Как 2D существо видит ИСКРИВЛЁННОЕ ПРОСТРАНСТВО? — Transcript

Исследование восприятия двумерным существом искривлённого пространства и червоточин через симуляции и игровые эксперименты.

Key Takeaways

Двумерное существо воспринимает искривлённое пространство иначе, чем мы, и его визуализация требует специальных методов.
Симуляции с использованием знаковых функций расстояний позволяют моделировать движение света и объектов по сложным поверхностям.
Повторяющиеся изображения в замкнутых пространствах — естественное явление из-за геометрии и кривизны пространства.
Понимание кривизны и топологии (тор, лента Мёбиуса) важно для создания реалистичных двумерных миров и порталов.
Игровые эксперименты помогают визуализировать и лучше понять абстрактные математические и физические концепции.

Summary

Автор рассматривает, как двумерное существо видит пространство с червоточиной, отличное от нашего трёхмерного восприятия.
Поясняется концепция пространства тора на примере классической игры Астероиды и её геометрической интерпретации.
Проводится симуляция движения света и объектов по поверхности искривлённых двумерных пространств с использованием знаковых функций расстояний.
Обсуждается, как двумерное существо может сканировать своё окружение, чтобы визуализировать мир вокруг, несмотря на одномерную проекцию зрения.
Приводятся примеры движения по поверхности сферы и объясняется появление повторяющихся образов из-за замкнутости пространства.
Рассматривается поведение объектов и лучей в искривлённых пространствах, включая туннели червоточин и их влияние на движение.
Обсуждается разница между положительной и отрицательной кривизной на примере тора и цилиндра, а также их визуальное восприятие.
Поясняется концепция ленты Мёбиуса и её уникальные свойства с точки зрения двумерного существа.
Автор делится опытом создания игры с 2D-порталами и сложностями моделирования плавного прохождения через червоточины.
Видео сочетает теоретические объяснения с практическими примерами и визуализациями, делая сложные математические концепции доступными.

Chapters

Full Transcript — Download SRT & Markdown

Speaker A

Представьте двумерное пространство, где внезапно появляется червоточина. Для нас она будет выглядеть как туннель, но для плоского существа, живущего в этой двумерной поверхности, это будет выглядеть совершенно иначе. А что мы увидим при прохождении через такую червоточину? И как это будет выглядеть

Speaker A

для сторонних наблюдателей? Чтобы ответить на эти вопросы, я запрограммировал симуляцию двумерных невклидовых пространств. И пока я делал эту симуляцию, я нашёл много странных вещей, о которых не задумывался раньше.

Speaker A

Например, вы, наверное, знакомы с такой классической игрой, как Астероиды. Если игрок тут улетит вверх экрана, то он прилетит снизу, а если он улетит влево, то появится справа. Я всегда слышал, что такое пространство имеет форму тора, геометрической фигуры в виде пончика.

Speaker A

Потому что если взять квадрат и соединить верхнюю сторону с нижней, а левую сторону с правой, мы получим тор.

Speaker A

И мне казалось, что я знаю, как работает такое пространство, пока я не попробовал запустить его в своей симуляции. Итак, что же на самом деле увидит двумерное существо на этой поверхности?

Speaker A

Представим, что эта стрелочка и есть наше двумерное существо. Когда она двигается, пространство вокруг начинает искажаться, как будто это какие-то крылья, которые машут то вверх, то вниз.

Speaker A

А если отдалить камеру, то искривление становится ещё более заметным. Это уже не выглядит как обычная плоскость. Но почему пространство настолько искривлено? И возможно ли всё-таки создать тор, который будет выглядеть плоским для двумерного существа, живущего на его поверхности? Тут уже

Speaker A

появляется очень много вопросов, поэтому давайте начнём с самого начала. Я начал этот эксперимент, когда решил сделать небольшую игру. В этой игре я хотел сделать 2D-порталы, прохождение сквозь которые выглядело бы максимально плавно.

Speaker A

Для этого при приближении камеры к порталу он должен был менять свою форму и размер. И я начал экспериментировать с разными формами порталов и тем, как они меняются, когда мы к ним приближаемся.

Speaker A

Сначала я пробовал использовать форму конических сечений и разных других математических штук, но потом я понял, что логичнее всего использовать для них форму червоточины. Если посмотреть на пространство с червоточиной, то оно обычно будет выглядеть как две плоскости или две стороны одной плоскости,

Speaker A

соединённые туннелем. Кстати, на этой картинке нижняя сторона подписана как другая вселенная, но тут две стороны явно соединены в одну. Не должно ли быть это всё одной вселенной? Ну а так или иначе, я, в общем, начал делать эту игру, и я пытался повторить форму

Speaker A

червоточины в двумерном пространстве, но оно работало не совсем так, как я хотел. Там были баги, и, в общем, оно как-то не получилось. Поэтому, как обычно, у меня появилась новая идея, а этот проект я временно забросил. Но через какое-то время я решил к этому

Speaker A

вернуться и попробовать ещё раз. И на этот раз всё сработало. Спасибо, кстати, Аптозораксу за помощь. Ну, всё-таки этот проект — это почти порталы, поэтому, конечно же, он должен был присоединиться. Идея тут следующая.

Speaker A

Представьте, что мы наблюдатель, который находится в центре экрана. Мы выпускаем лучи во все стороны вокруг нас, и они движутся вдоль поверхности трёхмерного объекта, на котором мы находимся. Так что это немножко напоминает рейтрейсинг или реймарн. А задаю все эти фигуры в

Speaker A

коде через знаковые функции расстояний. По сути, это просто формула расстояния до объекта. Например, вот так выглядит формула для сферы. Но как свет движется по поверхности объекта, если нам известно только расстояние до этого объекта? Оказывается, что расстояния достаточно, чтобы рассчитать всё, что

Speaker A

нам нужно. Мы можем рассчитать нормаль поверхности и спроецировать луч на эту поверхность. Давайте покажу пример. Вот луч света движется в пространстве. В какой-то момент он попадает в искривлённую область этого пространства.

Speaker A

И так, как он движется по прямой, он немножко пролетает это искривление. Поэтому мы проецируем этот луч обратно на поверхность. Потом опять его двигаем, он опять пролетает мимо, мы опять проецируем его на поверхность, и в результате всего этого он плавно

Speaker A

движется вдоль поверхности. Вот так свет рассчитывается в этом пространстве. И именно так это двумерное существо видит мир вокруг себя. Но кто-то сейчас, наверное, скажет: "А разве двумерное существо не должно видеть мир вокруг себя как одномерную линию? Вот мы,

Speaker A

например, живём в трёхмерном мире, но всё, что мы видим, проецируется на нашу сетчатку, которая является, по сути, плоской поверхностью. По такой же логике двумерное существо должно видеть свой мир в виде одномерной проекции. И это действительно так. Но в таком случае всё

Speaker A

это видео было бы просто линией. Поэтому давайте представим, что эти существа могут как бы сканировать пространство вокруг себя, как в играх. Например, в Сатисфакторе, когда мы ищем ресурсы, мы сканируем пространство и видим, как волна распространяется вокруг. Или в

Speaker A

Геншине есть тоже похожая анимация. Поэтому давайте представим, что наши двумерные существа могут делать что-то похожее, и они сканируют свой двумерный мир, чтобы видеть всё вокруг. Но здесь у нас пока получилась просто плоскость.

Speaker A

Давайте посмотрим, как это выглядит уже в искривлённом пространстве. Посмотрим для начала на сферу. Это, наверное, самый простой пример искривлённого пространства. Вот так стрелочка движется по поверхности сферы. Всё выглядит лишь немножко искривлённым. В таком пространстве свет движется по кругу. Но

Speaker A

на самом деле не только свет, ведь здесь само пространство скруглённое. Поэтому любые объекты, в том числе и мы сами, при движении вперёд по такому пространству будем ходить кругами. Но всё начинает выглядеть странно, если отдалить камеру. Например, можно заметить, что появляются какие-то

Speaker A

красные кольца. И при этом единственный красный объект здесь — это стрелочка. Получается, что эти кольца — это и есть стрелочка, которая повторяется через какое-то расстояние. И это, на самом деле, логично. Вот представьте, что мы живём на поверхности сферы и можем

Speaker A

двигаться только по ней. И всё вокруг существует тоже, только на поверхности этой сферы. Даже свет движется только вдоль этой же поверхности. Если мы посмотрим вперёд, то увидим свет, который прошёл вокруг всей сферы и вернулся к нам обратно. То есть мы

Speaker A

увидим самих же себя, повторяющихся через какое-то расстояние, возможно, даже и несколько раз. Но эти красные кольца, состоящие из наших повторений, на самом деле не единственные странные кольца, которые можно здесь увидеть.

Speaker A

Кто-нибудь обратил внимание на вторые кольца? Вот они. Давайте их подсвечу. В них пространство почему-то выглядит особенно искривлённым. Почему они здесь появляются? Давайте посмотрим на другой пример. Тут я добавил такой вот оранжевый круг, как некоторый ориентир, чтобы мы могли наблюдать за ним, пока

Speaker A

движемся через это пространство. Когда мы удаляемся от этого круга, кажется, что он увеличивается, и в какой-то момент он даже начинает окружать нас со всех сторон. Давайте попробую пойти вправо. Вот я туда иду и направляюсь ровно к этому кругу. Давайте пойдём

Speaker A

назад. А если пойти вверх, то окажется, что мы тоже двигаемся к кругу. А если пойти вниз, то тоже окажется, что мы идём прямо к этому кругу. И если пойти влево, то опять мы движемся к этому кругу. Почему так происходит? Чтобы это

Speaker A

объяснить, давайте посмотрим на следующий пример. Тут стрелочка находится наверху сферы. Из неё выпускаются лучи, которые летят в разные стороны. Если смотреть на это с позиции самого луча, то он просто движется по прямой, по поверхности сферы. Но из трёхмерного пространства мы видим, что

Speaker A

движутся они не совсем по прямой. Вместо этого они огибают сферу вокруг. При этом они все пересекаются в нижней точке сферы, а потом летят вверх сферы и пересекаются в той точке, откуда они начали. Вот почему раньше мы видели эти

Speaker A

кольца из стрелочки. Потому что все лучи, выпущенные на сфере, через какое-то время вновь пересекаются в точки, из которой они были выпущены. Но ещё все лучи пересекаются в противоположенной точке на сфере. И именно поэтом

Speaker A

искривлённого пространства. Это просто противоположная одна точка на сфере, и все пути на сфере будут в ней пересекаться. Неважно, в какую сторону мы пойдём, мы всегда придём в эту противоположную точку. И также делают лучи света. Поэтому, если мы стоим с

Speaker A

противоположной стороны от какого-то объекта, то будет казаться, что этот объект находится вокруг нас со всех сторон. В какую бы сторону мы ни пошли, мы всегда будем двигаться к этому объекту. Так, много ещё о чём нужно рассказать. И пока мы посмотрели только

Speaker A

на сферическое пространство. Но перед тем, как мы перейдём к червоточеным и ещё разным другим странным геометриям, давайте покажу ещё пару интересных штук, которые происходят на сфере. Так как сферическое пространство является невклидовым, в нём проявляются разные необычные свойства невклидовых

Speaker A

пространств. Например, голаномия. Это один из инвариантов связанности в расслоении над гладким многообразием. Короче, как всегда, ничего непонятно, поэтому давайте лучше объясню это так.

Speaker A

Когда мы движемся по искривлённому пространству, мы не только меняем свою позицию, но также приобретаем некоторый поворот. Например, здесь синяя стрелка постоянно движется вверх, но из-за этого красная стрелка вращается. Но в то же время, если мы посмотрим на это с точки

Speaker A

зрения красной стрелки, то она просто стоит на месте, а вот синяя стрелка крутится вокруг неё. Ещё один интересный факт о сферическом пространстве - это то, что мы можем сконструировать такую фигуру. Смотрите, все углы - это прямые углы. Мы можем подойти к одному углу,

Speaker A

потом ко второму, потом к третьему. Но вот если отдали камеру, то мы увидим, что на самом деле у этой фигуры всего два угла. Да, это двуугольник, фигура, которая невозможна в обычной плоской геометрии. Это видео я делал довольно долго. А, начал вообще ещё весной, но

Speaker A

зато многие моменты я выкладывал в свой Telegram-канал. Вот QR-код, а в описании будет на него ссылка. И вот теперь, когда я показал основы невклидовой геометрии, давайте посмотрим на червоточину. Я здесь сделал такой вот небольшой кусочек пространства и разные

Speaker A

его стороны покрасил в разные цвета, чтобы их было легче различать. А ещё поместил по краям специальные стены, чтобы наша стрелочка не могла видеть обратную сторону. Иначе, как и на сфере, свет будет бесконечно кружиться по этому пространству, создавая отвлекающий

Speaker A

визуальный шум. И давайте поместим сюда червоточину. Сама по себе такая червоточина - это просто дыра в трёхмерном объекте. В ней нет чего-то необычного. Это не связано с какой-то особой физикой. Это просто форма трёхмерного объекта. Но вот для двумерного существа она бы выглядела

Speaker A

довольно странно. Давайте попробуем пройти через такую червоточину. Ещё интересный эффект появляется, если попытаться ходить внутри туннеля червоточены. Кажется, что само пространство начинает крутиться вокруг нас.

Speaker A

Давайте теперь поместим червоточину в более открытое пространство. [музыка] Если ходить вокруг неё, то это выглядит так.

Speaker A

Если мы посмотрим на то, как стрелочка проходит рядом с червоточеной, то заметим, что её путь искривляется. Но на самом деле он идёт по геодезической линии. Геодезическая - это как прямая линия, но обобщённая на искривлённые пространства. Поэтому, если посмотреть

Speaker A

на эту ситуацию с точки зрения стрелочки, то окажется, что всё это время она движется прямо, а вместо этого вращается само пространство вокруг неё.

Speaker A

Но когда мы на это смотрим из 3D, то видим, что стрелочка поворачивается из-за кривизны пространства. Это ещё можно заметить, если посмотреть на паттерн полу. Изначально квадратики идеально выровнены с поворотом самого экрана, но после того, как стрелочка проходит рядом с червоточеной, они

Speaker A

оказываются повёрнутыми. Но мне кажется, что особенно интересным выглядит хождение внутри самой червоточины. Может показаться, что если мы будем так ходить, то уйдём куда-то очень далеко и можем вообще потеряться. Но на самом деле пространство внутри червоточно зациклено, поэтому мы тут просто ходим

Speaker A

кругами. Можно даже видеть самого себя через некоторое расстояние. Ещё один необычный факт - это то, что когда мы ходим вот так вот внутри червоточины, кажется, что она постоянно пытается нас вытолкнуть. Но тут нет никакой физической силы, которая бы это делала.

Speaker A

То есть это происходит просто из-за формы самого пространства. И получается, что как бы мы не двигались внутри червоточины, мы всегда будем двигаться в сторону выхода из неё. Поэтому тут так тяжело двигаться по прямой. Но почему так происходит? Чтобы ответить на этот

Speaker A

вопрос, давайте посмотрим на Тор. Верхнюю и нижнюю части Тора я тоже покрасил в разные цвета, чтобы было проще ориентироваться. И получается, что если я пытаюсь двигаться по прямой на внутренней стороне Тора, то пространство как будто постоянно уворачивается от

Speaker A

меня, ровно так же, как и внутри червоточенные. Но когда я иду по внешней стороне Тора, вот я могу идти ровно по границе двух цветов. И даже если я немножко отклоняюсь, пространство как будто затягивает меня обратно. То есть во внутренней стороне пространство как

Speaker A

будто выталкивает нас, а во внешней стороне наоборот затягивает. И это всё на самом деле связано с гаусовой кривизной пространства. Пространство может быть плоским, как, например, вот этот кусок плоскости. Пространство может иметь положительную кривизну, как, например, вот эта часть сферы. Или у

Speaker A

него может быть отрицательная кривезна. А в этом случае это называется гиперболическим пространством. Например, эта сфера полностью оранжевая, потому что у неё везде одинаковая положительная кривезна. Но если взять Тор и раскрасить его в соответствии с его кривезной, то окажется, что у его внешней стороны

Speaker A

положительная кривизна, а у внутренней стороны отрицательная. У нас есть хорошее представление о том, как объекты должны двигаться в обычном евклидовом пространстве. Но вот в сферическом пространстве это ощущается так, как будто у нас есть меньше разных направлений, куда можно было бы пойти. С

Speaker A

другой стороны, в гиперболическом пространстве наоборот кажется, что существует больше разных направлений, куда можно пойти. Это происходит потому, что в сферическом пространстве геодезические, проходящие рядом, как правило, сходятся, в то время как в гиперболическом пространстве, наоборот, они расходятся особенно быстро. Именно

Speaker A

поэтому, когда мы ходим по внешней стороне Тора, то есть региону с положительной кривезной, мы в среднем остаёмся на этой стороне. Но вот когда мы ходим по внутренней стороне Тора, кривезна пространства в которой отрицательная, то есть это является участком гиперболического пространства.

Speaker A

Любое, даже самое маленькое отклонение от нашего пути не остаётся таким маленьким. Оно начинает очень быстро усиливаться, из-за чего кажется, что как будто пространство выталкивает нас с нашего пути. И именно поэтому поверхность Тора не ведёт себя как обычное плоское двумерное пространство.

Speaker A

Но можно ли эту поверхность всё-таки сделать плоской? На самом деле да. Но свернуть плоскость в Тор так, чтобы она осталась плоской, можно только в четырёхмерном пространстве. И тогда мы получим фигуру, которая называется Тор Клиффорда. При этом это всё ещё

Speaker A

двумерная поверхность. Просто существовать она должна в четырёхмерном пространстве. Это как бутылка клейна, которой тоже нужно четырёхмерное пространство, чтобы не было самопересечения, как в трёхмерном пространстве. Получается, что события игр с такой вот соединённой картой происходят не просто на поверхности

Speaker A

Тора, а на поверхности Тора в четырёхмерном пространстве. Ну а давайте вернёмся к обычному трёхмерному тору.

Speaker A

Если отрезать его часть с положительной кривезной, то то, что останется, будет иметь ровно форму червоточины. Поэтому, если взять пространство с червоточеной и раскрасить его в зависимости от его кривизны, то мы увидим, что вся червоточена обладает отрицательной кривизной, что означает, что она

Speaker A

является областью гиперболического пространства. Но можно ли сделать червоточину с плоским туннелем? Оказывается, что ответ да. Чтобы узнать, как это сделать, давайте посмотрим на цилиндр.

Speaker A

Вот так это выглядит. И как можете видеть, пространство здесь достаточно ровное, как будто мы двигаемся внутри плоскости. Только на краях цилиндра есть небольшие области с положительной кривизной. Ещё можно заметить, что края скруглены просто потому, что из-за острых краёв вектор иногда не

Speaker A

проецируется как надо, и поэтому я скруглил все края. А иначе это выглядело бы вот так.

Speaker A

Но подождите, разве поверхность цилиндра не должна считаться искривлённой, так же как и поверхность сферы? Почему у неё везде нулевая кривезна, кроме краёв?

Speaker A

Возьмём для примера эту линию. Со стороны она кажется искривлённой, но для одномерного существа, живущего внутри этой линии, не будет никакого способа определить это искривление. Получается, что одномерное пространство всегда будет казаться плоским для того, кто в нём живёт. Но вот некоторые искривления

Speaker A

двумерного пространства можно определить, даже не покидая это самое пространство. И это называется гаусовой кривезной. Она появляется, когда поверхность искривляется вдоль двух разных направлений. Например, вот эта часть сферы искривляется вниз во всех направлениях, что делает её поверхностью с положительной кривезной, в то время

Speaker A

как такая вот поверхность в виде седла искривляется вниз вдоль одной оси и вверх вдоль другой, что даёт ей отрицательную кривезну. Поверхность цилиндра искривлена только вдоль одной оси, но она абсолютно прямая вдоль другой. Поэтому с точки зрения гаусовой кривизны это плоская поверхность. Можно

Speaker A

взглянуть на это так. Вот, допустим, у меня есть листок бумаги, я не могу растянуть его, а значит, он не может менять свою кривезну, но я могу свернуть его в цилиндр. И так как листок не меняет свою кривизну, а я свернул его в

Speaker A

цилиндр, значит, у цилиндра такая же кривизна, как и у плоского листа. Давайте, например, посмотрим на вот этот бесконечный цилиндр. Для двумерного существа он, по сути, выглядит как плоскость. Но из-за того, что радиус этого цилиндра относительно небольшой, мы можем видеть повторение себя снова и

Speaker A

снова. Таким образом, получается пространство, которое бесконечно вдоль одной оси, но очень маленькое вдоль другой. Если вы смотрели что-нибудь про теорию струн, то, наверное, слышали, что там обычно упоминают дополнительные скрытые измерения, которые очень маленькие, и поэтому мы обычно их не

Speaker A

видим. Здесь, по сути, та же самая ситуация. Это пространство выглядит почти как одномерная линия, но у него есть очень компактное второе измерение.

Speaker A

А вот так, кстати, будет выглядеть движение по уже ограниченному цилиндру, если мы будем видеть его кривизну.

Speaker A

Можете, кстати, заметить, что свет искривляется только в тех местах, где кривизна не нулевая. Ну, это и логично.

Speaker A

Во всех остальных местах свет движется просто по прямой. Но изначально я собирался сделать червоточину с плоским туннелем. И для этого как раз можно применить плоскую часть цилиндра. Вот так это будет выглядеть, если смотреть со стороны на само пространство и на его

Speaker A

кривизну. А вот так это выглядит уже для 2D существа, которое находится рядом с червоточиной. И вот теперь, если зайти внутрь червоточины, то её туннель будет выглядеть как плоская область пространства, где можно ходить по прямой уже без каких-либо проблем. И также, как

Speaker A

и раньше, из-за свёрнутости этого пространства можно видеть многочисленные повторения стрелочек. Кстати, те, кто следят за моим каналом, наверное, заметили, что эти стрелочки взяты из игры, которую я делаю. Эта игра была вдохновлена редстоуном, и в ней из стрелочек можно строить разные

Speaker A

конструкции. Каждая стрелочка выполняет лишь какое-то одно простое действие. Например, отправить сигнал вперёд, разделить его в разные стороны, задержать его на один шаг или заблокировать сигнал перед собой. И из таких простых стрелочек даже можно строить сложные конструкции, например, экраны, калькуляторы или даже

Speaker A

компьютеры. И теперь я собираюсь выпустить эту игру в Steam вместе с новым глобальным обновлением. И как я узнал, самое главное для алгоритмов стима - это количество вишлистов, то есть добавление в список желаемого. Так что, если вам моя игра интересна,

Speaker A

добавьте её в вишлист в стиме. Это будет лучший способ поддержать этот канал. В описании я оставлю ссылку на игру. Ну а теперь давайте вернёмся к червоточенам.

Speaker A

Я решил подсоединить тор к плоскости, и получилась такая вот плоскость с ручкой. Это что-то типа двух червоточин рядом друг с другом, соединённых длинным туннелем. А если мы посмотрим на это с точки зрения 2D существа, которое зайдёт в эту ручку, то это будет выглядеть

Speaker A

очень странно. На этот раз прямо действительно сложно понять, что тут вообще происходит. Но как и в других анимациях, в правом нижнем углу есть мини-карта с 3Dвидом, которой хотя бы немного помогает ориентироваться в таком сложном пространстве.

Speaker A

А ещё я подумал, а что если сделать ленту Мёбиуса? Вот я теперь от того листочка отрезал такую ленту. Наверное, на таком фоне её будет лучше видно. Если я соединю противоположные концы, получится такое вот кольцо. У него есть внешняя сторона и внутренняя. Но если я

Speaker A

возьму один из концов и переверну и соединю их, то получится лента Мёбиуса. Она интересна тем, что если идти по её стороне, то в какой-то момент мы перейдём на другую сторону, а потом вернёмся опять на первую. То есть технически у неё как бы всего одна

Speaker A

сторона. Ну проблема тут в том, что это плоская фигура, а метод, который я использую, работает только с объёмными фигурами. Я думал над тем, как это сделать, и решил, что можно делать объёмную фигуру, но сплющить её достаточно, чтобы она казалась плоской.

Speaker A

Вот есть, например, функция для Тора. Тут как бы круг вращается вокруг круга, но можно круг заменить, например, на очень узкий прямоугольник. А теперь добавляем ему поворот. И получается лента Мёбиуса. Но, конечно же, будет интересно посмотреть на это с точки

Speaker A

зрения 2D существа. Как оно будет видеть другую сторону ленты Мёбиуса? Ну или ту же самую сторону, ведь у неё всего одна сторона. Но на самом деле в этой симуляции объекты не находятся на какой-то конкретной стороне поверхности.

Speaker A

Например, вот здесь стрелочка находится перед червоточеной. Но если мы посмотрим изнутри этой поверхности, мы можем посмотреть на это, как будто она находится перед каким-то мостом, который соединяет две плоскости, и обе интерпретации будут верными. И так как оказывается неважно, на какой стороне мы

Speaker A

находимся, если взять поверхность с такой вот выпуклостью и впуклостью, как здесь, то на самом деле эти два искривления пространства будут одинаковыми. Если посмотреть на кривизну этого пространства, то она будет выглядеть вот так. И если мы будем ходить по этим двум областям

Speaker A

искривлённого пространства, то вести себя они тоже будут одинаково. И вот теперь, когда мы всё это знаем, можно посмотреть на поверхность ленты Мёбиуса.

Speaker A

Тут интересно то, что обе стороны выглядят как зеркальные отражения друг друга. И когда мы переходим на другую сторону, это выглядит так, как будто мы превращаемся в своё зеркальное отражение. Но чтобы нормально ходить по этой стороне ленты Мёбиуса, а не

Speaker A

проходить через её край, я решил поставить по бокам стенки. А ещё добавил такую вот синюю стрелочку. И в данный момент она направлена вверх. Но когда я перехожу на обратную сторону этой одной стороны ленты Мёбиуса, странно, но стрелочка всё ещё направлена вверх. Я

Speaker A

ожидал, что она будет перевёрнута, но, наверное, это происходит, потому что не только стрелочка переворачивается, но и наша камера переворачивается тоже. И получается так, что эти два поворота как бы отменяют друг друга. Давайте посмотрим на кривизну этого пространства. Как видим, она немножко

Speaker A

отрицательная, но вроде она вообще должна быть нулевой, но это, скорее всего, просто погрешность, связанная с тем, как эта фигура была сгенерирована.

Speaker A

Кстати, а возможно ли создать бесконечную фигуру с отрицательной кривезной? У такого вот седла отрицательная кривизна, но оно не бесконечное. Его можно попытаться расширить, но оказывается, если мы сделаем достаточно большой участок гиперболической плоскости, то он просто не поместится в трёхмерное пространство

Speaker A

без самопересечений. Так что опять тут бы нам понадобилось четырёхмерное пространство, так же как и с бутылкой Клейна и Тором Клиффорда. Но мы можем в трёхмерном пространстве сделать что-то достаточно близкое. На самом деле фигура, которая нам нужна, была в этом

Speaker A

видео всё это время. Посмотрите на паттерн полу. Если я сдвину пол вверх или вниз, паттерн меняется. Чтобы его генерировать, я просто беру sin x + sin y + sin z. И если результат получается больше нуля, то я рисую светлый цвет, а

Speaker A

иначе рисую тёмный цвет. Давайте по этой же самой формуле попробуем сгенерировать поверхность. И вот так она выглядит в 3D.

Speaker A

А ещё она интересно выглядит, если разрезать её пополам и посмотреть с некоторого расстояния. Похоже на далёкие земли из Майнкрафта.

Speaker A

Ну а с точки зрения стрелочки, которая движется по всей этой поверхности, это будет выглядеть вот так. На самом деле кривезна этой поверхности не постоянно отрицательная. Иногда она приближается к нулю, а в некоторых отдельных точках даже достигает нуля. Но если не считать

Speaker A

эти точки, то это бесконечное пространство с отрицательной кривезной. А ещё можно немного поменять формулу этой поверхности, и тогда мы получим фигуру, которая называется героид. Она вся состоит из таких вот закручивающихся спиралей, но с точки зрения нашей стрелочки между этими пространствами нет

Speaker A

какой-то сильно заметной разницы, но в 3D такая фигура выглядит, наверное, интереснее. Добавьте, кстати, мою игру в вишлист. Подписывайтесь на Telegram-канал, ставьте лайки и всем пока.

Speaker A

[музыка]

Topics:двумерное пространствоискривлённое пространствочервоточинасимуляция2D порталыгеометрия торалента Мёбиусазнаковые функции расстоянийвизуализация светаигровая физика

Frequently Asked Questions

Как двумерное существо видит червоточину в своём пространстве?

Для двумерного существа червоточина не выглядит как туннель, как для нас, а воспринимается иначе из-за особенностей двумерной поверхности и искривления пространства.

Почему в замкнутом пространстве появляются повторяющиеся изображения объектов?

Потому что свет и объекты движутся по замкнутой поверхности, например, сферы, лучи света могут обогнуть пространство и вернуться к наблюдателю, создавая эффект повторений.

Как симуляция помогает понять движение света в искривлённом пространстве?

Используя знаковые функции расстояний, симуляция рассчитывает нормали поверхности и проецирует лучи света, что позволяет моделировать их движение по сложным двумерным поверхностям.

Get More with the Söz AI App

Transcribe recordings, audio files, and YouTube videos — with AI summaries, speaker detection, and unlimited transcriptions.

App Store Google Play

Or transcribe another YouTube video here →