Skip to content
Start free
Get App

1 жовтня Супутники(2)

Лекція про стійкість автоматичних систем, методи її визначення та критерії Гурвіца і Михайлова у радіоавтоматиці.

Key Takeaways

  • Стійкість системи визначається її здатністю повертатись у початковий стан після збурень.
  • Лінійна система стійка, якщо всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини.
  • Критерій Гурвіца ефективний для систем до четвертого порядку, а критерій Михайлова — для високопорядкових систем.
  • Аналіз стійкості базується на характеристичних рівняннях та відповідних графічних методах.
  • Запас стійкості важливий для забезпечення надійної роботи системи в умовах змін зовнішніх факторів.

What the video covers

  • Визначення поняття стійкості системи як здатності повертатись у початковий стан після збурень.
  • Застосування поняття стійкості до лінійних та нелінійних систем, зокрема стійкість стану спокою та періодичних рухів.
  • Розгляд стійкості в малому та великому для нелінійних систем.
  • Аналіз розв’язку диференційного рівняння системи як суми вільної та вимушеної складових.
  • Характеристика стійкості лінійної системи через корені характеристичного рівняння Лапласа.
  • Критерій Гурвіца для визначення стійкості системи, описаної диференційним рівнянням не вище четвертого порядку.
  • Приклад застосування критерію Гурвіца для конкретного характеристичного рівняння.
  • Критерій Михайлова для аналізу стійкості лінійних систем високого порядку на основі годографа.
  • Пояснення побудови та інтерпретації годографа Михайлова для оцінки стійкості системи.
  • Обговорення запасу стійкості та впливу зовнішніх факторів на параметри системи під час експлуатації.

Chapters

  1. 00:00Вступ та визначення стійкості системи
  2. 01:21Поняття стійкості для лінійних і нелінійних систем
  3. 03:04Стійкість у малому та великому для нелінійних систем
  4. 04:59Розв’язок диференційного рівняння системи
  5. 06:51Характеристика стійкості лінійної системи через корені рівняння
  6. 08:50Критерій Гурвіца та приклад застосування
  7. 12:17Критерій Михайлова та побудова годографа
  8. 20:17Запас стійкості та вплив зовнішніх факторів
  9. 28:22Заключні слова та побажання

Answers

Questions about this video

Що таке стійкість автоматичної системи?

Стійкість — це здатність системи повертатися в початкове або стабільне положення після дії факторів збурення.

Як визначити стійкість лінійної системи за характеристичним рівнянням?

Лінійна система стійка, якщо всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини або є комплексними з від’ємною дійсною частиною.

Для чого використовується критерій Гурвіца?

Критерій Гурвіца застосовується для дослідження стійкості систем, описаних диференційними рівняннями не вище четвертого порядку, за допомогою перевірки коефіцієнтів рівняння.

Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:01
Speaker A
Це сторінка 6379. Достатньо багато сторінок. Давайте я вам коротко дам під запис. Е, коротко дам під запис. Значить, ну, що таке стійкість? Ви знаєте, да? Це здатність системи повертатись в початкове положення, да, після закінчення дії факторів збурення.
00:24
Speaker A
Тобто якісь фактори вивели систему із зв'язку, із рівноваги, скажемо так, збурили і здатність цієї системи повернутися в першо, скаже перше, ну, попередній стан, значить, це є у нас стійкість нашої автоматичної системи.
00:47
Speaker A
Значить, ну і звісно, що у нестійській системі похи похибки керування стають неприпустимо великими от для нормального функціонування. Тобто вона повинна бути стійкою система, да?
00:59
Speaker A
Угу. Тобто, значить, давайте так. Запишіть, будь ласка. Ну, що таке стійкість? Не будемо писати, да?
01:08
Speaker A
Ні, не будемо, да? Ну, це відомо факт, да? Що таке стійкість? Це здатність повернутися в в перш перший стан цей, так, попередній стан, в стан стабільності, скажемо так.
01:21
Speaker A
Е значить м напишіть е поняття стійкості застосовують до лінійних і нелінійних систем. Поняття стійкості застосовують до лінійних і нелінійних систем.
01:43
Speaker A
нелінійних. Ну, в в лінійних системах похибки керування стають неприпустимо великими. От, тобто лінійна система повинна бути стійкою, а не лінійна, там єсть варіанти. Так, напишіть. Так, зараз коротко.
02:13
Speaker A
В нелінійних напишіть розглядають як стійкість стану спокою нелінійних розглядають стійкість стану спокою і стійкість періодичних хаотичних руків.
02:33
Speaker A
В нелінійних системах розглядають стійкість стану, як стійкість стану спокою, так і стійкість періодичних хаотичних рухів.
02:48
Speaker A
для нелінійних систем користуються поняттям стійкості в малому. в лабках напишіть. Для нелінійних систем користуються поняттям стійкості в малому, тобто при малих збуреннях.
03:04
Speaker A
І стійкість у великому для нелінійних систем користуються поняттям стійкості в малому. Це при маленьких збуреннях і стійкості у великому. Якщо нелінійна система не стійка в малому, то вона буде нестійка і у великому. Ясно, да?
03:26
Speaker A
От. Ну і, скажемо так, щоб проаналізувати систему, її аналізують у малому. От і викону виконується цей аналіз різними методами, тими ж самими, що і в лінійних системах. Ну і тепер давайте підзаголовочок. Методи визначення стійкості радіоавтоматики. Методи визначення стійкості радіоавтоматики. Перший метод.
03:53
Speaker A
Перший. Аналіз стійкості скореннями характеристичного рівняння. Методи визначення стійкості: перше, аналіз стійкості з коренями характеристичного рівняння.
04:13
Speaker A
Ну, нехай система е задана деяким диференційним рівнянням. У загальному випадку розв'язок цього рівняння є сумою вільної та вимушеної складової. Давайте запишемо. Нехай система задана деяким диференційним рівнянням.
04:30
Speaker A
Нехай система задана деяким диференційним рівнянням. Далі пишіть. Розв'язок цього рівняння. Розв'язок цього рівняння є сумою вільної та вимушеної складової. Тобто у нас y відт буде дорівнювати y вільний відт плюс y вимушений від t.
04:59
Speaker A
Тобто розв'язок цього рівняння це буде сума ее вільної та вимушеної складової. Угу. Значить, y вимушено, напишіть, виникає внаслідок дії вхідного сигналу в відт.
05:18
Speaker A
Y вимушений виникає внаслідок дії вхідного сигналу вт. Вільна складова Y вільна відповідає перетворенню лапласа.
05:35
Speaker A
вимушена виникає внаслідок дії вхідного сигналу, а вільна відповідає перетворенню лапласа в дужках напишіть характеристичному рівнянню an p в nні ступеню плюс an - 1 pn - 1 плюс і так далі плюс а0 = 0.
06:03
Speaker A
Це рівняння Лапласа. Характеристичне рівняння вільне відповідає перетворенню Лапласа, характеристичному рівнянню. Позначте оце рівняння один, да, літерою один. І стійкість лінійної системи повністю визначається.
06:23
Speaker A
Стійкість лінійної системи повністю визначається характером її власних коливань. Стійкість лінійної системи повністю визначається характером її власних коливань, тобто розв'язанням оцього рівняння один. Тобто напишіть, тобто розв'язанням рівня один і не залежить від ві від величини і форми збудження.
06:51
Speaker A
Стійкість лінійної системи повністю визначається характером її власних коливань, тобто розв'язанням рівняння один цього лапласового характеристичного рівняння. І не залежить від величини і форми збудження вт.
07:12
Speaker A
Напишіть висновок. Перше. Лінійна система стійка. Висновок. Перше. Лінійна система стійка. Якщо всі корені характеристичного рівняння від'ємні або комплексні з від'ємною дійсною частиною, лінійна система стійка, якщо всі корені характеристичного рівняння від'ємні або комплексні з від'ємною дійсною частиною.
07:47
Speaker A
І друге. Якщо корені додатні, тоді збурений рух вихідної системи не стійкий. Лінійна система стійка, якщо всі корені характеристично рівняння від'ємні або комплексні з від'ємною дійсною частиною.
08:07
Speaker A
Якщо друге, якщо корені додатні, тоді збореній рух е вихідної системи не стійкий. Тобто, якщо система описується якимось рівнян, якщо там мінуси, то ця система буде стійка. Якщо плюси стоять, то буде не стійка. Друге, пишіть критерій гурвіца.
08:30
Speaker A
Критерій гурвіца застосовується в автоматиці. Критерій гурвіца застосовується в автоматиці для дослідження стійкості системи. що описується дифрівнянням не вище четвертого порядку.
08:50
Speaker A
Застосовується в автоматиці для дослідження стійкості системи, що описується диф рівнянням, диференційним рівнянням не вище четвертого порядку. Формула така, дивіться, а1 * а2 повинно бути більше, ніж а0 * а3. Тобто у нас чотирьох четверте порядок раздт четвертого порядка рівняння. Це напишіть
09:20
Speaker A
умова стійкості. Умова стійкості для критерія гурвіца. Ну дивіться наприклад е давайте приклад. Перевірити стійкість системи.
09:31
Speaker A
Давайте напишіть приклад. Перевірте стійкість системи, яка описана характеристичним рівнянням. 3P³ + 5 P² + 7p + 4 = 0.
09:48
Speaker A
Тобто у нас 2 3 четвертого порядку рівняння да? Е, дивіться, всі коефіцієнти тут можна виписати. Наприклад, ану дорівнює чотирьом, да?
10:02
Speaker A
А1 дорівнює 7, а2 = 5 і а3 дорівнює там чому? Трьом. Трьом. Підставляємо сюди в цю формулу.
10:15
Speaker A
Получаємо, що у нас ее 7 помножити так на 2 на 5 більше. Так, 3 пом 4. Ну, якщо це рівняння, ну, відповідає цій умові, да, тобто 7 на 5 буде більше ніж 3х 4, значить, ця система буде стійка. Зрозуміли, як, ну, рахується,
10:44
Speaker A
да? Беруться корені рівняння, підставляються. От третій критерій Михайлова. Теж критерії Михайлова визначають стійкість системи. Критерій Михайлова пишіть зручний для аналізу лінійних систем високого порядку.
11:04
Speaker A
Тут уже не чотири порядку, буде більше. Критерій Михайлова зручний для аналізу лінійних систем вищого порядку, так? Чи високого порядку, як правильно? Я не знаю, ви високого порядку. Високого порядку.
11:22
Speaker A
Оцінка стійкості виконується на основі годографа Михайлова. Годограф оцінка стійкості на основі годографа Михайлова. Від тому і називається критерій Михайлова, який будують оцей годограф Михайлова будують, який будують із використанням характеристичних рівнянь, які будують з використанням характеристичних рівнянь замкненої системи з певним алгоритмом.
12:06
Speaker A
який будують з використанням характеристичних рівнянь замкненої системи з певним алгоритмом. Тобто по цим формулам будують графік.
12:17
Speaker A
Ось такий оце годограф називається графік. Цей графік, якщо він починається, давайте так, а омега, а тут B омега.
12:28
Speaker A
Цей графік, якщо він має таку форму, тобто ми будуємо, будується графік по рівнянням. От, наприклад, ось такий проти часової стрілки отак в цю сторону. Оце буде частота.
12:42
Speaker A
Зміна частоти буде змінюватись по рівнянням. Ось ось така така характеристика. Це годограф, е, скажемо так, е, цього Михайлова.
12:54
Speaker A
Е, значить, намалюйте цей годограф. щас на опишемо. О, єбать, вспоняли. Тобто за певним алгоритмом по формулі будується якась лінія і дивляться на форму цієї лінії. На форму цієї лінії. В даному випадку у нас система буде стійка.
13:18
Speaker A
Цей годограф його позначають d омега. Помняв, Вон як я згадав. Капець, я давно екселем не користувався.
13:26
Speaker A
Да. Оце гістограма. Да, да, да, да. От гістограма можна с Я згадав просто забувся вже.
13:35
Speaker A
Да, напишіть, е, намалювали цю схемку. Так, напишіть. Згідно згідно з критерієм Михайлова замкнена система стійка згідно з критерієм Михайлова.
13:52
Speaker A
Можете під під малюнком написати там, а, наприклад стійка. Цей малюнок показує, що система стійка.
13:59
Speaker A
Зараз словами напишемо. Згідно з критерієм Михайлов
14:14
Speaker A
Згідно з критерією Михайлова, замкнена система стійка. Якщо годограф Dй омега починається на додатній частині дійсної осі, починається на додатній частині. Бачите, це нуль у нас починається на додатній частині дійсної осі. І при зміні частоти від нуля до нескінченності, тобто омега
14:38
Speaker A
у нас буде від нуля до нескінченності. І при зміні частоти від нуля до нескінченності послідовно огинає проти часової стрілки.
14:52
Speaker A
Система буде стілька, якщо починається на додатній частині дійсної осі і при зміні частоти від нуля до нескінченності послідовно огинає проти часової стрілки n квадратів послідовної стрілки n квадратів. Дn - це порядок системи.
15:15
Speaker A
n квадратів, де n - це порядок системи. Ну, із критерію випливає, напишіть, що система стійка, якщо нулі А омега і B омега чергуються зі зростанням частоти.
15:38
Speaker A
Із критерію випливає, що система стійка, якщо нулі. я забив за А омега і B омега чергуються зі зростанням частоти омега, починаючи з нуля.
16:01
Speaker A
Починаючи з нуля. Ну, тобто, дивіться, коли в нас що b Омега дорівнює нулю, то а омега буде максимальним.
16:11
Speaker A
Зрозуміло? Буде максимальний. Ну і дивіться. намалюємо. Якщо годограф буде ось таким, дивіться, ось починається ось так, то це буде система на межі стійкості. На межі стійкості.
16:28
Speaker A
А якщо намалювати ось таким чином, це система не стійка. Ну, якщо такий графік, це буде не стійка на грані на грані стійкості.
16:48
Speaker A
Це не стійка, це стійка система. Зрозуміли да? Так. По формулам малюється графік і тоді визначається яка стійка, не сійка.
17:00
Speaker A
Четверте. Пишіть критерій Найквіста. Критерій Найкста. Також будується там годограф. Пишіть. Базується на побудові годографа.
17:17
Speaker A
базується на побудові годографа комплексного частотного коефіцієнта критерій Найквіста. Ну, знаєте, да, формула Найквіста там базується на побудові годографа комплексного частотного коефіцієнта передавання розімкненої системи керування.
17:41
Speaker A
базується на побудові годо годо комплексного частотного коефіцієнта передавання розімкненої системі системи. Я от створив, я от знаєш, я згадав, що єбать, я давно ним не пользовався. Ужас.
17:53
Speaker A
Жа. Ну, дивіться, він використовується ее за відсутності математичного опису. Е, напишіть за відсутності математичного опису піздец. використовує експериментальну експериментальні частотні характеристики за відсутністю математичного опису використовує експериментальні частотні характеристики. Також баз будується годограф годограф. Да.
18:28
Speaker A
Також напишіть будується годограф Найквіста. Ну і тепер напишіть так. Якщо розімкнена система RA радіоавтоматики стійка, якщо розімкнена система стійка, якщо розімкнена система радіоавтоматики стійка, тоді для стійкості замкненої системи е-е якщо розімкнена система радіавтоматики стійка, тоді для стійкості замкненої
19:01
Speaker A
системи необхідно І достатньо необхідно і достатньо, щоб годограф частотної характеристики, щоб годограф частотної характеристики розімкненої системи, щоб годограф частотної характеристики розімкненої системи не охоплював точку із координат із із координатами -1 0, щоб годограф частотної характеристики розімкненої системи не охоплював точку із
19:43
Speaker A
координатами -1 0. При зміні частоти від нуля до нескінченності при зміні частоти від нуля до нескінченності. Тобто, дивіться, годограф найпістав виглядатиме ось таким чином.
20:04
Speaker A
Зараз намалюю. Розпочинається він проти часової стрілки. Ось так. Тобто в нас якийсь вектор єсть.
20:22
Speaker A
Отак. Да. Давайте позначимо його Т. Да. З часом цей вектор рухається по цій системі, але точка ось нуль, да, а тут буде -1.
20:34
Speaker A
Цей годограф не знаходиться, не перетинає оцю точку. Це система стійка. Ну, а не стійка система буде, коли у нас почнеться ось в точці ноль. Ось так буде проходити.
20:56
Speaker A
Це буде в нас що тут в нас буде омега дорівнює нулю. Тут оце омега дорівнює плюс нескінченність.
21:09
Speaker A
Тобто в нас годограф буде, дивіться, це буде -1 -1 це буде т. Це буде нестійка.
21:21
Speaker A
Побудували. Тобто у нас получається знаходиться в цій в точці -1 0 в цій координаті.
21:28
Speaker A
Тобто система дивіться отут неправильно я написав. Це -1 ось тут. Ось якщо так, це на межі буде тільки час на межі стійкості. На межі стійкості. А якщо перетне оцю лінію отак, то це буде нестійка система.
21:49
Speaker A
Тобто до міну1ного це буде на межі стійкості, а за цією лінією система буде нестійка.
22:00
Speaker A
Ну і п'ятий, п'ятий, останній. П'ятий. Напишіть критерій Найквіста в логарифмічній формі. Критерій Найквіста в логарифмічній формі. В логарифмічній формі.
22:21
Speaker A
А о ага. Ну і давайте запишемо. Тут уже трошки залишилося, я думаю, хвилин 10 ми закінчимо. Пишіть в процесі експлуатації параметри системи, ну, мається на увазі коефіцієнт підсилення там і так далі. В процесі експлуатації параметри системи через зміни зовнішніх умов.
22:55
Speaker A
в процесі експлуатації параметри системи через зміни зовнішніх умов, ну, що мається на увазі, коливання напруги, е, джерел живлення, нестабільність там температури і так далі, відрізняються від ро розрахункових значень. В процесі експлуатації параметри системи відрізняються від розрахункових значень.
23:20
Speaker A
Якщо не вживати певних заходів, то система радіоавтоматики може стати нестійкою. В процесі експлуатації параметри системи, мається на увазі коефіцієнт підсилення, постійні часу там, да, і так далі через зміни зовнішніх умов. А зовнішні умови - це що в нас коливання
23:37
Speaker A
напруги джерел живлення, да? от коливання температур і так далі відрізняються від розрахункових. Якщо не вживати певних заходів, то система R може стати нестійкою.
23:50
Speaker A
Нестійкою. Для виключення цього для виключення цього при проектуванні намагаються забезпечити певний запас стійкості. Для виключення цього при проектування намагаються забезпечити певний запас стійкості, який характеризує, напишіть, відстань готографа, певний запас стійкості, який характеризує відстань годографа частотної характеристики розімкненої системи до точки -10.
24:37
Speaker A
Тобто о дивіться, ось оця відстань, оця відстань стараються, це є запас запас стійкості. Зрозуміло да?
24:53
Speaker A
При проектуванні намагаються забезпечити певний запас стійкості, який характеризує відстань готографа частотної характеристики е розмітної системи до точки -1 0.
25:05
Speaker A
Ну і напишіть: "Розрізняють запас стійкості за амплітудою і за фазою". Розрізняють запас стійкості за амплітудою і запасу і за фазою і за фазою. Запас стійкості визначають на двох частотах. Напишіть: частота зрізу і критична частота. Тобто в нас частота зрізу і частота критична.
25:38
Speaker A
Запас стійкості визначають на двох частотах: частота зрізу і критична частота. На частоті зрізу, На частоті зрізу, напишіть: АЧХ розімкненої системи дорівнює одиниці на частоті зрізу. амплітудна частотна характеристика розімкненої системи дорівнює одинички.
26:07
Speaker A
Тобто в нас коефіцієнт передачі K, да, за модулем K за модулем йд омега зрізу буде дорівнювати одинички.
26:19
Speaker A
Коефіцієнт передачі на критичній частоті чих фазочастотна характеристика дорівнює - піричній частоті фЧХ. Тобто у нас буде фаза фаза від омега критичне буде дорівнювати - пі.
26:45
Speaker A
Запас стійкості визначають на двох частотах. частоті зрізу і частоті критичній частоті. Тобто на частоті зрізу у нас амплітуда, ну, розімкненої системи ачх дорівнює одинички, а фаза буде дорівнювати - піс.
27:08
Speaker A
Все, це те, що я вам хотів сьогодні розповісти. Питання есть якісь? А має тільки одне питання. А який автор книжки по радіоавтоматиці?
27:22
Speaker A
Слухайте, я вам зараз не скажу. В мене вона просто залишилася в коледжі. Ну, я не пам'ятаю. Вона така оранжева такого кольору, червоно-оранжевого такого кольору.
27:35
Speaker A
Угу. Е, слухайте, давайте вам це не кспеху. Я, ну, буду в коледжі, я вам покажу і або тоді дам. Я просто я не пам'ятаю автора, чесно.
27:46
Speaker A
Угу. Добре, тоді дякую. Дивіться, книжку я вам дам. Книжку, ну, по сутникам, ви знаєте, да? У нас супутникові це ось така ось в мене вона з собою Поповський. Да, да, Поповський. От. А по радіоавтоматиці, блін, я не брав книжку.
28:02
Speaker A
В мене просто в мене конспект ще есть по радіоавтоматиці з інститута. Я їм користуюся. От.
28:08
Speaker A
Угу. Я поняв. А книжкою не користувався, але книжка є теж. Угу. Поняв. Тоді дякую.
28:15
Speaker A
Все, тоді, ну, в коледжі я вам дам автора. Візьмете, якщо треба, візьмете в цьому. Ну, я думаю, в нас залік по радіоавтоматиці. Те, що у вас є, я думаю, що там здасте.
28:27
Speaker A
Ага. Тоді, ну, якщо нічни візьмете книжку. Ну да, нам головне іспит здати по супутникам і все.
28:36
Speaker A
Радіорелейним. Хорошо. От. Ну, це важливо, тому що іспит - це іспит. Він іде там в диплом ця оцінка.
28:42
Speaker A
Ну, зрозуміло. Все, тоді, якщо нема питань, давайте тоді бережіть себе. До побачення. Гарного дня. Зустрінемося завтра з вами.
28:53
Speaker A
До зустрічі. До побачення. Да, до побачення. Відмітив там я вам ті, хто були, я позитивні оцінки поставлю.
29:02
Speaker A
Дякую. Дякую. Все. Гарного дня.
Topics:стійкість системавтоматичні системихарактеристичне рівняннякритерій Гурвіцакритерій Михайловарадіоавтоматикалінійні системинелінійні системигодограф Михайловазапас стійкості

Get More with the SozAI App

Transcribe recordings, audio files, and YouTube videos — with AI summaries and speaker detection. 30 minutes free.

App Store Google Play
Or transcribe another YouTube video here →

Free tools: TXT to SRT · SRT Validator · Merge SRT · Subtitle to Text · All tools

More from Калініченко Денис

View All
Супутники та радіоавтоматика 16.10.2026 — Transcript1:00:42
Супутники та радіоавтоматика 16.10.2026 — Transcript
5,023 1 Ukrainian
08.10.2026 Радіоавтоматика та супутники — Transcript1:51:09
08.10.2026 Радіоавтоматика та супутники — Transcript
7,875 1 Ukrainian
1 жовтня супутники та радіорелейні — Transcript39:44
1 жовтня супутники та радіорелейні — Transcript
3,619 1 Ukrainian
Як розвивалось господарство Стародавнього Єгипту? Давні… — Transcript7:59
Як розвивалось господарство Стародавнього Єгипту? Давні… — Transcript
353 1 Ukrainian
“Very Painful and Unpleasant” Zelenskyy Reveals Impact … — Transcript13:46
“Very Painful and Unpleasant” Zelenskyy Reveals Impact … — Transcript
1,268 1 Ukrainian
10 клас. Українська мова. Основні правила вимови голосн… — Transcript7:09
10 клас. Українська мова. Основні правила вимови голосн… — Transcript
724 1 Ukrainian
Правова держава, част 2 — Transcript1:00:54
Правова держава, част 2 — Transcript
5,938 1 Ukrainian
Правова держава, част 1 — Transcript1:08:11
Правова держава, част 1 — Transcript
5,926 1 Ukrainian
Блейк Крауч – Темна Матерія (аудіокнига українською) — Transcript9:07:03
Блейк Крауч – Темна Матерія (аудіокнига українською) — Transcript
76,834 1 Ukrainian
Урок 9 – Зцілення, робота з фізичним тілом — Transcript43:43
Урок 9 – Зцілення, робота з фізичним тілом — Transcript
7,187 1 Ukrainian
ОМЕЛЬЧЕНКО: ПУТІН ВИКЛИКАВ ЛІКАРІВ З КИТАЮ ДЛЯ ЧУМИ! Ст… — Transcript46:56
ОМЕЛЬЧЕНКО: ПУТІН ВИКЛИКАВ ЛІКАРІВ З КИТАЮ ДЛЯ ЧУМИ! Ст… — Transcript
4,777 1 Ukrainian
Базовий Курс “Основи Духовної Трасформації Людини” 10/2… — Transcript4:02:30
Базовий Курс “Основи Духовної Трасформації Людини” 10/2… — Transcript
17,296 1 Ukrainian