Speaker A
Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo vamos a calcular la fórmula para derivar el logaritmo natural de x, y esto vamos a hacerlo a partir de la fórmula que vimos ya en el vídeo anterior para la función
Demostración paso a paso de la derivada del logaritmo natural y su relación con la función exponencial inversa.
Key Takeaways
- La derivada del logaritmo natural de x es 1/x.
- El logaritmo natural y la función exponencial son funciones inversas, lo que facilita la demostración.
- La regla de la cadena permite derivar logaritmos de funciones compuestas.
- La fórmula para derivar funciones exponenciales con bases distintas se verá en el siguiente vídeo.
- El vídeo es parte de una serie educativa de Mate Fácil sobre cálculo diferencial.
What the video covers
- Se introduce la derivada del logaritmo natural de x usando la función inversa exponencial.
- Se define v como el logaritmo natural de x para facilitar la demostración.
- Se aplica la función exponencial a ambos lados para despejar x en términos de v.
- Se utiliza la fórmula de la derivada de la función exponencial demostrada en un vídeo anterior.
- Se deriva implícitamente la ecuación e^v = x respecto a x.
- Se despeja la derivada de v (v') y se expresa finalmente en términos de x.
- Se presenta la fórmula final: la derivada del logaritmo natural de x es 1/x.
- Se generaliza la fórmula usando la regla de la cadena para funciones compuestas.
- Se anticipa el siguiente vídeo donde se derivarán funciones exponenciales con bases distintas a e.
- Se invita a los espectadores a apoyar el canal con likes, suscripciones y Patreon.
Chapters
- 00:00Introducción y objetivo del vídeo
- 00:15Definición de v como logaritmo natural de x
- 00:31Relación inversa entre logaritmo y exponencial
- 00:50Aplicación de la función exponencial para despejar x
- 01:20Derivación implícita usando fórmula de derivada exponencial
- 01:49Despeje de la derivada de v y expresión en términos de x
- 02:34Fórmula final de la derivada del logaritmo natural
- 02:51Generalización con regla de la cadena
- 03:25Avance del siguiente vídeo sobre derivadas de funciones exponenciales
- 03:53Cierre, invitación a apoyar y agradecimientos
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Speaker A
exponencial. Lo que vamos a utilizar aquí es que la función x es inversa del logaritmo natural de x. Vamos a usar eso de la siguiente manera. Primero, a este logaritmo vamos a llamarle v, entonces v es igual a
Speaker A
logaritmo natural de x. Ahora bien, como el logaritmo natural y la función exponencial son funciones inversas, lo que podemos hacer aquí es despejar esta x pasando este logaritmo como exponencial al otro lado. Es decir, que ahora tenemos que la exponencial
Speaker A
dv es igual a x. Para entender este paso simplemente es como haber aplicado la función exponencial en ambos lados de la ecuación. Tendríamos que e a la v es igual a e elevado a logaritmo natural de x, pero como la función
Speaker A
exponencial y el logaritmo son inversas, eso significa que su composición nos da como resultado la propia x, o sea, e elevado a logaritmo de x es x, y también el logaritmo natural de e a la x es x. Eso es lo que significa que esas funciones
Speaker A
sean inversas, por eso es válido hacer esto de aquí. Bueno, y ahora lo que vamos a hacer aquí es derivar a ambos lados de esta ecuación respecto de x. Entonces derivamos respecto de x ambos lados de la ecuación, y aquí es donde vamos a usar
Speaker A
la fórmula que demostramos en el vídeo anterior. Esta fórmula de aquí: la derivada de e a la u es igual a e a la u por la derivada de u respecto de x. Así que nos queda lo siguiente del lado
Speaker A
izquierdo: nos queda e a la v por la derivada de v, igual a 1, porque recordemos que la derivada respecto de x de la propia x es 1. Fue una de las primeras fórmulas que demostramos, y ahora aquí podemos despejar v prima o
Speaker A
sea la derivada de v. Simplemente este e a la v lo pasamos dividiendo, y esto de aquí v con comilla es lo mismo que poner derivada respecto de x, dv, y aquí ya la v es x, es lo que teníamos
Speaker A
aquí arriba. Ya la v es x, así que en lugar de ponerlo como e a la v vamos a ponerlo como x porque nos interesa la fórmula en términos de x. Esta v fue una variable que nosotros introdujimos, pero
Speaker A
en la fórmula al final debemos dejarlo con x. Ahora finalmente aquí en lugar de escribir v escribimos logaritmo natural de x, y así obtenemos nuestra fórmula: la derivada del logaritmo natural de x es igual a 1 sobre x, y si usamos la regla
Speaker A
de la cadena podemos cambiar esta x de aquí por cualquier función v, v de x, y entonces obtenemos esta fórmula: la derivada del logaritmo natural de v, donde v es una función de x, es igual a 1 sobre v de x por
Speaker A
la derivada de v respecto de x. También, si hacemos aquí la multiplicación, podemos ponerlo como v prima sobre v. Bueno, en el siguiente vídeo vamos a calcular otra derivada, ahora para funciones exponenciales de cualquier base. Ya calculamos la derivada
Speaker A
de e a la x, pero ¿qué tal si tenemos una base distinta? Por ejemplo, si queremos derivar 2 elevado a x o 10 elevado a x. Bueno, para eso vamos a calcular otra fórmula que veremos en el siguiente vídeo, y esa fórmula se deduce
Speaker A
a partir de la propia fórmula de la derivada de e a la x. Así que los invito a que miren ese vídeo para que vean cómo es que se calcula esa fórmula. Si te gustó este vídeo, apóyame regalándome un
Speaker A
like, suscríbete a mi canal y comparte mis vídeos. Y también quiero agradecer a todas las personas que me han apoyado a través de Patreon. Muchas gracias a todos por su gran apoyo.
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