Speaker A
En este video entenderemos cómo solucionar el lugar geométrico de las raíces o el rod locus aplicado a los sistemas de control.
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Speaker A
Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sergio Andrés Castaño Giraldo y te doy la bienvenida a nuestra lista de reproducción de el rod locus o el lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Donde estamos analizando el por qué se hace este estudio en los sistemas de control, cuál es la concepción que hay detrás de eso.
Speaker A
Cómo lo podemos ver en la vida real y cuál es el fundamento matemático y claro, vamos a solucionar varios ejercicios numéricos.
Speaker A
Sin embargo, es importante antes que nada entender el concepto, entender primero las nociones de dónde sale todo este background.
Speaker A
Del lugar geométrico de las raíces y para eso también he preparado varios videos teóricos.
Speaker A
Que de hecho son estos primeritos que estamos abordando aquí en la lista de reproducción y para que no te pierdas.
Speaker A
Pues te los voy a dejar todos en orden en esta lista que está saliendo aquí encima para que los puedas seguir sin ningún problema.
Speaker A
Así que vamos con nuestro tercer video de fundamentos.
Speaker A
Donde entenderemos que todo el problema lo vamos a encerrar simplemente enfocado a una solución.
Speaker A
Prácticamente geométrica utilizando los conceptos de los polinomios.
Speaker A
Comencemos.
Speaker A
Si lo deseas, puedes aumentar la velocidad del video para que hagas la explicación mucho más rápida.
Speaker A
O dinámica.
Speaker A
Estamos estudiando entonces lo que es el lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Y en los dos videos anteriores aprendimos que lo que estamos haciendo es variar un parámetro.
Speaker A
En este caso, la ganancia del controlador para que los polos que se ubican en el mapa de polos y ceros.
Speaker A
Comiencen a moverse.
Speaker A
Sin embargo, recuerda que es importante que para que estos polos de hecho se muevan.
Speaker A
Mira que tú, el sistema que estés controlando en la vida real, lo que estés automatizando.
Speaker A
Eso siempre tiene que estar en lazo cerrado.
Speaker A
Porque si no está en lazo cerrado, estos polos nunca se van a mover.
Speaker A
También vamos a ver que estos ceros siempre estarán estáticos.
Speaker A
Y veremos más adelante que los polos van a tender a buscar los ceros.
Speaker A
Y otros tienden a buscar el punto infinito.
Speaker A
Habíamos visto que el lugar geométrico de las raíces, de hecho, puede ser empleado.
Speaker A
Tanto para quien esté estudiando sistemas en tiempo continuo con la transformada de la plaza.
Speaker A
Como en tiempo discreto para quien esté estudiando la transformada Z.
Speaker A
Y es totalmente indiferente, funciona exactamente igual.
Speaker A
Y la esencia es sacar primero la ecuación característica.
Speaker A
Y llevar siempre esa ecuación característica que no deja de ser un polinomio.
Speaker A
Para escribirlo en esta forma, en la forma A más K por B.
Speaker A
Que mira que independientemente si estás en el dominio de la plaza o en la transformada Z.
Speaker A
Siempre puedes llevarlo a esa forma.
Speaker A
Y en la clase anterior hablamos un poco de los números complejos.
Speaker A
Su representación binómica, polar o angular.
Speaker A
Y habíamos hablado del argumento principal que es simplemente el ángulo principal.
Speaker A
Que tiene un número complejo.
Speaker A
Y esta anotación es importante porque es la que vamos a empezar a utilizar de aquí hasta finalizar nuestra lista de reproducción.
Speaker A
Es momento entonces de comenzar a analizar nuestro parámetro K.
Speaker A
Y en el video anterior habíamos visto que nuestra ecuación puede ser expresada en esta forma.
Speaker A
Donde habíamos visto que teníamos una parte real que simplemente es un número cualquiera.
Speaker A
Que está igualado a una parte compleja, una parte que puede tener soluciones.
Speaker A
Tanto reales como complejas conjugadas.
Speaker A
Entonces, en este caso, habíamos dicho que como estamos igualando una parte compleja.
Speaker A
Necesito igualar lo que es el módulo o simplemente aquí el R.
Speaker A
Que es expresado como la raíz cuadrada de la componente real más la componente imaginaria.
Speaker A
Ambas al cuadrado, junto con la fase o el ángulo que forma el número complejo.
Speaker A
Entonces vamos a hacer eso.
Speaker A
Primero vamos a obtener cuál es la condición del módulo.
Speaker A
En este caso, la condición del módulo siempre la expresamos como un valor absoluto.
Speaker A
Entonces mira que aquí esta razón de polinomios.
Speaker A
La expresamos en valor absoluto para indicar que vamos a extraer el módulo.
Speaker A
Simplemente vamos a extraer esa distancia del vector.
Speaker A
Es igual al valor absoluto de -1 sobre K.
Speaker A
Sin embargo, como esto es un número, es un real.
Speaker A
Entonces simplemente me queda positivo.
Speaker A
Y también necesitamos igualar las fases.
Speaker A
Porque como claro, una parte compleja.
Speaker A
Tiene tanto módulo como fase, lo veíamos aquí.
Speaker A
Tiene tanto módulo R como una fase o un ángulo que en este caso es fi.
Speaker A
Dado por un número de vueltas indeterminados que depende de P.
Speaker A
Una vuelta, dos vueltas, tres vueltas.
Speaker A
Entonces esa fase en esta serie de videos siempre la vamos a denotar con esta letra griega.
Speaker A
Con barfi, entonces siempre que diga barfi, por ejemplo, de B sobre A.
Speaker A
Simplemente estoy preguntando cuál es la fase de la división de estos polinomios.
Speaker A
La fase de B sobre A, recuerde que C simplemente la componente compleja.
Speaker A
Tú la sustituyes por S si estás trabajando con la transformada de la plaza.
Speaker A
O la sustituyes por Z si trabajas en el dominio discreto.
Speaker A
Entonces estoy igualando la fase que me dé este número con la fase que me dé el número real.
Speaker A
Y aquí va a salir lo que es nuestra condición de fase del R locus.
Speaker A
O del lugar geométrico de las raíces, la cual será muy importante.
Speaker A
Para poder construir nuestro diagrama.
Speaker A
La condición de fase siempre va a depender si nuestra ganancia es positiva o negativa.
Speaker A
Vamos a ver que dependiendo si es positiva o negativa.
Speaker A
Pues la fase me va a dar bien sea cero.
Speaker A
O me va a dar 180.
Speaker A
Y es que vamos a ver que en un sistema de control no necesariamente está acá.
Speaker A
Tiene que ser positiva.
Speaker A
Muchas veces, dependiendo de la planta, del proceso que vos querrás automatizar.
Speaker A
A veces esa propia K tiene que ser negativa.
Speaker A
Miremos que si K, en este caso, la más usual, si es positiva.
Speaker A
Entonces nosotros tenemos que garantizar que la fase cuando hagamos esta división.
Speaker A
O sea, la fase de la división de los polinomios.
Speaker A
Sí o sí me tiene que dar un múltiplo de 180.
Speaker A
Bien sea positivo o negativo, el signo no importa.
Speaker A
Y como ya vimos que esto puede dar varias vueltas.
Speaker A
Pues puede simplemente ser un múltiplo de la cantidad de vueltas que yo esté dando.
Speaker A
Pero la idea es que siempre esté más o menos apuntando hacia el lado izquierdo.
Speaker A
En este caso sería mi vector rojo.
Speaker A
Para cuando la ganancia de hecho sea positiva.
Speaker A
Tendremos otros casos para nuestro sistema de control.
Speaker A
Donde nuestra ganancia será negativa.
Speaker A
En este caso, la fase que genera la división de estos dos polinomios.
Speaker A
Siempre tendrá que ser cero o un múltiplo de cero.
Speaker A
Por ejemplo, 360.
Speaker A
Saben que básicamente si yo doy una vuelta, vuelvo y llego al mismo punto.
Speaker A
Entonces, en este caso, para ganancia positiva, estaría buscando un vector que siempre esté apuntando hacia ese lado.
Speaker A
Como lo vemos en este vector azul.
Speaker A
De la condición anterior, puedo concluir rápidamente que lo único que yo voy a necesitar conocer.
Speaker A
Para poder determinar el ángulo de fase o la condición de fase en el lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Que es importantísima, es simplemente, por ejemplo, saber.
Speaker A
Si esta K es positiva o si es negativa.
Speaker A
Yo sabiendo el signo de la K, ya sé.
Speaker A
Si necesito cumplir la condición del ángulo para 180 o -180.
Speaker A
Y si la K es negativa, ya sé que tengo que cumplir la condición de cero.
Speaker A
O un múltiplo, pues, de cero, en 360.
Speaker A
Vamos a ver que como todo parte de esta ecuación, como lo veíamos en los videos anteriores.
Speaker A
Que recuerda que está en la lista de reproducción, pero sin embargo, también es importante destacar.
Speaker A
Que esta lista aquí hace parte de los fundamentos en control.
Speaker A
Y si tú no has visto todos los videos hasta este punto, pero quieres entender todos los fundamentos y aprobar tus disciplinas de control.
Speaker A
Te lo dejo aquí en esta lista de reproducción para que empieces desde cero.
Speaker A
Entendiendo el por qué de las cosas en los sistemas de control.
Speaker A
Vamos a ver que todo ese problema del lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Yo simplemente lo puedo transformar en un simple problema geométrico.
Speaker A
En este caso, hasta este punto y espero que no hayan dudas.
Speaker A
Nosotros tenemos dos polinomios, el polinomio B que va a tener los ceros del sistema.
Speaker A
Y el polinomio A que va a tener los polos.
Speaker A
Y en forma polinómica, nosotros podríamos verlos de forma general como lo siguiente.
Speaker A
Digamos que yo tengo un polinomio B donde tengo varias raíces.
Speaker A
Vamos a expresar las raíces explícitamente.
Speaker A
Donde yo las pueda ver, entonces digamos que tengo aquí, recuerde que C es la variable compleja.
Speaker A
Entonces, por ejemplo, tengo una raíz Z1 o un 01, una raíz Z2 o un 02.
Speaker A
Así sucesivamente hasta un 0 a la M.
Speaker A
Digamos que tengo M raíces o M ceros.
Speaker A
Porque estamos hablando del polinomio B.
Speaker A
Si lo llevamos más a la teoría del control, mire que si usted está trabajando en tiempo continuo.
Speaker A
Simplemente sustituya la C por S, S - Z1, S - Z2.
Speaker A
Así sucesivamente, pero si tú trabajas en tiempo discreto.
Speaker A
Solo sustituye a la C por Z.
Speaker A
Mira que no cambian absolutamente nada.
Speaker A
Trabajar en un dominio en otro va a ser exactamente lo mismo.
Speaker A
Solo cambia el análisis más adelante cuando finalicemos la construcción del lugar de la raíz.
Speaker A
Entonces aquí vamos a ver que vamos a tener M ceros.
Speaker A
Y ese M me va a establecer a mí el orden del polinomio B.
Speaker A
De la misma manera, pues yo puedo tener mi polinomio A en su variable compleja.
Speaker A
Donde tengo un polo 1, un polo 2, un polo 3.
Speaker A
Tengo N polos.
Speaker A
Y nuevamente yo lo puedo expresar si estoy en tiempo continuo.
Speaker A
Lo transformo a la transformada de la plaza, S - P1, S - P2.
Speaker A
Y en transformada Z sería Z - P1, Z - P2.
Speaker A
Y mire que siempre vamos hasta la P a la sub N.
Speaker A
En este caso, tenemos N polos.
Speaker A
O sea que N me indica a mí el orden del polinomio.
Speaker A
Si colocamos nuestros dos polinomios.
Speaker A
Expresadas aquí de una forma más general.
Speaker A
Vamos a ver algunas propiedades cuando yo hablo de las fases.
Speaker A
Porque habíamos dicho que como estos son polinomios con variable compleja.
Speaker A
Porque la transformada de la plaza S o el S y o la Z.
Speaker A
Son números complejos.
Speaker A
Entonces estamos trabajando con números que tienen una componente real.
Speaker A
Pero también tienen una componente imaginaria.
Speaker A
Y habíamos visto que hay que igualar tanto el módulo como la fase.
Speaker A
Pero en este caso lo más importante para nosotros en el lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Es casi siempre analizar las fases.
Speaker A
Las fases son esenciales, por eso necesitamos cumplir.
Speaker A
Con la condición de fase que detallábamos anteriormente.
Speaker A
Observa que hay una propiedad de las de la fase, por ejemplo, mira que si tú tienes la fase de la división de dos polinomios.
Speaker A
X sobre Y, tú lo puedes expresar como simplemente siendo la resta de las fases.
Speaker A
Entonces tú tomas la fase del numerador o la fase del cero.
Speaker A
Se la restas a la fase del polinomio del denominador o la fase de los polos.
Speaker A
Y hay otra regla, por ejemplo, u otra propiedad que si tú tienes dos polinomios multiplicando.
Speaker A
Y si quieres obtener la fase porque son números complejos conjugados.
Speaker A
Este producto lo puedes expresar como una suma.
Speaker A
Simplemente la fase del polinomio X que sería el numerador o los ceros.
Speaker A
Los sumas a la fase del polinomio Y del polinomio de los polos.
Speaker A
Entonces, aplicando esta propiedad, mire que aquí tenemos varios productos.
Speaker A
Entonces podemos aplicar esta propiedad, yo puedo expresar mi polinomio B como siendo simplemente voy separando cada uno.
Speaker A
Entonces digo, lo voy a separar como la fase de C - Z1.
Speaker A
Más la fase de C - Z2 y así sucesivamente hasta la fase de C a la Z a la M.
Speaker A
Aplicando la segunda propiedad.
Speaker A
Hago exactamente lo mismo con el polinomio A que contiene los polos.
Speaker A
Simplemente este producto pasa a ser la suma de las fases.
Speaker A
Y si yo sustituyo en la condición del ángulo y aplicando la fase de un cociente se tiene que.
Speaker A
Nosotros teníamos anteriormente en la condición del ángulo, déjeme yo me devuelvo.
Speaker A
Recordamos que habíamos llegado aquí a la condición del ángulo que solo teníamos que determinar.
Speaker A
Si K era positiva o si K era negativa.
Speaker A
De qué, de la ecuación donde nosotros partimos.
Speaker A
Mire que aquí tenemos la división de los ceros con los polos.
Speaker A
Entonces, partiendo de aquí, digamos que para K positiva.
Speaker A
Donde tengo que ir a múltiplos de -180.
Speaker A
O más 180, eso no importa, dependiendo cómo yo esté dando las vueltas.
Speaker A
Mire que simplemente si yo sustituyo por la propiedad que tenemos aquí.
Speaker A
Podría solamente tomar, por ejemplo, la fase de todos los ceros.
Speaker A
Entonces tomo la fase de los ceros que sería esta de acá.
Speaker A
Pero como ya le habíamos aplicado esta propiedad, entonces quedaría la fase de C Z - 1.
Speaker A
Más la fase de C - Z a la 2, así sucesivamente hasta la fase de C a la Z a la M.
Speaker A
Le aplicamos el menos.
Speaker A
Y ahora la fase del polinomio Y.
Speaker A
Entonces, la polinomio Y en este caso sería el polinomio A.
Speaker A
Simplemente vamos a restar, entonces básicamente volveríamos a copiar todo este polinomio A.
Speaker A
Pero ahora con signo intercambiado, todos con signo menos.
Speaker A
Menos C - P1, menos la fase de C - P2.
Speaker A
Así sucesivamente hasta la fase de C - P a la N.
Speaker A
Y eso va a ser igual a quién, a 180.
Speaker A
Más menos 180, no importa por.
Speaker A
Un múltiplo de el número de vueltas que yo esté dando.
Speaker A
Ahí en ese punto.
Speaker A
Por qué es esto importante, porque nosotros vamos a ver.
Speaker A
Que ya cuando muestre esto gráficamente, básicamente lo que hice fue transformar un problema de la teoría del control.
Speaker A
Que aparentemente parece muy complejo.
Speaker A
Simplemente lo pasé a un problema de fases.
Speaker A
Que es muy simple de resolver.
Speaker A
Mire, este problema de fases, vamos a ver más adelante.
Speaker A
Es simplemente calcule un angulito o un ángulo.
Speaker A
Y sume, sume, reste, sume, reste.
Speaker A
Calculando angulitos, ángulos.
Speaker A
Como es un problema geométrico, simplemente aplicamos teoría geométrica.
Speaker A
Eh, trigonometría para encontrar esos ángulos y haga si no sumar y restar ángulos.
Speaker A
Y ver si al final si la suma y la resta de todos esos ángulos le da 180.
Speaker A
O un múltiplo de 180 si estamos suponiendo que la ganancia es positiva.
Speaker A
O que me dé cero si en este caso necesitamos que la ganancia sea negativa.
Speaker A
Entonces, calcular ángulos es super fácil.
Speaker A
Y sumar y restar, pues más todavía.
Speaker A
Entonces vemos que básicamente el problema queda mucho más sencillo de resolver.
Speaker A
Geométricamente.
Speaker A
Y eso que estamos solucionando un sistema de control.
Speaker A
Que esta información o esta teoría más adelante nos va a permitir para desarrollar controladores o compensadores.
Speaker A
Que permitirán que nuestro sistema que queremos automatizar, que queremos controlar.
Speaker A
Se comporten de la manera que nosotros queremos.
Speaker A
En este punto te digo que si te está gustando lo que estás viendo.
Speaker A
¿Por qué no te suscribes al canal?
Speaker A
Y también te hago la invitación a que revises mis cursos premium.
Speaker A
Que te lo voy a dejar aquí en este link.
Speaker A
Donde en esos cursos premium enseño, por ejemplo, cómo implementar controles en la vida real.
Speaker A
Usando microcontroladores PIC.
Speaker A
Usando Arduino.
Speaker A
O te enseño a utilizar software de ingeniería como LabVIEW, Simulink.
Speaker A
O incluso te enseño teoría de instrumentación industrial.
Speaker A
Para contextualizar lo que hemos visto en este video, veamos un ejemplo netamente conceptual.
Speaker A
Donde vamos a analizar la condición del ángulo o de fase.
Speaker A
Y para eso vamos a suponer que inicialmente estamos en tiempo continuo.
Speaker A
Aplicando la transformada de la plaza S.
Speaker A
Y que solamente contamos con un cero y un único polo.
Speaker A
Digamos entonces que aplicando la propiedad de la división de fases.
Speaker A
Simplemente entonces voy a decir la fase de B menos la fase de A.
Speaker A
Que es lo que tengo aquí, entonces voy a tener simplemente un cero.
Speaker A
Z a la 1, no me importa el valor.
Speaker A
Y tengo un polo, sería P1.
Speaker A
Vamos a graficarlo en el plano complejo.
Speaker A
Supongamos que mi cero está más cerca al eje imaginario.
Speaker A
Y mi polo está aquí.
Speaker A
Mire que ambos son raíces reales porque están sobre el eje real.
Speaker A
No tienen ninguna componente imaginaria.
Speaker A
La idea del lugar geométrico de las raíces es una vez que vos ubicas las raíces.
Speaker A
Bien sea un polo, bien sea un cero.
Speaker A
Es averiguar si un determinado punto hace parte del lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Qué quiere decir con eso.
Speaker A
Si cuando yo comience a aumentar la ganancia y ya vimos que el polo va a comenzar a moverse.
Speaker A
Cuando yo aumente la ganancia siempre y cuando esté en lazo cerrado.
Speaker A
Yo quiero ver si el el polo va a pasar por ese punto que yo estoy colocando aleatoriamente.
Speaker A
En otras palabras, si es parte de mi lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Vamos a suponer que yo pongo un punto aquí cualquiera.
Speaker A
De mi cabeza me saqué ese punto, lo puse ahí.
Speaker A
¿Será que yo cuando empiece a aumentar la ganancia de mi lazo cerrado.
Speaker A
Será que este polo en algún momento va a pasar por aquí por este punto P?
Speaker A
Si eso es verdad.
Speaker A
Indica que ese punto hace parte de mi lugar de las raíces.
Speaker A
Si no, entonces no hace parte, o sea, por ahí nunca en la vida va a pasar ese polo.
Speaker A
A pesar de que yo aumente y disminuya esa ganancia todo lo que quiera.
Speaker A
Pero entonces, ¿cómo yo descubro si esto es o no es?
Speaker A
Parte del lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Básicamente necesito, vea, asegurarme de cumplir la condición de ángulo.
Speaker A
De fases y como lo decía anteriormente, esto es un problema muy sencillo.
Speaker A
Simplemente calcule ángulos, sume y reste.
Speaker A
Y mire a ver si le da 180.
Speaker A
O un múltiplo de 180, si sí, perfecto.
Speaker A
Si no, eso no hace parte.
Speaker A
Para hacer eso, entonces, listo, tracemos dos vectores.
Speaker A
Desde el cero hasta el punto que yo me inventé de mi cabeza.
Speaker A
Y también desde el polo hasta ese punto.
Speaker A
En este caso, pues necesito entonces empezar a calcular fases.
Speaker A
Mire, fases es solo calcule ángulos.
Speaker A
Ponga ángulos y sume y reste.
Speaker A
En este caso, mire, solo tengo que restar.
Speaker A
Entonces, necesito calcular primero la fase del cero.
Speaker A
Entonces, esta sería mi fase del cero, que es esta de acá.
Speaker A
Simplemente abreviándole, digamos que sea la fase que está aquí en Z1.
Speaker A
De la raíz Z1.
Speaker A
Y lo mismo aquí, vea, siempre partimos de desde el eje real.
Speaker A
Entonces, la fase del polo sería desde aquí hasta acá.
Speaker A
Representado en rojo.
Speaker A
Mire, lo que yo necesito saber es si la resta de estas dos fases.
Speaker A
Efectivamente me va a dar 180 o no.
Speaker A
Acá claramente, pues tenemos un triángulo.
Speaker A
Pues podemos aplicar geometría para encontrar si efectivamente.
Speaker A
Esta resta me da 180 o no.
Speaker A
A pesar de que yo no tengo ninguna información numérica, pues puedo intuir fácilmente.
Speaker A
Si eso me va a dar 180 o no.
Speaker A
Vamos a suponer que, mire que aquí en este triángulo.
Speaker A
Yo podría encontrar, si usted observa, este ángulo simplemente sería como la razón.
Speaker A
Entre o simplemente la fase de B sobre A.
Speaker A
Es básicamente la resta de estos dos ángulos.
Speaker A
Pero vamos a ver por qué.
Speaker A
Vamos a simplemente complementar.
Speaker A
Miramos que como esto es un triángulo, vamos a complementar lo que nos hace falta aquí.
Speaker A
Con un ángulo que lo voy a llamar ángulo beta.
Speaker A
Porque yo sé que existe una propiedad, como estoy viendo aquí un triángulo.
Speaker A
Que si yo sumo todas los ángulos dentro de un triángulo.
Speaker A
Me tiene que dar 180.
Speaker A
Entonces, hagamos eso.
Speaker A
Vamos a sumar todos los ángulos de este triángulo.
Speaker A
Entonces, comencemos, vea, beta, se lo sumamos a este ángulo que se llama barfi de B sobre A.
Speaker A
Y se lo sumamos a este ángulo que sería simplemente barfi de P1.
Speaker A
O simplemente la fase de P1.
Speaker A
Yo sé que la suma de esos tres ángulos me tiene que dar 180.
Speaker A
Y de aquí voy a despejar barfi o la fase de B sobre A.
Speaker A
Voy a despejar este ángulo, entonces me va a dar 180 menos beta.
Speaker A
Menos la fase de P1.
Speaker A
Una segunda ecuación que podría obtener de este triángulo que tengo aquí.
Speaker A
Sería, por ejemplo, todo el ángulo que forma aquí, este ángulo llano.
Speaker A
Entonces, mire que yo sé que la suma del ángulo beta con la suma de la fase Z1.
Speaker A
La suma de esos dos ángulos me tiene que dar 180.
Speaker A
Véalo acá, despejemos beta de aquí.
Speaker A
Entonces, beta sería 180 menos la fase de Z1.
Speaker A
Mire que tengo dos ecuaciones.
Speaker A
Las extraje simplemente con conocimiento.
Speaker A
O conceptos geométricos.
Speaker A
Voy a aplicar la ecuación 2 en la ecuación 1.
Speaker A
Entonces, esta ecuación 2 sustituyo beta aquí por 180 menos la fase de Z1.
Speaker A
Me va a quedar entonces que la fase de B sobre A será 180 menos 180 más la fase de Z1 más la fase de Z2.
Speaker A
Vemos que estos 180 se cancelan, evidentemente.
Speaker A
Entonces, vea que evidentemente aquí la fase de B sobre A es simplemente la resta de estos dos ángulos.
Speaker A
Incluso aplicando las propiedades que habíamos visto.
Speaker A
Vea que aquí queda demostrado que de la propia ecuación que obtuvimos aquí, simplemente sería la fase de Z1.
Speaker A
Que está acá, menos la fase del polo 1.
Speaker A
Y esto sabemos que esto lo puedo expresar con la propiedad que vimos.
Speaker A
Simplemente sería la fase de Z1 sobre P1.
Speaker A
Y miramos que, de hecho, pues esto aquí, con seguridad, con seguridad, esta fase.
Speaker A
Entre B sobre A, que era lo primero que nosotros necesitábamos.
Speaker A
Con seguridad, esa fase aquí nunca va a dar 180.
Speaker A
Incluso aquí se ve claramente, eso nunca iría a dar 180.
Speaker A
Porque estamos suponiendo una ganancia positiva.
Speaker A
Entonces, en este caso, pues no cumple la condición del ángulo.
Speaker A
Por lo tanto, este punto P que yo me saqué de la cabeza.
Speaker A
Pues no es una solución de la ecuación.
Speaker A
O sea, por aquí nunca va a pasar ese polo por más que yo aumente o disminuya la ganancia del lazo cerrado de control.
Speaker A
Recordamos que esta es la condición del ángulo.
Speaker A
Y yo estoy suponiendo que mi K es positiva.
Speaker A
Por eso siempre el la fase entre B sobre A.
Speaker A
Siempre tiene que dar -180 o 180.
Speaker A
Pues no importa el signo.
Speaker A
O un múltiplo aquí.
Speaker A
Dependiendo del número de vueltas P que yo haga.
Speaker A
Vamos entonces a continuar con el mismo problema.
Speaker A
Ya vi que yo colocándolo aquí aleatoriamente.
Speaker A
Pues evidentemente no es solución.
Speaker A
Pero entonces, ¿qué pasa si ahora yo coloco ese punto P?
Speaker A
Digamos sobre todo el eje real, digamos en este punto.
Speaker A
¿Será que este punto será solución o no será solución?
Speaker A
Hacemos el mismo procedimiento, trazamos un vector azul hasta el punto P desde el cero.
Speaker A
Trazamos un vector rojo desde P1 hasta este P.
Speaker A
Y volvemos y aplicamos, recuerde que lo que queremos hacer.
Speaker A
Es simplemente calcular ángulos, sumar y restar.
Speaker A
No hemos hecho absolutamente nada.
Speaker A
Una cosa netamente sencilla.
Speaker A
Y mire que acá es mucho más fácil encontrar los ángulos.
Speaker A
No me tengo que matar para hacer eso.
Speaker A
Entonces, vea, la fase de B sobre A, que es lo que yo quiero encontrar.
Speaker A
Que quiero ver si me da 180.
Speaker A
Vamos a ver, aquí en este punto, ¿cuánto es la fase o el ángulo que está formando aquí Z1?
Speaker A
Pues sería cero, ¿cierto?
Speaker A
Y cuál es el ángulo o la fase que está formando aquí P1?
Speaker A
Este vector aquí con respecto a este punto, pues también es cero.
Speaker A
0 - 0, o sea que me da cero.
Speaker A
Entonces, estoy viendo que este punto no sería punto o no sería lugar de las raíces.
Speaker A
Si yo estuviera considerando un K positivo.
Speaker A
Sin embargo, si fuera el caso de mi sistema de automatización o mi sistema de control.
Speaker A
Donde yo estoy considerando un K negativo.
Speaker A
Porque, por ejemplo, si la planta tiene una ganancia negativa, entonces yo caería por aquí.
Speaker A
Si K fuera negativo, entonces, mire que mi fase ya no tiene que dar 180.
Speaker A
Sino que mi condición de fase tiene que dar cero.
Speaker A
En este caso, P sería solución para la condición de tener una ganancia negativa.
Speaker A
K menor que cero.
Speaker A
Entonces, aquí lo voy a trazar como esta línea azul.
Speaker A
Diciendo que esto será una solución que está entre el cero hasta el punto más infinito.
Speaker A
Y esto, evidentemente, teniendo K negativa.
Speaker A
Si yo pongo un punto en este otro lado, al lado del polo izquierdo.
Speaker A
Mire que si yo trazo los vectores hasta este punto.
Speaker A
Aquí ambos vectores me irían a dar 180.
Speaker A
Mire, el el ángulo de Z1 hasta P sería 180.
Speaker A
Y el ángulo de el polo hasta P también sería 180.
Speaker A
180 - 180 me vuelve a dar cero.
Speaker A
Entonces, veo que este punto también sería solución para la condición de ángulo.
Speaker A
Donde yo considere la ganancia negativa.
Speaker A
En otras palabras, si yo comienzo a aumentar la ganancia de mi controlador.
Speaker A
Voy a ver que este polo X va a comenzarse a mover por aquí.
Speaker A
Y eventualmente va a aparecer por el otro lado y va a venir hasta llegar al cero.
Speaker A
Entonces, es importante recalcar.
Speaker A
Que eso solamente es solución si yo considero la K negativa.
Speaker A
Ahora, ¿qué pasaría si yo considerara la K positiva?
Speaker A
En ese caso, vamos a ver que aquí en este punto será solución si mi K es positiva.
Speaker A
Porque mire que si usted traza un ángulo, primero, ¿cuál es la fase de Z1?
Speaker A
Vea, desde este cero hasta el polo, si usted traza un vector.
Speaker A
Va a ver que va a tener un un ángulo de 180.
Speaker A
Pero si traza un vector desde el polo hasta P, va a ver que el ángulo es cero.
Speaker A
180 - 0 me va a 180.
Speaker A
Entonces, estoy cumpliendo con la condición de fase.
Speaker A
Y P sería una solución en el caso de que mi ganancia fuera positiva.
Speaker A
Entonces, sería una solución entre P1 y Z1.
Speaker A
Claro, para toda K positiva.
Speaker A
Y mire cómo es de fácil saber si esto es un lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Si de hecho es un camino por donde va a caminar este polo rojo P1.
Speaker A
Simplemente calcule angulitos, calcule ángulos y véalos y réstelos.
Speaker A
Y mire a ver si le da 180 o si le da cero.
Speaker A
Dependiendo de cuál de las dos condiciones estoy tratando.
Speaker A
Entonces, mire que lo llevo a un problema geométrico netamente sencillo.
Speaker A
Este ejemplo hemos mostrado que sin la necesidad de realizar cálculos muy elaborados.
Speaker A
Solo calculé ángulos y haga sumas y restas.
Speaker A
Yo consigo saber, de hecho, cuáles son los caminos que va a seguir los polos.
Speaker A
En la medida que yo comience a incrementar la ganancia del controlador.
Speaker A
Sin embargo, vamos a ver que estar colocando puntos al azar.
Speaker A
Dentro del polo de polos y ceros, pues sería algo muy absurdo.
Speaker A
Estar tratando de adivinar si este punto es, si este punto no es.
Speaker A
Y para eso, Richard Evans, pues idealizó una serie de reglas.
Speaker A
Para poder determinar de una mejor manera cuáles son las ramas o cuáles son los caminos, de hecho, que va a seguir nuestro polo.
Speaker A
De ese sistema de automatización que queremos aplicar.
Speaker A
Cuando estemos aumentando las ganancias de nuestro controlador.
Speaker A
Y, de hecho, pues eso es justamente lo que nosotros vamos a aprender en los próximos videos.
Speaker A
Que vienen de nuestra serie de lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Vamos a aplicar todas las normas elaboradas por Evans.
Speaker A
Para entender cómo hacemos o solucionamos este tipo de problemas.
Speaker A
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Speaker A
Te hago la invitación para que veas nuestro cuarto video.
Speaker A
Donde hablaremos ahora sí de esas reglas para que posteriormente procedamos a solucionar ejercicios.
Speaker A
Y claro, no te pierdas toda la lista de reproducción del lugar geométrico de las raíces.
Speaker A
Y que veas alguno de mis cursos premium para que aprendas mucho más.
Speaker A
Nos vemos en el siguiente video.
![Conceptos del LUGAR GEOMÉTRICO de las RAÍCES [LGR] – Si… — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/uTMLBQ85wCE/hqdefault.jpg)
![LUGAR GEOMÉTRICO de las RAÍCES [LGR] – Fácil de Entende… — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/sxJazSAHAHc/hqdefault.jpg)
