement, en comparant x barre 2 et x barre 1. C'est C'est fondamental de comprendre ça. Et c'est

Speaker A

pour ça qu'on fait beaucoup de tests en statistique. La question, c'est pas de savoir est-ce que 17,2 c'est différent de ? La réponse algébriquement, c'est oui. La question, c'est est-ce que le mu qui se cache derrière 17,2, sachant

Speaker A

l'échantillon qu'on a obtenu ici, est-ce que ce mu là, c'est le même que le mu qui se cache derrière l'échantillon 1, dont le x barre est 18,4 et dont les cinq échantillons que j'avais obtenus sont les valeurs que je

Speaker A

souligne ? Vraiment, c'est fondamental de comprendre ça. Ce que je viens de dire pour les moyennes, c'est vrai de la même façon pour les écarts-types. Quand je calcule l'écart-type d'une série de cinq valeurs, ce n'est pas sigma. Ce que

Speaker A

j'obtiens, c'est un estimateur de sigma. Et en statistique, on a l'habitude de l'appeler S, petit S. Petit S est un estimateur de sigma. Et quand je calcule petit S sur la base d'un échantillon, et là, pour en mettant une condition, c'est

Speaker A

si ma population parente est effectivement gaussienne, alors je sais calculer un intervalle de confiance dans lequel se trouve sigma. Et cet intervalle de confiance, je sais le calculer avec les propriétés de la loi du khi deux. C'est la loi du khi deux

Speaker A

qui va me permettre de fixer, de déterminer un intervalle de confiance dans lequel j'ai toutes les chances de trouver sigma sachant les valeurs de l'échantillon que j'ai obtenu. Sachant aussi, évidemment, que le S que j'obtiens, 5,41 pour le premier

Speaker A

échantillon, ce n'est pas sigma. La preuve, c'est qu'avec la même population parente, le S que j'ai dans l'échantillon deux, eh ben, ce n'est pas 3,27. Enfin, le sigma, c'est pas 3,27.

Speaker A

Et comme on a dit tout à l'heure pour comparer deux moyennes, on ne pouvait pas le faire de façon algébrique, eh ben, on peut pas non plus, de façon algébrique, comparer des écart-types. Ça n'a aucun sens de dire "Je fais trois

Speaker A

séries de cinq mesures et je prends le plus grand des écart-types des trois séries." Ça n'a aucun sens. Il faut d'abord savoir si les trois estimateurs d'écart-types sont cohérents entre eux.

Speaker A

Et si ensuite j'avais une bonne idée, une bonne chose à faire, ça serait plutôt de prendre la moyenne des variances et pas la moyenne des écart-types, plutôt que de prendre le plus grand parce qu'en prenant le plus grand, j'ai

Speaker A

toutes les chances de majorer la réalité. Voilà ce que je voulais partager avec vous euh au cours de ce ce premier séminaire.

Speaker A

Euh je vais laisser de place maintenant pour prendre, si vous en avez, euh quelques questions euh que je vais recevoir normalement dans le temps qui vient.

Speaker A

Euh est-ce que parmi vous des gens se sont posé des ? C'est un peu compliqué de de de faire c'est c'est pas ma 1re expérience expérience pardon de webinar.

Speaker A

C'est ma la 2e la 1re a eu lieu il y a très très longtemps mais c'est quand même très très compliqué de pas avoir le plaisir de vous voir on voit pas les visages des gens on voit pas les

Speaker A

interrogations. On voit pas on voit pas les les réactions de la salle. Voilà mais c'est une nouvelle expérience je crois qu'il va falloir qu'on s'y habitue dans ces dans ces temps un peu perturbés. Donc ma foi j'étais très content de de faire ça.

Speaker A

Donc dans les questions que j'ai retenu on me demande est-ce que l'écart-type c'est ? Euh oui oui et non j'allais dire enfin en tout cas non si je prends si je fais cinq mesures de la température de mon

Speaker A

aquarium tout de suite ça va pas me donner la dispersion des températures dans mon aquarium. ? Parce que ben en faisant ces cinq mesures je vais certes trouver un écart-type mais il y a beaucoup d'autres facteurs et notamment

Speaker A

le temps qui passe. Donc que je sais pas dire du tout je sais pas dire du tout sur la base de cet écart-type si ça me donne des choses sur la réalité de la température de mon aquarium. Et comme

Speaker A

vous l'avez vu en fait l'écart-type je parle ? Je parle de l'écart-type résultant c'est-à-dire du phénomène global qui est le mélange de tous les facteurs qui qui se qui est qui se qui se qui se réalise au moment des mesures

Speaker A

ou est-ce que c'est un des écarts-types qui composent le ? Si c'est un des écarts-types qui composent le mélange ben c'est un des composants de l'incertitude. Si si c'est l'écart-type de plusieurs mesures que j'ai faites pour que ce soit représentatif de cette

Speaker A

incertitude, il faut que j'ai fait varier tous les phénomènes qui contribuent à faire les mesures.

Speaker A

C'est-à-dire que pour que ce soit cet écart-type mon incertitude de mesure, il faut que j'ai fait varier mes opérateurs, il faut que j'ai fait varier mon environnement, il faut que j'ai fait varier mes instruments, il faut que j'ai

Speaker A

fait varier mes méthodes, il faut que j'ai fait varier plein de choses. Autrement dit il faut que j'ai fait une comparaison interlaboratoire. C'est exactement ce qu'on fait dans une comparaison interlaboratoire. on prend le même objet, on fait mesurer dans

Speaker A

plein de laboratoires différents pour faire bouger tous les facteurs et ensuite on regarde bah l'écart-type résultant. Bon, c'est un tout petit peu plus compliqué que ça puisque quand on calcule des écart-types, je l'ai pas dit là, j'ai pas le temps pendant une heure

Speaker A

mais faut déjà s'assurer qu'on n'a pas de valeur aberrante dans les séries de mesures qu'on obtient. Parce que évidemment, déjà quand on n'a pas de valeur aberrante, les estimateurs qu'on calcule sont pas bons.

Speaker A

Bah, sont pas la réalité. Si en plus dans l'échantillon on a des valeurs complètement déviantes, alors là je vous laisse je vous laisse deviner ce qui se passe sur mes estimateurs, ils sont complètement aux fraises. Euh, donc voilà, il y a beaucoup de précautions à

Speaker A

prendre pour traiter les données. Là, c'était un tour d'horizon des propriétés statistiques mais évidemment, il y a beaucoup de choses à creuser. La question deux qu'on me pose, c'est est-ce qu'une loi uniforme c'est la même chose qu'une loi ? La réponse est oui.

Speaker A

Euh, pour les lois équiprobables, on dit on on on a plusieurs vocabulaires, ça facilite pas les choses, on en convient.

Speaker A

On peut dire est-ce que la loi enfin on peut appeler la loi équiprobable, on peut parler d'une loi uniforme puisque elle a la même chance de faire toutes les valeurs qu'elle peut présenter. On parle aussi de loi rectangle pour la

Speaker A

représentation graphique que ça a quand quand je montre un rectangle. Des fois, on arrive même à dire que elle est carrée puisque bah un rectangle un carré c'est un rectangle particulier. Donc voyez, il y a il y a plusieurs mots, ça

Speaker A

ne facilite pas les choses mais oui, uniforme, équiprobable, carrée, c'est la même chose. Euh, question numéro trois, nombre de simulations égale nombre d'essais en situ- en situation d'un labo. Euh, ouais, non, là on peut pas le dire exactement comme ça euh parce que dans

Speaker A

le nombre d'essais en situation d'un labo, on on produit des échantillons. Si c'est ça la question quand on fait un essai interlaboratoire, on ne demande pas au laboratoire de mesurer un milliard de fois le phénomène. On on lui

Speaker A

dit de mesurer trois fois. Donc trois fois, c'est un échantillon, euh c'est pas de la simulation de Monte Carlo. La simulation de Monte Carlo, c'est quand on connaît les phénomènes en jeu comme je j'ai partagé avec vous avec mes dés,

Speaker A

quand on les connaît, alors on peut demander à Excel de les simuler et quand on lui demande de les simuler à Excel ou autre, il y a plein d'outils pour faire de la simulation numérique, on se contente pas

Speaker A

de lui demander trois fois, quatre fois, cinq fois, on peut lui demander un million de fois. Donc la simulation numérique, c'est toujours partir de phénomènes connus et de les faire simuler à la machine pour regarder comment enfin ce qui se

Speaker A

passe sachant les phénomènes connus qui sont en entrée. Voilà, donc on peut se servir de la simulation numérique pour faire plein de choses. Euh mais voilà, donc c'est pas la même chose que le nombre d'échantillons en situation dans un

Speaker A

labo. Ensuite, j'ai une autre question, "Métrologie industrielle, afin de déterminer la reproductibilité de mesure, quel est le nombre de mesures ?

Speaker A

Quelle est la grandeur statistique qui permet d'estimer la reproductivité des ?" Alors, quel est le nombre de de mesures ?

Speaker A

Je l'ai un peu évoqué très rapidement quand je vous dis "On peut déterminer un intervalle de confiance gra- sur un écart-type grâce à la loi du qui deux." Vous comprendrez aisément que plus j'ai d'échantillons à à ma disposition pour

Speaker A

calculer S et plus l'intervalle de confiance grâce au qui deux va diminuer. Donc tout ça, c'est des histoires de ratio. C'est-à-dire que on n'est pas obligé de se dire "Il faut toujours que je fasse plein de mesures pour être

Speaker A

super sûr de de bien connaître mon sigma parce que des fois, on est face à des phénomènes qui sont négligeables et on peut on peut on peut effectivement dans un calcul d'incertitude se rendre assez vite compte que tel phénomène est

Speaker A

négligeable, donc c'est pas la peine d'investir dans ce phénomène-là et d'avoir des millions de valeurs si ce phénomène pèse 1 % de l'incertitude globale, que je le connaisse à 5 % près ou à 10 % près, s'il pèse 1 % ça ne

Speaker A

change rien à mon incertitude globale. Donc le nombre d'échantillons qu'il faut pour déterminer un écart-type, ça dépend vraiment du contexte dans lequel on veut le déterminer, c'est une question très subtile qui nécessite d'avoir bien compris toute cette question de la

Speaker A

qualité des estimateurs. Euh quelle est la grandeur statistique qui permet d'estimer la reproductivité de ? Alors derrière le mot reproductivité, on peut mettre plein de choses. Euh si on l'utilise au sens du BIM, donc reproductibilité ça ressemble à la fidélité intermédiaire. Alors là

Speaker A

la grandeur qui permet de qualifier une fidélité intermédiaire, c'est un écart-type. Si après on considère la reproductibilité de mesure au sens de la 57 25 c'est-à-dire bah l'incertitude globale d'une méthode de mesure, ça peut être effectivement un écart-type ou un

Speaker A

certain nombre de fois l'écart-type puisque vous le savez pour ceux qui font d'entre vous qui sont dans la métrologie qu'on a décidé de déterminer nos incertitudes avec des niveaux de confiance de 95 % c'est pour ça qu'on parle d'incertitude élargie et

Speaker A

donc du coup on élargit avec un facteur d'élargissement qui permet d'atteindre le niveau de confiance choisi. Donc si on on a un présupposé que la loi de probabilité des de la des erreurs de mesure donc l'incertitude de mesure est

Speaker A

gaussienne, et ben le facteur d'élargissement qui nous donne un niveau de confiance de 95 % c'est à peu près deux. Donc il est d'usage d'utiliser deux auquel cas là ça sera deux fois l'écart-type.

Speaker A

Question 5 alors je j'espère que je réponds c'est compliqué là encore je n'ai pas dans vos yeux je je lis pas si si j'ai répondu clairement à vos questions qui sont intéressantes mais compliquées à débattre. Il faudrait peut-être pour

Speaker A

certaines des heures de discussion. Question 5 est-ce qu'il est possible d'envoyer le fichier Excel utilisé pour le ?

Speaker A

La réponse est oui. Je peux vous le fournir voilà. Donc si vous avez envie vous amuser en cliquant sur les boutons pour observer les phénomènes je crois qu'il y a comme ça en tout cas pour ma part c'est comme ça que j'ai compris les

Speaker A

statistiques c'est grâce aux simulations numériques et c'est en ayant en s'étant approprié ces objets de simulation et en ayant compris ce qui était un estimateur, ce qui était un un échantillon, ce qui était un histogramme.

Speaker A

Donc oui pour ceux qui veulent s'amuser on peut fournir ce fichier Excel il suffit de le demander à l'adresse métrologie qui s'affiche là que vous vous tout à l'heure à l'écran.

Speaker A

métrologie sans accent et sans majuscule at deltamus.com. Euh et du coup, vous demandez en question 6 est-ce que ce webinaire est ?

Speaker A

Alors oui, il sera mis normalement à disposition sur notre chaîne YouTube très rapidement et et donc on enverra ça dans notre prochaine newsletter pour ceux qui sont abonnés à la newsletter de deltamus et de toute façon, on partagera

Speaker A

aussi le lien de notre chaîne YouTube sur sur LinkedIn euh puisque ben j'imagine que beaucoup d'entre vous euh beaucoup d'entre vous sont euh Voilà, on me demande de remettre la webcam. Donc beaucoup d'entre vous nous ont enfin ont ont eu connaissance de ce

Speaker A

webinaire aussi grâce aux réseaux sociaux. Donc voilà, donc suivez notre actualité sur les réseaux sociaux puisque on va proposer d'autres webinaires. On en a un vendredi qu'Olivier Demars euh un des collaborateurs de deltamus va animer sur la méthode Opérat qui est une méthode

Speaker A

d'optimisation des périodicités d'étalonnage qui repose aussi sur des fondements statistiques comme tout ce qui est fait en métrologie. Donc pour ceux qui sont pas encore inscrits, ben peut-être que vous pourriez, si vous avez apprécié cette session, ben nous

Speaker A

rejoindre aussi à la session d'Olivier vendredi et guettez notre actualité. Euh on vous a posé une question pour savoir si vous vouliez d'autres d'autres thématiques. Il est très probable que dès la semaine prochaine, on organise d'autres webinaires sur d'autres

Speaker A

thématiques et ben pour répondre à vos attentes. Voilà. Ben il me reste à vous remercier tous euh d'être restés présents pratiquement jusqu'au bout hein. Le nombre de participants n'a pas beaucoup fluctué donc donc euh donc du coup, c'est très bien

Speaker A

que que on ait réussi à vous captiver sur la question des statistiques jusqu'à maintenant. Je vous dis à très bientôt sur un autre sujet euh ou par un échange sur les réseaux sociaux ou par mail et je vous souhaite ben un bon confinement,

Speaker A

prenez soin de vous et merci beaucoup pour tout. Au revoir. Bonjour Olivier Demars, je me permets juste de prendre la parole en cette fin de de webinaire. Vous avez été nombreux à à nous envoyer vos vos questions en

Speaker A

fin de session, on n'a pas pu toutes les transmettre à Jean-Michel. Euh, il est possible de lui les envoyer euh par mail, nous les envoyer par mail à l'adresse indiquée ci-dessous hein, [email protected] et nous ferons l'effort de de répondre à

Speaker A

tous. Merci et euh et à bientôt pour de nouveaux webinaires. Au revoir.

Topics:métrologiestatistiquesprobabilitésincertitude de mesurehistogrammeloi de probabilitéécart-typeéchantillonnagereproductibilitéDeltamu

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