Основные тождества | Математика

[Музыка] Салют! Это проект Финк, и сегодня мы с вами поговорим о полезных формулах тригонометрии. Давайте посмотрим, что у нас сегодня по плану. Во-первых, у нас основное тригонометрическое тождество, которым мы с вами уже говорили в уроке про тригонометрическую окружность.

Также у нас есть тригонометрические формулы для суммы и разности аргументов, и из них уже выводится формула для двойного и тройного угла. Далее у нас по плану формулы понижения степени, которые вытекают из формул двойного угла, и помимо этого формула произведения тригонометрических функций и суммы и разности тригонометрических функций, которые используются уже намного реже и не так нужны, но полезно о них знать.

Давайте начнем, пожалуй, с основного тригонометрического тождества. Это то, на чем стоит вся тригонометрия по сути. Основное тригонометрическое тождество у нас дает связь между синусом и косинусом. Мы выводили это на тригонометрической окружности с помощью теоремы Пифагора, и выглядит она очень просто: сумма квадрата синуса и квадрата косинуса равна единице, потому что у нас окружность единичная, а ось и соответственно синус и косинус.

Для острых углов это так и выводится: строится треугольничек, если вы можете вспомнить на тригонометрической окружности, и для него записывается теорема Пифагора. Давайте перейдём к следующему пункту. А следующий пункт — это формула, которая выводится из основного тригонометрического тождества. С помощью основного тригонометрического тождества мы можем выражать квадрат косинуса через квадрат тангенса и через квадрат котангенса, и аналогично квадрат синуса выразить через квадрат котангенса и через квадрат тангенса. Ставьте видос на паузу, скриньте или записывайте себе в тетрадь, если вы смотрите наш видос за столом.

А теперь перейдем к следующему пункту — это основное тригонометрическое тождество и пример задачи на него. Давайте посмотрим на задачку: нам нужно найти синус, если котангенс равен 2 корня из 2, и ещё x принадлежит какому-то странному промежутку от 3,5 до 7 пи пополам. Я бы даже поначалу подумал, что это party, алсо решают задачу, но здесь на самом деле нет ничего сложного. Мы можем промежуток разложить, то есть три пи — у нас 2 пи + пи, а 7 пи пополам — это три пи плюс пи пополам, то есть у нас по сути угол от пи до 3 пи пополам, то есть это угол третьей четверти, в которой косинус отрицательный и синус отрицательный. То есть мы делаем вывод, что синус имеет знак минус, и теперь с помощью наших формул мы просто-напросто выражаем синус и получаем, что синус x будет равен минус 1/3, то есть ответ минус одна треть.

А дальше мы поговорим о тригонометрических формулах для суммы и разности аргументов, и после этого перейдём к двойным и тройным углам. То есть у нас есть формула синуса суммы углов, синуса разности углов, косинуса суммы углов и косинуса разности углов, и также формулы, которые выводятся из вот этих вот четырёх, это для тангенса, и для котангенса вы можете просто перевернуть формулу для тангенса. Снова можете поставить на паузу и заскринить, вот эта вот вещь, или переписать в тетрадку. А мы пойдем дальше и посмотрим на формулы двойного угла, которые вытекают из предыдущих. Синус двойного угла, соответственно, равен произведению удвоенному синуса на косинус. Косинус двойного угла, во-первых, равен разности квадратов косинуса и квадрата синуса.

А также есть альтернативные формулы: если мы выразим синус через основное тригонометрическое тождество через косинус, то получится удвоенный квадрат косинуса минус единица. И также мы можем косинус выразить через синус с помощью тригонометрического тождества и получить, что косинус двойного угла равен единице минус 2 синуса квадрат x. Также мы можем получить тангенс делением вот этих вот формул и выразить синус тройного угла: собственно, синус двойного угла плюс одинарный, и потом расписывается двойной угол ещё раз через эти формулы, и получается вот такое выражение. И для косинуса тройного угла тоже есть своя формула.

А теперь давайте посмотрим пример задачи на формулы двойного угла. У нас есть синус двойного угла, который нужно найти, и нам дан косинус какого-то угла, и он равен 0,6, и сказано, что угол лежит в промежутке от пи до двух пи, и соответственно это угол либо третьей четверти, либо четвёртой. Мы можем также сказать, что это точно угол четвёртой четверти, потому что косинус у нас положителен именно в четвёртой четверти, поэтому третью четверть мы в расчёт не берём. Но нам это не важно, потому что синус угла либо третьей, либо четвёртой четверти он будет отрицательным, поэтому мы просто берём формулу двойного угла и подставляем в неё выражение для синуса, а синус у нас, собственно, будет корнем из единицы минус косинус квадрат альфа. И поэтому, подставляя наши значения, можем получить ответ минус 0,96.

Давайте перейдём к формулам понижения степени. На самом деле здесь нет ничего хитрого, несмотря на странное название, это просто следствие из формулы для двойного угла. То есть если у нас есть, например, синус квадрат x, то мы можем его выразить через косинус двойного угла: единица минус косинус 2x пополам. То есть если мы проведём тождественные преобразования, то мы получим формулу для косинуса двойного угла. Также аналогично и для косинус квадрат x можем получить. Легко формулу для квадрата тангенса, для квадрата котангенса. Также мы можем встретить другие обозначения через половинный угол, то есть если у нас есть квадрат половинного угла, то мы можем вот привести к одинарному углу в первой степени.

Давайте посмотрим на формулы произведения тригонометрических функций. Они уже пригодятся реже, поэтому мы просто их просмотрим. Вы заскриньте или запишите, и мы пойдем дальше. Итак, у нас есть формула для произведения синуса на косинус, есть формула произведения синусов различных аргументов, есть формула произведения косинусов различных аргументов. Рано, верну, заскриньте. А теперь пойдем дальше. Уже у нас есть формула суммы и разности. Также, то есть, складывая синусы, получим 2 умножить на синус полу суммы аргументов и косинус пола разности. Аналогично для разности можем выразить и для формулы косинуса, а также для разности косинусов, для суммы тангенсов и для разности тангенсов, суммы котангенсов и разности котангенсов. Скриньте и пойдем дальше.

Дальше у нас пример задач на эти формулы. Первая задача: нам нужно найти значение данного выражения. Выглядит очень сложно, но ничего сложного тут не будет, если мы заметим, что у нас сверху в числителе 17 градусов, а снизу 34, и мы знаем, что 34 — это в принципе 17 умножить на 2, поэтому нижнюю, то есть знаменатель, мы можем расписать через формулу косинуса двойного угла и получить ответ, потому что то, что написано в числителе в скобках, с точностью до знака совпадает со знаменателем, и при сокращении даёт минус единицу. Таким образом, мы получим просто минус 15.

Теперь посмотрим ещё одну задачку. Нам нужно найти значение выражения 2 синус 10 альфа, разделить на 5 косинус 5 альфа. Здесь мы точно также замечаем, что 10 альфа — это 2 умножить на 5 альфа, поэтому числитель мы можем расписать по формуле двойного угла. Соответственно, косинус у нас сократится, и останется четыре пятых на синус 5 альфа. И в начале в условиях у нас сказано, что синус 5 альфа у нас равен минус 0,5, и поэтому мы подставляем это всё дело в выражение и получаем ответ 0,4 со знаком минус, конечно же.

Теперь посмотрим на задачи для самостоятельного решения. Нам нужно найти синус, если известен косинус двойного угла и да, на принадлежность угла. Также нам нужно расписать синус четвертого угла через синус одинарного и косинус одинарного аргумента, а также нужно найти косинус, если известен тангенс и да, на принадлежность угла какой-то четверти.

А теперь давайте подведём итоги. Сегодня мы с вами вспомнили основное тригонометрическое тождество, также вывели из него несколько полезных соотношений для квадрата косинуса и квадрата синуса через тангенс и котангенс, а также вспомнили формулы суммы и разности аргументов, из которых получили формулы для двойного и тройного угла. Помимо этого мы также получили некоторые полезные формулы, которые вы могли себе переписать. Они редко встречаются, но полезно о них знать.

А на сегодня у нас всё. До новых встреч, всем пока! [Музыка]

лежит промежутке от пи до двух и соответственно это угол либо третьей четверти либо 4 мы можем также сказать что это точно угол 4 четверти потому что косинус у нас положителен именно в четвертой четверти поэтому третью четверть мы в расчет не

берем но нам это не важно потому что синус угла или третьей или четвертой четверти он будет отрицательным поэтому мы просто берем формулу двойного угла и подставляем в нее выражение для синуса а синус у нас собственно будет корнем из единице минус

косинус квадрат альфа и поэтому мы подставляя наши значения можем получить ответ минус 0,96 давайте перейдем к формулам понижения степени на самом деле здесь нет ничего хитрого несмотря на странное название это просто следствие из формулы для двойного угла то есть если у нас есть

например синус квадрат x то мы можем его выразить через косинус двойного угла единица минус косинус 2x пополам то есть если мы проведем тождественные преобразования то мы получим формулу для косинуса двойного угла также аналогичном и для косинус квадрат x можем получить

легко формулу для квадрата тангенса для квадрата котангенса также мы можем встретить другие обозначения через половинный угол то есть если у нас есть квадрат половинного угла то мы можем вот привести к одинарном углу в первой степени давайте посмотрим на формула

произведения тригонометрических функций они уже пригодятся реже поэтому мы просто их просмотрим вы заскринить и или запишите и мы пойдем дальше и так у нас есть формула для произведения синусы на косинус есть формула произведения синусов различных аргументов есть формула

произведения косинуса в различных аргументов рано верну заскриньте а теперь пойдем дальше уже у нас есть формула суммы и разности также то есть мы складывая синуса получим 2 умножить на синус полу суммы аргументов и косинус пола разности аналогично для разности можем

выразить и для формулы косинуса а также для разности косинусов для суммы тангенсов и для разности тангенсов сумма к тангенсов и разность котангенса скрин от и пойдем дальше дальше у нас пример задач на эти формулы 1 задача нам нужно

найти значение данного выражения выглядит очень сложно но ничего сложного тут не будет если мы заметим что у нас сверху в числителе 17 градусов а снизу 34 и мы знаем что 34 это в принципе 17 умножить на 2 поэтому нижняя то есть знаменатель мы

можем расписать через формулу косинуса двойного угла и получить ответ потому что у нас то что написано в числителе в скобках она с точностью до знака совпадает со знаменателем и при сокращении дает минус единицу таким образом мы получим просто -15

теперь посмотрим еще одну задачку нам нужно найти значение выражения 2 синус 10 альфа разделить на 5 косинус 5 альфа здесь мы точно также замечаем что 10 альфа это 2 умножить на 5 альфа поэтому числитель мы можем расписать по

формуле двойного угла соответственно косинус у нас сократятся и останется четыре пятых на синус 5 альфа и в начале в условий у нас ладно что синус 5 альфа у нас равен минус 0,5 и поэтому мы подставляем это все дело в выражение и получаем ответ

0,4 со знаком минус конечно же теперь посмотрим на задачи для самостоятельного решения нам нужно найти синус если известен косинус двойного угла и да на принадлежность угла также нам нужна расписать синус четверного угла через синус одинарного и косинус одинарного

аргумент а также нужно найти косинус если известен тангенс и да на принадлежность угла какой-то четверти а теперь давайте подведем итоги сегодня мы с вами вспомнили основное тригонометрическое тождество также вывели из него несколько полезных соотношений для квадрата косинуса и

квадрата синуса через тангенс и котангенс а также вспомнили формула суммы и разности аргументов из которых получили формулу для двойного и тройного угла помимо этого мы также получили некоторые полезные формулы которые вы могли себе переписать они редко встречаются но

полезного не о них знать а на сегодня у нас все до новых встреч всем пока [музыка]