Speaker A
Я просто хочу сказать, что каждый из вас, кто досмотрит это видео до конца, будет знать всю теорию по первой части ЕГЭ по профильной математике, потому что я разобрал все правила и формулы, которые здесь есть.
Comprehensive 80-minute overview of the first part of the Russian Unified State Exam (ЕГЭ) in advanced mathematics, covering key geometry and algebra concepts.
Key Takeaways
- Mastery of first part ЕГЭ theory requires understanding key geometric definitions and theorems.
- Triangles have critical properties including angle sum, inequalities, and special segments that intersect at notable points.
- Angles formed by intersecting lines have specific relationships such as vertical and adjacent angles.
- Logarithmic and trigonometric concepts are essential for solving advanced problems.
- Derivatives represent rates of change and have practical geometric and physical interpretations.
What the video covers
- Detailed explanation of fundamental geometry concepts including segments, angles, and their properties.
- In-depth coverage of triangle properties such as angle sums, triangle inequality, and special segments (medians, bisectors, altitudes, perpendicular bisectors).
- Discussion of angle types: acute, right, obtuse, adjacent, vertical, and straight angles with their relationships.
- Explanation of external angles of triangles and their properties.
- Introduction to coordinate geometry basics including midpoint formula.
- Coverage of parallel lines and angle relationships formed by transversals.
- Overview of formulas related to areas and volumes of geometric figures like trapezoids and prisms.
- Introduction to logarithmic equations and their types.
- Explanation of radian measure and conversion between degrees and radians.
- Introduction to derivatives, their geometric and physical meanings, and rules including the chain rule.
Chapters
- 00:00Введение и основы планиметрии: отрезки и углы
- 04:40Неравенство треугольника и свойства углов
- 09:58Параллельные прямые и углы, образованные ими
- 16:36Формулы площадей и объемов геометрических фигур
- 27:25Координатная геометрия: формулы и примеры
- 32:01Треугольники: медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры
- 42:14Логарифмические уравнения и их типы
- 58:08Переход к тригонометрии: радианы и углы
- 63:53Производная: определение, смысл и правила
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Ну, вы скажете: "Андрей Николаевич, ну, а как вы можете
Speaker A
разобрать всё?" Могу. Поэтому откладывай в сторону всё, что тебя отвлекает. Сосредоточиться будет максимально полезно. Итак, мы с вами будем рассматривать все задания по порядку.
Speaker A
Начинаем с номера первой - это планиметрия. И погнали. Всю теорию сейчас быстренько с вами обсудим.
Speaker A
Начинаем с отрезков. Есть отрезочек. Давайте его скажем, обозначим AB и поставим на нём где-нибудь точечку M. Что тогда мы получаем? Тогда мы получаем, что целое есть сумма своих частей. То есть отрезки AM + MB дают отрезок AB. Одна точка носит
Speaker A
специфический характер, называется середина отрезка. Давайте это покажем. Это значит, что отрезки AM и MB одинаковые. Но на самом деле не так важно, как мы обозначаем AM или MA. BM или MB - это ровно одно и то же. Концы
Speaker A
отрезка равноправны. Ну, на всякий случай давайте напомню вам, что такое отрезок, да? Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Поехали дальше. Рассмотрим уголок. Что такое уголок? Уголок - это два луча, выходящие из одной точки. А что такое луч? А луч -
Speaker A
это часть прямой, ограничена одной точкой. Итак, два луча имеют общее начало. Вот это с вами уголок.
Speaker A
Давайте скажем, обозначим альфа. Ну и точно так же мы можем провести ещё один луч, да, так, чтобы угол наш разделился на части. Ну давайте я проведу здесь покрупнее, скажем. Получились углы альфа и бета, да, обозначаем их разным количеством дожек, потому что
Speaker A
уголки разные. Ну и наш весь угол, давайте обозначим, скажем, гамма, точно также целое есть сумма своих частей. Один из лучей носит прекрасное название. Это название биссектриса. Это тот луч, который делит угол на два равных, да?
Speaker A
Давайте вот здесь покажем. Пройдём сюда. Получается вот этот уголок и вот этот уголок одинаковый. Давайте скажем, обозначим там альфа и альфа. И теперь как раз-таки луч, который делит угол на две равные части, называется биссектрисой.
Speaker A
Об этом мы с вами ещё поговорим позже. Поехали дальше. Дальше специфические углы, смежные, вертикальные. Взяли прямую, на ней отметили точку. Что мы получили? Мы получили развёрнутый угол.
Speaker A
Его величина равна 180°. Да, давайте. Обычно обозначают угол какой-то его вершиной какой-то буквой. Ну, полезно ещё поставить точки на сторонах угла. А что такое стороны угла? Это получается те два луча, которые этот угол образуют.
Speaker A
В геометрии у нас с вами углы, напоминаю, не больше 180°, 180 - это максимальный развёрнутый угол. Если угол по мере меньше 90, то он острый.
Speaker A
Если больше 90, то тупой. Если ровно 90, то прямой. Ну, соответствующую картинку я сейчас вам покажу. А давайте сразу, не откладывая дело в долгий ящик. Итак, острый, прямой и тупой. Так, прекрасно.
Speaker A
Возвращаемся к нашему развёрнутому углу. Вот он у нас есть. Это угол АОB, да? И давайте пройдём какой-нибудь луч через вершину О. Что мы получили? Мы получили два угла. То есть мы поделили угол на две части, а обозначим их альфа и бета.
Speaker A
Но на самом деле видно, что если мы сложим альфа и бета, то получим величину развёрнутого угла. Да, этот развёрнутый угол как раз даётся сумме 180°. И теперь что у нас получается? Смежные углы - это что такое? Те углы, у которых есть общая
Speaker A
вершина, есть общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой, то есть являются дополнительными лучами.
Speaker A
Прекрасно. Сумма смежных углов равна 180°. Теперь нарисуем две пересекающиеся прямые. Они пересеклись в какой-то точке.
Speaker A
Давайте обозначим, скажем, точку О. Ну и расставим точечки, скажем, A1B1 и вот здесь пускай будет, например, А2 и B2.
Speaker A
На этих лучах, да, с общей вершиной О мы получили вертикальные углы. Где они? Да, вот они один и другой. Углы А1ОB1 и А2ОB2. У них общая вершина и стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого, да? То есть
Speaker A
луч дополнительный к лучу ОА2, луч дополнительный к лучу ОВ2. Ну и наши вертикальные углы равны. Угол А1 равен углу А2О2. Вот всё, что нам нужно знать про углы. Дальше у нас с вами более сложная тема: треугольнички и всё, что с ними
Speaker A
связано, и так далее, и так далее. Поехали. Итак, треугольник. Это значит, мы взяли три точки, нележащие на одной прямой. Давайте, скажем, обозначим ABC и соединим отрезками AB, BC и AC. Перед нами как раз фигура треугольник. Точки ABC - вершины треугольника. Отрезки AB,
Speaker A
BC, AC - это стороны треугольника. Что мы знаем про углы треугольника? Их сумма равна 180°. Теорема суммы углов треугольника. Что мы знаем про стороны?
Speaker A
Мы знаем, что выполняется неравенство треугольника. Любая сторона меньше суммы двух других. Ну давайте напишем, например, для стороны AB. AB меньше, чем AC + BC. Точно такие же неравенства. Ну давайте тогда все напишу, чтобы не было вопросов, а что там с другими? Поехали
Speaker A
дальше. А дальше мы говорим: "Ага, есть внешние углы треугольника - это что такое?" Это углы смежные к внутренним углам. Скажем, то же самое треугольник ABC. Продлили отрезок AC за точку C и поставили какую-то точку D. Вот образовался уголок. Каким он является к углу ACB? Он
Speaker A
является смежным. Ну а на самом деле как раз носит название внешнего. И что мы с вами знаем? Мы с вами знаем, что сумма смежных углов равна 180°. А значит, внутренний угол треугольника плюс внешний угол треугольника - это всегда
Speaker A
180°. Внешних углов треугольника целых шесть штук. Да, вот один из них я нарисовал. Нарисуйте пять остальных.
Speaker A
Движемся дальше. Обсуждаем хорошие отрезки внутри треугольника. Их четыре основных: медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр. Давайте их покажем на картинках. Итак, есть треугольник. Отмечаем середину стороны и соединяем с вершиной. Что мы получили?
Speaker A
Мы как раз получили медиану. Это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В каждом треугольнике ровно три медианы, и все они пересекаются в одной точке. Причём эта точка делится в отношении 2:1, считая от вершины.
Speaker A
Биссектриса - это луч, который делит угол пополам. Об этом мы с вами уже говорили. Но если мы ведём речь о треугольнике, то это отрезок луча, да? То есть тот, который остаётся внутри треугольника.
Speaker A
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. Дальше высота. Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую сторону треугольника.
Speaker A
Здесь впервые не на сторону, а именно на прямую, содержащую сторону треугольника. Поскольку у нас треугольники бывают разные, давайте проговорим, какие они бывают.
Speaker A
Остроугольные, там, где все три острых угла, прямоугольный, там, где есть один прямой, два острых, и тупоугольный, там, где есть один тупой и два острых.
Speaker A
Так вот, в этих треугольниках высота выглядит немножко по-разному. Давайте я все три вариации покажу. Итак, остроугольный треугольник провели, показали. Вот у нас с вами, давайте вот так. Жёлтым цветом будет
Speaker A
высота, прямоугольный треугольник. Вот он прямоугольный. Ну, а значит, высота, понятно, является стороной треугольника, да? Тупоугольный треугольник, вот он, наша высота теперь уже перпендикулярна прямой, да, содержащей сторону треугольника. То есть высота оказалась вне треугольника. Медиана всегда внутри треугольника, биссектриса
Speaker A
всегда внутри треугольника, с высотой, как получится. Ну и три высоты пересекаются в одной точке. И эта точка у нас называется ортоцентр треугольника.
Speaker A
Давайте я для остроугольного треугольника покажу, как это выглядит. Серединный перпендикуляр - это отрезок внутри треугольника, который проходит через середину стороны и перпендикулярен этой самой стороне. В любом треугольнике три серединных перпендикуляра. Они все пересекаются в одной точке. И эта точка является
Speaker A
центром окружности, описанной около треугольника. Отметили серединку, да? Вот показали, что это серединка, и провели перпендикулярно. Да, отметили серединку и провели перпендикулярно. Ну и соответственно третий пересёкся вместе с ними в одной точке.
Speaker A
Третью сторону называем основание треугольника. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Показываю. И если мы проведём с вами медиану, то одновременно получим, что это ещё и биссектриса, и высота. Вот такой отрезочек у нас замечательный, правильный. Он же равносторонний треугольник, тот, у
Speaker A
которого все три стороны одинаковы. Ну а значит, все три угла одинаковые. А поскольку сумма углов треугольника равна 180°, значит любой из углов правильного треугольника равен 60°. Так. И теперь в правильном треугольнике у нас каждая медиана является одновременно высотой
Speaker A
биссектрисой, а ещё и середины перпендикуляром. Ну, я покажу только одно, на самом деле верно, для всех трёх. Вспомним признаки равенства треугольников. Какие два треугольника называются равными? Те, которые при наложении совпадают. Есть три признака равенства треугольника основных по двум
Speaker A
сторонам игру между ними. Я показываю картинку. Вот один треугольничек. Вот давайте так похожий. Второй нарисую и показываем.
Speaker A
сторона, сторона и угол между ними. Треугольнички равны. Следующий признак равенства треугольника по стороне и двум прилежащим углам. По стороне и по двум прилежащим углам. Третий признак равенства треугольника по трём сторонам.
Speaker A
Отлично. А дальше помимо равных треугольников существуют ещё подобные. Подобные - это те, у которых углы одинаковые, а стороны пропорциональны.
Speaker A
И, соответственно, отношение сторон называется коэффициентом подобия наших треугольников. Так вот, признаков подобия тоже три, и они очень сильно похожи, а именно по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Полный аналог вот этого признанка, по двум равным углам. Здесь уже про
Speaker A
сторону мы ничего не говорим, потому что сторону можно изменить в любое количество раз и по трём пропорциональным сторонам. И дальше, как только у нас с вами подобие появилось, полезно вспомнить, что такое средняя линия треугольника. Это отрезок, который соединяет середины двух сторон
Speaker A
треугольника. Показали, что это серединки. Ну и что мы с вами про эту среднюю линию знаем? Она параллельна в стороне и равна её половине. Ну а тут же сразу возникает теорема Фалеса, да, которая гласит: "Вот если у нас есть
Speaker A
какой-то угол и мы начнём проводить параллельные прямые, так вот эти все прямые параллельны друг другу, давайте я их подпишу, скажем, L1, L2, L3, L4". Можно провести любое количество. и, скажем, вершина нашего угла О. И, соответственно, появились точки на
Speaker A
сторонах угла одного и, соответственно, другого, то из параллельности прямых будет следовать пропорциональность отрезков. Каких отрезков? Да вот все, которые есть, да? То есть отрезочек OА1 относится к отрезчку OB1, точно так же, как отрезочек А1 А2 относится к отрезчику B1B2. Ну и так далее до тех
Speaker A
пор, пока не устанем. Ну и полезно смотреть, что вообще параллельные прямые. Параллельные прямые - это те, у которых нет общих точек, то есть они не пересекаются им. Но понятно, что те прямые, которые имеют общую точку, те пересекающиеся. Поскольку мы с вами
Speaker A
вспомнили, что такое параллельные прямые, полезно обсудить, какие здесь возможны красивые картинки. Итак, есть две правильных прямых, и мы пересеклись какой-то третьей прямой. Ну, скажем, прямой, а, да, она наносит название секущей.
Speaker A
Образовалось целых восемь уголков. первый второй третий четвёртый пятый, шестой, седьмой, восьмой. У них есть хорошие название, а именно, ну, понятно, что здесь надо узнавать вертикальные смежные. Скажем, первый, второй смежный, первый и четвёртый вертикальный. Но а для этой картинки
Speaker A
есть специфические названия. Углы 3,6, а также 5 иче - это внутренние накростьлежащие. Углы 3,5 4,6 - это внутренние односторонние, то есть они лежат между параллельными прямыми и по одну сторону отсекущие. Углы 1 и5. 3,7 2,6 4,8 соответственные. Ну и к чему эти
Speaker A
названия? К тому, что внутренне клеслежащие всегда равны между собой, да? То есть из парамет следует вот это. А внутреннее односторонне в сумме 180°. Соответственные углы равны между собой. Ну, я напишу для одной пары, да, для всех остальных точно такие же
Speaker A
равенства верны. Верное обратно. Если хоть что-то из этого выполняется, то наши прямые L1, L2 будут обязательно параллельными. Следующий хороший треугольник - это прямоугольный, тот, которого есть один прямоугол. Напомню.
Speaker A
Покажем его. Пускай будут вершинки A, B и C. И у сторон здесь есть конкретное название. AC и BC катеты, AB - гипотену.
Speaker A
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме, то есть 90°. Дальше теорема Пифагора - это сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если мы повернёмся медиану из вершины прямого угла, то три отрезка будут равны между собой. Иными словами, медиана прямоугольного треугольника равна
Speaker A
половине гипотенуса. Ещё одно замечательное а свойство здесь - это если мы пройдём высоту, то увидим целых три подобных треугольника, а именно треугольник ABC исходный подобен треугольнику A подобен треугольнику ACBh. Да, давайте покажем, где одинаковые уголки. Здесь, здесь и
Speaker A
давайте покажем здесь. И вот здесь. Ну и понятно, прямоуй угол исходны показали. Так что ещё? Ещё одно замечательное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°. А именно у такого треугольника катет, лежащий напротив угла в 30°, то есть А, равен
Speaker A
половине гипотенузы. Продолжаем осуждать прямоугольгоный треугольник. И теперь поговорим о тригонометрии. Взяли треугольник с прямыуглом C и определили четыре функции острого угла. Ну, давайте для определённости угла А. Синус угла А - это отношение протилежащего катета к гипотенузе. То есть синус А это есть BC
Speaker A
де. Косинус острого угла - это отношение прилежащей катета к гипотенузе. Тангенс остро угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Speaker A
Котангенс острого угла - это отношение прилежащего катета к противолежащему. Буквально пара формул, которые нам потребуется для решения задания номер один - это основное тригонометрическое тоже и то, что тангенс синус и косинус связаны соотношением. Тангес это отношение синуса и косинуса. Для задания номер
Speaker A
один нам больше, в принципе, не надо. Теперь у нас есть хорошие табличные углы. Это 30, 45 и 60°. И для них значение тригонометрических функций уже посчитано. Синус и косинус одинаковые √2 на 2. Тангенс и котангеса одинаковые равные единички. 30°. Косинус равен
Speaker A
√3, тангенс равен √3 и котангенс равен просто √3. А для угла в 60° функции меняются друг с другом, да?
Speaker A
Функция и кофункция. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Поэтому 1/2 - это получается cos 60°, а √3 на 2 - это sin 60°. √3 на 3- это получается котангенс 60°. Ну а √3 - это танген 60°.
Speaker A
Ну, здесь ещё одна замечательная формула, которая, ну, не совсем имеет отношение к тригонометрии, но может быть получена именно из тригонометрических соображений. Взяли прямоугольный треугольник, прили в нём высоту и сказали, оказывается, высота - это есть произведение катетов делённое на гипотену. Смело
Speaker A
можно использовать при решении задачи, связанных с тригонометрией. Рассмотрим теперь произвольный треугольник и напишем две важнейшие теоремы и формулы площади треугольника. Итак, пусть есть треугольник с тремя сторонами, скажем, а малое, B малое, C малое и противорежающими углами альфа, бета и
Speaker A
гамма. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны равен в сумме квадратов других сторон за вычитыму донотить сторон на косинус угла межними. Ну давайте для определённости скажем. Для стороны а напишем А² - это B² + C². Минутся двойное произведение B на C и получается
Speaker A
на косинус альфа. Для двух других сторон, для стороны B и C вы пите аналогичным самостоятельно.
Speaker A
Теорема синусов. Отношение стороны к синусу противоражающего угла фиксировано и равно двойном растрости описано около нашего треугольника. Итак, а де синус альфа, это Bли синус бета, это C / синус гамма и равняется 2R большой, да? Где R - это ра
Speaker A
сокрустимокого треугольника. Теперь, соответственно, формулы площади. Их основных пять. Поехали по порядку, да? Первая формула 1/2а h индекса А, то есть сторона умножена на высоту, опущенна эту сторону. Ну давайте для приносится покажем это высоту. Поскольку сторон три, то и высот тоже три, то и эту
Speaker A
формулу можно продолжить, да? Давайте продолжим. 1/2 b с индексом B. 1/2C H с индексом C. Следующая формула. По двум сторонам игло между ними 1/2 B синус γм.
Speaker A
Следующая формула, которая использует понятие полупериметр. Периметр - это сумма длинных всех сторон. Полупериметр - это получается периметр делён на 2.
Speaker A
Да, формула герона гласит: корень спроизведения p, p - p - b и p - c. Следующая формула использует понятие радиуса вписной окружи. Полупериметр умножит на радиус вписной окружи.
Speaker A
Следующая формула использует понятие радиуса описной окружи. Да. Произведение сторон делён на учерённый радиус R большой. Всё с треугольниками, что нужно, обсудили. Переходим к четырёхугольникам. Четырегольник - это четыре точки, не лежащие одной прямой, попарно соединённый отречками. Ну, мы расстали на самом деле с вами только
Speaker A
выпуклые четырёхугольники - это те четырёхугольники, у которых диагонали лежат внутри четырёугольника. Что такое диагональ? Это от трети, которая соняет противоположные вершины. Вот такая диагональ. Замечательно, что мы с вами знаем. Сумма углов любого четырёхугольника - это 360°. Ну, просторно понятно, что любая
Speaker A
сторона меньше сумма трёх других. А в школьном курсе мы рассматриваем хорошие четырегольники. И первый из них - это параллелограмм. Паралограмм - это четырегольник, которого предположенные стороны параллельны. AB параллельный CD.
Speaker A
Понятно, что А параллельна BC. Отлично. А дальше поехали говорить о свойствах параллелограмма. Противоположные углы равны, предположенные стороны равны.
Speaker A
Диагонали точки пересечения делится пополам. образуется четыре равных великих треугольника. Это те, у которых площади одинаковые. Ну, давайте всё это на картинках покажем. Следующая картинка. И у нас с вами четыре треугольничка. И, как я уже сказал, они равновеликие. Это значит, что площадь
Speaker A
этих одинаковых, но треугольничики, вообще говоря, могут быть разные, да. На самом деле так оно есть. Первый, третий треугольник одинаковый, второй, четвёртый одинаковый, но вот первый и второй точно разные. формула площади: сторона на высоту, произведение сторон на синус угла между ними и половина произведения
Speaker A
диагоналей на синус угла между ними. Давайте всё это, соответственно, покажу на картинке, где что. Стороны, скажем, AB, угол гамма. Значит, опустили высоту. Давайте здесь подчеркнём, да, что это высота, которая опущена именно на эту сторону. Ну, понятно, что по
Speaker A
аналогии было множ на язык. И диагонали, да, диагонали. Вот они на с вами диагонали. Давайте здесь отметим уголок.
Speaker A
Скажем, вот этот уголок будет фи. А если меня спросите, почему именно этот, на самом деле, любой можете из четырёх брать и поставить тут формулу. Всё будет хорошо и правильно. Дальше частные случаи параллелограмма - это прямоугольник ромб квадрат. И
Speaker A
прямоугольник - это параллелограмма, который есть прямой угол. На самом деле у него четыре прямых угла. Все свойства, естественно, наследуются. И добавляется ещё одно, а именно то, что диагонали прямоугольника равны. Дальше ромб. Ромб - это паралограмма, которого все стороны
Speaker A
одинаковые. Все стороны одинаковые. Давайте это покажем. И наследуются все свойства параллелограмма. Плюс то, что диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами своих углов. Ну, это своих, это значит имеется в виду, конечно же, углов ром поисходных. А формулы площади, разумеется, те же самые наследуются, но
Speaker A
появляются более симпатичные, скажем, поскольку здесь у нас с вами углы прямые, да, то синус прямоугла равные единички, поэтому формула простилась до произведения ширины и длины, да, то есть а мно. Ну, а здесь появляется ещё одна красивая формула половин произведения
Speaker A
диагонали. Опять же диагонали пересеклись под прямым углом, этот синус превратился в единичку, множили. Так, поехали дальше. Следующий замечательный четырегольник под названием квадрат.
Speaker A
Квадрат - это параллелограмм которого все стороны равны, все углы равные. Понятно, что квадрат наследует все свойства параллелограмма: прямоугольника и параллелограмма. Ну и площадь квадрата, естественно, очень легко посчитать. Это а². Ну поскольку здесь, если мы проводим диагональ в квадрате
Speaker A
либо в прямоугольнике, появляются прямоугольные треугольники, то полезно ещё и диагональме считать. Диагональ квадрат - это а√2. Диагональ, соответственно, прямоугольника - это √ а² + b². Всё с параллелограммами. Впереди ещё трапеция. Трапеция - это четырёхугольник, которого две продолженные стороны параллельны. Только
Speaker A
одна пара параллельных сторон. Да, давайте это покажем. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Не параллельные стороны называются боковыми сторонами. Всё пропало.
Speaker A
Хорошее, что было у параллелограммы, кроме одного, да, что сумма углов, ближащих к одной боковой стороне, равна 180°. Почему это так? Но это просто внутренние односторонние углы при параллельных прямых BCAD и секущий AB.
Speaker A
Больше никаких свойств нет. Дальше поехали. Покажем среднюю линию трапеции. Это отрез, который соединяет серединки боковых сторон. На данно ещё носит название первая средняя линия. Что про эту среднюю линию можно сказать? То, что она параллельна основаниям и равна их
Speaker A
полуме. На этом свойства закончились. Дальше рассматриваем хорошую трапецию под названием равнобедренная, та, у которой боковые стороны равны. Ну, по аналогии с равнобедреным треугольником сразу начинают возникать хорошие свойства, да? Хорошие свойства. Показали боковые стороны равны. А значит, сразу же углы при основании равны. При каком?
Speaker A
При одном основании равны. и при другом основании тоже равны. Отлично. Дальше диагонали равны. Дальше теперь вспомним, что такое высота трапец. Высота трапец - это, соответственно расстояние между между основаниями, да? Вот на такую например, высоту проли, то есть перпендикулярно одновременно обоим
Speaker A
основаниям. И для чего нам нужна эта высота? Для того, чтобы сказать, как посчитать площадь трапеции. Основание давайте обозначим, скажем, буковками AB.
Speaker A
А давайте вот здесь покажем AB. Тогда площадь нашей трапеции - это A + B.
Speaker A
пополам умножить на h. Ну, пожалуй, всё. Никакие другие свойства нам не нужны. Ещё один из фигур, который мы встречаем в первом задании - это окружность.
Speaker A
Окружность - это множество, как ещё говорят, всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии отфиксировано. Это фиксированная точка называется центром окружи. Ну а заданное расстояние называется радиусом окружи.
Speaker A
То есть, если мы соединим точку О с любой точкой окрусти, как раз получаем отрезок радиус. Дальше отрезочки, да?
Speaker A
Если мы соединим две любых точки окру, то получаем форду. Если мы соединим две любых точки окрустия, ну, так, чтобы хорда прошла через центр окружития, то мы получим диаметр. Понятно, что диаметр численно равен удвоенному радиусу. Ну и теперь пара прямых,
Speaker A
которые имеют отношение к нашей окружности. Прямая, которая имеет ровно одну общую точку с окружностью, называется касательной. И радиус, приведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. И прямая, которая имеет две общие точки сокруства, называется секущей. Теперь уголки, которые здесь возникают. А есть уголок
Speaker A
центральный. Это тот угол, вершина которого совпадает с центром окрусти. Ну а стороны пересекают а нашу окружность.
Speaker A
И вот та часть окрусти, которая, соответственно, ограничена вот этими двумяточками, называется дугой окружности. И градусная мера дуги совпадает с градусной мерой нашего угла, да, центральным. Вписанный угол тот, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Speaker A
Точно так же у нас появилась дуга, которая ограничена вот этими двумя точечками, да, которые точки пересечения сторон угла и окружности. И если мы дугу обозначим за альфа, то тогда вписанный угол будет ровно в два раза меньше дуги, на которые он опирается. Все вписанные
Speaker A
углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой, а вписанный угол, который опирается на диаметр - это прямой, да? Давайте картинку показывать.
Speaker A
Ну и понятно, что если вписанный угол и центральный угол операции на одну и ту же дугу, то центральный ровно в два раза больше, чем нашписанный. Теперь померим угол между касательной и хордой. Вот касательная вот соответственно хорда.
Speaker A
И вот этот уголок нас очень сильно интересует. Если мы обозначим дугу за альфа, дуга, где наша дуга? Вот она, то наш уголок будет равен в точности альфа пополам. Альфа пополам - это вот этот угол, да? Ну, чтобы понимание, давайте лучше так. Значит,
Speaker A
дуга, давайте какие-то точки я поставлю, чтобы всё-таки было более понятно на этой картинке. дуга AB равна альфа, а угол угол BAC равен альфа пополам. Что ещё связано с окружност? Ну, понятно, что можем померить теперь длину окружности, например, в метрах. Длина окружности
Speaker A
обозначается либо буквой C, либо буквой L. Это 2 пи, где R - это радиус окружия.
Speaker A
Ну, и площадь круга. Площадь круга - это фигура, которая ограничена окружностью- это пи и R². Возвращаюсь к треугольникам, у любого треугольника всегда есть две окрупиная, описаны. Давайте это покажем.
Speaker A
Итак, начнём с описная крусть - это а та кровь, которая содержит все вершины нашего треугольника. Вопрос: где центр окружисти и как найти её радиус? Центр окрустия это точки пересечения серперов.
Speaker A
Ну а радиус находится из теоремы синусов, да? Ну либо можно через площадь, давайте через площадь. Это ABC / 4S. Либо е из теореме синусов. Удвоенный радиус - это отношение стороны треугольника к синусу против лежащего угла. Понятно, что мы можем выбрать
Speaker A
любую сторону и угол, лежащий напротив этой стороны. Огрожность вписана в треугольника, это значит, что она касается всех сторон треугольника. Её центр, точка I - это точки причени биссектрис. Ну а радиус может быть найден из единственной формулы. Это формула, которая соязывает площадь,
Speaker A
полупериметр и радиус списной окрусти. Что касается четырёхугольников, то не у каждого четырёугольника есть эти окрости. Бывают так, что вообще нет ни одной окрости. Ну, скажем, возьмём параллелограмм. У неё нет ни вписаны, не описанной окрости. А у квадрата, например, есть обе и вписаны, описанные.
Speaker A
Ну и полезно понимать, когда это окро существует, а когда её нет. Так, окружность описано около четырёхгольника. Значит, все вершины четырёхгольника лежат на окружности. И тогда, если мы обозначим уголки альфа, бета, гамма дельта, то получается, что сумма протиложных углов
Speaker A
равняется 180°. Альфа + γм 180, бета + дельта тоже 180. А если же у нас окружность вписана в четырёхгольник, это значит, что все стороны четырёхгольника являются касательными к данной окружности, и мы обозначим, скажем, стороны AB, B, C и D, то суммы
Speaker A
противоположных сторон A + C и B + D равны между собой. На этом с первым заданием всё. Кто досмотрел до этого момента, вы просто большущие молодцы. Ну что ж, задание номер два. Координаты и векторы. гораздо легче по сравнению с предыдущим. Итак,
Speaker A
есть координатная плоскость. У нас есть начало отчёта, две координатные оси. Ну давайте какую-нибудь точечку здесь скажем. А воткнём и говорим. У неё есть две координаты. Апциса и ордината. Ну давайте вотнём ещё одну точку. Намер точка B. У неё тоже есть
Speaker A
абциссасы и тоже есть ордината. Ну а теперь просто соединим эти точки отрезкам и скажем: "Ну, замечательно, мы хотим научиться находить координаты середины отрезка, да? То есть мы тебе скажем, точка М покажет, что это серединка". И координата на самом деле
Speaker A
находится очень просто. Это средняя арифметическая координат точек A и B, то есть X1 + X2 пополам, Y1 + Y2 пополам.
Speaker A
Теперь мы хотим натинуть длину отрезка AB. Ну, это совсем просто. Теоремы Пифагора вспомнили и сказали: "Ага, всё легко считается". x1 - X2², Y1 + - Y2², Иго это извлекаем. Прекрасно. Ну, а теперь, собственно, переходим от точек векторам. Ну и вы видите уже, как много
Speaker A
теорий мы с вами обсудили. Если есть желание узнать, как эта теория применяется на практике при решении задач и обсудить стратегию повторения всего материала передг, то приглашаю вас на свой открытый вебинар, записаться на который можно по ссылочке в описании. Но
Speaker A
мы с вами теперь говорим, пускай одна из точек будет началом, а другая концом, да? То есть мы их явно выделяем. Ну, скажем, точка B - это начало, точка А - это конец. Тогда у нас появляется вектор, да? А вектор - это получается
Speaker A
направленный отрезок. Теперь уже, конечно же, если мы напишем, что у нас есть вектор AB, то вот эти два вектора - это уже разные понятия, да, то есть они нервны друг другу. И надо научиться находить координаты вектора.
Speaker A
Ну, это совсем просто. А мы написали с вами вектор B. Это значит, что мы из координат конца отрезкого считаем координат начала, то есть X1 - X2, Y1 - Y2. Что мы дальше хотим научиться делать? Хотим научиться находить длину нашего вектора. Ну, длина
Speaker A
нашего вектора - это просто длина отрезка, да? Поэтому здесь ничего нового. та же самая формула. И теперь, если есть два вектора, ну, давайте, скажем, обозначим вектор А с координатами X1 Y1. То есть мы уже вот эти разности нашли и сказали: "Вот у нас
Speaker A
такие а есть координаты и вектор B, то что мы с ними умеем делать?" Во-первых, мы умеем умножать вектор на число, да?
Speaker A
Это значит, что мы получаем вектор с координатами KX1, а, KY1, то есть мы координаты просто умножили на соответствующее число, а дальше мы умеем вектор складывать. И тогда мы координаты просто складываем.
Speaker A
x1 + x2 y1 + y2. Будем векторы вычитать. А - b - это что такое будет? Это вектор с координатами x1 - x2, y1 - y2. И мы ещё умеем векторы умножать. Умножать скалярно. То есть мы должны получить на
Speaker A
выходе число. А здесь есть две формулы для скарного произведения. Одна из них через координаты, те, которые есть. Это значит, мы переумножаем соответствующие координаты и оба произведения складываем. И вторая формула, та, которая учитывает длины векторов и угол между ними. Ну, давайте покажем
Speaker A
картинку, скажем, у нас есть два вектора, которые выходят из общей точки, хотя это на самом деле не обязательно, но просто мне нужно показать уголок между ними. Так, уголок между ними. И тогда скалярном подсоедини это есть длина вектора А
Speaker A
умнож на длину вектора B умножи на, соответственно, косинус угла а между ними. Ну и понятно, что угол между векторами может быть каким? может быть нулевым, может быть острым, может быть прямым, может быть тупым, может быть даже развёрнутым. И вот одна из
Speaker A
ситуаций, конечно, нас очень сильно интересует, что если фи у нас равен 90°, да, то понятно, что косинус ф ралю, а значит спроворится тогда и только тогда. Это важно. Ну и давайте ещё про колинеарные векторы вспомним. Колинеарные векторы -
Speaker A
это те, которые лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Как видите, задание номер два, конечно же, гораздо более компактное, чем задание номер один, но это неудивительно, да, мы взяли какую-то одну конкретную тему из планетрии и сказали: "Это и есть наше
Speaker A
задание номер два". Следующее задание номер три - это стереометрия. Здесь четыре многогранника, три круглых тела.
Speaker A
Поехали их рассматривать. Первый многогранник - это куб. Куб - это многогранник, правильно, у которого все грани являются квадратами. Единственный параметр, который определяет - это длина ребра. Ну и здесь, что мы с вами должны уметь находить? Надо уметь находить объём. Это
Speaker A
а³бе. Надо уметь находить площадь поверхности- это 6а² 6 граней квадратиков, да? И надо уметь находить диагональ куба - это получается а x √3.
Speaker A
Всё замечательно. Дальше идёт прямоугольный параллепипед. Он отличается от куба тем, что у него теперь измерения разные. И этих измерений три. Длина, ширина и высота.
Speaker A
Давайте их обозначим, скажем, буковками AB, B, C. И тогда его объём - это есть произведение длины, ширины, высоты. Да.
Speaker A
Ну, на самом деле формула очень похожа, только здесь все три измерения одинаковые. Дальше площадь поверхности.
Speaker A
Здесь шесть прямоугольников. А попарно у нас с вами они равны: передний, задний, а левый правый верхний нижний.
Speaker A
Поэтому можно написать двоечку за скобочкой, а дальше будет AB + AC + BC. Ну и диагональ. Диагональ, а, прямоугольного привида - это корни из суммы квадратов всех его измерений.
Speaker A
Дальше призма. Призма отличается от кубалепипеда тем, что в основании может быть произвольный многоугольник. Ну, в каком основании таких оснований два, да?
Speaker A
У нас с вами, допустим, треугольную призму нарисуем с вами для определённости. В основании пускай будет треугольничек. Так. Ну, а боковые грани.
Speaker A
Боковые грани здесь прямоугольники. Что здесь? Здесь надо уметь считать объём. Это получается площадь основания умножить на высоту. Ну, если мы с вами сравним э те формулы, которые были написаны ранее, да? Здесь основание квадрат, его площадь А². Высота просто
Speaker A
А. Здесь основание прямоугольника вы площадь AB, а высота, соответственно, C. Но здесь, на самом деле, то же самое написано, только мы не знаем, какой у нас теперь многоугольник есть. И что касается площади поверхности, то для куба и паралепипеда принято считать
Speaker A
полную площадь, да? А здесь ещё различают боковую а поверхность и полную. Давайте начнём с боковой. Что такое площадь боковой поверхности? Это сумма, а площадей всех боковых граней.
Speaker A
Все боковые грани - это прямоугольники. Понятно, что у них у всех а одна сторона одинаковая, то есть боковое ребро нашем.
Speaker A
А поскольку мы рассморим только прямую призму, да, здесь это значит, что боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания верхнего, плоскость основания нижнего. И тогда получается, что мы проходим по всем сторонам основания, то есть по всему периметру. И получается, что это есть P у H, где Pметр основания.
Speaker A
Ну, а площадь полной поверхности полной поверхности это получается удвоенная площадь оснований, да? Основая верхней, нижние одинаковые, плюс площадь боковой поверхности. Так, теперь рассмотрим пирамидку. А значит, пирамидка у неё есть в основании какой-то многоугольник, где-то есть ещё вершинка, а где-то есть
Speaker A
точечка в пространстве. Эту точку мы называем вершиной пирамиды. И эта точка сна всеми вершинами нашего многоугольника, лежащего основания. Ну давайте для определённости я снова нарисую там треугольную пирамиду, скажу, да. И название пирамиды, собственно, определяется тем многоугольником, который лежит в
Speaker A
основании. Да. Та точно так же у призмы. Треугольная призма, там пятиугольная, двадцатиугольная, здесь тоже треугольная пятиугольная семиугольная и так далее, и так далее. Значит, что мы здесь обязаны иметь считать? Объём. Это будет 1/3 площадь основания множест на высоту. Дальше мы с вами должны иметь
Speaker A
находить площадь боковой поверхности. Ну, здесь, поскольку пирамида не обязана быть правильной, да, что такое правильной пирамида? Это та, которая, а, соответственно, в основании лежит правильный многоугольник, и все боковые грани одинаковые, да, или все боковые рёбра одинаковые или вершины
Speaker A
проецируется в центр многоугольника, да, любой из этих трёх определений на самом деле эквивалентно друг другу. Поэтому я не знаю, как это написать. Лучше, чем просто площадь первой грани плюс второй грани плюс и так далее последней грани.
Speaker A
Ну а площадь полной поверхности, это понятно, площадь основания плюс площадь боковой поверхности. Ну а если уже дадут нам правильную пирамиду, то понятно, что мы найдём площадь одной грани и умножим на их количество. Их количество, собственно, это есть, а количество
Speaker A
вершин в нашем многоугольнике, лежащем в основании. От многогранников переходим к круглым телам. Здесь их три: цилиндр, конус и шар. Цилиндр полный аналог призмы. В основании лежит вместо многоугольника, теперь круг. Так, мы рассматриваем с вами только прямой круговой цилиндр. Это значит, что все
Speaker A
образующие цилиндры у нас будут перпендикулярны плоскости основания. Какого основания? Ну, верхнего и нижнего. Они же параллельны меж собой, да? Два круга. И мы каждую точку одной окружи соединили с каждой точкой другой окружи. И вот как раз получили наш
Speaker A
цилиндр. Значит, здесь два параметра, которые определяют цилиндр. Это радиус основания и это получается длина образующая. В данном случае длина высоты они совпадают, да, поскольку мы с вами, ещё раз повторяю, только прямой цилиндр рассматриваем, что мы должны с вами
Speaker A
иметь находить объём. Это площадь основания нашу на высоту. Ну, в точности, как у призмы, только теперь мы с вами знаем, что в основании лежит круг, поэтому площадь его пик. И мы умножаем на высоту, получаем объём.
Speaker A
Теперь площадь поверхности боковой, это получается 2RH, а площадь полной поверхности, это получается удвоенная площадь основания, а, плюс, соответственно, площадь боковой поверхности. Ну, здесь нам всё прекрасно известно.
Speaker A
2πR² + 2R h, да? Ну, ещё есть такое понятие, как осевое сечение. Соответственно, ось цилиндра - это прямая, которая проходит через а центры обоих оснований. Ну, а осевое сечение то, которое содержит нашу прямую. Давайте покажем. Вот такое сечение. И понятно, что мы получили
Speaker A
прямоугольник. И площадь этого осевого сечения, осевого сечения, это произведение длины и ширину. Длина ну, в данном случае пускай будет, а вот это нижнее, да, отрезочек, то есть это диаметр основания, то есть 2R. Ну, а ширина в данном случае это просто высота
Speaker A
или образующий цилиндр 2RH. Дальше поехали смотреть конус. Конус полный аналог пирамиды. Только в основании лежит не многоугольник а соответственно круг.
Speaker A
Ну и мы с вами рассматриваем прямой круговой конус. Это значит, что вершина его проецируется в точности в центр основания. Ну и по аналогии с цилиндром как раз прямая, которая проходит через вершину конуса и центр основания конуса, это есть ось конуса. А
Speaker A
сколько параметров определяет конуса? Ну, здесь можно придумать четыре параметра, да, из которых два основных.
Speaker A
Это, собственно, радиус основания и высота конуса. Но ещё есть образующая. Образующие - это получается отрез, который состояет вершину конуса с точки, лежащей на окружности основания конуса.
Speaker A
Да, все образующие, разумеется, одинаковые, поскольку мы с вами просматриваем прямой а круговый конус и а угол альфа - это угол осевого сечения, да? Давайте отдельно его нарисуем. Вот наше осевое сечение с ништою как равноберный треугольник, где боковые стороны - это просто как раз образующие.
Speaker A
Ну, а основание получается диаметр, который равен удвоенному радиусу. Ну, вот этот вот уголок альфа, естественно, углу при решения о всевого осечения. Что мы должны уметь с вами делать? Как обычно находить объём 1/3 по площа основания умноже X. Поэтому получаем 1/3
Speaker A
пик² умножить на H. А площадь боковой поверхности это получается PRL. И площадь полной поверхности - это площадь основания плюс площадь боковой поверхности. Это значит квадрат.
Speaker A
плюс пи. Теперь площадь осевого сечения. Ну, это площадь треугольника, да? Площадь осевого сечения. Ну, проще всего сказать, что это половина основания умножит на высоту, да? Но поскольку в основании у нас с вами, а, диаметр, да, множит на высоту, здесь получается просто RH. А
Speaker A
если есть желание связать вот эти величины, то на самом деле это несложно сделать. Вот перед нами, если мы ту же самую высоту проведём, да, давайте мы покажем здесь высоту H, то получаем два одинаковых прямоугольных треугольника, в которых, ну, например,
Speaker A
теорема Пифагора гласит, что можно связать между собой радиус, высоту и образующую, пожалуйста, три величины связали. Ну и теперь, соответственно, в том же самом треугольнике, если мы рассмотрим уголок, который половине исходного угла альфа, то написав любую тригонометрическую функцию, мы получим
Speaker A
как раз а значение вот этого уголка альфа. Ну давайте для определённости, скажем, напишем тангенс альфа пополам.
Speaker A
Это есть R H, да? То есть две базы величины. Поехали дальше. Дальше шар. Замечательное правильное тело, которое определяется одним своим единственным параметром. Это радиусом.
Speaker A
Соответственно, а есть сфера- это поверхность, которая ограничивает шар. Есть шар - это получается внутренность, да? Сфера - это множество всех точек пространства, которое находится на заданном расстоянии от заданной точки.
Speaker A
Ну, заданной точка - это понятно центр сферы. Ну, а это заданное расстояние - это как раз есть радиус, да. Вот единственный параметр, который определяет. А мы умеем считать объём шара 4/3 перку³б и площадь схеры. Да, объём шара. Площадь сферы, это 4 пи². Ну
Speaker A
и по аналогии с цилиндрным конусом, здесь тоже есть хорошее сечение. А здесь любое сечение будет являться кругом, но одно из них мы выделяем. Это большое сечение, да? Большой круг, да? Это то то сечение, которое содержит центр нашего шара, нашей сферы, да? Ну, нашего
Speaker A
шара, да. Поэтому площадь вот этого большого сечения - это просто площадь круга с радиусом R. Ну, получается, что это просто пик². Всё. Третье задание мы с вами полностью обсудили. Задание номер четыре - это простая теория вероятности, классика, да? Здесь мы всё умеем считать
Speaker A
на пальцах. И здесь есть, собственно, три числа. Это все возможные исходы, это благоприятные исходы и это неблагоприятные исходы. Ну и формула здесь, по сути, одно единственная вероятность случайного события - это отношение числа благоприятных содов к общему количеству исходов. Полезно знать ещё два понятия,
Speaker A
такие как невозможное событие, то, которое никогда не происходит, и вероятность всего равно нулю и достоверное событие, которые происходят всегда. и его верхность равна единице.
Speaker A
Задание номер пять тоже посвящеё теории верхности, но здесь уже более сложное задание. Здесь уже есть теоремы, здесь какая-то дополная теория. Давайте про неё поговорим и несколько картинок с вами полезных сделаем. Итак, противожные события, те, которые не могут происходить одновременно. А здесь
Speaker A
имеется в виду с частицей не снег идёт, снег не идёт, да? То есть не бывает такое, что одновременно происходит либо одно, либо другое. Третьего не дано.
Speaker A
Картинка выглядит примерно так. Вот есть какое-то пространство, всё вот это наше событие. А а всё остальное - это то, что противоположно по смыслу, да? Оно обозначается не а. Да, и вероятность того, что случилось противоположная события равняется с единичками с
Speaker A
вероятность того, что случилось наше событие. Но если мы перекинем это слогами в левую часть, то понятно, что сумма двух вероятности даёт единицу. То есть это точно достоверное событие.
Speaker A
Дальше события несовместные, те, которые никогда не происходят одновременно, но их может быть больше, чем два. Ну, например, бросили кубик, выпала единичка или двойка, или тройка, или четвёрка, или пятёрка, или шестёрка. Вот эти все шесть событий несовместны. А если есть
Speaker A
всё наше пространство, то вот он, пожалуйста, пример того, что произошло, а, того, что произошло B. Вот у них нет ничего общего. Если мы хотим найти вероятность того, что произошло А или B, то мы просто должны найти сумму вероятности наступления каждой событий
Speaker A
по отдельности. Но бывает так, что события могут происходить одновременно, они уже тогда получается будут совместными. Вот одно, вот другое. И вот, соответственно, а вот у них есть какая-то там общая часть, да? Как теперь узнать, что произошло? а или B. А
Speaker A
теперь соответственно формула чуть-чуть корректируется. Это будет сумма вероятности наступления каждой из событий по отдельности минус, а вероятность того, что наступили оба сразу, да, потому что эту часть, в общем, мы учитываем и здесь, и здесь, то есть в обоих слаганах. А следующее
Speaker A
события независимые, те, которые наступают, независимы друг от друга. Ну, например, я читаю книгу, а где-то идёт дождь. Ну, я никак не могу повлиять на то, что идёт дождь. Тот же самый дождь не может никак повлиять на то, что я
Speaker A
читаю там книжку или не читаю. Если мы хотим, чтобы произошли два события сразу, да, А и B, да, вот здесь независимые, то вероятность этого сложного события а равна произведению вероятности наступления каждой событий по отдельности. А вот теперь представим
Speaker A
себе, что нас интересуют два какие-то события, и одно событие какое-то уже произошло, и мне нужно найти вероятность того, что произошло какое-то другое событие при условии, чтобы первое уже случилось. Так называемую условную вероятность. А на картинке можно показать так. Вот есть
Speaker A
всё пространство, есть какое-то событие, давайте его назовём B. А вот оно считаем, что произошло. Есть какое-то событие А, то, которое нас очень сильно интересует. И вот мы теперь хотим найти а верцию сошного супил при условии, чтобы B уже произошло. То есть иными
Speaker A
словами всё наше пространство исходов сужается только до вот этого события B. И только из него мы забираем то, что относится к событию А. И тогда верхность того, что событие А произошло, при условии, что событие B уже произошло, да, раньше равняется отношению в числите
Speaker A
вероятность пересечения события AB, ну, а в знаменателе вероятность события B. Движемся дальше и вспоминаем такие полезные штуки из комбинаторики под названием факториал и число сочетания. Значит, факториал натурального числа - это есть произведение всех чисел от одного до n.
Speaker A
А полезное обозначение ноль не число не натуральное, но полезно обозначить факториал нуля числом один. И появляются биномальные коэффициенты C из N по M. Мы их называем. Это есть в числителе у нас получается N факториал в знаменотеле M факториал умножить на N - M факториал.
Speaker A
Разумеется, мы здесь понимаем, что M у нас с вами не больше, чем n, но не меньше нуля. То есть мы сколько-то взяли элементов из N. Ну, может быть, ничего не взяли, может быть, взяли всё. И тогда следующий вопрос. Если у нас происходят
Speaker A
многократные испытания, то есть эксперимент повторяется, скажем, монетку подбрасываем там много раз, там кубик бросал много раз, там стрелок стреляет много раз, то как узнать, какова вероятност, что он как раз произошло ровно, скажем, м благоприятных исходов из n общего количества исходов.
Speaker A
Оказывается, что вероятность того, что у нас, скажем так, M успехов равняется биномальным коэффициенту C из N по M, так, где у нас N испытаний испытаний умножить на вероятность успеха в отдельно взятом испытании в степени N, вероятность неудачи в степени N - N, да,
Speaker A
P вероятность успеха и Q, соответственно, 1 - P вероятность неудачи. Вот, в принципе, всё, что нам нужно для решения задания номер пять. Но если вы ещё знаете, что такое матжидания, честь вам, хвала, всё замечательно. Давайте я это вам тоже
Speaker A
расскажу. Итак, есть какая-то случайная величина X, которая может принимать значение, скажем, X1, X2 и так далее Xn.
Speaker A
И вероятность, которая эти значения принимается P1, P2 и так далее PN, где сумма всех вероятностей, разумеется, равна единичке. P1 + P2 так далее плюс PN равняется единичке. Тогда мат ожидания, а, скажем так, среднего значения того, что у нас случилось,
Speaker A
равно просто сумме вот этих всех значений умноже на их вероятность. То есть x1 x P1 + X2 x P2 плюс и так далее Xn Pn. Ну, задание по этой теме вряд ли в экзамене вам попадётся, но если вдруг
Speaker A
попадётся, вы скажете: "Замечательно, я знаю, что это такое". Переходим к заданию номер шесть. Это простые уравнения, все типы сейчас обсудим.
Speaker A
Линейное уравнение сводится к уравнению вида A x = b, где а и b - это числа, причём а не равно нулю. И тогда корнем уравненилися число b де а. Квадратное уравнение сводим к стандартному виду.
Speaker A
Ax² + bx + c = 0, где число а не равно нулю. А после чего вычисляем дискриминант, это будет b² - 4ac. И дальше в зависимости от того, какой знак у дискранта получаются разные возможности. Возможность первая: дискгрант больше нуля корне 2. Первый
Speaker A
корень -b -√d / 2а. А второй корень, соответственно, -b пd де/ 2. Да, если же дискрент равен нулю, то корень одинственный. Давайте его обозначу, скажем, xнуе, это будет -b / 2а. Ну, если крат меньше нуля, то корней нет. Но
Speaker A
вот эта ситуация на ЕГЭ уже в первой части встретиться не может, да? У нас корни какие-то должны быть. А следующее уравнение рациональное. Рациональное уравнение - это равенство двух дробей вида A / B = C / D, где вместо ABC C и
Speaker A
D, конечно, могут быть выражения, которые содержит переменную X. И используем правила пропорции. Перемножаем крест на крест. Получаем, что а D равня B C. Ну и это уже будет у нас с вами либо линейным, либо квадратным уравнением. Дальше, соответственно, мы уже знаем, как такие
Speaker A
уровни решать. Дальше иррациональное уравнение. Скажем, корень n степень из выражения ax + b равняется какому-то числу c. Как мы его решаем? Просто возводим в nную степень обе части уравнения. Получаем, что ax + b = c в степени n. И мы с самого получили
Speaker A
уравнение, которое уже умеем решать, то бишь лининое. Значит, степенное уравнение, оно как бы в обратную сторону. То есть у нас может быть а + b в какой-то степени n равно какому-то числу c. Здесь нужно издеч корень n степени. Если такое уравнение нам с вами
Speaker A
дадут, то если n равно двойке, скажем, квадратный уравнение просто скобчки раскрыли. А если n больше двойки, то только n будет нечётным, да, нечётным, чтобы мы смогли однозначно получить выражение, извлекая корень n степени. То есть а то есть b будет равняться корню n
Speaker A
степени с c, да? То есть здесь n нечётная. Сразу это с вами зафиксируем. Дальше показатель уравнение. Здесь два основных типа уравнений. Это котан с вами уравнение вида а в степени x = а в степени y, где а основание, а x y
Speaker A
какие-то показатели. И тогда понятно, что если степени равны и основания равны, значит и показатели у них одинаковые. Если же у нас уравнение вида а в степени x = b, где а и b какие-то положительные числа, да, то тогда мы
Speaker A
просто можем либо представить число b а в виде, скажем, а в степени c, а и тогда получаем уравнение вида a в степени x = а в степени c. А значит, x = c. А либо мы можем прологарифмировать обе части
Speaker A
уравнения и сказать, что тогда x просто будет равенгарифму b по основанию а. И тем самые как раз перекидываем мостик логарифмическим уравнениям.
Speaker A
Логарифмические уравнения у нас тоже могут быть двух типов основных. Это когда мы логарифмируем по основанию а какой-то x и какой-то y. Ну где вот под иксом, иком могут скрываться и числа, либо какие-то там более сложные выражения. Если два логарифма равны,
Speaker A
остава них равны, значит то, что мы логарифмируем, равно между собой. Ну, разумеется, мы здесь должны как раз помнить про область Z, область допустимых значений. А X вот это выражение и Y вот это выражение и там или число должны быть обязательно
Speaker A
положительным, да? Давайте это зафиксируем. x>> 0, Y >> 0. А, и второй тип - это когда у нас с вами логарифмируется, а, какое-то выражение, зависищее от x и, соответственно, или просто x и логарифм ранее число. Здесь вот сравниваем то, что было написано, и
Speaker A
говорим: "Ага, значит, мы можем теперь перейти наоборот к степеням, да? То есть x будет равен а в степени b". Вот, собственно, два основных типа, конечно, могут там чуть посложнее уровне дать, но в конечном счёте мы сводим к одному из
Speaker A
этих двух. И то, чего я не жду, но то, что в принципе может и появиться за номер шесть - это элементарные тригонометнометрическое уравнение.
Speaker A
Элементарно это значит, что у нас sin x равен какому-то числу. И это число, разумеется, будет в промежутке от ми1 до одного, да, чтобы мы могли решить. Более того, это число ещё будет таблично, да?
Speaker A
Вот. А задание номер один мы обсуждали, задание номер семь ещё будем обсуждать. Только табличные величины здесь могут быть в первом задании, да, чтобы мы могли написать конкретный ответ. Ну, в данном случае это будет две серии, да?
Speaker A
Это получается x равен arc sin а + 2 пиk и x будет равен пи - arcсинус а. Давайте я скобочку даже возьму. + 2 пиk, где k - это какое-то а целое число. Ну и, разумеется, от нас потребует какой-то один ответ, например,
Speaker A
там угол, лежащий в первой четверти или ещё какие-то ограничения будут возникать. Так что мы однозначно смогли выбрать. Либо, скажем, там самый маленький положительный корень, либо самый большой отрицательный корень. Вот такого типа. А уравнение cos x = А, опять же с ограничением на а, что это
Speaker A
число между минус единичкой и единичкой. Здесь у нас тоже две серии. Я их в более короткой форме запишу. Плюс-минус аркосинус а число а п 2 пиk. Ну и здесь k тоже какое-то целое число. Ну, ещё два уровне относительно тангенса и
Speaker A
котангеса. Давайте вот здесь напишу. Значит, тангенс x равен а, где а может быть любым. Тогда x просто быть равен арктангесу.
Speaker A
плюс пик, где k целое число и котангенс x равен а. Здесь а тоже может быть любым числом и x будет равен арк котангенсу а скобочки возьмём плюс пик, где k какое-то число. Ну и то, что я сказал про уравнение относительно синуса, верно
Speaker A
относительно всех тригонометрических уравнений. Косинус, синус, тангес, котанс, неважно. нам будут подбирать, во-первых, табличные значение и чётко конкретизировать, какой из корней записать в бланк ответа. Итак, мы с вами преодолели экватора. Задание номер семь.
Speaker A
Самое хорошее, самое важное здесь преобразование всевозможных выражений. По всевозможных - это действительно всевозможных, те, которые вы изучали с пятого по одиннадцатый класс. Ну и здесь надо, конечно же, вспомнить, как работать с дробями, с обыкновенными, десячными, с положительными отрицательными числами, потому что всё
Speaker A
придётся считать во всех заданиях первой части и во второй тоже. Ну а дальше вспомнить формулы сокращённого умножения. Значит, базовый это получается квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов. Эти формулы встречаются регулярно в ЕГЭ. Ну, ещё могут встретиться формулы, связанные
Speaker A
с кубами, да? Это куб суммы, куб разности, разность кубов и сумма кубов. Ну, появление вот этих четырёх формул уже менее вероятно, но тем не менее, конечно, могут истриться. Дальше речь идёт об иррациональных выражениях, как работать с корнями. Ну, здесь у нас с
Speaker A
вами есть возможность их перемножать и делить, но нет возможности складывать и читать. Да. Конечно же, мы с вами должны проговорить, что пускай у нас величина x и y а не отрицательные, да, чтобы мы могли корни извлекать.
Speaker A
√x y. Вот есть √x √. Ну и чтобы можно было делить, давайте дополнительно скажем, что если y строго больше ну0ля, то √x / √y - это корре из их частного, да. Ну формулу можно читать справа налево. То есть у нас с вами,
Speaker A
повторяю, не отрицательный, а вот в этом последнем случае, когда y на сами положительным. А дальше мы говорим, вообще-то можно работать со степенями, и корни обязательно должны быть квадратными, они могут в любой степени.
Speaker A
И что будет, если мы возьмём корниной степени? Да вот, собственно, будет то же самое, да? То есть, если я здесь поставлю корньй степени, то и здесь тоже корниной степени. Если я зделю коррень n степени, то здесь тоже коррень n
Speaker A
степени. Ну а дальше можно извлекать корень, соответственно, но степени из какого-то x, а потом ещё корень, скажем, но степени из этого корня. А не взяли как-то побыстрее? Конечно же, можно.
Speaker A
можно сразу извлечь корре степени m x n из этого самого икса. Хорошо. Ну, теперь, собственно, переходим к степеням. К степеням, значит, мы будем обсуждать только основания, которые больше нуля, чтобы не было проблем. Ну, и, пожалуйста, давайте даже два
Speaker A
основания сразу возьмём А и B, какие-то больше нуля. Поехали. Значит, перемножим две степени. А в степе X в степени Y, это А в степени X + Y. То есть показатели складывается. Теперь мы делим делим одну на другую. Здесь у нас с вами
Speaker A
показатели вычитаются. Теперь хотим сказать: "А вообще-то, подождите, а что мы так быстро побежали?" А может быть, в каких-то там маленьких степенях посчитаем, там в первое, в нулевое.
Speaker A
Давайте посчитаем, что будет, если мы в первой степени возведём, то это будет просто а, а если в нулевую степень, то это просто будет единичка. Так, хорошо.
Speaker A
А если степень в степень, если степень в степень взвести, то тогда основание остаются тем же самым, а показатели просто перемножаются. Ну, прекрасно. А зачем мы тогда буковку Б написали? А затем, что если у нас есть а произведение двух степеней с одинаковым
Speaker A
основанием, а, с разными основаниями, но показатели одинаковые, то мы можем переножить основания и возвести их в общую степень. То же самое касается частного. То есть у нас есть две степени с одинаковым показателем, но основание разные, то мы можем просто основание
Speaker A
поделить друг на друга и возвести в эту самую общую степень. Ну, хорошо, всё заметили. А тогда можно, вообще-то, заметить, что если у нас есть √ n степени из x, то это x в степени 1 n.
Speaker A
Ну, разумеется, здесь мы делаем оговорку, что мы рассматриваем только а положительные иксы, то есть корни на степени и степени очень сильно связаны между собой. Прекрасно. Но есть ещё операция обратно консульной степени, да, это понять, а, в какую степень мы
Speaker A
возводили, то есть понятие логарифма. И есть у нас там есть такое равенство, где а больше нуля и неравно единички и число b на сам больше нуля. Вот мы хотим найти решение это уравнения. Ну, собственно, задание номер шесть. Да, мы говорим,
Speaker A
вообще-то есть новое обозначение, а, называемое логарифмом числа B по основанию А. И тогда, если мы вместо букв X напишем, то получаем определение логарифма вот в таком виде. Это тоже максимально полезная а формула. И она её называют основное логарифмическое
Speaker A
тожество. На самом деле просто определение того, откуда взялся логарифм. Прекрасно. И здесь мы видим, да, возведением степень. То есть вот воздемнием степень логарифмирования, они очень связаны между собой. На самом деле все формулы, которые я писал, а касающиеся степеней, теперь я могу
Speaker A
переписать в терминах логарифмов. Вот давайте я это вам продемонстрирую. Итак, логарифмируем единичку, получаем ноль. Логарифмируем а, получаем один. Разумеется, вот эти все ограничения, которые написала на буковку а, что это число положительно неравной единички по-прежнему действует.
Speaker A
Дальше мы с вами говорим, а давайте найдём сумму двух логарифмов. Тогда нужно дополнительно проговорить вот что. А что такое x и?
Speaker A
Да, x и y. Ну давайте скажем, что X и Y. Оба числа положительные, чтобы вы могли смело логарифмировать, да? Вот наше B, которое мы логарифмировали раньше. Это число положительное. Теперь мы X и Y логарифмируем. Это получается логарифм произведения. Так, теперь мы
Speaker A
находим разность двух логарифмов. Получаем логарифм частный. Вопрос, откуда это берётся? Ну, смотрите, у нас здесь всё похоже. Вот произведение, вот сумма, да? Вот частная, вот разность.
Speaker A
Вот произведение, вот сумма, вот частная, вот разность. То есть вот ровно одно и то же, просто описано по-другому.
Speaker A
А дальше формула, которая специфически для логарифмов тоже пропишем. Что если у нас число умножилось на логарифм, то мы можем внести под знак логарифма. Так, если же у нас число в виде дроби, то мы можем это приклеить к основанию, да? То есть возвоним
Speaker A
основание в эту степень. Так, замечательно. Ну и понятно, что эти две формулы можно объединить, то есть перемножить n и одно. Ну и, соответственно, собрать в одну формулу.
Speaker A
А, но мне гораздо важнее показать вам формулу перехода к новому основанию. То есть эти тут две вы склеить сможете самостоятельно. Значит, есть какой-то логарифм, а, скажем, вот такой. И он, конечно, замечательный, но мне не нравится основание. Ну, не нравится. И
Speaker A
всё. Тут, когда я говорю, я хочу сделать новое основание. Это новое основание я назову буковкой Б. Хотя буковка Б я нигде не говорил, что это можно представить. Пускай это будет буковка С.
Speaker A
Так, тогда я сейчас сделаю оговорку, что C больше нуля и не равнички, чтобы это могло быть основанием. Ну и теперь я что прологарифмирую x и прогларифимирую а проблем нет в знаменателе, потому что а число положительное, да, вот это
Speaker A
написано и не равно единички, поэтому сам логарифм никогда не равен нулю, поэтому я спокойно могу на уделить. Ну и частный случай, если вдруг я сказал, что а давайте я возьму такое C, которое просто равно иксу, да? То есть я хочу
Speaker A
вместо того, что я логарифмирую, написать основание. Вместо того, что у меня есть основание, то, что логарифмируем. Тогда получается следующее. логарифм C по основанию А равен едини на логарифм а по основани C. Да, пожалуйста, можно этой формулой пользоваться. Теперь я отойду
Speaker A
от доски, чтобы вы могли сделать скриншотик, да, там на паузу поставьте, чтобы все формулы у вас были. А чуть позже я ещё напишу все формулыгометрии.
Speaker A
Ну, а если вы хотите обсудить со мной, а, стратегию повторения всех этих формул на практике, да, какие задачки нужно разобрать, чтобы все формулы повторяю у вас в голове улеглись, то я вас приглашаю на свой открытый вебинар.
Speaker A
Записаться можете на по ссылочке в описании и там с вами увидимся и всё это обсудим. Ну, а сейчас сделайте скриншот. Следующий объёмный кусок зада номер семь - это вся тригонометрия. Вот вся от слова вся. А давайте вспомним, что ещё в первом задании у нас с вами
Speaker A
встретилось тригонометри в прямоугольной треугольнике. А вот здесь в алгебре гораздо больше у нас с вами информации.
Speaker A
И первое, что мы должны уметь делать - это, конечно же, градус передивить в радианы. И у нас с вами 180° соответствует пи радиан. И чаще всего здесь задача будет именно в радианах даваться, а не в грах. Дальше я рисую
Speaker A
тригонометрическую окружность и тригонометрическую игру. Кому что больше нравится? Оси координат и нумерую четверти, да, получается, против часовой стрелки мы идём. Это есть как, кстати, положительное направление. Первая, вторая, третья, четвёртая. Зачем они нам нужны? Как раз мы здесь поговорим про
Speaker A
знаки наших функций во всех этих четвертях. Итак, значит, синус sinнус x, cos x, tg x и котан x по четвертям. Первая, вторая, третья и четвёртая. Синус положительный в первый и второй, отрицательный в третьй, четвёртый. Косинус положительный в первый и четвёртый отрицательны, во
Speaker A
второй, третий. Тангенс положительный в первой и третий, отрицательны, во второй, четвёртый. Котангенс также положительный в первый и третий отрицательны второй, четвёртый. Ну, если вы про синус и косинус всё знаете, то хорошо, потому что танки - это отношение синуса косинуса, косинуса к синусу. Ну и
Speaker A
здесь, конечно же, оси. Горизонтальная ось косинусов, а вертикальная ось синусов. Поехали дальше. Дальше, конечно же, от без него мы просто никуда. Это sin к x + cos к x равняется единички. А тангенс отношение синуса косинуса, то, что мы с вами уже обсуждали. котанге,
Speaker A
соответственно, отношение косинуса к синусам. Ну и здесь естественно оговорки что cosсинус x не равен и синус x не ралю.
Speaker A
Иначе мы просто на ноль поделим, если то будет катастрофа. Дальше. А дальше добавляются следующие функции. Синус суммы, косинус суммы, разности. Синус косинус разности, двойной угол. Ну, поехали. Всё по порядку. Итак, sin x + y. А, произведение синуса x cos y. плюс
Speaker A
произведение sin y cos x. Ну, а дальше такое правило замечательное. Если я в скобочках поставлю знак минус, то вот между этим произведением я тоже ставлю знак минус. Очень удобно, да? Запомнится сразу две формулы. Косинус суммы - это произведение
Speaker A
косинусов x и cosси y минус произведение синусов. Ну и теперь, если я поменяю знак в скобочках, то и поменяется знак вот здесь, да, обратите внимание. А плюс в скобочках минус вне скобок, минус в скобочках плюс вне скобок. А дальше,
Speaker A
соответственно, двойные углы. Sin 2x - это удвоенное произведение синуса и косинуса. Проще всего получить, подставляя вот формулу для суммы вместо и буковку x и cos 2x. Здесь возможны три вариации. Базовывая вариация - это cos² x - sin² x похоже на отт, да, только там
Speaker A
была сумма, здесь раз. И две вариации. А если мы оставляем только синус, то это один будет минус идвой квадрат синуса.
Speaker A
Если оставляем только косинус, то и двойный квадрат косинуса -1. Дальше нам нужно проговорить про свойства наших функций. Ну, вообще это первое свойство, то есть знаки функции по четвертя мы с вами обсудили. А дальше говорим, что есть периодичность. Периодичность звучит
Speaker A
так: sinну x + 2 то же самое, что sin x. То есть, если мы с вами сделаем полный оборот, вернёмся в ту же самую точку на кроса, синус, естественно, будет то же самое. Косинус также 2 пи периодичен.
Speaker A
Тангенс его период пи. И котангес, его период тоже пи. Дальше чётность, нечётность. Единственная чётная функция - это косинус. Все остальные функции нечётные. То есть синус от -x - это - sinx. C -x - это то же самое, что cos x.
Speaker A
Tg от -x - это - tan x. И котангенс от -x - это - cosg x. Дальше есть ещё так называемые формулы привидения, но на самом деле все они спрятаны вот в этих формулах.
Speaker A
суммы разности, но отдельные для тупых углов я выпишу. Они часто встречаются, в том числе и задание номер один, там где у нас с вами геометрия. Синус 180 - x.
Speaker A
Ну, здесь я в градусах буду писать, да, хотя можно в радианах писать. А там я писал в радианах. Давайте здесь тоже в радианах напишу. Sin пи - x. Хотя вот как раз градусы я не зря написал.
Speaker A
Всё-таки давайте в градусах тоже напишу, потому что а это у нас с вами в геометрии встречается. Это будет просто си, да? То есть синусы смежных углов равны косинус. Давайте я уже точно так же буду писать сначала в радианах, а
Speaker A
потом, соответственно, в красав. Это будет минуси x тангенс. А вот с тангенсом здесь как раз, ну, та же самая ситуация, что и с косинусом и соответственно с котансом, забегая вперёд, будет происходить ойстан 180° - x будет мис x и
Speaker A
котангенс пи - x равняется котангенс 180° - x, это - котанген x. То есть, иными словами, только синус сохраняет знак, а косинус тангенс и котанс его меняет. Ну, то есть обратите внимание, здесь как-то вот такой единой закономерство для всех функций не существует, да? То
Speaker A
есть в знаке меняются по-разному, периодичность тоже разная, чётность, нечётность разная. Вот это формулы приведения перехода от тупых углов к острам тоже разные. Ну вот это всё желательно понимать, да, не только вот там зазубрить и сказать: "Ой, а вдруг я
Speaker A
на экзамене что-то забуду". Вот формулы, которые вам нужны, отт синус сумма разности, косинус сумма разности, ну и формула данных углов. Отсюда уже получается. И все формулы приведения получаются отсюда же. А периодичность, ну, можно, конечно, её и здесь уведать,
Speaker A
но проще, конечно, погружить. Вот это всё увидали, запомнили, сказали: "Ага, всё замечательно. Все эти формулы, а, встречаются и в первой части, в некоторых заданиях, и во второй части обязательно задаю номер 13. Поэтому их тоже все нужно знать". Поэтому я снова
Speaker A
отхожу в стороночку, чтобы вы могли сделать скриншотик. Сделали скриншотик, порадовались, сказали: "Фу". Задание номер семь мы с вами полностью обсудили.
Speaker A
Задание номер восемь посвящено производной. Что это такое? Определение у вас никто спрашивать не будет. Самое главное понимать физический и геометрический смысл. Производная показывает скорость изменения функции, да? То есть это как раз и есть скорость. А если мы начнём изменять
Speaker A
скорость скорости, да, то есть с какой скоростью скорости изменяется, то это как раз будет ускорение, да, вот такое обозначение. Читается, соответственно, xш'трих и vтрих. А теперь, соответственно, физический смысл мы обсудили, геометрический смысл. Давайте нарисуем картинку. Вот у нас есть а
Speaker A
график какой-то функции. Мы привели касательно к нему и сказали: "Вот есть, соответственно, давайте там система координат, а вот этой точка там xнулевое". И что в этой точке нас с вами происходит? Вот график какой-то функции f(x) и какая-то касательная, ну,
Speaker A
понятно, а её уравнение в вид kx + m. Что можно сказать? В точке касания вот этой точки касания, да, у нас, во-первых, значение функции сопадает, во-вторых, значение производных совпадают. То есть f(x0) - это в точности y от x0. Ну, можно поставить
Speaker A
себя xнуе посчитать. А, а значение производной в точке x0 совпадается с значением производной, а, вот нашей касательной, да? Но вот здесь конкретно давайте подставим, получаем, что это просто kx0 + m, а здесь просто k так называемый угловой коэффициенциент.
Speaker A
Почему он угловой? Давайте посмотрим. Потому что если я сейчас а проведу и увижу, ну, то есть проведу касательно дальше вижу точку пересечения с осью абсцис, да, то есть с положительном направление абсцис, то образовался какой-то угол альфа. Что это
Speaker A
за угол альфа? Тангенс этого угла альфа - это в точность число k. Ну, а число k, как только что мы выяснили, это значение производной нашей функции в точке x0.
Speaker A
Всё замечательно. Вот геометрический смысл. Теперь дальше. Зачем нам производ нужна? Ну, затем, чтобы изучать поведение функции. И здесь действует следующее право. Если наша функция растёт, то её производная становится положительной. А если наша функция убывает, то её производная становится
Speaker A
отрицательной. Естественно, возникает вопрос: а что будет, если у нас производная равна нулю? Да, где это может произойти? Давайте нарисуем картинку. Скажем, вот такую картинку, да? Что мы видим? функция растёт, потом функция бывает, потом функция снова растёт. Ну и есть какая-то горка,
Speaker A
которая называется точкой максимума, есть какая-то ямка, которая называется точкой минимума. Так вот, если наша функция хорошая, дифференцированая, то есть производна у неё везде есть, а вот на нашем промежутке, где мы эту функцию исследуем, то оказывается, что в точке
Speaker A
максимума, а в точке максимума, да, наша производная равна нулю, да, а в точке минима тоже оказывается, что она равняется нулю. Почему это так?
Speaker A
Смотрите, производная, а, точнее функция росла, производная была положительная, потом функция бывает производная отрицательная. Ну, с плюса на минус как можем перескочить, пройдя через ноль, вот этот ноль. То же самое здесь.
Speaker A
Функция бывала производная отрицательная, функция растёт, а, производно положительная. Как мы с минуса на плюс перескочим? Пройдя через ноль. Вот мы через этот ноль прошли, да?
Speaker A
Соответственно, вот мы поняли, для чего это всё нужно. Так. Ну и дальше. А если мы умеем считать производную от нашей функции, то возникает вопрос: а в обратную сторону, как? Вот есть производная, как получить исходную функцию. Эта исходная функция называется
Speaker A
первообразной, да? Обозначается обычно f>> от x. А где вот это f от x? На самом деле это и есть. Если мы производную посчитаем от этой f большой, то получим исводную функцию. Ну а саму, собственно, это первообразное принцип записывается в
Speaker A
виде интеграла, да, вот считается интеграл от fx dx, где значок интеграла и значок дифференциала - это такие открывающие, закрывающие скобочки.
Speaker A
Теперь зачем вот этот интеграл нужно? Оказывается, что если у нас с вами есть такая картинка, есть график какой-то там положительной функции, да, и мы возьмём какие-то две точки на оси абцисса и проведём прямые x = a и x = b, то
Speaker A
получаем вот такую криволинейную трапецию, да, прямые а и b параллельны. Ну, точнее, прямые x = a x = b параллельны, а вот эти две непараллельны. Ну и теперь хотелось бы найти площадь этой фигуры. Оказывается, что площадь нашей фигуры это есть ничто иной, как интеграл
Speaker A
в пределах от а до b вот этих самых от нашей функции f(x) dx. Но эти интегралы считают на самом деле непростая задача.
Speaker A
Вас этому буду учить на первом курсе. Но а сейчас хотелось бы понять, как это быстро проказывается, что если мы знаем, как выглядит первообразное, то это просто разное значение первообразных двух точках BA. Это формула носит название формула Newton лимис. Вот,
Speaker A
собственно, и всё. Задание номер восемь. Обычно здесь всё очень просто. дадут картинку, нужно проявить внимательность, посмотреть, куда нужно, и ответить на вопрос задачи. Всё, обычно 2-три 5 секунд и задача решена. Я потираю руки, потому что задание номер девять моё
Speaker A
любимое. Здесь нет ни одной формулы, которую нужно учить. Почему? Потому что формулы даются непосредственно в условия задачи. Вы открываете условия, видите: "Ага, вот моя формула". В неё поставляете числа и решаете получившееся уравнения или неравенство. Задание номер 10 - это текстовые задачи сюжетные на
Speaker A
движение, на работу, на концентрацию. Давайте здесь вот про формулы поговорим. Итак, формула движения. Путь равен скорость умножить на время. Это базовая формула для всех задач движения. Но здесь можно поговорить о модификации, да? Если движение идёт навстречу, то скорость сближения равна в сумме
Speaker A
скорости. Если движение в догонку, то скорость догона или скорость, а, быстрого, который уезжает от медленно - это разность скоростей. Если речь идёт о средней скорости движения, то средняя скорость - это всегда весь противный путь делённый на всё, а затраченное на
Speaker A
движение время. Ну, собственно, вот и вся теория, да? Теперь задачи на работу. Мы разделяем задачи на совместную работу, раздельную работу, но формула-то одна и та же, а именно, что объём выполненной работы равен производительности умножи на время работы. Если работа идёт раздельная, то
Speaker A
для каждого рабочего или работника, соответственно, производительность своя. А если же, ну, с вами совместная работа, то совместная производительность равна просто сумме производительности. Сколько там работников работает? Будет два, значит, два слагаемых. Будет 22, значит 22 слагаемых. Если речь идёт о задачах на
Speaker A
проценты, то первое, что мы с вами должны помнить, что 1% - это 1, а неважно, записано это в виде десячной дроби или обыкновенной. Как вам больше нравится, как удобнее, так и считаете. Ну, а если речь идёт о задачах
Speaker A
на концентрацию, то концентрация вещества, это есть масса вещества дена на массу всего там раствора, сплава или смеси, не суть важно, да. Ну вот, собственно, все формулы у вас перед глазами. Дальше здравой смысл.
Speaker A
Заполняйте табличку и по табличке составляйте уравнение или несколько уравнений, там не больше двух. Решайте, получайте ответ. Дальше, конечно же, применяем. Мы с вами здравый смысл говорим, что ответы должны иметь, ну, конкретный смысл, да? Скорость положительная, время положительно, объём
Speaker A
работы положительный. Всё, задание номер 10 тоже обсудили. Задание номер 11 - это функции и графики, то есть формулы и как на плоскости та или иная линия, да?
Speaker A
Давайте все подряд обсудим. Начинаем с линейной функции y kx + m. Ну и график его прямая линия, да? Давайте покажем.
Speaker A
Вот, например, такая у нас прямая линия. Что можно сказать? Ну, во-первых, поскольку функция возрастающая, то есть здесь мы получаем, что k больше 0. И вот эта точка, которая лежит на оси ординат, её ордината в точности всё равно m. В
Speaker A
этом легко убедиться, взяв вместо x а поставить ноль и посчитав. Дальше квадратичная функция. Y = ax² + bx + c.
Speaker A
Ну, здесь мы предполагаем, конечно, что а не равно нулю, да? Иначе, если а = рав 0, то мы получаем линейную функцию. И график парабл. Ну, давайте тоже одну из парабол нарисуем. Что мы здесь видим с вами? Поскольку вет направлены вверх, то
Speaker A
а больше нуля. Вот эта точка, которая лежит на оси ординат, её ордината в точности равна C. Ну, при желании можно коэффициент B, точнее знак его определить, то есть глядя на то, где находится вершина. Но обычно про это никто ничего не спрашивает. А
Speaker A
частный случай этой параблы, так называемые арифметический корень, это когда мы взяли параблу и уронили, да? То есть в общем виде давайте напишем так: k x - a + b. Как это выглядит на картинке? Как это выглядит на картинке?
Speaker A
Ну вот взяли точечку, да, взяли параблу, уронили её, ну а вот второй, соответственно, ветвь просто взяли и стёрлись. Сказали: "Вот у нас остался только вот такой корень". Значит, координаты вот этой точки, да, вершины.
Speaker A
Вот здесь у нас с вами вершина парабола была, а какие-то координаты у неё были, да, на самом деле. Сейчас мы это тоже к этому вернёмся, обсудим. Но вот здесь конкретно мы видим, что это за координата. Значит, у нас с вами та
Speaker A
точка, для которой имеет смысл, э, начинать строить график, да? То есть она, конечно же, является границей ОЗД.
Speaker A
Граница Одз - это то, что подкоренное выражение у нас с вами какое не отрицательное. То есть x - а больше равно нуля, значит X > равно а, значит, это просто а, да? Ну, а как мы только вместо x поставим а, здесь получается
Speaker A
ноль под знаком корня. Первое слагаем обнулись, второе, конечно же, равно b. Ну и поскольку ветвь у нас пошла вверх, то k, понятно, здесь больше нуля. Если бы веть пошла вниз, k меньше нуля. То есть мы координаты вершины с вами нашли.
Speaker A
Здесь координаты вершины, ну, пускай это будет xну, y нулевое. Так, и если мы эти координаты умеем находить, то нашу формулу можно перестать будет в таком виде. Y = А x - x0² + y. Вот. Замечательно. Так, следующая соответственно формула
Speaker A
которая нам нужна - это обратная пропорциональность и график его гипербола, да? Ну, обратную пропорциональность мы с вами возьмём в максимально сложном виде. k / x - a + b.
Speaker A
Давайте мы вот в таком виде. И теперь что у нас с вами получилась? Проблема.
Speaker A
Надо делить на что-то, но нельзя делить на ноль, да? Поэтому у нас появляются две асинтеты: вертикальная и горизонтальная. Ну, пускай вот это будет число А, вот это, скажем, будет число B.
Speaker A
То есть, что мы получаем? Что нельзя брать, а вместо X а, да, потому что иначе будет а - А - это 0. На ноль делить нельзя. А значит, можем ли мы когда-нибудь получить B? Никогда не можем, потому что вот это слагаемое
Speaker A
первое никогда не рав нулю, потому что мы что-то делим на что-то. Это что-то не ноль. Да, число k не равно нулю. Ну давайте даже зафиксируем. Иначе если k вдруг окажется равно нулю, то у нас получается y = b - это просто константа.
Speaker A
То есть это прямо линии. Поэтому мы вот этот первый слагам никогда не ноль. Но когда мы прибавляем к B любое число отлично нуля, мы B уже не получаем.
Speaker A
Значит, понятно, что B у нас получается. Получается две осинты. Это вертикальная горизонтальная, которая в какой-то точке пересекается. Эта точка есть не что, ну как центр симметрии нашей гипербола. Ну и две ветки теперь рисуем, да? Давайте я нарисую также для K положительного, то
Speaker A
есть ветви прижимается косинтом к вертикальной, горизонтально, никогда их, соответственно, не пересекает, не а достигает, не касается, да, и вот этот коэффициент K говорит, что если у нас K положительная, то ветви гипербола находится в первый и третьих четвертях относительно осинт если Kрица, во
Speaker A
второй, четвёртый, да? Ну и вет симметричны относительно вот этой точки. Если вдруг будет у нас с вами гипербрала максимально стандартная, да, там где А и B равно нулю, как раз ось, а центр симметрии будет просто начало координат.
Speaker A
Ну такой задачи, конечно, могут дать, но чаще всего будет всё-таки немножко усложнять. Ну и вот здесь у нас с вами уже написано функция в максимально общем виде. Переходим к следующей функции. Это функция показательная. А в общем виде, то есть мы знаем, что это функция а в
Speaker A
степени x, где а какое-то положительное число отлично от единички. Ну, здесь возможны две вариации. Если а число а больше единички, то функция возрастающая. Если число а меньше единички, то функция бывающая. Давайте обе картинки покажем. Итак, вот эта точка, её
Speaker A
абсцисса равна нулю, ордината равна единичке. Почему? Потому что а в нулевой степени - это один. Это значит, мы получили, что а >. Ну и вторая картинка.
Speaker A
Вторая картинка, где функция у нас с вами убывающая, да? Здесь, соответственно, тоже точка с координатами а 0 1. И здесь у нас с вами число а. Ну, давайте я формально напишу между нулём единички. Логарифмическая функция log x по основанию а. А функция
Speaker A
определена только для положительных x. И в зависимости от основания снова будет две картинки. Ну, понятно, что здесь у нас а положительно неравно единичке и x, конечно, положительный, да, мы это должны подчеркнуть. Это области определя нашей функции. И дальше рисуем две
Speaker A
картинки. Картинка первая. Значит, функция возрастающая проходит через точку с координатами 1. Да, поскольку логарифмедически равен нулю. И это мы говорим, что а >. И вторая картинка возможная - это где у нас с вами функция убывающая проходит через точку с
Speaker A
координатами 1 0, да, снова. И это у нас уже а маленькое число между нулём и единички. Ну, может быть, бывает не так круто, но смысл самое главное, вы уловили, да? монотонная функция показательная, монотонная функция логарифмическая. Поэтому что там
Speaker A
немножко можно логарифм подкручивать, показательную функцию немножко подкручивать, но смысл картинки останется ровно таким же. А теперь то, что менее вероятно на экзамене - это тригонометрические функции. Это получается синус, косинус, тангенс, котангенс, синусоида, наши тангенсоида.
Speaker A
Ну и модуль, да, модуль то, что тоже маловероятно. Давайте я начну с модуля. А причём я его в двух разных видах покажу. Сначала базовая функция y = модуль x, значит, это стандартная галочка, да? А потом её чуть-чуть сделаем нестандартной. Вот у нас эта
Speaker A
функция. И теперь давайте усложним, скажем, напишут это K x - A и ещё какое-то там B, да? Вот такая функция.
Speaker A
Ну а потом уже закончим тригонометрии. Значит, что здесь? Здесь по аналогии с параболой и, а, корнем арифметическим надо найти вершинку. Вершинка - это та точка, которая уникальная, там, где у нас с вами происходит излом, да? Вот здесь вот как раз излом произошёл в
Speaker A
точке 0, да? То есть мы взяли x = 0, получили y ралю. А почему мы взяли именно ноль? Да потому что есть положительные иксы, для них модуль рассказывается сознаком плюс, есть отрицательные для них модуль рассказывается со знаком минус. Есть
Speaker A
нейтральное число ноль. Так вот здесь нейтральным будет x = А. Ну давайте вот здесь скажем, отметим точку А где-то, да, на оси абцис. Если теперь я вместо X поставлю А, то у меня под знаком модуля будет ноль. Поэтому первый слагаем
Speaker A
нулился. Осталось только B. Ну пускай B будет для определённости, например, вот здесь. Теперь куда направлены наши ветви? Это уже зависит от того, чему равно k. А в первом случае k рано единички, поэтому вет пошли вверх. То есть положительное число. Если k
Speaker A
отрицат, то ветви просто пойдут вниз. Ну давайте я как раз такую картинку покажу, скажу. У меня k какое-то отрицательное число, да? Вот поэтому, пожалуйста, график модуль, то есть график галочки я нарисовал. Всё здесь замечательно видно.
Speaker A
Видно координаты вершинки, да? Видно, соответственно, направление ветвей. Ну, направление ветвей, а по аналогии с направлением ветвей параболы, да?
Speaker A
Коэффициент положительный, веты пошли вверх. коэффициент отрицательный, веты пошли вниз. Ну и на закуску тригонометрия, да, здесь у нас с вами четыре функции, а базово давайте выпишем sin x, cos x, tg x и котан x, да, помним, да, что
Speaker A
тангенс и котангес отношение синуса и косинуса, косинуса, синуса, и там есть ограничение, что делить на нельзя, значит, появляются вертикальные асимптеты. Ну, поехали. Синусоиду сначала нарисуем. Соответственно, X Y, да.
Speaker A
отметили +1 -1. Но здесь давайте поставим точку пи, точко ми пи. Итак, что мы знаем про синус? В точке ноль, в точке пи и в точке - пинус равен нулю. В точке пи пополам - это единичка. В точке
Speaker A
миспи пополам - это, соответственно, минус единичка. Ну и вот так вот плавненько синусоиду нарисовали. Ну и можно её потом продолжить, да, периодично. Вот. Дальше пошли синусоиду номер два рисовать, да? А график косинуса это тоже синусоида, только она сдвинутая, да? Ну, можно преобразованием
Speaker A
привести косинус к синусу. Опять же также ограничение показали -11 точки пи и - пи. А что мы с вами знаем? Косинус нуля - это 1. cosсинус пи - это, соответственно, -1. Косинус мину пи - это тоже -1, да? Ну, а косинус,
Speaker A
соответственно, пи пополам и минус пипом - это ноль. Ну, и нарисовали то же самое. синусоида, только она, повторяю, немножко оказалась сдвинутой, да? Немножко сдвинуто. Хорошо. Теперь тангенс и котангенс. Значит, когда мы с вами график тангенса, у нас появляется
Speaker A
огромное количество вертикальных асимптота. Они проходят через точки вида пи/ 2 п пик, да? Значит, пи - пи/ 2 3 пи. Здесь дальше будет -3 пи/ 2. Ну и так далее вправо-влево. Ну и, соответственно, давайте нарисуем на основном промежутке отмены спината
Speaker A
допината. Это функция монотонно возрастающая. Монотонно возрастающая. Раз пошла, соответственно, тангенсо, да? Дальше пошла вторая, третья, четвёртая и так далее в положительном параллельно.
Speaker A
Ну и, соответственно, в отрицатом параллении точно так же они все будут проходить. Ну и теперь для котангенса тоже тангенсоида. Понятно? Слеще соображение.
Speaker A
Теперь мы делим на синуса. Значит, нельзя брать те значения, где у нас с вами синус равно нулю. Вот он с вами той ноль. Вот, соответственно, пи - пи. Ну и дальше можно продолжить 2 пи и так далее. Соответственно, и в
Speaker A
отрицательном проине там 3пи будет. Значит, в точках вида получается пи на 2, да, плюс пик, там, где у нас с вами, а косинус равнолю, мы ноль делим на что-то, ну, там на единичку либо минус единичку, получаем, соответственно, ноль. Ну, и у нас с вами
Speaker A
получается тангенсоида теперь будет убывающая да? Всё. Повторяю, появление тригонометрической функции менее вероятно на экзамене. То есть, ну, синус и косинус ещё могут встретиться, а вот тангенс котан, скорее всего, нет. Но если вы знаете, как графика выглядит, вам только большущий плюс. Ну что же,
Speaker A
задание номер 12. Последнее в первой части не самое простое, с другой стороны, очень хорошее, что здесь есть чёткий алгоритм. Исследование функции.
Speaker A
Что это значит? Ищем точки максимум, точки минимума, наибольшее, наименьшее значение. Как это делать? Ну, конечно же, если вы знаете, что такое производное, то это оптимальный путь решения, да? Хотя есть задачки, которые можно беспроизводно решить, но всё-таки полезно это знать. А напомню вам
Speaker A
картиночку. Вот у нас такая картинка есть, да? Функция растёт, функция бывает, функция растёт. Вот она точка максимум, вот она точка минимум. Наша на наша цель очень простая. Считаем производную, потом приравниваю её к нулю. Отсюда находим подозрительные точки, так их назовём, да? Хотя у них,
Speaker A
конечно, есть научное название, это стационарные точки. Ну и среди этих подозрительных точек отбираем то, что нужно. То есть это точка максимума, точка минимума. А если мы хотим найти наибольше, наименьшее значений, то обычно картинка дополняется тем отрезком, на котором мы живём. Ну,
Speaker A
например, вот отрезок такой нам дали сказали. Вот живите на этом отрезке от А до B, да, от А до B. И ищите на этом отрезке наибольшее наименьшее значение.
Speaker A
Где это может быть? Ну, скажем, наибольшее значение в точке максимума. Может быть, может быть. А если отрезочек вот такой? Если отрезочик вот такой, то оказывается, что здесь точки максимума-то нет, да? Ну, точка максимума пропала. Куда она пропала? Да
Speaker A
вот она была, и теперь её нет. Значит, где наибольшее значение может быть? в каком-то конце отрезка. В каком? Ну, в данном случае получается в правом конце отрезка, потому что функция на данном отрезке растёт. А если бы функция бывала, то получается в левом конце
Speaker A
отрезка. Итак, мы поняли, надо уметь считать производную, уметь решать уравнения. То есть когда мы производную посчитали, притек нулю решить это уравнение, найти все подозрительные точки, но после этого уже провести анализ соответственно а поведения функции. Производная положительная функция растёт, производная
Speaker A
отрицательная функция бывает в подозрительных точках. Может быть всё, что угодно, там, максимум, минимум, а может быть не быть ни максимума, ни минимум. То есть наша первечная задача уметь считать производную. Ну, поехали вспоминать соответственно таблицу элементарных производных. Производная числа, то есть константа равна нулю.
Speaker A
Производная степенной функции равняется n x степе -1. Здесь есть пара частных случаев для корня, для а соответственно дроби, но я уверен, что вы их знаете, поэтому выписывать не буду. Дальше поехали.
Speaker A
Экспонента. Замечательная функция. Её производна совпадает само с собой. А показательная функция это получается а в степени x уже logриф а. А дальше логарифм натуральный на x. А логарифм с произвольным основанием. Ну размер основания должно быть допустим, то есть
Speaker A
положительно и нервной единички, да? Дальше тригонометрия. Производная синуса косинус. Производная косинуса не синус, а минус синус.
Speaker A
производная тангенса и производная котангенс. Иногда производный тангенс и котангенса в таблицу элементарных функций не включают, потому что, вообще-то, это можно посчитать как производную частного, да, синус косинуса, косинус к синусу. И да, нам нужно знать дополнительно правила, общие правила для вычисления производных любых
Speaker A
функций. Ну, одно из общих правил то, что производная константа нулём. Мы это уже записали, поэтому дальше не пишем. И пускай у нас f gт какие-то функции, да, производные суммы двух функций. это сумма производных. Производная разности двух функций - это разность
Speaker A
производных. Если мы функцию умножим на число и посчитаем производную, то числовой множли не трогаем, а от функционального берём производную.
Speaker A
Теперь, если у нас с вами есть произведение двух функций, то чуть посложнее здесь f' g + fg'три, но тоже вроде не сильно критично сложно. Дальше частная функция. Вот здесь чуть-чуть ещё сложнее становится.
Speaker A
fш' g - fg'три дели на gк². Ну, разумеется, функция g здесь ни в коем случае не равна нулю, да, в этой формуле, иначе как мы на ноль поделим.
Speaker A
Ну и дальше ещё одно важное правило - это так называемой производная сложной функции, хотя сам производная не сложное. И тогда мы функцию считаем от функции. То есть, как я ученикам объясняю, то есть мы напрямую, скажем, из Москвы в Петербург едем, да? А из
Speaker A
Москвы сначала в Казань, потом из Казани в Петербург. Такой сложный маршрут. То есть, если есть функция от функции от какого-то аргумента x и мы считаем производную, да, то оказывается, что на самом деле производная считается очень легко. Надо посчитать производную от
Speaker A
каждой из функций по отдельности и просто их перемножить. Вот, собственно, и всё. Итак, у нас там есть а таблицы элементарных производных, ну, элементарных функций, а правила общие для всех функций, подходящих. Ну, и, собственно, алгоритм по тому, как мы
Speaker A
отыскиваем точки максимум, минимума наибольшее, наименьшее значение. На этом, собственно, полностью мы всё задание 12 обсудили. Специально для тех, кто досмотрел до этого момента, подготовил для вас шпаргалку по первой части. Забрать её можно по ссылочке в описании. Зашли и скачали. Ну а мы с
Speaker A
вами увидимся на канале. С вами был Андрей Павликов. [музыка] Yeah.
Topics:ЕГЭ математикапланиметриятреугольникуглымедианабиссектрисавысоталогарифмыпроизводнаярадианы
![[YTP] Pragerland — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/Q4BpMyjeFyo/maxresdefault.jpg)
