Аржанцев И. В. – Алгебра. Часть 1 – 3. Подпространства — Transcript

Ну и наконец, я надеюсь, что аналитическая геометрия вносит скорее такую геометрию в это дело. Они это пока картинка в маломерных пространствах, и это здорово. Вас будут кидать геометрический лад образ, и здесь же мы все-таки в основном пытаемся развить

формальный подход, как работать с n-мерным пространством, и вы привыкаете эти объекты, эти векторы видеть просто вот как инки и формально их складывать и вычитать, там умножать на скаляр. И поэтому эти два подхода друг друга, мне кажется, нормально дополняют.

Вот так что мы делаем вид, что ничего не произошло, и продолжаем тему. Напомню формулировку: пусть у меня есть n векторов v1, v2, ..., vk из R^n. Все помнят, что такое R^n — это вот эти самые n-мерные векторы, любое количество k,

k может быть меньше n, больше, пока любое. И предположим, что они линейно независимы. Тогда некоторый вектор w из того же самого R^n выражается через v1 и так далее до vk тогда и только тогда, когда все эти вектора вместе, а именно v1, vk и так

далее, дубль R^n, когда все эти вектора вместе линейно зависимы. Когда вы минимально изучаете язык линейной алгебры и привыкнете к доказательствам, то такие вещи для вас, конечно, станут совсем простыми. Но опять же, школы бывают разного уровня подготовки, разные, и не

все в начале первого курса хорошо понимают, что такое доказательство. То есть людям проговаривают один набор слов и говорят: это доказательство. Людям проговаривают другой набор слов, вроде такие же математические, хитрые, какие-то непонятные, и так, всё четко сказано одно за другим, но говорят, что это не

доказательство. В чем разница? Да вот тогда почувствовать, что такое аккуратное, формальное, четкое доказательство, когда у нас есть строгие определения, и мы из этих строгих определений выводим результат. Ну, прощаем, мы уже этим занимались, продолжим вот в эту сторону слева направо.

То есть нам дано, что выражается, надо доказать, что линейно зависимы. От совсем легко. Что значит выражается? Выражается означает, что дубль w равняется сумме лямда1 v1 и так далее плюс лямдаk vk для некоторых лямда,

этих вещественных, мы там не знаем, нулевые, ненулевые, просто существуют такие, нам дано лямдаk, что w — ординальная линейная комбинация. Это то, что нам дано, что вектор w выражается через v1, ..., vk. Тогда нам надо написать нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю. Хочется сказать,

что вы уже забыли все определения, мы с вами сколько неделю не виделись, но аналитическая геометрия не позволяет вам забыть все определения, поэтому вы помните все определения. И значит, в w переносим лямды в другую сторону: минус лямда1 v1, минус и так далее, минус лямдаk vk равно нулю. Вот у нас линейная комбинация, равная нулю. И почему она нетривиальна? Потому что придумали коэффициент единица, какие лямда нам неважно, но придумали уже коэффициент единица, значит всё не тривиально. В другую сторону. Теперь наоборот:

нам дана, что все эти вектора вместе линейно зависимы. Давайте запишем, что это означает. Это означает, что существуют такие лямда1 и так далее лямдаk — вещественные числа, что линейная комбинация наших векторов с такими коэффициентами, нам до 1 v1 плюс и так далее плюс лямдаk vk плюс ноль дубль m равна нулю. И пол вставляем определение того, что они линейно зависимы, и не все числа лямда1 и так далее лямдаk равны нулю, но может быть кто-то из них нулевым, но все вместе не могут. Надо

рассмотреть быстренько два случая. Случай 1: предположим, что мю равно нулю. Тогда последнее слагаемое равно нулю, мы на 0 умножаем какой-то вектор w, получаем нулевой вектор, и значит у нас видно, чего-то нет. Торчи наука бессильна, но я просто тогда буду на слуху. Вы

как-то не знаю, старайтесь воспринимать. А тогда мы получаем, что лямда1 v1 плюс так далее плюс лямдаk vk равно нулю, последняя слагаемое пропала, и это нетривиальная линейная комбинация. А почему это нетривиальная линейная комбинация? Потому что из чисел лямда1,

лямдаk кто-то был не 0. А раз у нас в этом случае 0, значит кто-то из лямда был не 0, и значит это нетривиальная линейная комбинация. Значит мы нашли нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю. Что это означает? Это означает, что векторы линейно зависимы. Это означает, что v1, ..., vk линейно зависимы, а это противоречие с условием. Еще раз, как вы пришли к тому, что это нетривиальная линейная комбинация? Бросить набор чисел лямда, и одно число не, они не все одновременно

равны нулю, но при этом мы сейчас рассмотрели случай, когда мю равно нулю. А значит тогда кто-то из лямдаk должен быть не равен нулю, и поэтому в этой комбинации есть хотя бы один не нулевой коэффициент. Значит это нетривиальная

комбинация. Ясно? Значит они линейно зависимы, противоречие с условием. Нам же дана, что они независимы, противоречие с условием. А хорошо, но тем не менее продолжаем. Всё уж не видно, поэтому я тут пишу случай 2, то есть про случай 1 мы на самом деле

показали, что он невозможен, верно? То есть он исключается, он противоречит нашему исходному условию. Поэтому мы переходим к случаю 2, когда мю не равняется нулю. Ну и тогда из нашего вот этого выражения, которое равно нулю, мы радостно выражаем w,

правильно? А именно w равняется минус лямда1 делить на мю v1 минус и так далее минус лямдаk делить на мю vk, что и требовалось доказать. То есть мы представили вектор w как линейную комбинацию векторов v1, ..., vk. Вы выразили через

векторы, вы тем самым лемма доказана. И ещё немного так разминаться, так разминаться. На самом деле последняя лемма 3 говорит нам, что пусть у меня w выражается через v1, ..., vk, тогда это выражение единственно тогда и только тогда, когда векторы v1, ..., vk линейно независимы. Что говорит лемма 3? Она говорит следующее: вам дано, что вектор w выражается через векторы v1, ..., vk. Да, давайте я сразу запишу это выражение: вот он равен линейной комбинации с какими-то коэффициентами лямдаk. Тогда такое выражение

единственно. А вдруг или другое, правильно? Другие есть какими-то другими коэффициентами, тоже выражаются. Тогда и только тогда, когда эти вектора v1, ..., vk линейно независимы. Нас опять совсем легко. Давайте докажем в эту сторону: дано, что выражение единственно, надо доказать,

что линейно независимы. От противного: пусть зависимы. А что значит зависимо? Значит есть линейная комбинация, равная нулю, которая нетривиальна, в которой не все коэффициенты равны нулю. Что хочется сделать? Прибавить, конечно, прибавить его к нашей исходной комбинации. Давайте я нашу

исходную обозначу звездочкой. Прибавим к звездочкам в левой части просто приведём подобные слагаемые. При v1 будет какой коэффициент? А лямда1 плюс гамма1 умножить на v1 плюс и так далее плюс лямдаk плюс гаммаk v_k. А что будет, господа, в правой части? Но

извините, эта девочка перепутала. Да, у меня тут я имел в виду, что это право, это левая. Во время прыгнуть поменять право и лево — это всегда правильно. Поэтому что будет? Есть w, прибавить нолик. Многие слышали, что будет w, поэтому это будет по-прежнему равно

вектору w. И это действительно другое выражение для вектора w. Ну, раз уж мы решили заниматься математикой, там она широко абсолютно формально рассуждать. А почему это другое? Вдруг это то же самое выражение? Существует какой-то мяу, это не равный нулю, а это означает, что лямда

не равняется гамма. Поэтому хотя бы один коэффициент в новой комбинации не такой, как в старой, значит это разные комбинации. Другую сторону. А опять от противного: если у меня напротив выражения не единственно, а есть как минимум два

разных, давайте их запишем. Если w равняется вот комбинация с лямдами и комбинация, давайте, с гаммами, два разных выражения для одного и того же вектора w, то мы хотим прийти к противоречию с линейной независимостью. Что нам сделать, господа? Вычесть 1 там,

прибавляли, то тут вычитаем. Значит отсюда следует, что 0 равняется, поскольку и одно и другое равно w, то я из w вычитаю w, получаю 0. А здесь у меня возникают разности коэффициентов: лямда1 минус гамма1 v1 плюс и так далее плюс

лямдаk минус гаммаk vk. И вот я получаю линейную комбинацию, равную нулю. И для полного счастья мне надо сказать, что она нетривиальна. А почему она нетривиальна? Хотя бы два коэффициента...

это не равняется лямда этой об людскими это поэтому хотя бы один коэффициент в новой комбинации не такой как в старый значит это разные комбинации другую сторону а опять от противного если у меня напротив выражения не единственно а есть как минимум два

разных давайте их запишем если w равняется и вот комбинация с лентами и комбинация давайте с гаммами два разных выражениях для одного и того же вектора w то мы хотим прийти с противоречие с линейной независимостью чтобы нам сделать господа вычесть 1 там

прибавляли то тут вычитаем значит отсюда следует что 0 равняется поскольку и одно и другое равно w то я из w я вычитаю w получаю 0 а здесь у меня возникают разности коэффициентов лямда один минус дома один в один плюс и так далее плюс

лямда к минус гамака века и вот я получаю линейную комбинацию равную нулю и для полного счастья мне надо сказать что она не тривиально а почему она не тривиально хотя бы два коэффициента разная то есть существует такой и при

котором лямда и не равняются гамаки а значит разность не равна нулю а значит хотя бы один коэффициент в этой комбинации не равен нулю ясно вот на самом деле может очень долго доказывать разные такие простенькие свойства линейной зависимости мы в этом месте

остановимся потому что я выбрал вот те свойства которые нам будут нужны для дальнейших доказательств вы еще на семинарах потренируетесь или уже потренировались эти простенькие свойства доказывать в задачнике и задачки на эту тему это все важно и полезно а мы начинаем продвигать

общую науку следующая важная для нас понятие это понятие под пространство вот у нас есть большое пространство р-н и мы в нем сейчас будем определять подмножество которое в каком-то смысле такие же являются под пространствами начинаем формального определения подмножество в пространстве р-н

называется под пространством если выполнены три условия условия 1 0 там лежит загадка 0 это число ри 0 меня или нулевой вектор в этой ситуации нулевой вектор потому что элементы о это элементы р-н это виктора это нечестно мы всегда из контекста

понимаем какой 0 мы имеем в виду тут 0 это 0 вектор второе свойствам что если дам и двумя свойствами обойдемся если v1 и v2 лежат а лямда 1 лям до 2 лежат врт нам до 1 в 1 плюс лямда 2 в 2 тоже лежит то есть

второе свойство состоит в том что наши подмножество замкнуто относительно взять и линейных комбинаций если два вектора лежала фу то с какими коэффициентами их не возьми это линейная комбинация опять будет лежать у ну я тут написал только длине иной

комбинации длины 2 но понятно что она будет замкнут относительно линейных комбинаций любой длины я просто это свойство буду много раз применять для двух векторов потом еще один добавлю еще один добавлю и любые линейные комбинации будут лежать в моем

подпространстве понятно вот такое определение а сейчас мы поймем его геометрический смысл давайте начали на него формально посмотрим у математически подкованного человека оно должно вызвать протест какой неа ну чего бы вдруг не надо в математике всё чего-то вдруг и непонятно

чего не протеста как правило возникает такое что первое свойство не нужно потому что первое свойство следовать из 2 зачем мы отдельно говорим что 0 лишит в ваша но лишит фуу это следует из 2 почему это следует из 2

давай им какой-то вектор v и второй раз его же и возьмем линейную комбинацию с коэффициентами 1 и минус 1 мы получим в минус в а это 0 лежит в нашем подпространстве тем самым вектор 0 лежит в нашем подпространстве первое требование можно

было не писать вот правильно но более знающие люди не сказать что нет надо было первое свойство писать почему пустое правильно первое свойство можно было сказать так что просто у не пустое потому что вот когда я применял вот это

рассуждение дел возьмем какой-то в из у возьмем его два раза 8-ми вас коэффициентом 1 и минус 1 и получим нолик да как я тут исходил из того что какой-то элемент в нашем у есть а теоретически edge любое подмножество

вариант могло быть пустое подмножеством а пустое потому что мы под пространством не считаем поэтому все-таки условия 1 нужно она просто показывает что это не пустое а тогда 0 там лежит ясно хорошо теперь как это себе представлять давайте вначале приведем

примеры и параллельно поймем зачем это нужно какой в этом геометрический смысл есть два таких глупых примера они называются не собственное подпространство а именно это подпространство ум состоящая из одного нуля подмножество состоящий из 1 0 будет под пространством 0 там лежит линейная комбинация 0 самим

собой с любыми коэффициентами тоже там лежит поэтому это подпространство и второй пример не собственного подпространство такого очевидного это кто серым ну тоже для всего р-н конечно все эти свойства выполнена на таких и бы неинтересно и подпространство а все остальные собственные просто так

они так называются и давайте увидим какие же эти все остальные бывают давайте например возьмем в качестве нашего пространства р-р один прямую люди просто сформулирую ответ вы за ним над ним задумайтесь и легко поймете что это ответ правильный сейчас не буду подробно размусоливать

но смысл в том что вр-1 нет собственных подпространств там есть 0 там есть все r1a других под пространством нет в случае r2 собственное подпространство вот я рисую r2 в случае r2 собственное подпространство это кто господа ошибка r1 r1 это совсем другой объект

а это должно быть подмножество здесь ось x и y они являются под пространствами но это еще не все подпространство любая прямая которая что проходит через начало координат абсолютно верно любая прямая которая проходит через начало координат и других подпространство нет носами мы

сейчас увидим на думать что вы можете так легко сообразить как это доказать ну и наконец есть я возьму r3 трехмерное пространство давая тут запишу тут значит собственное подпространство это прямые проходящие через 0 брать прямые не проходящие через ноль

нельзя потому что видите это свойство нарушится нос обилие это тоже нарушится потому что 1 из 2 следует если у не пустым на к наконец случай r3 вот я где-нибудь здесь нарисуем трехмерное пространство какие здесь есть собственное под пространством улице велику z-оси ну да

это конечно правильно но я хочу чтобы мы их сразу все описали не примеры привели а все перечисли плоскости и прямые 2 2 типа первый тип это прямые проходящие через ноль и второе это плоскости проходящая через замечательно и табака были примеры мы с

вами чуть позже мы поймем что других собственных вопросов здесь нет но дальше можно vr-4 пытаться найти все подпространство я думаю что вы уже интуитивно понимаете что ответ будет ровно так вот от такого же сорта подпространство что такое плоская

проходящая через начало координат прямая или плоскость или все трехмерное пространство проходящий через начало координат чтобы разобраться с под пространствами нам будет полезно еще такое определение определение пусть а в rn произвольно под множеством сейчас я научусь из этого под множество

каноническим способом делать подпространство а именно линейной оболочкой подмножество а называется эта штука обозначается а в треугольных скобочках пока я еще не дал определение о только ввёл обозначения так вот называется множество всевозможных линейных комбинаций алям до 1 в 1 плюс и так

далее плюс лямда кого к где вышки пробегают а оля мда пробегают действительные числа то есть либо до дворец и заливка перед поединком нет я оговорился я решительно вначале думал расписать свойства 2 hack два свойства что оно замкнуто относительно

сумма его замкнуто относительно умножение на скаляр а потом подумал что мы лучше два в одном запишем поэтому не обойдемся не тремя условиями о двумя спасибо что сказали так вот что такое линейная оболочка это множество всяческих линейных комбинаций викторов из с любыми вещественными

коэффициентами при этом линейной комбинации бывают только конечное подмножество она любое а р н она бесконечная поэтому а тоже может быть бесконечным но линейная комбинация мы берем только конечного числа векторов но потому что мы пока не умеем складывать бесконечно

много векторов там надо будет бесконечно много координации умирать это не наша задача это задачи математического анализа а у нас все сумма конечно лемма 4 говорит нам что для любого подмножество а vrm его линейная оболочка является под пространством ой ну правда тут надо что-то говорить

опять пустое не пустое давайте скажем что они пустое ну или можно было считать что когда я пустое множество векторов умножаю на 0 и я получаю 0 очень понять что мы имеем ввиду давайте считать что они пусты дать и проверять наши свойства нам надо

проверить что 0 там лежит ну тогда мы берем для любого в из нашего он 0 умножить на b равняется нулю лежит в линейной оболочке поэтому 0 там точно лежит и второе нам надо взять любые два элемента в1 в2 из линейной

оболочке любые два действительных числа и как-то понять что лямда один-в-один прошлом до 2 в 2 тоже лишь с линейной оболочке то есть надо проверить счет второе условие понятно вопрос правильно господа как вы читаете линейная оболочка всегда бесконечно кажется что ли она на 9 навсегда

бесконечно но только кроме одного случая когда это линейная оболочка 0 потому что я сяо состоит из 1 0 его на что ним ну что ж 0 получится в этом случае оно состоит только из 0 во всех остальных случаях да она

содержит прямую вместе с любым векторам и поэтому она бесконечно так вот нам надо это проверить давайте проверять по условию v1 и v2 у меня лежат в а поэтому они равны какие-нибудь там не один у 1 и так далее плюс ну как у к

где ушки лежат а мешки вещественные числа вот я взял в один он у меня лежит в линейной оболочке поэтому он линейная комбинация я взял в 2 он у меня тоже линейная комбинация каких-то элементов из а но только других и в другом

количестве ну меня это не смущает я пишу что это будет гамма 1w 10 и так далее плюс гамма s&w с где w жки лежат агама лежат f но теперь мне остается просто записать что такое лямда один в один плюс нам до

2 в 2 тогда лямда один в один плюс лямда 2 в1 равняется лямда один миа одним по 1 плюс и так далее плюс мука мука + нам до 2 gom 1w один плюс и так далее плюс гамма s&w с но теперь когда я

умножаю на лямда сумму вектора всем что каждый из них умножить на лямда и сложить и я получу что это просто лямда 1-ну один у один из и так далее плюс лямда один муха муха плюс лямда 2 hama 1w один плюс и так

далее плюс лямда 2 hama s&w с понимаете следите за праздником индексов вот ну что мы получаем мы получаем что-то некие числа умноженные на вектора u и v и w из нашего подмножество а значит такая просто более длинненькая но тоже

линейная комбинация виктор офиса значит она по определению лишь с линейной оболочке что и требовалось доказать мы доказали что лямда один в один плюс нам до 2 в 2 тоже лежит линейная оболочка здоровым и на эту тему определению если

пространство и совпадает с линейной оболочкой какого-то множество то говорят что подмножество порождает подпространство у путей и сейчас roux эти готовы на более ученым языке объяснить почему других подпространств на 1 2 или в 3 нет давайте это быстренько проговорил вот мы

берем какое-то подпространство vr2 есть она состоит только из нуля то она не собственное если в нем лежит хоть один ненулевой вектор то лишь это линейная оболочка этого не 0 вектора а именно прямая натянутая на этот 0 ненулевой вектор если кроме этой прямой

в этом подпространстве больше никто не лежит то все наши подписаться совпадает с прямой проходящий через ноль что мы и хотели доказать если же кроме этой прямой в это подпространство попал еще какое-то вектором w то тогда в наше подпространство попадет

и линейная оболочка множество всех линейных комбинаций этой прямой и этого нового вектора а если взять прямую и вектор вне ее то множество линейных комбинаций будет плоскость и значит наше подпространство совпадёт со всей плоскостью r2 то есть опять будет не собственным

понятно в случае r3 ровно такое же рассуждение если есть ненулевой вектор то есть прямая если это все-таки если это не все то есть еще вектор вне этой прямой а значит есть плоскость натянута на эту прямую на этот вектор

если это все то окей это вот в этот случай а сейчас еще кто-то третий кто не лежит в этой плоскости то тогда их линейная оболочка будет всё трёхмерное пространство и это будет не собственное подпространство господа просьба это продумать порождаются м векторами

любые к больше м викторов в линейно зависит давайте осознаем что лимон говорит вы взяли какое-то подпространство в ринг которая порождается с какими-то векторами на 1 8 векторами тогда если взять в этом подпространстве больше векторов на вер девять десять больше чем

восемь то тогда эти вектора уже точно будут линейно зависимы это можно сказать и не говорят слова подпространство в учебниках это иногда говорят не употребляя слово опыт пространства давайте скажем это утверждение без слова подпространство если у вас есть к

викторов которые выражаются как линейные комбинации через какие-то м викторов и к больше м то этика викторов линейно зависима понятно много линейных комбинаций от малого числа векторов будут линейно зависит давайте это докажем не доказательство пусть мой опыт пространство порождается

м виктора меня это вот как раз запишу что она есть линейная оболочка векторов в 1 и так далее в.м.

вот оно порождается м векторами и я взял какие-то к викторов w1 и так далее w к из этого самого вот я хочу доказать что эти вектора w 1 и так далее w к линейно зависимы тогда поскольку мои w жки лежат

в этом подпространстве они являются линейно лежат в этой линейной оболочке то значит они выражаются через в один в.м. давайте запишем эти выражения тогда w 1 равняется v1 1 v1 + и так далее плюс 1 м в м и так далее

w 5 равняется ну-ка один в один плюс и так далее плюс не кмв а miui ты аджита ну какие то вещественные числа вот я просто записал тот факт что моим вектора w выражаются через виктора вы что я хочу я хочу доказать

доказать что вектора w линейно зависимы давайте напишем какую-то линейную комбинацию векторов w лямда 1w один плюс и так далее плюс лямда сколько у меня их там к w к вот я взял какую-то линейную комбинацию я от нее потом за хочу чтобы она была

равна 0 но это чуть позже а сейчас я просто подставлю вместо дубль вышек вот эти их выражения через вышки то есть я напишу что это равняется лямда 1 а в скобочках будет ни у 11 в 1 1 и

так далее плюс минус 1 м в м плюс и так далее плюс лямда к а тут будет не к 1 v1 + и так далее плюс ну-ка мвм праздник индексов продолжается что мне хочется сделать дальше мне хочется сгруппировать подобные слагаемые

то есть собрать коэффициенты при в один при в два и так далее это будет равняться лямда один дню 11 то есть и так далее плюс лямда к мю к 1 и все это умножить на v1 это вот такой будет коэффициент при в

один плюс и так далее и последним будет коэффициент при в.м. он будет алям до 1 мм 1 м но все так далее плюс лямда к melkco мвм если я не ошибся то будет вот так правильно linda linda пока это буквы пока это

символ а я их ниоткуда не взял но давайте подумаем чего я хочу я хочу доказать что дубль вышки линейно зависимы это моя цель правильно поэтому я сейчас при ровняю эту линейную комбинацию к нулю торжественно и постараюсь найти ненулевые лямда

чтобы они не все были равны нулю одновременно так чтобы вот эта штука была равна нулю да в каком случае она точно будет равна нулю она точно будет равна нулю если вот эти коэффициенты в скобках все будут равны нулю если

коэффициенты скобках будет равно нулю то просто нолики умножится на 21 в.м. слушаться получится нолик правильно поэтому для этого достаточно чтобы вот эти ленты которые я ищу которых я пока не знаю чтобы они были решениями вот такой системы первое уравнение только давайте да нет

нормально лямда 1-ю 11 1 и так далее плюс лямда к мер к 1 равно нулю и так далее лямда один мил м 1 плюс и так далее плюс лямда к мяу к.м.

тут я плохо на 1 м а тут к m равно нулю если не дай бог кто-то еще что-то понимает то он поймет кто является в этой неизвестное в этой системе неизвестными лямды мяу это числа они даны вот я как-то там дубль вышки

разложил по вышкам это конкретное число а лямда являются аналогом миксов то есть они как бы неизвестное в этой системе да и что я знал смотрите а я хочу чтоб линейная комбинация была равна нулю для этого не необходимо чтобы эти все

коэффициенты были равны нулю но достаточно я среди все коэффициенты равны нулю всю жизнь удалась эта комбинация уже равна нулю поэтому я приравнял все эти коэффициенты это не эквивалентный переход но некоторая у неё к нулю и попытаясь решить такую систему

а что мы видим про эту систему мы видим проведет две вещи вещь первая она какая однородная у нее справа стоят нолики а значит она однородная а весь 2 какая о нет этот бардина совсем плохо вот в ней чего-то

больше или меньше чем чего-то скажите аккуратно чего в ней меньше уравнение меньше чем неизвестных число уравнений меньше чем число неизвестно почему потому что сколько у меня уравнений м а сколько у меня неизвестных k и m меньше к по условию значит все хорошо а что мы

с вами знаем про однородные системы у которых число уравнение меньше числа неизвестных помнить о после метода гаусса мы это писали мы знаем что такая система имеет ненулевое решение такая система имеет ненулевое решение мы все хотим мы не интересуемся это верно

всегда пропорционально непропорционально любая однородная система где часто уравнения меньше чем число неизвестных не определена то есть помимо не 0 решения имеют еще помимо 0 решения имеют еще и не нулевые решение а это то что мы хотели значит существует такой набор лент так

что не все лямда равную нулю но все эти штуки обращаются в ноль а значит такая линейная комбинация равна нулю значит существует нетривиальная комбинация w шаг равна нулю значит w что линейно зависима понятно все и лемма доказана прямая линейной зависимости могут

основной лема линейной зависимости мы будем достаточно часто пользоваться поэтому вот обратите внимание это такое содержательное неочевидное утверждение хорошо идем дальше сейчас мы дадим еще одно очень важное определение чтобы этим нет ни вашим есть один из них равен нулю

то вообще хорошо потому что если в какой-то набор входит нулевой вектор то этот набор точно уже линейно зависима и в этой ситуации мы тогда бесплатно получаем что наши виктора линейно зависимы поэтому больше никаких ограничений нет кроме тех которые вот

формулировки этот очень полезно господа продумывать скажем почему все условия в тех или иных утверждениях необходимы почему если их отбросить то утверждение будет неверно построить контрпример и это все как раз приводит к пониманию всех этих утверждений так вот важнейшая для наших

целей определения это определение базиса базис подпространства в это любая линейно независимая система векторов порождающие то есть больница это следующее это такой набор векторов у системы или набор от синонимы такой набор векторов р-н который удаляет двум требованиям во-первых эти фактора линейно независимы

а во-вторых их линейная оболочка совпадают у они порождают у тогда это бася сву давайте возьмем сразу пример приведем давайте в качестве у возьмем все пространство эры имеем права но вот такое не собственное подпространство а в качестве базиса возьмем следующий набор векторов и один

это вектор у которого первая координата единичка а все остальные нолики и 2 это вектор у которого вторая координата единичка все остальные нолики но и сообразительные люди уже догадались и так далее е н это когда все координаты нолики а последняя единичка вот такие

and штук векторов возьмем врн утверждается что это базис хуже того этот базис называется стандартным то есть то что это базис это утверждение мы его сейчас докажем а то что он называется стандартным это определение название для этого базис давайте проверим чтобы проверить что

какой-то набор векторов является базисом надо проверить две вещи вещь первая линейная независимость давайте проверим что этим замечательным векторов линейно независимы как в народе проверяют линейную независимость пишут линейную комбинацию прям до 11 плюс и так далее плюс лямда нём приравнивают ее к нулю и

пытаются доказать что отсюда следует что она тривиально что в ней все коэффициенты нулевые так ведь просто посчитаем чудо будет такое за вектор это будет вектор лямда 1 а дальше все нолики правильно это я и 10 ом до 1 умножил

плюс и так далее а у последнего лекса работ в конце лямда и надо этого все нолики пройду а давай теперь слушаем сеть виктора что мы получим и так далее ли мы получим лямда 1 и так далее нам да

и нам по условию сейчас да ну что эта штука равна нулевому вектору мы же взяли комбинацию равную нулю а что значит что один вектор равен другому просто по определению вектор такой наборчик 2 наборчик одинаковость у них все компоненты одинаковы это как раз

означает что нам до 1 и так далее лямда н все дружно равны 0 и значит комбинация только тривиальная равна нулю значит виктора линейно независимы ясно теперь второе что нам надо проверить что ей 1 и так далее я порождают xn р.м.

а что значит порождают таран надо взять любой вектор из rn какой-то там x 1 x n и представить его как линейную комбинацию векторов и 1 е н я думаю народ уже сообразил с какими к какая коэффициентами надо взять вектор а я

один ген чтобы получить наш вектор бренд если вы сложите и 1н с коэффициентами x1 то вы как раз и получите вот такой вектор это вот та же самая проверка что в этой строке понятно все победа любой вектор выражается через я 1н и они

линейно независимы значит базис ясно это абсолютно точно не единственный базис пространстве р-н на такой замечательный сами самый простенький может быть базис и он имеет специальное название стандартной базис хорошо и теперь мы будем изучать базисы подробнее давайте я перейду на эту доску

а именно мы докажем несколько свойств теорема 3 я мучительно пытаюсь вспомнить было ли у нас теорема 2 но было было вспомнил там где про метод гаусса говорили про всякие лучшие ступенчатый виды поэтому пока все в порядке теорема 3 говорит нам две вещи

вещь первая из любого с мелом просто беда из любого конечного порождают конечного порождающим подмножество а внутри подпространство можно выбрать basis of 2 любое линейно независимая под множеством в один всё можно дополнить до базиса в частности в любом подпространстве

существует базис 3 речи говорится как бы до перед тем как доказывать давайте осознаем что говорится базис это подмножество которое обладает двумя свойствами во-первых она линейно независимы а во-вторых она порождают и вот эта теорема она про то как быть если

выполнено только одно свойство скажем если она порождает но мы не уверена является ли она линейной независимым тогда первое свойство говорит что есть оно не является линейно независимы из него можно выбросить несколько векторов и тогда она станет базис то есть одессе мы

взяли порождающий набор который и сбыта чем который зависим его можно уменьшить из него можно выбросить часть векторов так что вот оставшиеся уже станут базисом подпространство второе свойство но в какой-то мере противоположно она говорит что наоборот если мы взяли набор

векторов который линейно независимы но еще не дотягивает до того чтобы порождать все у тогда к нему можно добавить какое-то количество векторов так что они останутся линейно независимыми но теперь уже станут порождать все станут базис ну и наконец последнее то что следует из 2

говорит что в любом подпространстве есть базис но почему потому что если будет пространство состоит только из нуля то и тогда базис считаем пустым а если в нем есть хотя бы один ненулевой вектор то этот один ненулевой вектор образует

линейно независимы и подмножество и его можно достроить по пункту 2 до базиса ну значит базе существует понятно . понимаете ли вы что я сейчас не доказал эту теорему а что я пояснил первый и второй пункт а сейчас я начну подробно их доказывать

но зато вот это в частности я аккуратно доказал как она следует из пункта 2 понятно ли это все теперь поехали доказывать пункты 1 и 2 доказанным пункт 1 если вот это подмножество а линейно независимы то она уже базис

нам-то в пункте 1 дано что она порождает поэтому если она еще и линейно независимы случайно оказалось что все доказывать нечего она уже есть базис иначе если она линейно зависимы полями один вот сейчас собственно мы начинаем использовать эти ли мы эти простенькие

свойства линейной зависимости если у меня есть линейно зависимый набор векторов то один из векторов is a скажем в один линейно выражаются через остальные помните мы сами когда доказывали лиаму один мы говорили что не любой вектор выражается через остальные

а какое то выражается через стр но пока мы их никак не номера вали так вот давайте считать что первый выражается через остальные перейдем от множества а к меньшему множеству к а из которого выброшен в один тут я так

ученый записал что мы из а выбросили подмножество одна точечная из одного вектора в один понятно она по-прежнему порождает и содержит меньше элементов но то что она содержит меньше элементов это понятным что мы один элемент выбросили там же конечно и множеством один элемент

выбрось элементов стала строго меньше нам только сообразить что она по-прежнему порождают у давайте я не буду это писать про говорю потому что это достаточно понятно вот любой из векторов у выражаться как линейная комбинация векторов из а если в

этой линейные комбинации не было векторов и 1toy славненько значит он выражался без вы один а не сливать а линейные комбинации в один встречался то что мы сделаем заменим в один на его линейное выражение через остальные правильно по предыдущей строке мы знаем

что вы один выражается через остальные поэтому когда я выражал любой вектор из уууу через мои виктора из а я везде в один могу заменить на линейную комбинацию остальных но зачитал один ненужным и без него все выразиться понятно поэтому это меньшее множество

тоже является порождающим но и все за конечное число шагов получим базис давайте осознаем почему мы за конечное число шагов получим базис количестве 2 уменьшается до мы каждый раз выбрасываем по одному вектору поэтому до бесконечности мы выбрасывать не можем

немножко конечно выбросить все мы тоже не можем потому что я каждый раз выбрасываю так что оставшиеся множество порождают под пространством поэтому в какой-то момент я не смогу больше ничего выбрасывать это как раз и означает что мой набор линейно независимы потому что если

зависим полям и 1-я один вектор выбросы все значит мы доказали что же таким выбрасыванием и за конечное число шагов перейдем к базису второй пункт если в 1 vs порождают вес если вы один раз порождают то они уже а базис найти сообразим нидан

наборчик элементов в 1 vs внутри моего у которой линейно независимы есть они порождают у всех выполнена оба условия не по плетению называются базис если не порождают то что значит мне порождают значит что не все виктора из у выражаются каких

линейной комбинации а значит существует такой вектор которой я обозначу в с плюс один из который не выражается через в 1 vs тогда пальме двор если его добавить к моему наборчик у если к набору в 1 vs прибавить еще вот этот новый не

выражаемый через них вектор то водород расширенный набор тоже будет линейной независимым это была наша лемма 2 и либо это базис либо продолжаем процесс то есть если наш набор векторов еще не порождает все пространство берем вектор который он через них не выражается и

добавляем его к нашему набору получился на борт на один вектор больше если он уже все порождает базис если не порождают опять берем вектор который через него не выражаются опять добавляем и так набор становится все длиннее длиннее длиннее длиннее и сохраняет линейную

независимость понятно в чем вопрос вопрос том закончится ли этот процесс а может мы то будем до бесконечности прибавлять прибавлять и так далее почему он закончится процесс закончится так как по основной леня линейной зависимости все вектора а у меня напомню сидит в rn выражаются как

линейная комбинация вот этих самых викторов стандартного базиса и 1 и так далее а отсюда следует что любые больше чем n векторов линейно зависимы это утверждение основной лема линейной зависимости то есть мы сейчас заметили такой интересный сам по себе факт что

любой набор векторов а ведь они сидят вариант ну то есть любой набор векторов в r н если этих векторов больше чем n то они линейно зависимы почему потому что они все выражаются через я один я н а если у меня викторов которые являются

комбинациями больше чем тех викторов через которые они выражаются то по основной время новая виктор алина зависит все и поэтому вот я стартую с набора в 1 vs если через него кто-то не выражается добавил ректор добавил ректор добавил вектор но как только я доберусь до n + 1

вектор а они точно станут зависимыми и тогда уже процесс продолжать будет нельзя и я получу basis моего просто моего подпространство вот такое рассуждение и теперь мы готовы доказать такую важную теорему теоремы читы которая говорит нам что все базисом

одного и того же подпространство у вора содержат одинаковое число векторов до конечно скажем попробовать огромное количество базисов а например если вы берете в качестве подпространство прямую кто будет базисом этого подпространство любой один ненулевой вектор на этой прямой и таких вот способов выбрать один

ненулевой вектор на этой прямой бесконечно много если уберете полоски в качестве подпространство кто будет базисом любые два непропорциональных вектор и опять выбрать пару непропорциональных и актеров на плоскости бесконечно много способ не лежащих на одной прямой вот поэтому базиса в одном и том же подпространстве

у нас очень много но вот теорема говорит что в них всегда одно и то же количество векторов не может быть так что в одном подпространстве is basis 2 вектора везде basis из трех векторов это как бы невозможно вопрос философский давайте

считать что он есть но только он пустой он составил до базис в нулевом подпространстве весь это пустое множество ну это вопрос как мы договоримся это не такой не математические вопросы вопрос договоренность доказательство этой теоремы пусть в 1 и так далее в.м. и ради w1 и так

далее wk2 базиса подпространство вот я взял два каких-то разных базиса я хочу доказать что в них одинаковое количество векторов тогда у меня у являются и линейной оболочкой вышек и линейной оболочкой w шик потому что и то и другое

является базисом в частности порождающим множеством для этого подпространство людям сужать от противного пусть например к больше м мы слышим что в них разные число векторов ну тогда одно что вектор а больше другого но читать на пять штук а больше тогда по

основной леня линейной зависимости [музыка] вектора w 1 и так далее дубль вокруг линейно зависима потому что много векторов к штук выражаются как линейной комбинации малого количества викторов м штук тогда по основной лемми а линейной зависимости вектора w 1 и так далее

дубль вака линейно зависимы потому что к больше м у нас много векторов к викторов являются линейными combi зависимо лиман говорила что много векторов линейно зависимы они выражаются через малое число виктора через в один вам и значит являются линейно зависима все

противоречия противоречия с чем с определением базиса потому что по определению базиса виктора должны быть линейно независимы противоречия с определением базис все ура победа а не линейно независимой я скоро обратите в 40 минут во сколько заканчивается 50 наш народ когда так

стал уходить я поэтому смутился говорит еще раз почему это говорит о том что к i am равный я взял два базиса в одном коллекторов другом м векторов и предположил что они не равны тогда и без ограничений общности могу считать что

какой-то из этих чисел больше наверх а больше тогда мне основная лема линейной зависимости говорит что вектора w один дубль вака линейно зависимы а это противоречит условию потому что у меня-то по предположению это базис а виктора базиса линейно независимы значит

я получил при противоречия с тем что к больше м а значит k равно им понятно согласно так и теперь благодаря этому мы можем дать очень важные определение определение размерность размерность под пространство уверен это число векторов в базисе [музыка]

обозначается размерность диму потому что по английски размерность будет die menschen и от этого слова происходит аббревиатура диму корректность этого определения это как раз наша теорема 4 потому что если бы в подпространстве существовало два базиса один бы содержал 8 векторов а другой 9

то мы оказались бы в трудном положении мы сказали что размерность это число вектору в базисе но если вам два разных бойцы содержали разное число вектор это непонятно чему равна размерность но к счастью нас из терема 4 которая говорит

что вся базиса содержат одинаковое число векторов поэтому размерность корректно определено пример давайте раза найдем размерность пространства rn для этого надо знать хотя бы один базис в пространстве иран а какое у нас есть базис пространстве ран стандартный и в нем сколько векторов н

поэтому мы знаем что в этом базисе инверторов носит по определению размерность пространства rn равна n и это хорошо товарищи а то было в как-то странно если бы размерность пространства rn оказалось 86 это было бы что-то неестественное а раз размерность

пространства rn равна n значит все хорошо наше определение размерности интуитивно правильно еще наблюдение которое я сформулирую скорее как задачку которую я всех призываю решить вот пример там задачки на коллоквиуме не очень трудны давайте обозначим через в с двумя индексами

это я же то такой вектор который просто равен разности я это и минусы изжиты где видишь это я вот вектор из стандартного базиса ну то есть это будет такой вектор у него будет всем улики но только на этом месте будет стоять

единичка onaji там минус единичка ну где ее g это любой индексы если скажем эйджи совпадут тогда этот вектор будет каким нулевым но может быть же будет больше и тогда будет вначале стоять минус единичка а потом единичка вот рассмотрим все такие векторы задачка

состоит в том чтобы найти размерность линейной оболочке этих векторов эйджи где и джилл пробегают значение от единички до м найти размерность еще раз найти размерность такого подпространство вот эти треугольной раскопки как мы договорились обозначают линейную оболочку и я беру

линейную оболочку векторов в это jetta gli индекса эиджи независима друг от друга пробегают значение от единички до н понятно господа ответ не такой уж очевидно и как хотелось бы вроде так скажем не больше чего эта размерность небольшая поэтому когда люди придут

говорит что она равна там н квадрат минус and пополам мы с этими людьми разговаривать не будем потому что мы понимаем что все это живет в пространстве р-н а в пространстве рен любые n плюс один вектор линейно независимы поэтому

размерность точно не больше а.н. вопрос том равна на n или она меньше вот предлагается над этим подумать в доме задачка 5 теоремы еще у меня есть пару минут я хотя бы и сформулируем для господа ручка кончается у меня мел

кончается пусть у меня есть цепочка подпространство пусть у меня под пространство w сидит внутри подпространство у и все это вместе сидит в rn то есть пусть у меня вот есть такие два подпространство тогда теорема 5 говорит две вещи

лишь 1 размерность у или лучше размерность w меньше или равна размерностью это первое что говорит теорема что если w и лежит у то размерность w меньше или равно чем размерность а вторая вещь которую говорит теорема что размерности равны

тогда я только тогда когда угадайте что когда они совпадают когда w и равняется это совсем быстро поэтому меня вот три минутки остается чтобы это доказать давайте я щас это докажу и на этом закончу доказательства пусть у меня в 1 и так далее в с базис w

я начну с базиса в маленьком подпространстве в w по теореме 32 потерями 3 пункт 2 его можно достроить до basis of его можно достроить до базисов почему потому что это линейно независимой набор он порождал w у она побольше он не обязан его

порождать но любой независимый набор можно достроить до базиса поэтому его можно достроить до базиса в а из этого уже исследует что размерность дубль вы меньше или равна чем размерность дать сообразим почему потому что размерность это число векторов в

базисе а базис у получена из базиса w добавлением каких-то векторов поэтому количество секторов тут может быть только больше поэтому вот ebay тесто такое не смотрите вот я уже стер вот тут у меня был пункт 2 в теореме что любое

линейно независимая подмножество вууу можно достроить до базиса добавлением каких-то векторов достроить я понимаю добавить какие-то виктора поэтому я получил это неравенство и тогда что означает что у меня размерность дубль вэ равняется размерностью это равносильно тому что добавление не потребовались

правильно добавление не потребовались то есть базис он получен из базисов дубль вот добавлением каких-то векторов но я ничего не добавлял размерность осталась та же поэтому число векторами томи там одинаковые а это означает что у является линейной оболочкой вот этих векторов в 1 vs вот

уже они порождают у некого добавлять не потребовалось но о чудо ведь по определению дуба львы она тоже линейная оболочка в один фрс и раз линейная оболочка в инвиз совпадает с wes w значит у равно w тем самым мы доказали что я

соразмерности равны и подпространство одно лежит в другом той подпространство равны все господа думаете на всем этим напряженно встречаемся во вторник