Speaker A
Acá estamos, profe. Perfecto. Bueno, ahí estamos. pongo a grabar y seguimos con lo último que nos faltaría de esta parte de integral indefinida, que sería la parte de ecuaciones diferenciales, que es lo último.
Clase de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con variables separables: definición, comprobación de soluciones, solución general y particular, y ejercicios de aplicación.
Key Takeaways
- Una ecuación diferencial de variables separables se resuelve separando variables e integrando ambos lados.
- Comprobar una solución consiste en sustituir la función y su derivada y verificar que se obtiene una identidad.
- La solución general contiene una constante C; asignando un valor a C se obtiene una solución particular.
- En ecuaciones diferenciales basta con una constante de integración tras integrar ambos miembros.
What the video covers
- Se introduce la definición de ecuación diferencial como relación entre una función desconocida y sus derivadas.
- Se estudian ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con variables separables como tipo central de la clase.
- Se explica cómo comprobar si una función es solución de una ecuación diferencial sustituyéndola y verificando la identidad.
- Se resuelve una ecuación separando variables e integrando ambos miembros, con la constante de integración.
- Se distingue entre solución general (infinitas soluciones según la constante C) y solución particular (para un valor determinado de C).
- Se discute por qué en ecuaciones diferenciales basta una sola constante de integración al integrar ambos lados.
- Se resuelve un problema de aplicación sobre enfriamiento/temperatura de una habitación usando una ecuación proporcional a la diferencia de temperaturas.
- Se trabajan ejercicios de integración como sustitución, integración por partes y el uso de funciones inversas exponencial y logarítmica.
- Se cierra indicando que el práctico cinco queda completo con los temas vistos en la clase.
Chapters
- 00:00Inicio de la clase y presentación del tema
- 03:00Definición de ecuación diferencial y tipos
- 06:20Comprobación de una solución
- 14:00Resolución por variables separables y constante de integración
- 30:50Solución general y solución particular
- 40:00Problema de aplicación: temperatura de una habitación
- 50:00Ejercicios de integración y métodos
- 69:10Cierre y práctico 5
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ahí están viendo. Entonces, sí, ahí se ve perfecto. Bueno, y la tercera parte entonces es la parte de ecuaciones diferenciales.
Speaker A
Primero vamos a ver qué es y cómo se resuelve una ecuación diferencial. La definición dice que una ecuación diferencial es una ecuación matemática en la que aparece una función desconocida y una o más de sus derivadas, por ejemplo, la derivada primera, la
Speaker A
derivada segunda, etcétera. Es decir, que relaciona una función con sus respectivas derivadas. Nosotros vamos a ver solamente un tipo de ecuación diferencial porque hay muchos tipos. Todas las demás las van a ver en análisis matemático dos cuando estén en segundo año. Las que vemos
Speaker A
nosotros son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con variables separables. ¿Qué quiere decir todo este título?
Speaker A
ordinaria porque la incógnita es una función de una sola variable independiente, por ejemplo, y dependiendo de x, las que usamos en análisis 1 de primer orden porque va a aparecer la derivada primera, o sea, derivada de y respecto
Speaker A
de x o i prima de x, pero no la segunda, ni la tercera ni la cuarta, o sea, de primer orden derivada primera y de variables separables porque se puede escribir de manera de que todos los términos que tengan i queden de un
Speaker A
lado del igual y todos los que tengan x tengan del otro lado del igual.
Speaker A
Entonces, como puedo separar las variables, separo las y es de un lado y las x del otro, se va a poder integrar.
Speaker A
Y el objetivo es, si vos en una ecuación tenés la derivada, encontrarla y encontrar quién es la función cuya derivada está mezclada en ese tipo de ecuación diferencial. Sí, para eso hay que integrar, porque si vos tenés la
Speaker A
derivada y querés la función original, tenés que integrar. Y para poder integrar en este tipo de ecuaciones diferenciales, se pueden separar las variables para poder integrar. ¿Sí?
Speaker A
Bien. [carraspeo] Por ejemplo, suponete que vos tenés esta función igual f(x), te dicen que es derivable, que tiene derivada continua y que esa función es solución de una ecuación diferencial de primer orden.
Speaker A
Es decir, que si vos sustituís a la función por lo que vale en la ecuación, te tiene que dar una identidad, ¿no? Por ejemplo, si te dan esta ecuación diferencial, i prima es igual a x por la raíz de i. ¿Ves? Acá aparecen
Speaker A
la función i y su derivada primera, o sea, que es de primer orden. Sí, es eh con una sola variable.
Speaker A
Recuerden todo lo que dijimos para para definirla. Estamos viendo todo lo que tiene para definirla. Ordinaria porque tiene una sola variable independiente de primer orden porque solo juega la derivada primera y de variables separables si puedo separar las variables. Esas serían
Speaker A
las ordinarias de primer orden que vamos a trabajar nosotros. En este caso es ordinaria de primer orden y si fuese con variables separables tendríamos que poder separar las variables. Después vamos a ver si podemos. Lo que me dice el ejercicio es
Speaker A
que compruebe si esta puede ser una solución de esta ecuación diferencial. Entonces, ¿cómo compruebo si esta función es una solución? Bueno, donde dice i voy a tener que poner la función y donde dice i prima, ¿qué voy a poner?
Speaker A
Eso derivado. Claro, eso derivado y eso derivado me da el 16 que da igual y la derivada de x cu es 4x³.
Speaker A
¿Sí o no? Sí claro. Bueno simplifico y me quedó x³ sobre 4. Y de este lado, ¿qué me quedó? La raíz cuadrada de x/ x² y la raíz cuadrada de 16 4. O sea, que me quedó la identidad x³ sobre 4 y x³
Speaker A
sobre 4. Esta es una forma. Otra es como está hecho acá. Parto del primer término y trato de llegar al segundo. Entonces, ¿quién es i prima? La derivada de respecto de x. 4x³ sobre 16.
Speaker A
[carraspeo] Acá simplifico el 4 y lo puedo escribir como x * x² sobre 4.
Speaker A
¿Por qué lo escribo así? Porque quiero llegar a esto. Entonces, la x es que está solita. saco una x solita y me quedó x² sobre 4. Y eso lo tengo que meter adentro de una raíz y adentro me
Speaker A
tiene que dar y es x sobre 16. Entonces es la raíz cuadrada de x sobre 16. Y es cierto que esto es igual a esto y de hecho eso es x por la raíz de. Entonces parto del primer término y llego al segundo.
Speaker A
Quiere decir que es una identidad. o reemplazo en ambos lados y llego a una igualdad.
Speaker A
De las dos maneras se comprueba que es una solución. Acá dice una solución [resoplido] porque cuando vos integrás una i prima para obtener la i, le agregas la constante de integración y cuántas soluciones tenés ahí.
Speaker A
¿Cuántas soluciones tenés cuando sacas una integral que le agregas la constante? Infinitas. Infinitas. Por eso acá te preguntas si esta es una solución y de hecho lo es porque verifica.
Speaker A
Sí, es una solución porque ahí tenés una, o sea, tenés una evaluación o Claro, porque me dio lo mismo de un lado que del otro o porque partiendo de la izquierda llegué a lo que tengo a la derecha.
Speaker A
Claro. Entonces se verifica que es una solución. ¿Sí? Ahora, si yo la quisiera resolver esta ecuación diferencial, ¿cómo sería el proceso de resolución?
Speaker A
Primero, i prima se escribe como derivada de i respecto de x con la anotación de lais. ¿Por qué? Porque si el objetivo separar variables, cada uno de los lados del igual tiene que tener su respectivo diferencial.
Speaker A
Por ejemplo, el diferencial y me queda de este lado y el de x me va a quedar de este lado porque está dividiendo, lo paso multiplicando. Entonces, la x la dejo acá y esta que tiene que ir con su
Speaker A
diferencial la paso para el otro lado. Y entonces, ¿qué hice ahí? Separé las variables, cada variable de un lado del igual con su respectivo diferencial. Y ahora, ¿qué hago? Integro.
Speaker A
Integras. Claro. ¿Cuál es la integral de 1 sobre í? Bueno, la derivada de raíz de i es 1 sobre 2√ i. Así que si pongo un dos y compenso, esto me va a dar 2√ i porque la integral de 1 sobre 2√ i es
Speaker A
raíz de i y el 2 de afuera queda. Y de este lado integro x y me da x² sobre 2.
Speaker A
Y acá es cuando agrego la constante de integración más. Acá tengo una consulta. La constante va una sola o va una de cada pone una sola porque si vos pones de los dos lados constante uno y constante dos, cuando pases restando
Speaker A
la otra constante, la resta de dos constantes es otra constante, así que podés una sola y listo.
Speaker A
Entonces es diferente que estés integrando cosas de cualquier lado del igual para esta para diferencia para ecuaciones diferenciales. Sí, como el objetivo es despejar la I, por lo general la constante se pone con la X para que después puedas despejar la y
Speaker A
tranquila. Entonces, si ahora despejo la i, primero voy a pasar el 2 dividiendo. Me queda x² sobre 2 más la constante sobre 2, ¿no?
Speaker A
Eh, sobre 4. Acá que 2 sobre 2, 2 * 2 es 4. Y por último, esta raíz pasaría como cuadrado o elevo todo esto al cuadrado.
Speaker A
Entonces, ¿qué me quedaría? módulo de i = a x² sobre 4 más la constante sobre 2 todo al cuadrado.
Speaker A
¿Me siguen? Sí. Bueno, en el caso que la constante valga er, esto me va a quedar x cu sobre 16, que es la solución que me dieron.
Speaker A
O sea, que sí es una solución cuando la constante vale cero. Pero acá tengo las infinitas soluciones. Esto se llama solución general de la ecuación diferencial. Cuando vos obtenés las infinitas soluciones, tenés la solución general. Y cuando le
Speaker A
das un valor a C, por ejemplo, decís, si C vale 0, entonces me queda que el módulo de i es x sobre 16. Esta sería una solución particular porque es una solución para un determinado valor de la constante. ¿Sí?
Speaker A
Y de acá saldrían dos particulares para ser igual a cer. Una sería igual x/ 16, que es la que me dieron, y la otra sería - x/ 16.
Speaker A
Entonces, siempre vas a tener una solución general para todo valor de la constante C. Y si te dan algún dato para que vos puedas sacar la constante o te dan directamente la constante, ahí vas a tener una solución particular,
Speaker A
¿está? Y así se resuelve. A ver, por supuesto que hay variadas ecuaciones diferenciales. Por supuesto que quizás cuando tengas que integrar tengas que usar algún método de integración. Estas integrales son inmediatas, entonces es muy fácil.
Speaker A
Bien. Entonces, ¿qué dijimos? dijimos que la solución general de la ecuación diferencial es una expresión que proporciona todas las soluciones, o sea, con la constante de integración.
Speaker A
Si la ecuación diferencial es de primer orden, la solución general va a depender de una constante sola, que es lo que nos pasa a nosotros. Si vos le das valores a la constante, vas a obtener las soluciones particulares.
Speaker A
¿Sí? Nosotros vamos a tener siempre una sola constante. ¿Por qué? Porque nuestra función i depende de una sola variable, entonces va a depender de una sola constante y además es de primer orden, o sea, que la derivada es derivada
Speaker A
primera nada más. Cuando en el análisis dos vean de con derivada segunda, etcétera, van a ver que hay más de una constante, pero bueno, eso ya lo verán en la en el análisis dos. Por ejemplo, dice, hallar la solución general de esta
Speaker A
ecuación diferencial y hallar la función de la familia que pasa por el punto 02.
Speaker A
O sea, de todas las soluciones quiero una en particular, que es la que pasa por 02.
Speaker A
¿Está bien? Entonces, ¿cómo lo hacemos? Bueno, agarro la ecuación diferencial. Donde dice i prima, pongo diferencial de i sobre diferencial de x y trato de separar las variables. O sea, si hay suma o resta, tengo que transformar en
Speaker A
un término de un lado y un término del otro. El diferencial X se va para acá. Si quieren dejo el menos ahí y la i se va para acá.
Speaker A
Como está multiplicando el -1 pasa dividiendo. Y ahora sí integro. La integral de 1 sobre i es el logaritmo del módulo de i y la integral de -1 respecto de x es -x más la constante de integración.
Speaker A
Entonces, el módulo de i por definición de logaritmo va a ser e elevado a la -x + c.
Speaker A
Y esta sería qué tipo de solución, ¿en o particular? General. General. Esta es la solución general.
Speaker A
Y ahora me dice, "De todas esas quiero la que pasa por el punto 02.
Speaker A
Por lo tanto, si pasa por 02, cuando x vale 0 y vale 2, entonces me queda que 2 es igual a e a la -0 + c.
Speaker A
O sea, que 2 es e a la c. logaritmo natural de 2 = a c por el logaritmo natural de e. Esto vale 1.
Speaker A
Entonces c vale logaritmo de 2. Y entonces, ¿cuál es la solución particular? E a la men x+ logaritmo natural de 2.
Speaker A
Bueno, pero pongo i o pongo módulo de i, ¿eh? No sé, módulo de I, no I.
Speaker A
Si pasa por el dos cer, claro, es positivo el i. Esto es positivo y esto es positivo. Así que pongo i igual a e a la - x logaritmo natural de 2, que esto lo puedo escribir mucho más amigable, que
Speaker A
sería así. ¿Cuánto vale e elevado al logaritmo natural de 2? Sí, la exponencial y la logarítmica en base e son inversas.
Speaker A
A ver, háganlo con la calculadora si no se ha dos no vale eso. O sea, es como tener dos. Claro, vale dos porque estoy elevando y aplicando el logaritmo en base e haciendo operaciones inversas.
Speaker A
Sí, en general, a elevada al logaritmo natural. Eh, bueno, en base a de B es b.
Speaker A
Si la base es e, acá puedo con el logaritmo porque puede ser cualquier base, pero si en particular la base C es logaritmo natural, pero aplicar logaritmo a un exponencial son operaciones inversas.
Speaker A
Entonces me va a dar directamente el numerito. Esto es una propiedad de funciones inversas exponencial y logarítmica.
Speaker A
En particular, si es el número e acá es logaritmo de b y eso es b.
Speaker A
Entonces, mira, la solución particular es = 2 * e a la - x. Mira qué linda quedó.
Speaker A
Sí. Bueno, y vos decís, "Che, ¿será cierto que esa es la solución? Esa solución me sirve." Verifica la ecuación diferencial y bueno, me fijo, derivo. ¿Cuál es la derivada de 2 * e a la - x?
Speaker A
2 queda igual y la derivada de a la - xa a la - x por -1 por la derivada del exponente más la función tal cual está me tiene que dar cero. ¿Es cierto?
Speaker A
Sí. Sí, porque esto es -2 e a -x + 2 me ¿Qué es cero? Ah, porque la Claro, por la y prima. Sí.
Speaker A
Cer entonces ves la solución particular que encontré. Verifica. Quiere decir que la general también o si querés reemplaza por la general y vas a ver que verifica.
Speaker A
Estamos. Sí. Bueno, eso es eh resolver una ecuación diferente. Mira, todo el espacio que dejé para hacerlo lo hice ahí en un Bueno, mira. Ejercicio 13, práctica 5.
Speaker A
Me dice I * i prima es ig a x por el seno de x².
Speaker A
Resólveme esa ecuación diferencial. Entonces, donde dice i prima, ponemos, dijimos, diferencial y sobre diferencial x.
Speaker A
Separo las variables. Y diferencial y es ig a x seno de x cuadrado diferencial x.
Speaker A
Simplemente pasé este para acá y listo. Integro la integral de i y i cuadrado sobre 2.
Speaker A
La integral de x por el seno de x cuad la saco y la hago acá porque lleva un método. ¿Qué método?
Speaker A
de cómo era de el que era de propio una cosa así. No me acuerdo cómo se llama.
Speaker A
[risas] No me acuerdo. Sería por partes. Tres vimos sustitución, partes y fracciones simples por partes. Acá no.
Speaker A
No sé qué dicen ustedes. Siempre primero, no sería no sería sustitución primero. Siempre primero tengo que ver si es viable la sustitución.
Speaker A
Acá tengo una composición. Si yo llamo zx², ¿cuál es el diferencial de z? 2x diferencial de x.
Speaker A
Y tengo la x y tengo el diferencial x. ¿Qué me falta? El dos, el dos que lo sacas como un medio, va, te queda un medio afuera y listo. Es refácil con una sustitución.
Speaker A
Me queda la integral del seno de Z diferencial de Z. Pero parecía por partes igual, ¿eh?
Speaker A
Pero no es por partes, no sale, creo, por partes estas, porque eh tenés que integrar seno de x² y el seno de x² es una de las que no se puede.
Speaker A
Ah claro. Bueno, y la integral de seno de x es menos coseno, o sea, que me queda menos coseno de z sobre 2 + c.
Speaker A
- coseno de x² sobre 2 + c. Así que de este lado ya integré, me queda - coseno de x² sobre 2 más la constante.
Speaker A
Paso el dos multiplicando porque tengo que despejar la y, así que me queda -os coseno de x² + dos veces la constante.
Speaker A
Y por último aplico raíz y me queda módulo de i igual a la raíz de 2c menos el coseno de x². Lo puse al revés para que no tenga el menos acá delante que me da como urticaria que parece que
Speaker A
no la raíz de un negativo cuadrada no existe, pero no es negativo porque acá está sumando una constante, ¿no?
Speaker A
Así me quedaría la solución. general. Entonces, sí, me piden la particular, ¿eh? No, no, en este ejercicio no me la piden.
Speaker A
Si me dijesen, "A ver, la solución particular si pasa por cero tres y como hicimos antes, 3 igual, o sea, despejas la C, ¿no? 3 =√2 C menos coseno de 0.
Speaker A
Bien, el coseno de cer0, ¿cuánto vale? Uno. Uno. Elevo ambos miembros al cuadrado para que se me vaya la raíz.
Speaker A
paso el uno sumando, me da 10, o sea, que se vale 5. Y entonces la expresión te quedaría y es ig a raíz de 10 - coseno de x.
Speaker A
Eh, y esto siempre existe porque el coseno vive entre -1 y 1. Así que si a 10 le resto algo que vive entre -1 y 1, me va a dar siempre positivo.
Speaker A
¿Se entiende? Sí. Y esta es la solución particular. Bueno, así se resuelven las ecuaciones diferenciales. Puede ser más o menos compleja según la integral que me quede, ¿no? Y después se aplica a problemitas, a resolución de problemitas.
Speaker A
Entonces ahí es un poco más difícil porque vos tenés que armar el problemita, encontrar la ecuación diferencial que te está dando el problemita. Entonces, por ejemplo, el ejercicio 17 de la de la página 5 de la página 5 de
Speaker A
la práctica 5c, el ejercicio 17 dice así: un termómetro que marca 10 gr se lleva una habitación de 20.
Speaker A
Entonces, ya ahí tengo un montón de datos. La temperatura de la habitación es fija, 20.
Speaker A
Y me dice, "El termómetro marca 10 cuando lo llevo a la habitación. Entonces, ¿en qué instante el termómetro marca 10?" Porque después, mira lo que dice. En un minuto la temperatura del termómetro asciende a 15.
Speaker A
Entonces yo tengo un termómetro que marca 10 y lo llevo a una habitación cuya temperatura es 20, ¿qué instante tomo el de llevarlo a la habitación?
Speaker A
¿Cuántos minutos? en el momento que lo llevo a la habitación, si ahí empieza mi problema y cero, cero.
Speaker A
Entonces, si el tiempo vale cero, la temperatura es de 10. Y después me dice, "En un minuto la temperatura siende a 15." O sea, que si t vale 1, la temperatura es de 15. La temperatura está en grados centrados y el tiempo
Speaker A
está en minutos. Todos esos son datos. Después dice, "Si la velocidad con que cambia la temperatura del termómetro es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la de la habitación que se mantiene constante, te empieza a hacer
Speaker A
preguntas. Entonces, ¿qué quiere decir la velocidad con la que cambia la temperatura? La velocidad cambia en función de quién, de qué variable independiente, o sea, yo voy a tener una fórmula de la temperatura en función del tiempo.
Speaker A
¿Están todos de acuerdo? temperatura en función de tiempo. Si yo quiero la velocidad con la que cambia la temperatura, voy a tener que derivarla en función del tiempo, porque la derivada es una razón de cambio.
Speaker A
O lo que es lo mismo, la derivada de la temperatura en función del tiempo es la velocidad de cambio de la temperatura, lo mismo que la velocidad del automóvil.
Speaker A
La velocidad es la derivada de la posición. Bueno, acá la velocidad de cambio siempre la razón de cambio o la velocidad de cambio de lo que fuera, en este caso de la temperatura en función del tiempo es la derivada.
Speaker A
Entonces, ¿qué me dicen ahí? La velocidad con que cambia la temperatura en función del tiempo, que sería este, esto o esto, si quieren, es proporcional. ¿Qué quiere decir proporcional?
Speaker A
¿Cuándo dos magnitudes son proporcionales? Si yo digo y es proporcional a x, ¿a qué es igual y?
Speaker A
No usan en física proporcionalidad. Dos magnitudes son proporcionales y una se obtiene multiplicando una constante por otra.
Speaker A
Sí, por ejemplo, = 3x. Ahí la x y la y son proporcionales y la constante de proporcionalidad vale 3. Acá me dicen que es proporcional, o sea, que lo a multiplicar por una constante. ¿A qué cosa?
Speaker A
A la diferencia entre la temperatura del termómetro y la de la habitación que se mantiene constante, que es 20, ¿no? La de la habitación.
Speaker A
Entonces, acá estoy diciendo esto que me está diciendo, la velocidad con que cambia la temperatura en función del tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del termómetro y la temperatura de la habitación que permanece constante.
Speaker A
¿Okay? Entonces, la ecuación diferencial es esa que la acabo de armar yo, no me la da el problema.
Speaker A
Esto es lo que tiene de dificultoso, digamos, este tipo de ejercicios. Bueno, y dice obtener y graficar el comportamiento de la temperatura en función del tiempo. O sea, que lo que quieren que encuentre es esto y que después lo grafique, ¿no?
Speaker A
Para encontrar esto voy a tener que separar variables. El tiempo no aparece acá. El tiempo eh no hay t grande, t chiquita, perdón, en ninguna parte. Entonces, esto sería así, k * t grande - 20 diferencial del tiempo. Y
Speaker A
esto como no tiene tiempo, lo paso para este lado que está multiplicando, lo paso dividiendo.
Speaker A
Y si querés puedo dejar la constante acá o la puedo pasar para el otro lado también, no pasa absolutamente nada. Y ahí separé las variables, todo lo que tenía t grande, que era temperatura, se fue para un lado. Integro.
Speaker A
¿Cuál es la integral de t - 20 de 1 sobre t - 20 respecto de t? Y es una fracción simple, o sea, es la el logaritmo del módulo de t - 20. Y de este lado, ¿cuál es la
Speaker A
integral de una constante respecto del tiempo? la constante por t más otra constante que es la de integración que es C.
Speaker A
Hasta ahí vamos. Sí. Sí. Bueno, ahora tengo que despejar esta t que está acá. Por definición de logaritmo, el módulo de t - 20 va a ser e elevado a la KT. más C.
Speaker A
Y ahora despejo T. te va a ser 20 + e a la KT + C o 20 - e a la KT + C por el módulo, ¿no?
Speaker A
El módulo me puede dar esto positivo o negativo y el 20 que está restando va a pasar siempre sumando. O sea, que tengo dos posibilidades, esta o esta.
Speaker A
Ahora tengo que empezar a pensar, la temperatura de la habitación es 20. Si yo pongo un termómetro adentro de una habitación cuya temperatura fija es 20, ¿en algún momento la temperatura del termómetro va a superar los 20 gr?
Speaker A
No, no, porque si en la es como cuando vos metés algo en la cocina, la cocina tiene 150 gr. Estás cocinando una torta, ponele 150 gr tiene el horno. Por más que vos pongas la torta, si vos lo dejas en 150
Speaker A
fijo al horno, en algún momento la torta va a tener una temperatura mayor a 150 y no, no puede porque es 150 es la temperatura que tiene el horno. Bueno, acá pasa lo mismo. Si la habitación tiene 20, yo entro con un termómetro que
Speaker A
tiene 10 y esta temperatura va a entrar a subir hasta aproximarse a la temperatura de la habitación, pero nunca va a ser más de esa temperatura porque no se puede, es una cuestión lógica. Entonces, ¿cuál de las dos les
Speaker A
parece que es la correcta? La primera o la segunda. La segunda. La segunda. Muy bien. ¿Por qué? Porque acá la S le resta 20.
Speaker A
Entonces, a medida que esto que está acá aumente, se va a acercar cada vez más a 20. En cambio, acá me dice que se lo sume a 20 y esta función es siempre positiva.
Speaker A
Entonces, esto no puede ser. ¿Por qué no puede ser? Porque la temperatura de la habitación es [carraspeo] 20 y entonces la temperatura del termómetro, lo pongo acá, va a variar entre 10, que era lo que tenía cuando recién lo traje, lo metí en
Speaker A
la habitación y 20, pero nunca va a llegar a 20 exactamente. Te va a aproximar todo lo que vos quieras, pero nunca va a llegar a 20. Y esta no me sirve porque esta supera 20.
Speaker A
Entonces, esta sería la función. Ahora bien, como me dicen que obtenga el comportamiento de la temperatura del termómetro en función del tiempo, no puedo tirarle esta fórmula que tiene dos incógnitas acá, una K y una C. Para eso
Speaker A
me están dando estos dos datos. ¿Para qué me darán estos dos datos? ¿Por qué hay dos datos y porque hay dos incógnitas para develar, ¿no? ¿Quién es K y quién es Z?
Speaker A
Entonces digo, bueno, la fórmula es así. La temperatura en función del tiempo va a ser igual a 20 - C a la KT + C, donde yo tengo que sacar K y C.
Speaker A
Si reemplazo en la primera en el primer dato digo que 10 va a ser igual a 20 - c a la k * 0 + c, o sea, -10 porque paso el 20 restando, va a ser igual a - c a la c.
Speaker A
Multiplico todo por -1 y aplico logaritmo. El logaritmo de 10 va a ser c por el logaritmo de que es 1. O sea, que ya tengo c. C vale logaritmo de 10.
Speaker A
Ya tengo C. Una vez que tengo C, ¿qué tengo que hacer? ¿Qué otra constante me falta? Dilucidar.
Speaker A
Tienes que hallar la proporcionalidad que hay entre ambas, ¿no? Eso. Bueno, voy a borrar acá porque no me alcanza el espacio.
Speaker A
La ecuación es esta que me quedó ahí recuadradita, pero ahora me faltan K y C, que es lo que estoy buscando ahora.
Speaker A
Bueno, muy bien. Entonces, puedo primero reemplazar la C. escribir la ecuación de la manera más amigable posible y después usar el segundo dato para encontrar el valor de K.
Speaker A
Entonces, la ecuación me quedaría así. La temperatura en función del tiempo es 20 - e a la KT + logaritmo de 10.
Speaker A
Pero tal cual hicimos en el ejercicio anterior, esto es e a la KT por e a la logaritmo de 10, que cuánto es 10.
Speaker A
10. Bueno, y ahí quedó un poquito más amigable. Y ahora reemplazo por el segundo dato, que es este. Si t vale 1, la temperatura es 15. 15 = 20 - 10 * e a la k porque si t vale 1 me quedó solo k.
Speaker A
Entonces me queda 15 - 20/ -10 es ig a e a la k. 15 - 20 es -5 sobre -10 es 1/2.
Speaker A
Aplico logaritmo para bajarla acá de un ondazo. Si aplico logaritmo, me queda que el logaritmo de 1/io es igual a k por el logaritmo de e que vale 1.
Speaker A
Pero el logaritmo de 1/io es el logaritmo de 1 menos el logaritmo de 2 y el logaritmo de 1 vale 0. O sea, que k la constante es negativa, es menos logaritmo de 2. Y entonces, ¿cómo me queda finalmente entonces la ecuación?
Speaker A
La había escrito más amigable de esta forma ¿no? Si ya conozco K, la temperatura en función del tiempo va a ser 20 - 10 * e a la menos logaritmo 2t.
Speaker A
Y eso es 20 - 10 * 2 a la men t. Porque fíjate, lo escribo acá. E a la menos logaritmo 2t la puedo pensar como e a la logaritmo de 2 elevado a la - t, porque potencia y
Speaker A
potencia se multiplican. Y esto es dos, por lo que acabamos de decir hace un ratito de las funciones inversas. O sea, que mira, la temperatura en función del tiempo es una exponencial.
Speaker A
de base 2, pero como el exponente es negativo, la base sería 1/2. 20 - 10 * 1/2 a la t o 20 - 10 * 2 a la - t. Esa es la ecuación diferencial, la ecuación de la función que verifica esa
Speaker A
ecuación diferencial que me dier. Y ahora la voy a graficar. Temperatura en función del tiempo.
Speaker A
Habíamos dicho que la temperatura iniciaba en 10 del termómetro [carraspeo] y que después, o sea, para t = 0 me da 10.
Speaker A
Pongo un puntito acá. y que era más chiquita que 20 y nunca llegaba a 20. ¿Y qué hay en 20 entonces en el gráfico?
Speaker A
Una asíntota. Exacto. Cuando el tiempo es de un minuto me dice que vale 15.
Speaker A
¿Ves que va aumentando? Y en el 20 hay un asíntoto horizontal. Entonces, ¿qué hace la temperatura? hace esto, va subiendo, subiendo, subiendo, subiendo, subiendo. Se acerca la temperatura de la habitación todo lo que puede. Nunca llega exactamente a 20,
Speaker A
pero se acerca cada vez más. ¿Por qué sé que ahí hay una asíntota? Porque si yo calculo el límite cuando el tiempo es infinito de 20 - 10 * e * 2 a la - t, este bichito se va a cer entonces me queda 20
Speaker A
- 0 20. Quiere decir que en t = 20 hay una asíntota horizontal y eso significa que la función va creciendo, o sea, la temperatura va aumentando todo el tiempo, acercándose a los 20 grados tanto como quiere, pero nunca llega exactamente a
Speaker A
los 20. Sí, se entendió. Eh, este problemita es complejo, no es un problemita para pensar y mucho.
Speaker A
[carraspeo][tos] Bueno, la parte A dice, "Obtener y graficar la temperatura en función del tiempo." Ahí está hecho con el Geogebra más bonito. Eh, acá yo le puse 1/2 de t a la t, que es lo mismo que 2 a la men t. Así quedaría.
Speaker A
gráficamente la temperatura en función del tiempo. El crecimiento es muy rápido al principio y después va creciendo muy despacio y acercándose a los 20 gr.
Speaker A
La parte B dice así: "¿En qué instante el termómetro marcará una diferencia de 1 grado con respecto a la temperatura ambiente? Escribo [resoplido] la fórmula. No me pregunta, ¿en qué instante el termómetro marcará una diferencia de 1 grado con respecto a la temperatura
Speaker A
ambiente? Entonces, lo que tengo que calcular es t chiquita. ¿En qué instante? No. Y el dato es la temperatura. ¿Qué le pongo a la temperatura? ¿Qué dato? ¿Qué número?
Speaker A
Si me dice que tiene que marcar el termómetro una diferencia de 1 grado respecto al ambiente. El ambiente era 20.
Speaker A
¿Qué le pongo? 19. Y claro, 19. 21 no lo puedo poner porque acabamos de decir que nunca supera los 20, ¿o no?
Speaker A
Sí. ¿O no? Vale. Sí sí. Entonces, 19. Bueno, y ahí despejo t. 19 - 20 sobre -10 es = 2 a la - t.
Speaker A
Esto me da un décimo. Aplico logaritmo y me queda - t por el logaritmo de 2, que ahí no lo puedo tachar porque logaritmo de 2 es 2.
Speaker A
Logaritmo [carraspeo] de 1 dé es logaritmo de 1 - logaritmo de 10. El logaritmo de 1 es 0, así que me queda - logaritmo de 10 sobre - logaritmo de 2 y eso es la la el tiempo.
Speaker A
Menos dividido menos más. Y acá no se puede hacer nada. Tengo que hacer la cuenta y poner una aproximación del tiempo que está en minutos. A ver, ¿cuánto da logaritmo de 10 dividido logaritmo de 2 aproximadamente?
Speaker A
3,32 3,32 minutos aproximadamente. O sea, que después de 3,32 minutos el termómetro ya va a marcar 19, así que crece rapidito al principio, que era lo que decíamos. después va a ir más lento.
Speaker A
Esta es otra pregunta que hacen sobre el mismo ejercicio. No puedo pasar la diapositiva por mí. Sí.
Speaker A
Sí profe. Bueno, muy bien. Con lo que vimos hoy, ahora sí el ejercicio. No, esto es mentira.
Speaker A
finalizar el TP5. Podemos finalizarlo porque ya vimos todos los casos de integrales indefinidas, así que ya pueden hacerlo completo. Hay algunas que van a ser difíciles, les van a costar, pero bueno, tampoco quiero hacérselas todas y que y ustedes no hagan el esfuerzo, ¿no?
Speaker A
Vamos a hacer alguna más como para Bueno, voy a agregar insertar nueva diapositiva en blanco.
Speaker A
Bueno, voy a usar esto, la presentación en blanco para hacer los ejercicios, que tengo más lugar acá que en el pisar.
Speaker A
Bueno, y vamos a hacer alguno más del 11 para que les quede alguno más, pero entre todos. Eh, me interesa que me digan cómo.
Speaker A
Por ejemplo, el 11f. El 11 dice integr. No te digo ni qué método usar, nada. Arreglate, eh fíjate pensá.
Speaker A
Mira lo que es esta integral. 1 + e a la 2 sobre x diferencial x. ¿Me dan eso?
Speaker A
¿Qué hago? Y ahora, y ahora, ¿y ahora qué? Eh, a ver, lo primero que decimos siempre que tengo que pensar es en la posibilidad de hacer alguna sustitución.
Speaker A
A ver, ¿qué es que harían? ¿A quién tomarían como Z? Y el número E.
Speaker A
al número e. Pero, ¿a cuál? al que está en el numerador, al que está en el denominador, acompañado por el uno, sin acompañar por el uno.
Speaker A
Bueno, vayan probando al que está acompañado con el uno. Claro, yo diría, porque siempre les digo, cuando ustedes toman a Z, si hay algún numerito sumando, restando, agárrenlo también como Z, porque después cuando vos derivás, ¿qué pasa con ese
Speaker A
numerito? Se va. La derivada de uno es cero, así que no me modifica y me ayuda porque ya reemplazo un montón de cosas por ese numerito. Bueno, ¿y qué me da la derivada de esto? Fíjate, la de uno es cer.
Speaker A
La de e elevado a la 2 sobre x es lo mismo por la derivada del exponente, la derivada de 2 sobre x. ¿Cuál es?
Speaker A
¿Cómo derivan? 2 sobre x. Eh, sería -2 sobre x². Muy bien. -2 sobre x² porque lo pienso como el 2 queda igual y la derivada de 1 sobre x es -1 sobre x², así que me queda -2 sobre x²
Speaker A
diferencial x. Y fíjate, el e a la 2x lo tengo y el x² en el denominador también lo tengo. ¿Qué me estaría faltando para tener servido todo?
Speaker A
El -2. Me falta este, ¿no? Lo agrego y compenso. Y entonces esa integral va a ser - 1/2 de la integral de abajo a esto le pongo Z.
Speaker A
Y todo esto, todo esto completo es diferencial de Z. ¿Te das cuenta? Y me quedó una pavada.
Speaker A
Logaritmo del módulo de Z. Una fracción simple me quedó, o sea, - 1/2 del logaritmo del módulo de 1 + e a la 2 sobre x más la constante.
Speaker A
Bueno, y ahí terminó. Uno puede decir, "¿Y per qué el módulo si esto siempre positivo?" Bueno, sí puedes sacarlo o no, no pasa nada. El módulo de positivo da un positivo.
Speaker A
Si lo dejas no pasa nada. Bueno, y entonces entiende. Sí sí perfecto. Ah, sí, sí, sí. Pensé que faltaba un paso paso o algo.
Speaker A
No, ya está. [risas] Bueno, muy bien. Y uno más el h. El hice la integral de 2x por el logaritmo al cuadrado de x² + 1 diferencial x.
Speaker A
Bueno, a ver, escucho ofertas. Y el J podríamos hacer. Se me hace como que podemos hacer sustitución.
Speaker A
Bueno, a ver, ¿quién sería Z? x² + 1 porque la derivada es 2x. Bien, z es x² + 1.
Speaker A
Diferencial de zerencial x y está todo. Mira, está el 2x diferencial x y el z. Entonces esto es lo mismo que la integral del logaritmo al cuadrado de z diferencial de z.
Speaker A
Y ahora y no sé, no sé. A ver, la integral del logaritmo sale por partes, ¿se acuerdan?
Speaker A
No, está en la tabla. Así que si tengo la integral del logaritmo al cuadrado, la voy a hacer también por partes.
Speaker A
Esto va a ser u, que es lo que tengo que derivar, y esto va a ser lo que tengo que integrar.
Speaker A
Entonces, u es el logaritmo cuadrado de z. Diferencial de u es logaritmo de z * 1 sobre z, porque es una cadenita. Primero derivo la potencia, la bajo y me queda elevado a la 1 y después derivo la base.
Speaker A
Así que todo ese lío es diferencial de u. Diferencial de B es diferencial de Z.
Speaker A
Y si integro B es Z. Entonces, ¿qué me da? U* b z por logaritmo cuadrado de Z.
Speaker A
menos la integral de b que es z por diferencial de u que es 2 logaritmo de z por 1 sobre z diferencial de z.
Speaker A
Bueno, acomodo y pienso si lo que hice me sirve. Este dos es constante, lo podemos echar.
Speaker A
Esta z se me va con esta z y me queda logaritmo de z. O sea, que mejoró. Antes estaba el cuadrado y ahora está lineal. ¿Qué voy a tener que usar de nuevo?
Speaker A
Partes. Otra vez. U. Ahora va a ser logaritmo de z. Diferencial de u. 1 sobre z. Diferencial de z.
Speaker A
Diferencial de biferencial de z y b es z. Entonces, ¿qué me queda? Esto queda igual z logaritmo cuadrado de z -2 * corchetón u * b z logaritmo de z menos la integral de b * du de z * 1 sobre z diferencial
Speaker A
de z. Cierro el corcheto. Voy a borrar arriba, así sigo arrio como un pizarrón, ¿eh? Voy borrando y voy escribiendo.
Speaker A
Es un pizarrón, de hecho, más cómodo que el otro, que el de la facultad.
Speaker A
Bueno, sigo acá arriba entonces. En este llegó bien hasta arriba. En el de la facultad porque como me habrán visto los que vinieron a rendir el parcial, soy muy petiza y entonces desaprovecho el pizarrón porque no llego arriba de todo, así que
Speaker A
uso de de una parte para arriba. Bueno, entonces, ¿qué me quedó? Paso en limpio.
Speaker A
Z logaritmo cuadrado de z - 2 * corchetón z logaritmo de z. Y acá fíjate que esta z se me va con esta z y me da 1 menos la integral de 1 diferencial de z.
Speaker A
Bueno, y ya está. Integro y listo. Acá puedo distribuir el dos. Acá distribuyo el dos. me queda más 2 por la integral de 1 respecto de z, que es z más la constante. Y ahora para terminar tengo que volver a la
Speaker A
variable original. Z era x² + 1. Entonces me queda la [carraspeo] Z. Está repetida. Mira acá, acá y acá.
Speaker A
La voy a sacar de factor común como x² + 1. ¿Y qué me queda? Logaritmo cuadrado de z de x² + 1 - 2 logaritmo de z de x² + 1 + 2 y afuera dejo la constante y así me
Speaker A
quedó terminada la integral. O sea, que fíjate, esta tiene sustitución y dos veces partes.
Speaker A
Sí, sustitución y dos veces partes. Y es un ejercicio de la guía, ¿no? O sea, no es una cosa mía rebuscada, es un ejercicio de la guía.
Speaker A
Así que puede ocurrir que les dé que les den alguna integral que tenga más de un método para aplicar o más de una vez el método.
Speaker A
¿Se entiende? Sí. Sí, profe. Entonces, eh igual lo voy a ser muy en natural como sin la definición, pero si los tres métodos, entonces sería por sustitución si es que encontramos en en la propia consigna la derivada de un
Speaker A
de una variable que esté adentro de la integral. Claro, tiene que estar la función y su derivada.
Speaker A
Pueden diferir en constantes, pero eso se arregla. Claro. Y la segunda sería por partes, [carraspeo] si es que eh según el, o sea, podemos tomar la variable como una u y la derivada de b y ahí usar la fórmula de
Speaker A
la vaca y pero eso lo tenemos que ver si es que primero no podemos encontrar la derivada dentro de la integral, ¿no?
Speaker A
Claro, si no no hay un producto de dos funciones, si hay una sola, se puede usar partes así.
Speaker A
Bien. Y la tercera era cuando era una cociente polinomios. Claro. Y la parte de abajo tiene que ser más más grande que la parte de arriba.
Speaker A
Mayor grado que el numerad. Mayor grado. Perfecto. Okay. Gracias. De nada. Bueno, voy a borrar. Ya puedo borrar esto.
Speaker A
Y por mí. Sí, sí. Bueno, ahí está. Y vamos a hacer el último por hoy, que es el F, ¿no? El J.
Speaker A
El F ya lo hicimos. El J. El J dice, mira, la integral de x por la raíz cúbica de 2 - x/ 3.
Speaker A
Bueno, ¿qué hacemos? Bueno, no estaría viendo la la derivada de otro de las partes. Hm.
Speaker A
Cuando vimos sustitución, yo les dije que las raíces había que sacarlas como sea para tratar de pasar de algo con raíces a algo polinómico siempre.
Speaker A
Entonces, en este caso, yo haría esta sustitución a 2 - x sobre 3. Todo lo que está dentro de una raíz cúbica lo llamo z³.
Speaker A
¿Para qué suponen que dice eso? Para que te quede como Z lo que está expresado, ¿no? Como raíz. Claro, porque si yo acá dentro pongo z cubo, se me va con la raíz y se va la raíz, que es el
Speaker A
objetivo primordial, porque es muy difícil integrar con raíces. Y entonces ustedes me van a decir, "¿Y esta x, ¿qué hago?" Bueno, la despejo de acá.
Speaker A
2 - x va a ser z³ * 3. Entonces x va a ser 2 - 3z³ porque esto pasa restando y este pasa para el otro lado. Y entonces ya puedo reemplazar esta x también con por algo que es polinómico
Speaker A
y que no me preocupa porque la integral de un polinomio es refácil. ¿Y qué me falta? Me falta el diferencial X. Entonces acá aplico diferencial cuando tengo la x despejada.
Speaker A
Entonces diferencio de este lado. La derivada de 2 0. La de -3z³ -3 bajo el 3 y z² diferencial de z igual a qué? A diferencial x.
Speaker A
Entonces, ya tengo para sustituir todo, porque el método de sustitución, yo les dije, si está la función y la derivada, sería el caso más especial que está todo servido. Pero si no, si yo puedo encontrar algo para sustituir el
Speaker A
diferencial, encontrar algo para sustituir lo que está acá dentro en función de z y encontrar algo para sustituir esta x que está ahí afuera en función de z, también estoy haciendo una sustitución, pero es más retorcida la sustitución, tengo que pensarla un poco
Speaker A
más. ¿Cuándo uso esto? Cuando hay raíces para sacar la raíz. Entonces, ¿qué me queda esto? La integral de la raíz cúbica de z cubo sería esto que es z por en lugar de x, ¿qué pongo? 2 - 3z³,
Speaker A
que es lo que vale x, que está acá por y en lugar de diferencial x, ¿qué pongo? Todo esto -9 z² diferencial de z.
Speaker A
Bueno, todo me quedó con z y me quedó polinómico, así que no me preocupo.
Speaker A
Ahora lo que voy a hacer es distribuir, asociar agrupar. Por ejemplo, esta z con estos dos me quedaría 2 z - 3 z.
Speaker A
Y a eso ahora lo voy a distribuir con el -9z². O si quieren este -9, como está multiplicando, lo puedo echar afuera de la integral para que no me queden números tan espantosos.
Speaker A
Lo echamos afuera de la integral y me queda el z cuadrado, que este también lo tengo que distribuir.
Speaker A
Entonces me da -9 por la integral de 2z cu - 3 z6 porque cuando multiplico los exponentes se suman.
Speaker A
Bueno, y listo. Esto te gravolando. A ver, la integral de 2 z³ es 2 queda igual z 4. El -3 queda igual. Integro z sex6, que es z más la constante.
Speaker A
Acá puedo simplificar y ahora lo paso en limpio. -9 por en lugar de z tengo que poner si despejo z de acá z es la raíz cúbica de 2 - x sobre 3, ¿no?
Speaker A
Así que tengo que poner la raíz cúbica de 2 - x sobre 3 cúbica llega hasta abajo a la cuarta sobre 2 - 3 de la raíz cúbica de 2 - x sobre 3. La raíz llega hasta abajo
Speaker A
a la séptima. más la constancia. Sí, si quieren acomodarlo mejor se puede poner así.
Speaker A
1/2 * 2 - x sobre 3 todo elevado a la 4, porque este es el exponente y el índice de la raíz pasaría al denominador -3/7 * 2 - x sobre 3 a la 73 más la constante de integración. Y ahí
Speaker A
terminó. Y para integrar usé polinomios. Entonces siempre que haya una raíz a esa raíz entera, así como está, le pongo Z. O a lo de adentro le pongo Z cubo porque es cúbica. Si fuese quinta le pondría Z quinta. Pero si quieren
Speaker A
para no confundirse a todo eso lo llamo Z. Y después despejo la X, despejo todo lo que necesite para reemplazar. ¿Se entiende?
Speaker A
Por eso les digo, hay muchos ejercicios muy variados, muy diferentes, donde hay que pensarlos todos. Los del ejercicio 11 son todos para pensar y son del tipo examen.
Speaker A
Así que pónganse las pilas a ver si pueden hacerlos para la clase que viene. Sí.
Speaker A
Bueno, el práctico cinco ya estaría completo con lo que hicimos hoy. ¿Puedo borrar acá ya o salir?
Speaker A
Sí sí. Muy bien. Entonces, repito, práctico cinco completo. La clase que viene vamos a ver integrales definidas. Sí.
Speaker A
Así que como vamos a hacer de acá varias clases más con integrales, vamos a seguir integrando y van a necesitar saber los métodos ya todos bien para poder avanzar. Así que pónganse las pilas, practiquen con ejercicios que son
Speaker A
todos diferentes y hasta que no se sienten hacerlos, no lo van a poder asimilar bien. Sí.
Speaker A
Bueno, sí. Perfecto prof. Listo. Nos vemos el viernes, entonces. Chao profe. Igualmente.
Topics:ecuaciones diferencialesvariables separablesintegral indefinidasolución generalsolución particularprimer ordenanálisis matemáticointegración por partesconstante de integraciónpráctico 5
