Inverso multiplicativo (Recíproco) de un número real. ¿Dividir es lo mismo que multiplicar?

Hola a todos, bienvenidos a un nuevo video de simplemente.

En el video de hoy vamos a ver qué es el inverso multiplicativo de un número real, también conocido como recíproco.

Y además, vamos a ver por qué decimos que dividir por un número es lo mismo que multiplicar por su inverso multiplicativo.

Comencemos.

En primer lugar, tenemos que saber que todo número real, excepto el cero, tiene su inverso multiplicativo.

Es decir, si X es un número que pertenece al conjunto de los números reales, y además es distinto de cero, entonces el inverso multiplicativo de X, que lo podemos escribir como X a la -1, va a ser 1 sobre X, es decir, 1 dividido X.

Veamos algunos ejemplos.

Si tenemos que X es igual a 3, entonces su inverso multiplicativo, que lo podemos escribir como 3 a la -1, va a ser, siguiendo la definición, 1 sobre X, que es 3, entonces nos queda que el inverso multiplicativo de 3 es 1/3.

Veamos otro ejemplo, en este caso tenemos X = -2.

Entonces, el inverso multiplicativo, que lo podemos escribir como (-2) a la -1, en este caso utilizamos los paréntesis para aclarar que el menos también está elevado a la -1.

En este caso nos quedaría, siguiendo la definición, 1 sobre X, que en este caso es -2.

Esto también lo podríamos escribir directamente como -1/2. Por tanto, el inverso multiplicativo de -2 va a ser -1/2.

Veamos por qué decimos que X tiene que ser distinto de cero.

Esto ocurre porque el cero es el único número que no tiene inverso multiplicativo.

Y lo vamos a demostrar suponiendo que X es cero.

Si consideramos que X es igual a 0, entonces su inverso multiplicativo por definición sería 1 sobre o dividido 0.

El problema de esto es que 1 dividido 0 es una operación que no tiene solución numérica.

Es una operación indefinida.

El tema de indefinido e indeterminado lo vamos a ver en próximos videos, pero por el momento tenemos que quedarnos con que como 1 dividido 0 es una operación indefinida, es decir, que no tiene solución numérica, entonces decimos que el cero es el único número que no tiene inverso multiplicativo.

Veamos ahora qué pasa si X es un número racional expresado como una fracción.

Es decir, si X es una fracción A sobre B, siendo A y B pertenecientes al conjunto de los números enteros, y B es distinto de cero, esa es la definición de fracción, entonces el inverso multiplicativo de X, que lo podemos escribir como X a la -1, en este caso va a ser A sobre B a la -1, va a ser B sobre A.

Es decir, para obtener el inverso multiplicativo de una fracción, lo que hacemos es invertir el numerador con el denominador.

Veamos algunos ejemplos.

Si X es igual a 5/4, entonces el inverso multiplicativo de 5/4, que lo podemos escribir como 5/4 a la -1, va a ser, siguiendo la definición que vimos, 4/5, lo que hacemos es intercambiar el numerador con el denominador para obtener el inverso multiplicativo.

Veamos otro ejemplo.

En este caso tenemos X = -1/3.

Entonces, el inverso multiplicativo, que también lo podemos escribir como -1/3 a la -1, va a ser, intercambiando numerador con denominador, nos quedaría -3 sobre 1.

Y en este caso, como el denominador es 1, lo podemos escribir directamente como -3.

Por tanto, el inverso multiplicativo de -1/3 es -3.

Por último, veamos un ejemplo en donde tenemos un número racional, pero en este caso escrito en forma decimal.

En estos casos, usualmente lo que se hace es escribir ese número decimal como fracción y luego obtener su inverso multiplicativo.

Es decir, en este caso nosotros al 0,75 lo podríamos escribir como 3/4.

Y luego podríamos obtener el inverso multiplicativo, como vimos antes, en el caso de las fracciones, entonces en este caso el inverso multiplicativo de X, que lo podemos escribir como X a la -1, que en este caso sería 3/4 a la -1, sería, según la definición que vimos, 4/3.

Ahora que ya sabemos cómo hallar el inverso multiplicativo de un número real, vamos a ver por qué se le llama así.

Esto se debe a que si a un número real distinto de cero, en este caso lo llamamos X, lo multiplicamos por su inverso multiplicativo, entonces el resultado final es 1. Es decir, el inverso multiplicativo es aquel número por el cual tenemos que multiplicar otro número para que el resultado final sea 1 como número positivo.

Veamos algunos ejemplos de esto.

Si tenemos que, por ejemplo, X es igual a 2, entonces su inverso multiplicativo, aplicándole lo que vimos anteriormente, su definición, va a ser 1/2.

Luego, si hacemos X por su inverso multiplicativo, que en este caso nos quedaría 2 por 1/2 y resolvemos, en este caso nos quedaría 2 sobre 2 y 2 dividido 2 es igual a 1.

De esta manera, demostramos que el inverso multiplicativo de 2 es 1/2, es decir, es aquel número que tenemos que multiplicar por 2 para que el resultado final sea 1.

Veamos otro ejemplo, en este caso tenemos X = -5 y su inverso multiplicativo, aplicando la definición que vimos, será entonces -1/5.

Luego, si hacemos X, que en este caso es -5, por su inverso multiplicativo, que en este caso es -1/5, y resolvemos, en este caso tenemos que menos por menos nos da más y nos quedaría 5 sobre 5, y luego 5 dividido 5, el resultado final es 1 como número positivo.

Por tanto, se demuestra que el inverso multiplicativo de -5 es -1/5, es aquel número que multiplicado por -5 nos da 1 como número positivo.

Teniendo todo esto en mente, ahora vamos a ver por qué se dice que dividir es lo mismo que multiplicar.

En realidad, esto se debe a que dividir por un número real distinto de cero es igual a multiplicar por su recíproco o inverso multiplicativo. Es decir, si nosotros tenemos dos números A y B que pertenecen al conjunto de los números reales, y B es distinto de cero, entonces A sobre B, es decir, A dividido B, lo podemos escribir como A multiplicado por el recíproco de B o el inverso multiplicativo.

Entonces nos quedaría A por 1 sobre B, según la definición que vimos anteriormente de inverso multiplicativo.

Veamos algunos ejemplos para demostrar esto.

Si tenemos, por ejemplo, que A es igual a 3 y B es igual a 4, entonces A sobre B sería, en este caso, 3/4.

Ahora, según lo que vimos, esto lo podemos escribir como A por el inverso de B. En este caso A por el inverso de B nos quedaría 3 por el inverso de B, en este caso B es 4 y por tanto su inverso sería 1/4. Por tanto, en este caso nos quedaría 3 por 1/4. Si resolvemos esto, nos quedaría 3/4.

Fíjense que de una manera o de la otra obtenemos el mismo resultado, por tanto, lo podemos escribir como una división y también lo podemos escribir como una multiplicación.

De esta manera, podemos notar que toda división siempre se puede escribir como una multiplicación.

Saber esto es muy importante y por eso se los menciono, porque escribir una división como una multiplicación es muy útil en determinadas ocasiones, por ejemplo, hay propiedades matemáticas que aplican en el caso de la multiplicación, pero no aplican para la división.

Muy bien, amigos, esto ha sido todo por hoy, espero que el video les haya sido útil, no se olviden de suscribirse al canal, darle me gusta al video y escribirme en los comentarios las dudas que tengan o los temas que les gustaría que veamos, muchas gracias, nos vemos en el próximo video de simplemente.