Parabola in Matematica : Cosa Bisogna Sapere ;)

Ciao ragazzi, in questo video vedremo tutto quello che è fondamentale ricordarsi per affrontare gli esercizi sulle parabole.

La prima cosa fondamentale da ricordare è che la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto fuoco e da una retta data detta direttrice.

Questo significa che, fissato un fuoco e una direttrice, tutti i punti del piano la cui distanza dal fuoco e dalla direttrice è uguale, sono i punti che stanno sulla parabola.

Per ricavare l'equazione della parabola, si ricalca proprio la definizione che abbiamo appena visto, e quello che si fa è prendere un generico punto P appartenente alla parabola di coordinate X Y e si dice che P appartiene alla parabola se e solo se la distanza del punto P dal fuoco F, che è rappresentata dalla lunghezza di questo segmento in riferimento al disegno, è uguale alla distanza del punto P dalla retta direttrice, che sarebbe la lunghezza di quest'altro segmento qui.

Se uno, dopo aver imposto questa uguaglianza, svolge i conti, è possibile dimostrare che nel caso in cui la parabola abbia l'asse di simmetria parallelo all'asse delle Y, e questo è il caso che si considera più spesso per comodità, l'equazione diventa qualcosa del tipo Y = AX^2 + BX + C, dove A, B e C sono tre coefficienti reali ed il coefficiente A deve essere diverso da zero, altrimenti si ricade non nell'equazione della retta.

Cerchiamo ora di capire in che modo i coefficienti A, B e C sono collegati al grafico della parabola: il coefficiente A è collegato direttamente con la concavità della parabola, infatti, se A è maggiore di zero, quindi per A positivi, la parabola ha la concavità verso l'alto, come in questi due casi qui, cioè ride, se volete, come uno smile felice, viceversa, se A è minore di zero, la parabola è triste, cioè più elegantemente ha la concavità verso il basso.

Inoltre, il modulo di A ha un altro significato ed è infatti direttamente collegato con l'apertura della parabola, quello che accade è che più è grande il modulo di A e più la parabola diventa chiusa, per capire meglio che cosa intendo vi ho riportato qui alcuni esempi numerici, queste sono tutte parabole con lo stesso vertice nell'origine in cui l'unica cosa che cambia è il coefficiente A, e vedete che se A passa, per esempio, da 1/2 ad 1, quindi cresce, la parabola che prima era abbastanza aperta, diventa un po' più chiusa, e se aumentiamo ancora il coefficiente A e lo facciamo diventare 2, la parabola diventa ancora più chiusa, lo stesso discorso vale per valori di A negativi, succede esattamente la stessa cosa solo che al contrario, vedete che per A = -1/2, la parabola era abbastanza aperta, mentre per A = -1, la parabola è più chiusa, infatti nel passare da -1/2 a -1, abbiamo che il modulo di A cresce e quindi la parabola diventa più chiusa.

Per quanto riguarda gli altri due coefficienti, ragazzi, si ha che il coefficiente C coincide con l'ordinata del punto in cui la parabola interseca l'asse delle Y, in altre parole, ragazzi, il coefficiente C gioca un ruolo analogo a quello del Q nella retta, cioè vi ricordate nella retta il Q, che chiamavamo intercetto o termine noto, ci diceva quando la retta sbatteva addosso all'asse delle Y, ecco qui il coefficiente C fa la stessa cosa e ci fornisce l'altezza del punto in cui abbiamo l'intersezione con l'asse delle Y.

Per quanto riguarda invece il coefficiente B, ragazzi, esso non ha un'interpretazione grafica così immediata da far vedere, però sappiate che esso è collegato alla posizione di vertice, fuoco e asse di simmetria della parabola.

Un'altra cosa fondamentale da ricordarsi, ragazzi, è il collegamento tra i descrittori geometrici della parabola, ovvero il fuoco, il vertice, la direttrice e l'asse di simmetria, e i descrittori algebrici, ovvero i parametri A, B e C che compaiono nell'equazione della parabola, quello che accade in pratica, ragazzi, è che è possibile esprimere le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco, l'equazione dell'asse di simmetria e l'equazione della direttrice in termini dei parametri A, B e C che compaiono nell'equazione della parabola, pertanto vi conviene, ragazzi, memorizzare queste formuline perché la maggior parte delle volte negli esercizi vi vengono date delle informazioni relative al fuoco, al vertice o magari alla direttrice e voi poi dovete convertire queste informazioni in qualcosa di utilizzabile all'interno di equazioni o magari sistemi, no?

E quindi dovete essere in grado di passare da informazioni di tipo geometrico a informazioni di tipo algebrico sui coefficienti A, B e C.

Un'altra cosa fondamentale da ricordare, ragazzi, è come si fa a rappresentare rapidamente una parabola, qui ci sono diversi sistemi, ma vi suggerisco quello che secondo me è il più rapido, l'idea è trovare il vertice, e per fare questo, quando è nota l'equazione, è sufficiente, no, utilizzare le formuline che abbiamo visto prima, dopodiché, una volta che uno ha il vertice, trova un altro punto a caso che non sia il vertice, ovviamente, che sta sulla parabola, e per fare questo basta che sostituite un generico valore di X, no, all'interno dell'equazione e vi trovate la corrispondente Y, e una volta che avete trovato questo punto, fate il suo simmetrico rispetto all'asse di simmetria, che vi ricordo è quella retta che passa per il vertice, no, retta verticale, e una volta che avete trovato, quindi, il simmetrico, vi trovate con il vertice più due punti, e a questo punto li unite con qualcosa che assomiglia ad una parabola, tipo così, oppure se la concavità è verso il basso, tipo così, è chiaro che mentre è facile rappresentare una retta, è molto più difficile rappresentare una parabola se dovete farlo a mani nude, diciamo, perché la parabola è un oggetto curvo e quindi tutte le volte che vi viene richiesta, no, la rappresentazione di una parabola, si sottintende che quello che dovete fare è un grafico qualitativo.

Per concludere, ragazzi, vediamo alcune piccole cosette che può essere comodo ricordarsi durante la risoluzione degli esercizi, in primis, se vi trovate in un esercizio in cui è noto il vertice, perché ve lo dicono o perché per qualche motivo riuscite a determinarlo, allora ricordatevi che l'equazione della parabola si può riscrivere in questa forma qui, come Y - la Y del vertice = al coefficiente A che moltiplica X - la X del vertice, il tutto al quadrato, e quindi se è noto il vertice, ragazzi, fate molto prima ad usare l'equazione scritta in questa forma qui, perché a quel punto l'unico parametro che avete è A, visto che la Y del vertice e la X del vertice sono note, piuttosto che non usare la forma Y = AX^2 + BX + C, dove vi compaiono tre parametri, no?

Un'altra cosa comoda da ricordare è che se la vostra parabola passa per l'origine, allora il coefficiente C deve fare zero, e questo, se ci pensate, è abbastanza facile da capire, no, perché se vi ricordate cosa rappresenta il coefficiente C, cioè l'altezza del punto addosso a cui la parabola, diciamo, intercetta l'asse Y, allora è chiaro, no, che se la parabola passa per l'origine, quindi se la parabola intercetta l'asse Y nell'origine, allora il C deve fare zero, e quindi se il C deve fare zero, voi potete usare direttamente come equazione per la parabola Y = AX^2 + BX senza aggiungere più C, perché se C è zero, aggiungere zero non ci si guadagna nulla, no?

Se poi per caso sapete che il vertice coincide con l'origine, allora siete ancora più fortunati perché ben due dei tre parametri devono essere uguali a zero, precisamente sia B che C, e quindi l'equazione della parabola diventa semplicemente Y = AX^2, infine, ricordatevi che se avete due parabole, quindi se avete le equazioni delle due parabole e volete sapere se sono congruenti, cioè in altre parole se si tratta della stessa parabola traslata o eventualmente riflessa rispetto ad un opportuno asse di simmetria, allora è sufficiente che guardate i coefficienti davanti ai termini di secondo grado, se i due coefficienti davanti ai termini di secondo grado sono uguali in modulo, cioè uguali oppure eventualmente uguali ma opposti in segno, allora le due parabole sono congruenti.

Detto questo, direi che abbiamo visto più o meno tutto quello che serve fondamentalmente sapere per risolvere la maggior parte degli esercizi sulla parabola, ci resta da analizzare come ci si deve comportare quando ci vengono date informazioni del tipo la parabola è tangente ad una certa retta oppure due parabole sono tangenti tra di loro, ma queste le vedremo in un video successivo.