Speaker A
Also haben wir den Satz gefunden. Wir haben damit eine Menge herumhantiert. Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck sind zusammen 180°, ergeben zusammen 180°, sind supplementär. Ja, das muss erst mal verstanden sein, worum es dort geht.
Michael Gieding beweist den Sehnenvierecksatz: Gegenüberliegende Winkel ergeben 180°. Er nutzt Radien, Basiswinkelsatz und die Innenwinkelsumme.
Key Takeaways
- Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck ergeben zusammen 180°.
- Der Beweis nutzt Radien, den Basiswinkelsatz und die Innenwinkelsumme von 360°.
- Mathematische Beweise entstehen oft durch Ausprobieren und Zeichnen, nicht nur durch sofortige Eingebung.
What the video covers
- Der Satz besagt, dass gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck zusammen 180° ergeben (supplementär).
- Der Sprecher betont, dass man für einen Beweis eine zündende Idee braucht und dass Trial and error normal ist.
- Er zeichnet die Radien MA, MB, MC und MD ein, da alle Eckpunkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt liegen.
- Im gleichschenkligen Dreieck AMD folgt mit dem Basiswinkelsatz, dass die Basiswinkel gleich groß sind.
- Die gleich großen Basiswinkel werden farblich markiert (grün, rot, blau, gelb), um die Kongruenzen sichtbar zu machen.
- Die vier Dreiecke ergeben zusammengelegt die Innenwinkelsumme des Vierecks, also 360°.
- Daraus folgt: Zwei gegenüberliegende Winkel (jeweils ein Winkelpaar) bilden die Hälfte, also 180°.
- Der Beweis verwendet den Basiswinkelsatz, die Eigenschaft von Radien und die Innenwinkelsumme im Viereck.
- Die Methode zeigt, wie man durch Ausprobieren und Zeichnen zu einem Beweisansatz kommt.
Chapters
- 00:00Einführung: Der Satz über Sehnenvierecke
- 01:00Die Suche nach einer Beweisidee
- 01:40Einzeichnen der Radien im Kreis
- 02:40Gleichschenklige Dreiecke und Basiswinkel
- 04:00Farbliche Markierung der kongruenten Winkel
- 05:20Zusammenlegen der Winkel: Innenwinkelsumme 360°
- 07:00Schluss: Gegenüberliegende Winkel ergeben 180°
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Speaker A
brauchen wir gar keinen Beweis zu machen jetzt können wir uns an den Beweis machen also der Beweis und der sieht ein bisschen anders aus als Alpha 1 + Alpha 2 + Gamma 1 + gγamma 2 + Beta 1 und so weiter und so fort das
Speaker A
Davor brauchen wir gar keinen Beweis zu machen.
Speaker A
zündende Idee und gut wenn man solche Beweise häufiger gemacht hat kommt man mal auf so eine Idee ja da stochert man einfach mal rum und guckt mal was geht und ich mir fällt gar nichts rein scharfes raufgucken hilft nicht viel ich
Speaker A
Jetzt können wir uns an den Beweis machen. Der Beweis sieht ein bisschen anders aus als Alpha 1 + Alpha 2 + Gamma 1 + Gamma 2 + Beta 1 und so weiter und so fort. Das ist nichts. Es geht schöner und eindrucksvoller.
Speaker A
jetzt natürlich dass mir das beim Beweis helfen wird aber sowas macht man einfach mal guckt was sich dort ergeben könnte das Schlimmste was wir im Mathematikunterricht immer machen ist wir tun so der Mathematiker guckt auf ein Problem rauf und weiß sofort
Speaker A
Okay, wir sollten also zeigen, beispielsweise, dass dieser Winkel und dieser Winkel zusammen 180° ergeben. Von der Größe her, okay, wird nicht ganz so einfach sein. Man braucht eine springende Idee, man braucht eine zündende Idee. Und gut, wenn man solche Beweise häufiger gemacht hat, kommt man mal auf so eine Idee. Ja, da stochert man einfach mal rum und guckt mal, was geht. Und mir fällt gar nichts ein. Scharfes Raufgucken hilft nicht viel. Ich zeichne mal was. Ich zeichne einfach mal. Beispielsweise ist ja ein Sehnenviereck, die Eckpunkte liegen auf einem Kreis. Ich zeichne einfach mal diese Radien ein. So eine spontane Idee, wo die hergekommen ist, weiß ich auch nicht. Ja, ich weiß jetzt natürlich, dass mir das beim Beweis helfen wird. Aber sowas macht man einfach mal, guckt, was sich dort ergeben könnte.
Speaker A
hinguck ich habe ein sehenvereck ab CD das heißt die Punkte ab C und D liegen auf einem Kreis k wenn ich diese Strecken hier einzeichne dann sind das Radien MB MC MD ma diese Radien sind alle gleich lang
Speaker A
Das Schlimmste, was wir im Mathematikunterricht immer machen, ist, wir tun so, der Mathematiker guckt auf ein Problem rauf und weiß sofort Bescheid und leitet sofort alles her. Quatsch. Der geht auch mal in die Irre, der probiert. Trial and error ist angesagt, ja, und kann auch daneben gehen. Okay, das wird jetzt nicht daneben gehen.
Speaker A
AMD in der Schule blende ich dann mal alles andere raus nur dieses Dreieck diese Seite war genauso lang wie diese das bedeutet dass dieser Winkel hier und dieser Winkel hier als Basiswinkel kongruent sind das verdeutlich ich mir mal so
Speaker A
Was habe ich jetzt hier, wenn ich genauer hinguck? Ich habe ein Sehnenviereck ABCD. Das heißt, die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis k. Wenn ich diese Strecken hier einzeichne, dann sind das Radien MA, MB, MC, MD. Diese Radien sind alle gleich lang, ist ja ein Kreis. Das heißt, alle Punkte A, B, C und D sind gleich weit von M entfernt, sonst wären sie ja nicht auf dem Kreis.
Speaker A
Basiswinkel das ist ein Basiswinkel also ein Basiswinkel ein zweiter Basiswinkel beide selbe Farbe beide grün beide gleich groß okay dann machen wir hier weiter natürlich hier noch mal ein roter Winkel und noch mal ein roter Winkel warum gleiche Farbe sie sind gleich groß
Speaker A
Okay, jetzt schauen wir uns mal hier so ein Dreieck an, das Dreieck AMD. In der Schule blende ich dann mal alles andere raus, nur dieses Dreieck. Diese Seite war genauso lang wie diese. Das bedeutet, dass dieser Winkel hier und dieser Winkel hier als Basiswinkel kongruent sind. Das verdeutliche ich mir mal so. Also dieser Winkel, gelber Winkel, und hier noch mal ein gelber Winkel. Das habe ich bewusst gewählt: zwei gelbe Winkel. Warum gleiche Farbe? Weil gleich groß. Das geht natürlich für die anderen Dreiecke genauso. Das ist ein Radius, das ist ein Radius, das ist ein Basiswinkel, das ist ein Basiswinkel. Also ein Basiswinkel, ein zweiter Basiswinkel, beide selbe Farbe, beide grün, beide gleich groß.
Speaker A
Winkel da haben wir sie kalt den haben wir nicht mehr abgegangen Klasse so da muss ich mich kurz behelfen extra noch mal neu angefertigt so blauer Winkel sieht nicht schön aus ich ersetze den gleich mal also war zu befürchten blauer Winkel
Speaker A
Okay, dann machen wir hier weiter. Natürlich hier noch mal ein roter Winkel und noch mal ein roter Winkel. Warum gleiche Farbe? Sie sind gleich groß. Gleiche Farbe bedeutet immer gleich groß. Radius, Radius, BCM ist gleichschenklig, die Schenkel sind BM, CM, Basis BC, Basiswinkel. Die roten Winkel damit gleich groß: Basiswinkelsatz. Das wissen wir, das gilt natürlich für das letzte entstehende Dreieck ganz genauso. Also noch zwei blaue Winkel. Da haben wir sie, halt, den haben wir nicht mehr abgegangen. Klasse. So, da muss ich mich kurz behelfen, extra noch mal neu angefertigt. Blauer Winkel sieht nicht schön aus, ich ersetze den gleich mal. Also war zu befürchten. Blauer Winkel, zwei blaue Winkel sind kongruent zueinander als Basiswinkel.
Speaker A
grünen Winkel okay einfach mal nebeninander gelegt dann kommen meine beiden roten Winkel okay einfach mal nebeninander so hier dran Beine blauen Winkel okay so und noch die beiden gelben so ein bisschen auseinander so okay die beiden gelb auch wenn ein
Speaker A
So, jetzt haben wir insgesamt: ABCD ist ja ein Viereck. Jetzt nehme alle von diesen Dreiecken raus, von diesen Winkeln raus. So, und ich leg die mal nebeneinander hier drüben. So, ich habe also die beiden grünen Winkel, okay, einfach mal nebeneinander gelegt. Dann kommen meine beiden roten Winkel, okay, einfach mal nebeneinander, so hier dran. Beiden blauen Winkel, okay. So, und noch die beiden gelben, so ein bisschen auseinander, so. Okay, die beiden gelb, auch wenn sie sich ein bisschen überlappen, und so weiter.
Speaker A
angefertigt das ergibt auf alle Fälle einen vollen Kreis warum das kann ich beweisen das kann ich begründen das ist ein sauberer Beweis oh hier waren sie do alle drin also noch alle drin war waren alle von den Winkeln von den
Speaker A
Eins ist klar, da brauche ich nicht lange zu überlegen: Das ergibt einen vollen Kreis. Nicht nur, weil es so aussieht. Ja, bei mir sieht es jetzt mal gar nicht so genau aus, habe ich jetzt gar nicht angefertigt. Das ergibt auf alle Fälle einen vollen Kreis. Warum das? Das kann ich beweisen, das kann ich begründen, das ist ein sauberer Beweis. Oh, hier waren sie, da waren alle drin, also noch alle drin. Alle von den Winkeln, von den Innenwinkeln von ABCD, von unserem Sehnenviereck, waren ausgefüllt. Jetzt sind sie weg. Das heißt, ich habe alle Winkel des Vierecks rausgenommen und zusammengelegt. Das heißt, ich habe die Innenwinkelsumme gebildet, ja, den, den, den, den. Das, was ich hier gemacht habe, ist die Innenwinkelsumme. So kriege ich einen Vollkreis, 360°. Ist völlig klar: Alle Innenwinkel vom Viereck zusammen ergeben 360°. Das ergibt einen vollen Kreis, logisch.
Speaker A
gemacht habe ist die innenwinkelsumme so ich kriege ein Vollkreis 360° ist völlig klar ja alle Innenwinkel vom Viereck zusammen ergeben 360° das ergibt ein vol Kreis logisch so die blauen sind immer gleich groß die roten sind immer gleich groß
Speaker A
So, die blauen sind immer gleich groß, die roten sind immer gleich groß, die grünen sind immer gleich groß, die gelben sind immer gleich groß. Ich habe hier also zwei rote plus zwei blaue plus zwei gelbe plus zwei grüne gleich 360°. Was bedeutet das? Wenn ich nur einen grünen nehme, wenn ich nur einen gelben nehme, wenn ich nur einen roten nehme, wenn ich einen blauen nehme, dann muss das doch zwangsläufig einen gestreckten Winkel ergeben. Logisch: Ich habe gerade die Hälfte weggenommen. Ja, das waren zwei blaue, zwei gelbe, zwei grüne, zwei rote, zusammen 360°. Rote, gelbe, grüne, blaue immer gleich groß. Wenn ich von jedem einen wegnehme, dann habe ich die Hälfte gerade weggenommen. Die Hälfte von 360° ist 180°.
Speaker A
nehme wenn ich nur einen roten nehme wenn ich ein blauen nehme dann muss das doch zwangsläufig einen gestreckten Winkel ergeben logisch ich habe gerade die Hälfte weggenommen ja das waren zwei blaue zwei gelbe zwei grüne zwei rote waren
Speaker A
Ja, und das war also gerade zu zeigen. Hier hatten wir also letztlich gerade zu zeigen: Hier einer, so, so. Dann hatten wir hier den gelben dran. Okay, dann hatten wir hier noch mal blauen und hier roten. Wir hatten letztlich zu zeigen: Ein gelber plus ein grüner plus ein roter plus ein blauer müssen 180° sein. Und das haben wir damit gezeigt. Das versteht man dann.
Speaker A
gerade zu zeigen hier einer so so dann hatten wir hier den gelben da dranne okay dann hatten wir hier noch mal blauen und hier roten wir hatten letztlich zu zeigen ein gelber plus ein grüner plus ein roter plus ein
Speaker A
blauer müssen 180° sein und das haben wir damit gezeigt das versteht man [Musik] dann
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