Speaker A
Hola, ¿qué tal? Sean bienvenidos a un nuevo video. En esta ocasión vamos a hablar sobre qué es la derivada.
Explicación detallada y paso a paso sobre qué es la derivada usando el ejemplo de la velocidad de un avión.
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Key Takeaways
- La derivada representa la velocidad instantánea o tasa de cambio en un punto específico.
- La velocidad promedio se calcula dividiendo la distancia total entre el tiempo total.
- La gráfica de distancia vs tiempo puede mostrar variaciones en la velocidad, no siempre constante.
- La derivada se define como el límite cuando el incremento en el tiempo tiende a cero.
- La recta tangente a la gráfica en un punto representa la derivada o velocidad instantánea en ese punto.
What the video covers
- Introducción al concepto de derivada y su importancia.
- Ejemplo práctico: cálculo de la velocidad promedio de un avión que recorre 5000 km en 5 horas.
- Explicación de cómo calcular la velocidad promedio dividiendo distancia entre tiempo.
- Representación gráfica de la distancia vs tiempo para el avión.
- Discusión sobre variaciones en la velocidad debido a factores externos como turbulencia y viento.
- Definición de incremento en el tiempo (delta x) y su relación con el cambio en distancia.
- Concepto de velocidad promedio entre dos puntos y su representación gráfica con una recta secante.
- Introducción al concepto de velocidad instantánea y cómo se aproxima con el límite cuando delta x tiende a cero.
- Definición formal de la derivada como límite de la razón de cambio promedio.
- Conclusión con tres definiciones diferentes de la derivada: pendiente de la tangente, límite de la razón de cambio y velocidad instantánea.
Chapters
- 00:00Introducción a la derivada
- 00:37Ejemplo: velocidad promedio de un avión
- 01:12Cálculo de la velocidad promedio
- 02:09Resultado de la velocidad promedio
- 03:02Definición de velocidad promedio
- 04:15Gráfica de distancia vs tiempo
- 04:47Factores que afectan la velocidad
- 05:56Variación de la velocidad en la trayectoria
- 07:02Puntos x1 y x2 en la gráfica
- 07:31Imágenes f(x) y valores en la gráfica
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Speaker A
calcular la velocidad promedio en este avión lo único que tenemos que hacer es dividir la distancia que recorre que son 5000 km dividido entre el tiempo que de tomas recorrer esta distancia que son 5 horas Entonces si dividimos 5000 entre 5 nos
Speaker A
Para comenzar con ese tema, vamos a poner el siguiente ejemplo: un avión recorre 5000 km en 5 horas. ¿Cuál es su velocidad promedio?
Speaker A
trayectoria de este avión desde que despega hasta que recorre 5000 km y han transcurrido 5 horas Si nosotros hacemos una gráfica de la distancia y el tiempo que recorre este avión vamos a tener algo así esta gráfica representa la
Speaker A
Para calcular la velocidad promedio en este avión, lo único que tenemos que hacer es dividir la distancia que recorre, que son 5000 km, dividido entre el tiempo que toma recorrer esta distancia, que son 5 horas.
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este avión también va disminuyendo poco a poco además cuando este avión está en el aire se pueden presentar algunos problemas Como por ejemplo turbulencia viento lluvia etcétera entonces este avión no tendrá esta misma velocidad en todas sus trayectoria sino que su
Speaker A
Entonces, si dividimos 5000 entre 5, nos da igual a 1000 km por hora.
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puntos 2 y 3 a los que les podemos llamar x1 y x2 por lo tanto a cada uno de estos puntos también le corresponde su respectiva imagen o su respectivo valor en fdx es decir sus respectiva distancia entre las dos y las tres horas Qué sería
Speaker A
Entonces, la velocidad promedio de este avión cuando recorre 5000 km en 5 horas es de 1000 km por hora.
Speaker A
dos y las tres horas hay un incremento o un cambio en x es decir en el tiempo a ese incremento le vamos a llamar incremento de x o Delta x por lo tanto si hay un incremento en x es decir en el
Speaker A
Lo que estamos sacando acá se llama velocidad promedio porque en realidad estamos haciendo un promedio de toda la trayectoria de este avión desde que despega hasta que recorre 5000 km y han transcurrido 5 horas.
Speaker A
puedo llamar De esta manera a x1 lo dejamos simplemente como x y a x2 será simplemente la suma de X más la diferencia que hay entre nuestro primer valor y nuestro segundo valor entonces a x2 también lo puedo llamar como x más
Speaker A
Si nosotros hacemos una gráfica de la distancia y el tiempo que recorre este avión, vamos a tener algo así. Esta gráfica representa la velocidad promedio de este avión, que como ya vimos es de 1000 km por hora.
Speaker A
si yo quiero saber cuál es la velocidad promedio de este avión entre las 2 y 3 de la tarde lo que tengo que hacer es dividir el incremento en la distancia sobre el incremento en el tiempo es decir
Speaker A
Entonces, kilómetros en 2 horas, 3000 km, y en 5 horas hasta que se eleva por completo en el aire y cuando aterriza la velocidad de este avión también va disminuyendo poco a poco.
Speaker A
Entonces tenemos fdx más incremento de X - fdx recordemos que estas son las imágenes del tiempo dos y del tiempo Uno que ahora le llamamos x y x + incremento de X entonces la diferencia entre estos dos valores en la distancia es igual a
Speaker A
Además, cuando este avión está en el aire se pueden presentar algunos problemas, como por ejemplo turbulencia, viento, lluvia, etcétera.
Speaker A
restamos 3 - 2 nos da uno Esa es la diferencia que hay entre las dos y tres horas Entonces vamos a restar x más incremento de X menos x pero como acá tenemos x y menos x estas dos x se
Speaker A
Entonces, este avión no tendrá esta misma velocidad en toda su trayectoria, sino que su velocidad puede variar.
Speaker A
tiempo entre estos dos valores con esta fórmula vamos a calcular la velocidad promedio de este avión entre dos puntos de su trayectoria si nosotros trazamos una línea que pase por estos dos puntos de la trayectoria de este avión vamos a
Speaker A
Entonces, una gráfica más correcta de la trayectoria de este avión sería esta, en donde su velocidad puede ir variando a lo largo de su recorrido hasta llegar a su destino recorrido.
Speaker A
tarde pero ahora qué pasa si ya no quiero saber cuál es la velocidad de este avión entre las dos y las 3 de la tarde sino que quiero saber cuál es la velocidad dos para ello necesitamos que la
Speaker A
Entonces, vamos a marcar los puntos 2 y 3, a los que les podemos llamar x1 y x2.
Speaker A
avión ya que solo queremos saber la velocidad en este punto a las 2 de la tarde entonces necesitamos que incremento de x o cambio en x se vaya haciendo cada vez más pequeño más pequeño y más pequeño de manera que x
Speaker A
Por lo tanto, a cada uno de estos puntos también le corresponde su respectiva imagen o su respectivo valor en f(x), es decir, su respectiva distancia entre las dos y las tres horas, que sería más o menos por acá.
Speaker A
aproximar lo más posible a fdx y este punto de esta recta se va aproximado lo más posible a este punto es decir a las 2 horas Entonces cuando el incremento en x se haya hecho 0 es decir que los
Speaker A
Entonces, la imagen de x1, es decir, a las 2 horas, la imagen de podemos llamar f de x1, y a la imagen de x2 le podemos llamar f de x2.
Speaker A
Entonces estás recta que era una recta secante pasa a ser una recta tangente es decir una recta que toca la Gráfica en un solo punto porque incremento AX Ya hicimos que se acercara lo más posible hacer eso lo podemos Representar en esta
Speaker A
Y sabemos que entre las dos y las tres horas hay un incremento o un cambio en x, es decir, en el tiempo.
Speaker A
determinado de su trayectoria que en este caso sería a las 2 horas derivada en donde la velocidad promedio pasa a ser una velocidad instantánea porque ya no tenemos dos puntos de X sino que tenemos un solo punto además
Speaker A
A ese incremento le vamos a llamar incremento de x o delta x.
Speaker A
velocidad instantánea de una función en un punto específico de la función la derivada de una función me permitirá sacar la velocidad exacta de este avión a las 2 horas mediante esta expresión a la que llegamos la derivada de una
Speaker A
Por lo tanto, si hay un incremento en x, es decir, en el tiempo, también habrá un incremento en la distancia.
Speaker A
de la razón de cambio promedio velocidad promedio de una función en conclusión hemos visto tres definiciones diferentes para la derivada de una función la primera sería la pendiente de la recta tangente a la Gráfica de una función en
Speaker A
Vamos a llamar como incremento en y, ya que y = f(x) es exactamente lo mismo.
Speaker A
la definición de la derivada el límite cuando incremento de X tiende a cero dfdx más incremento de X - fdx sobre incremento de X Y por último podemos decir que la derivada también es un límite cuando incremento de x o cambio
Speaker A
Este es el eje y y este es el eje x.
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