Skip to content

3 PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI

Film wyjaśnia paradoksy nieskończoności, pokazując różne typy nieskończonych zbiorów i ich właściwości matematyczne.

Ask about this video. Answers come from its transcript only — with the timestamp, so you can check them.

Generated from the transcript and can be wrong — check the timestamp.

Key Takeaways

  • Nieskończoność nie jest jednorodna – istnieją różne typy nieskończoności o różnej mocy.
  • Zbiory przeliczalne, takie jak liczby naturalne, parzyste, całkowite i wymierne, mają tę samą moc nieskończoności.
  • Argument diagonalny Cantora dowodzi istnienia większej nieskończoności niż moc liczb naturalnych.
  • Bijekcja jest kluczowym narzędziem do porównywania mocy zbiorów nieskończonych.
  • Paradoksy nieskończoności, takie jak hotel Hilberta, pomagają intuicyjnie zrozumieć właściwości nieskończonych zbiorów.

What the video covers

  • Wprowadzenie do pojęcia nieskończoności i przykładów nieskończonych zbiorów, takich jak liczby naturalne i parzyste.
  • Omówienie paradoksów związanych z różnymi nieskończonościami, np. hotel Hilberta z nieskończoną liczbą pokoi i gości.
  • Przedstawienie metod zakwaterowania nieskończonej liczby gości, nawet gdy przyjeżdża nieskończenie wiele autobusów z gośćmi.
  • Wyjaśnienie pojęcia bijekcji jako funkcji odwzorowującej elementy jednego zbioru na drugi bez pozostawiania elementów bez pary.
  • Dowód, że zbiory liczb parzystych, całkowitych i wymiernych są przeliczalne i mają tę samą moc co zbiór liczb naturalnych.
  • Wprowadzenie argumentu diagonalnego Cantora, który pokazuje istnienie większej nieskończoności niż moc liczb naturalnych.
  • Omówienie równoliczności figur geometrycznych, takich jak odcinek, półokrąg, płaszczyzna i przestrzeń n-wymiarowa.
  • Prezentacja twierdzenia Cantora-Bernsteina dotyczącego równoliczności zbiorów i ich podzbiorów.
  • Dyskusja o mocy continuum i zbiorach potęgowych oraz sprzeczności wynikającej z założeń dotyczących ich elementów.
  • Podsumowanie, że istnieją różne poziomy nieskończoności i ich właściwości matematyczne są zaskakujące i nieliniowe.

Chapters

  1. 00:00Wprowadzenie do nieskończoności i przykładów zbiorów nieskończonych
  2. 01:22Paradoks hotelu Hilberta i zakwaterowanie nowych gości
  3. 02:28Dodawanie skończonej i nieskończonej liczby gości do hotelu
  4. 03:37Zakwaterowanie nieskończonej liczby gości z autobusów
  5. 04:26Podział pokoi na zbiory o potęgach liczb pierwszych
  6. 05:32Pojęcie bijekcji i równoliczności zbiorów
  7. 06:47Przykłady funkcji bijekcyjnych i ich własności
  8. 08:07Własności zbiorów przeliczalnych i ich sumy
  9. 09:28Dowody przeliczalności liczb całkowitych i wymiernych
  10. 10:28Argument diagonalny Cantora i moc continuum

Answers

Questions about this video

Czym jest paradoks hotelu Hilberta?

Paradoks hotelu Hilberta to myślowy eksperyment pokazujący, że hotel z nieskończoną liczbą pokoi może pomieścić nowych gości nawet, gdy jest całkowicie zapełniony, poprzez przesuwanie obecnych gości do innych pokoi.

Co to jest bijekcja i dlaczego jest ważna w teorii nieskończoności?

Bijekcja to funkcja, która przyporządkowuje każdemu elementowi jednego zbioru dokładnie jeden element drugiego zbioru, bez pozostawiania elementów bez pary. Pozwala to porównać moc dwóch zbiorów i stwierdzić, czy mają tę samą liczność.

Jak argument diagonalny Cantora pokazuje różne poziomy nieskończoności?

Argument diagonalny Cantora dowodzi, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc niż zbiór liczb naturalnych, co oznacza istnienie różnych poziomów nieskończoności, a nie tylko jednej nieskończoności.

Full Transcript — Download SRT & Markdown

00:00
Speaker A
Każdy z was doskonale rozumie, czym jest nieskończoność. Jeśli poproszę was o przykład nieskończonego zbioru, bez trudu podacie jeden. Na przykład zbiór liczb naturalnych albo liczb parzystych. Sam pomysł, że coś może się nigdy nie kończyć jest dość intuicyjny.
00:20
Speaker A
Ale co jeśli spojrzymy trochę głębiej i spróbujemy poszukać związku między tymi nieskończonościami? Przyjrzyjmy się zbiorom liczb naturalnych i parzystych. Oba są nieskończenie duże, ale intuicja podpowiada nam, że liczb naturalnych powinno być dwa razy więcej. A jeśli to prawda, musimy uznać absurdalny fakt, że
00:43
Speaker A
jedna nieskończoność może być większa od drugiej. Ale jeśli powiemy, że te dwa zbiory są sobie równe, to też brzmi absurdalnie.
00:54
Speaker A
W obu przypadkach pojawia się paradoks. Albo tylko nam się tak wydaje. Po raz pierwszy ten eksperyment myślowy został zaproponowany przez jednego z największych matematyków XX wieku, Davida Hilberta.
01:14
Speaker A
Wyobraźmy sobie hotel z nieskończoną liczbą pokoi, z których każdy ma swój numer od jeden do nieskończoności.
01:22
Speaker A
Ale nawet taki hotel jest całkowicie zapełniony gośćmi, z których każdy zajmuje swój własny pokój. Późnym wieczorem do recepcji przychodzi nowy gość i pyta, czy znajdzie się dla mnie pokój.
01:37
Speaker A
Recepcjonista najpierw się zastanawia. Przecież wszystkie pokoje są zajęte. Ale potem wpada mu do głowy pomysł, choć będzie musiał nieco przesunąć obecnych gości. prosi gościa z pokoju numer 1, by go opuścił i przeniósł się do pokoju numer 2. A w tym pokoju zamieszka nasz
01:57
Speaker A
nowy gość. Gościa z pokoju numer 2 prosimy, by przeniósł się do pokoju numer 3, a tego z trójki do pokoju numer 4 i tak dalej.
02:09
Speaker A
W ten sposób, mimo że wszystkie pokoje były zajęte, udało się znaleźć miejsce dla nowego gościa i nikt nie został bez pokoju.
02:19
Speaker A
Nawet jeśli do hotelu przyjedzie 10 nowych gości, stosując tę samą metodę, uda się dla każdego znaleźć miejsce.
02:28
Speaker A
Teraz staje się oczywiste, że do nieskończoności można dodać dowolną liczbę skończoną i ona się nie zmieni.
02:37
Speaker A
Ale wyobraźmy sobie coś jeszcze bardziej niezwykłego niż nasze dotychczasowe rozważania. Do hotelu podjeżdża autobus z nieskończoną liczbą nowych gości i przed recepcjonistą staje zadanie wszystkich zakwaterować.
02:56
Speaker A
Tym razem nasza wcześniejsza metoda nie wystarczy. Wtedy jakby zabieraliśmy tylko małą część nieskończoności, więc ona na tym nie cierpiała. Ale teraz musimy oderwać od nieskończoności drugą nieskończoność.
03:11
Speaker A
i intuicyjnie wydaje się, że jej nie starczy. A co jeśli spróbujemy podzielić nasze nieskończone zbioru pokoi na dwie nieskończone grupy? Możemy przecież podzielić wszystkie pokoje na parzyste i nieparzyste.
03:28
Speaker A
Niech wszyscy obecni goście przeniosą się do pokoi o numerach parzystych, a nowych gości zakwaterujemy w nieparzystych.
03:37
Speaker A
W ten sposób, mimo że przyjechała cała nieskończona grupa, znów udało się wszystkich zakwaterować. Gotowi na jeszcze większe szaleństwo?
03:48
Speaker A
Teraz do hotelu podjeżdża nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą nowych gości w każdym z nich.
03:56
Speaker A
Recepcjonista był zszokowany tym nowym zadaniem. Musi znaleźć nieskończoną liczbę nieskończonych zbiorów. w jednym nieskończonym zbiorze pokoi.
04:07
Speaker A
Na szczęście zna się trochę na liczbach pierwszych i wie, że jest ich również nieskończenie wiele.
04:15
Speaker A
Dzięki ich potęgom możemy podzielić nieskończoność na nieskończoną liczbę nieskończonych zbiorów i zagwarantować, że żaden element się nie powtórzy.
04:26
Speaker A
Spójrzcie, potęg liczby 2 jest nieskończenie wiele i żaden z tych numerów nie pojawi się w innym zbiorze, ponieważ nie ma wspólnych dzielników z żadną potęgą innej liczby pierwszej.
04:40
Speaker A
W ten sposób możemy zakwaterować wszystkich gości. Ci, którzy już mieszkają w hotelu, trafią do pokoi o numerach będących potęgami liczby 2.
04:50
Speaker A
Goście z pierwszego autobusu do potęg liczby trzy, z drugiego do potęg liczby 5 i tak dalej.
04:59
Speaker A
Czyż to niezdumiewające? Nieskończona suma nieskończoności to wciąż ta sama nieskończoność. [Muzyka] Zanim przejdziemy do porównywania zbiorów nieskończonych, przyjrzyjmy się pojęciu biekcji.
05:18
Speaker A
Aby zrozumieć, że dwa zbiory mają taką samą liczność, czyli zawierają tyle samo elementów, musimy przyporządkować każdy element pierwszego zbioru elementowi drugiego zbioru.
05:32
Speaker A
Jeśli żaden element nie zostanie bez pary, to te dwa zbiory są równoliczne. Funkcja przyporządkowująca elementy jednego zbioru elementom drugiego zbioru nazywa się bijekcją.
05:45
Speaker A
Spróbujmy teraz udowodnić, że liczb parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych. Wystarczy ponumerować wszystkie liczby parzyste i zobaczyć, że każdej z nich odpowiada liczba ze zbioru liczb naturalnych.
06:01
Speaker A
Dokładnie to samo możemy zrobić z liczbami pierwszymi. Takie zbiory, które są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnymi, a taka nieskończoność oznaczana jest symbolem ale w zero.
06:18
Speaker A
Kiedy do naszego hotelu przyszedł dodatkowy gość, również stworzyliśmy bijekcje między zbiorem numerów pokoi a zbiorem gości.
06:28
Speaker A
Biekcje można też przedstawić jako funkcję. W tym przypadku wygląda ona tak. f( n = n + 1. Przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom, aby w pełni zrozumieć pojęcie biekcji. Na przykład funkcja x do tr też jest biekcją.
06:47
Speaker A
Każdemu x odpowiada dokładnie jedna wartość funkcji. Natomiast funkcja x do kwiekcją. ponieważ dla jednej wartości funkcji istnieją dwie różne wartości, ale to łatwo naprawić. Wystarczy rozważać tylko pierwszą ćwiartkę układów współrzędnych.
07:09
Speaker A
[Muzyka] Na przykładzie Grand Hotelu możemy wyprowadzić podstawowe własności zbiorów przeliczalnych. Zbiór przeliczalny plus zbiór skończony, na przykład jeden gość albo 10, jak w przykładzie z hotelem daje w wyniku nadal zbiór przeliczalny.
07:29
Speaker A
Zbiór przeliczalny plus zbiór przeliczalny to również zbiór przeliczalny. Przypomnijmy sobie autobus z nieskończoną liczbą gości. Zbiór przeliczalny plus zbiór przeliczalny zbiorów przeliczalnych również jest zbiorem przeliczalnym.
07:48
Speaker A
Na podstawie tych własności można udowodnić jeszcze jeden zaskakujący fakt. Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
07:59
Speaker A
Wszystkie liczby całkowite wyglądają tak. Po lewej stronie widać wszystkie liczby naturalne, ale ze znakiem minus.
08:07
Speaker A
Po prawej zbiór liczb naturalnych, a zero to zbiór skończony. Zbiór przeliczalny plus zbiór przeliczalny plus zbiór skończony daje w sumie zbiór przeliczalny.
08:21
Speaker A
Jeśli taki dowód cię nie przekonuje, możemy zbudować biekcję. Po prostu ustawiamy na przemiennie wszystkie liczby całkowite ze znakami przeciwnymi i numerujemy.
08:34
Speaker A
A teraz spróbujmy udowodnić, że ułamki są również zbiorem policzalnym. Zapiszmy wiersze z takimi samymi mianownikami i licznikami będącymi liczbami naturalnymi.
08:46
Speaker A
To bardzo przypomina sytuację, gdy pod nasz hotel przyjechało nieskończenie wiele autobusów z nieskończenie wieloma gośćmi. Zarówno w wierszach, jak i w kolumnach mamy zbiory przeliczalne, a to nic innego jak suma zbiorów przeliczalnych przeliczalną liczbę razy.
09:06
Speaker A
Okazuje się więc, że zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Jeśli chcesz spróbować samemu zbudować biekcje, zatrzymaj film i zastanów się chwilę. Ale pamiętaj, wśród naszych ułamków pojawiają się również identyczne liczby zapisane w różnych postaciach.
09:28
Speaker A
Po tych rozważaniach mogło ci się wydawać, że istnieje tylko jedna nieskończoność i że trzeba tylko znaleźć sprytny sposób, by ponumerować wszystkie elementy danego zbioru.
09:41
Speaker A
[Muzyka] Wróćmy do naszego hotelu. Podczas gdy zajmowaliśmy się zbiorami przeliczalnymi, niektórzy goście już zdążyli się wyprowadzić. Szef dał administratorowi zadanie. zaznaczyć pokoje, w których gość jest jedynką, a te, które są wolne, zerem.
10:04
Speaker A
Po nieskończenie długiej pracy administrator otrzymał taki ciąg. Szefowi bardzo spodobał się ten pomysł i postanowił zatrudnić nieskończoną liczbę administratorów, by ci spisali wszystkie możliwe wariacje takich ciągów, czyli wszystkie możliwe sposoby rozmieszczenia gości.
10:24
Speaker A
Nadchodzi dzień oddania pracy. Każdy administrator przedstawia swój ciąg, ale szef jest niezadowolony. Jest pewien, że znalazł ciąg, którego nie ma na liście. Ale jak to możliwe?
10:39
Speaker A
Wydaje się, że administratorzy wypisali wszystkie możliwe ciągi. Najpierw szef spojrzał na pierwszą cyfrę pierwszego ciągu i zamiast niej zapisał sobie w notatniku cyfrę przeciwną. W drugim ciągu spojrzał na drugą cyfrę, to było zero, więc zapisał jeden. W trzecim
10:59
Speaker A
ciągu trzecia cyfra to jeden, więc zapisał zero. W ten sam sposób postąpił ze wszystkimi kolejnymi ciągami.
11:08
Speaker A
Szef twierdzi, że tego ciągu nie ma na liście. Sprawdźmy to. Ciąg szefa nie może być taki sam jak pierwszy, bo pierwsza cyfra się różni. Nie może być taki sam jak drugi, druga cyfra inna. W trzecim ciągu różni się trzecią cyfrą, w czwartym
11:25
Speaker A
czwartą i tak dalej. Ciąg szefa zawsze różni się od każdego ciągu z listy przynajmniej jedną cyfrą.
11:34
Speaker A
Czy już się domyślacie, co właśnie udowodniliśmy? A jeśli dopiszemy zero z przecinkiem przed każdym ciągiem, okazuje się, że liczby między zerem a jedynką jest więcej niż wszystkich liczb naturalnych.
11:49
Speaker A
Kiedy próbowaliśmy je wypisać, próbowaliśmy zbudować bijekcje między liczbami naturalnymi, a tymi z naszego ciągu. A fakt, że zawsze znajdzie się jakaś liczba nieprzyporządkowana dowodzi, że takich liczb jest więcej niż naturalnych.
12:07
Speaker A
To, co właśnie zastosowaliśmy, to argument diagonalny kantora. Użył go, by udowodnić, że liczb naturalnych jest mniej niż rzeczywistych. Wszystkie te rozważania dowodzą, że jedna nieskończoność może być większa od drugiej. Ten poziom nieskończoności nazywa się continuum, a zbiór tej mocy
12:27
Speaker A
nazywany jest nieprzeliczalnym. Zanurzmy się teraz głębiej w zbiory nieprzeliczalne i rozważmy kilka przykładów. Weźmy odcinek o długości 1 i odcinek o długości trzy. Jak myślicie, czy zbiór ich punktów jest równoliczny?
12:47
Speaker A
Weźmy punkt, który będzie wierzchołkiem trójkąta, gdzie podstawą będzie większy odcinek, a jego ramiona przechodzić będą przez końce mniejszego odcinka.
12:58
Speaker A
Z animacji dobrze widać, że każdemu punktowi z większego odcinka odpowiada punkt z mniejszego. A co z przedziałem otwartym? Po prostu dopisać do zbioru 0 i 1 na wzór mieszkańców hotelu się nie uda. Byłoby to równoznaczne z ponumerowaniem każdego
13:17
Speaker A
elementu. A jak wiemy w zbiorach nieprzeliczalnych to niemożliwe. Ale co jeśli wyodrębnimy w nim zbiór przeliczalny, na przykład ułamki? Między nimi biekcja istnieje, więc bez trudu dopiszemy 0 i 1, a wszystkie pozostałe punkty możemy po prostu przypisać samym
13:37
Speaker A
sobie. Teraz spróbujmy udowodnić, że przedział jest równoliczny z prostą. Weźmy półokrąg z wyciętymi punktami na końcach. Z jego środka poprowadźmy promienie do prostej. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, każdemu punktowi na półokręgu możemy przypisać dokładnie jeden punkt na prostej.
13:59
Speaker A
Z animacji widać, że im bliżej końca półokręgu się znajdujemy, tym dalej leży odpowiadający mu punkt na prostej. W ten sposób uda się przypisać wszystkie punkty przedziału punktom na prostej.
14:13
Speaker A
Przejdźmy teraz z obiektów jednowymiarowych do dwuwymiarowych i spróbujmy udowodnić ich równoliczność. Zacznijmy od dwóch kół. Promień pierwszego jest dwa razy większy od drugiego. Jak udowodnić ich równoliczność?
14:29
Speaker A
Weźmy okrąg wewnątrz mniejszego koła i powiększmy go dwukrotnie. Dzięki metodzie, którą dziś już kilkukrotnie stosowaliśmy, wiemy, że są równoliczne.
14:40
Speaker A
Zatem możemy wziąć wszystkie takie okręgi w mniejszym kole, powiększyć je dwukrotnie i w pełni nimi wypełnić większe koło.
14:50
Speaker A
Skoro wszystkie figury dwuwymiarowe są ze sobą równoliczne, może podobnie jak z figurami jednowymiarowymi, uda się udowodnić, że płaszczyzna również ma tę samą moc.
15:03
Speaker A
Na początek udowodnijmy, że zbiór pustej półsfery jest równoliczny ze zbiorem koła. To dość proste. Na animacji wyraźnie widać, że prowadząc prostopadłe linie z punktów półsfery do punktów koła, można zauważyć, że każdemu punktowi półsfery odpowiada dokładnie jeden punkt koła. A teraz podobnie jak
15:26
Speaker A
wcześniej przekształciliśmy półokrąg w prostą, możemy przypisać każdemu punktowi półsfery jeden punkt płaszczyzny. Podsumujmy. Udowodniliśmy, że odcinek jest równoliczny z przedziałem, przedział z prostą, a figury dwuwymiarowe z płaszczyzną. A jaka jest relacja między figurami jedno a dwuwymiarowymi?
15:54
Speaker A
Wiemy, że odcinek ma moc nieprzeliczalną, a jaką moc ma kwadrat? Na pierwszy rzut oka wydaje się, że większą niż odcinek.
16:03
Speaker A
Continuum to przecież dużo, ale kontinuum do kwadratu to musi być więcej. W tym momencie przyda nam się bardzo potężna broń, która pozwoli nam obejść potrzebę konstruowania bijekcji.
16:16
Speaker A
[Muzyka] Jeśli zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B, a B jest równoliczny z pewnym podzbiorem A, to zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B.
16:32
Speaker A
Zatem mamy zbiór A, który jest równoliczny z B1 i mamy zbiór B. który jest równoliczny z A1. Z twierdzenia kantora Bernsteina wynika, że te zbiory są równoliczne.
16:48
Speaker A
Spróbujmy teraz udowodnić to twierdzenie. Jeśli trochę uprościć, wystarczy udowodnić, że zbiór A jest równoliczny ze swoim podzbiorem A1, który z kolei jest równoliczny ze zbiorem B.
17:02
Speaker A
Jeśli zgodnie z pewną regułą przypisaliśmy wszystkie elementy zbioru B do zbioru A1, to B1 według tej samej reguły może przypisać swoje elementy do zbioru A2.
17:17
Speaker A
Więc zbiór A jest równoliczny z B1, a B1 jest równoliczny z A2. Teraz możemy pozbyć się drugiego zbioru.
17:26
Speaker A
Musimy teraz tylko udowodnić, że jeśli a jest równoliczny z a2, to a jest równoliczny z a1.
17:35
Speaker A
Skoro a jest równoliczny z a2, to na tej samej zasadzie a1 jest równoliczny z a3.
17:42
Speaker A
W ten sposób możemy kontynuować ten łańcuch. Jak możecie zauważyć, wszystkie zbiory o parzystych indeksach są równoliczne ze sobą. Podobnie jak zbiory o nieparzystych indeksach.
17:56
Speaker A
Teraz powstały nam pierścienie, nazwijmy je C0, C1, C2, C3 i tak dalej. Zobaczmy teraz z czego składają się te pierścienie. C0 to A bez A1, C2 to A2 - A3. Wszystkie one są zbudowane według schematu. Zbiór parzysty minus zbiór
18:18
Speaker A
nieparzysty. Ale przecież wiemy, że wszystkie parzyste i nieparzyste A są ze sobą równoliczne, a więc również wszystkie pierścienie o parzystych indeksach są równoliczne.
18:31
Speaker A
Pozostaje nam tylko zobaczyć, z czego składa się zbiór A i zbiór A1. Wszystkie pierścienie o parzystych indeksach są równoliczne.
18:42
Speaker A
Możemy je przypisać sobie nawzajem w ten sposób. A wszystkie nieparzyste po prostu przypiszemy je same sobie.
18:50
Speaker A
To wszystko. Właśnie udowodniliśmy twierdzenie kantora Bernsteina, dzięki któremu nie musimy już szukać skomplikowanych biekcji.
18:59
Speaker A
Zastosujmy je w praktyce. Teraz, aby udowodnić, że jedna figura jest równoliczna z drugą, nie musimy przypisywać sobie wszystkich punktów.
19:09
Speaker A
Wystarczy pomniejszyć jedną z nich i umieścić w drugiej, a potem zrobić to samo z drugą.
19:15
Speaker A
stwierdzenia Kantora Bernsteina wynika, że figury są równoliczne. Wróćmy teraz do kwadratu i odcinka. To, że odcinek jest pod zbiorem kwadratu jest oczywiste, ale jak upchnąć kwadrat w odcinek?
19:33
Speaker A
Kantor wymyślił coś naprawdę genialnego. Weźmy dowolny punkt na kwadracie. na przykład 0,256 i 0,815.
19:45
Speaker A
I potasujmy je w ten sposób po prostu na przemian biorąc cyfry z x i y. Otrzymany punkt będzie naszym współrzędnym na odcinku.
19:56
Speaker A
Ale co zrobić z punktami leżącymi na krawędziach kwadratu? Przed przecinkiem mają jedynkę, więc po zastosowaniu przetasowania nie unikniemy powtórzeń. W rzeczywistości możemy po prostu pomniejszyć kwadrat. Przecież wiemy, że wszystkie kwadraty są ze sobą równoliczne.
20:15
Speaker A
I to wszystko. Teraz udało się umieścić wszystkie punkty kwadratu w odcinku. Zatem duży kwadrat jest równoliczny z małym, a mały z odcinkiem.
20:28
Speaker A
[Muzyka] A więc ustaliliśmy, że przestrzeń jednowymiarowa ma moc continue i doszliśmy do wniosku, że płaszczyzna ma dokładnie tę samą moc. W rzeczywistości nawet każda przestrzeń trójwymiarowa ma moc continuum. Co tu dużo mówić, nawet przestrzeń nwymiarowa będzie miała tę
20:50
Speaker A
samą moc. Na podstawie tego wszystkiego mogło się wam wydawać, że kontynuum to największa nieskończoność, a jednak nie. Twierdzenie kantora udowadnia istnienie jeszcze większych nieskończoności.
21:06
Speaker A
Rozważmy zbiór złożony z dwóch elementów. Zbiorem potęgowym tego zbioru nazywa się zbiór wszystkich jego podzbiorów.
21:15
Speaker A
Oczywiste jest, że liczba elementów w zbiorze potęgowym jest dużo większa niż w samym zbiorze.
21:22
Speaker A
Weźmy teraz zbiór złożony z trzech elementów. Tutaj jeszcze wyraźniej widać, że liczba elementów w zbiorze potęgowym rośnie szybciej niż liczba elementów w pierwotnym zbiorze.
21:36
Speaker A
A co z nieskończonością? Można by pomyśleć, że i tutaj uda się udowodnić, że zbiór potęgowy zbioru nieskończonego ma moc co najwyżej kontynuum.
21:48
Speaker A
Ale nie. Twierdzenie kantora mówi, że zbiór potęgowy zbioru nieskończonego ma większą moc. Weźmy nieskończony zbiór i jego zbiór potęgowy.
22:01
Speaker A
Gdyby były równoliczne, to musiałaby istnieć między nimi bijekcja. Patrząc na ten przykład można zauważyć, że niektóre elementy należą do swoich obrazów, a niektóre nie. Jedynka należy do swojego obrazu, a dwójka i trójka nie.
22:21
Speaker A
Rozważmy zbiór wszystkich takich elementów, które nie należą do swoich obrazów i nazwijmy go C.
22:28
Speaker A
W naszym przykładzie liczby 2 i 3 należą właśnie do tego zbioru. A wiecie co jeszcze można powiedzieć o tym zbiorze? Jest on pod zbiorem zbioru pierwotnego, a więc również należy do jego zbioru potęgowego.
22:44
Speaker A
W takim razie w zbiorze pierwotnym musi istnieć element, który odpowiada zbiorowi C. Pozostaje tylko ustalić, czy A należy do zbioru C. Stop. Ale zbiór C składa się z elementów, które nie należą do swoich obrazów. Sprzeczność.
23:05
Speaker A
To może A jednak nie należy do zbioru C, ale wtedy znów problem. A powinien należeć, skoro C zawiera wszystkie takie elementy. Znowu sprzeczność.
23:17
Speaker A
Skoro więc nie da się utworzyć bijekcji, to zbiór potęgowy jest większy niż zbiór pierwotny.
23:25
Speaker A
Zbiór potęgowy continuum to zbiór większy niż samo continuum, a zbiór potęgowy zbioru potęgowego continuum jest jeszcze większy.
23:38
Speaker A
Rozumiecie już do czego doszliśmy. Istnieje nieskończona ilość nieskończoności, jedna większa od drugiej. Dzięki za oglądanie. Mam nadzieję, że udało mi się zmotywować kogoś z was, by zgłębić teorię zbiorów i poznać nieskończoność jeszcze lepiej.
24:03
Speaker A
Yeah.
Topics:nieskończonośćparadoksy nieskończonościhotel Hilbertabijeckjaliczby naturalneliczby wymierneargument diagonalny Cantoramoc continuumzbiory przeliczalnematematyka nieskończoności

Get More with the SozAI App

Transcribe recordings, audio files, and YouTube videos — with AI summaries, speaker detection, and unlimited transcriptions.

App Store Google Play
Or transcribe another YouTube video here →

Free tools: TXT to SRT · SRT Validator · Merge SRT · Subtitle to Text · All tools

Related Transcripts

View All
ZERO PRESJI SHOW #8 – Ruciński, Sikora, Piasecka, Domag… — Transcript1:11:25
ZERO PRESJI SHOW #8 – Ruciński, Sikora, Piasecka, Domag… — Transcript
Kanał Komediowy
8,535 1 Polish
Weekend w Paryżu… a wygrała polska praktyczność 😏🇫🇷 #sh… — Transcript0:56
Weekend w Paryżu… a wygrała polska praktyczność 😏🇫🇷 #sh… — Transcript
szymon kusarek
46 1 Polish
Bartosz Kopczyński: Prezydent służy tym, którzy chcą Po… — Transcript33:37
Bartosz Kopczyński: Prezydent służy tym, którzy chcą Po… — Transcript
Stanisław Krajski PL
4,089 1 Polish
Rymanowski, Lisicki: Chrześcijańscy syjoniści w obronie… — Transcript1:43:04
Rymanowski, Lisicki: Chrześcijańscy syjoniści w obronie… — Transcript
Rymanowski Live
14,965 1 Polish
Paweł Lisicki: Spór między Bractwem a Watykanem jest is… — Transcript27:22
Paweł Lisicki: Spór między Bractwem a Watykanem jest is… — Transcript
Radio WNET
3,782 1 Polish
BARTOSZ MŁYNARSKI – ”Swój chłop” | Stand-up | 2025 — Transcript10:15
BARTOSZ MŁYNARSKI – ”Swój chłop” | Stand-up | 2025 — Transcript
Stand-up Polska
504 1 Polish
Marian Rejewski on… Polish-British cooperation on Eni… — Transcript1:12
Marian Rejewski on… Polish-British cooperation on Eni… — Transcript
Polish Embassy UK
85 1 Polish
ZERO PRESJI SHOW #7 – Ruciński, Sikora, Piasecka, Domag… — Transcript1:12:19
ZERO PRESJI SHOW #7 – Ruciński, Sikora, Piasecka, Domag… — Transcript
Kanał Komediowy
8,737 1 Polish
ZERO PRESJI SHOW S4E10 – Ruciński, Sikora, Krajewski, W… — Transcript48:50
ZERO PRESJI SHOW S4E10 – Ruciński, Sikora, Krajewski, W… — Transcript
Kanał Komediowy
4,990 1 Polish
ZERO PRESJI #10: RUCINSKI, SIKORA, HUCZ, JURKOWSKI – GF… — Transcript1:32:59
ZERO PRESJI #10: RUCINSKI, SIKORA, HUCZ, JURKOWSKI – GF… — Transcript
Kanał Zero
11,440 1 Polish
ZERO PRESJI #19: RUCIŃSKI, SIKORA, KAŁAMAGA, KAMIŃSKA — Transcript1:25:13
ZERO PRESJI #19: RUCIŃSKI, SIKORA, KAŁAMAGA, KAMIŃSKA — Transcript
Kanał Zero
10,896 1 Polish
ZERO PRESJI SHOW #5 – Ruciński, Sikora, Lotek, Zola, Te… — Transcript1:03:48
ZERO PRESJI SHOW #5 – Ruciński, Sikora, Lotek, Zola, Te… — Transcript
Kanał Komediowy
7,421 1 Polish