Speaker A
Я Олексій Василенко. Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз.
Відео пояснює теореми про похідні складеної та оберненої функції з прикладами та доказами.
Key Takeaways
- Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої.
- Ланцюгове правило дозволяє знаходити похідні складених функцій будь-якої складності.
- Похідна оберненої функції є оберненою до похідної прямої функції за алгебраїчним сенсом.
- Неперервність і строго монотонність функції гарантують існування похідної оберненої функції.
- Приклади з логарифмом і експонентою ілюструють застосування теорем на практиці.
Summary
- Олексій Василенко розглядає властивості похідних у математичному аналізі.
- Детально пояснюється теорема про похідну складеної функції з її доказом.
- Наводяться приклади знаходження похідної складеної функції, зокрема y = sin(x²) та y = e^(sin(ln x)).
- Пояснюється ланцюгове правило (chain rule) для похідних складених функцій.
- Розглядається теорема про похідну оберненої функції та її доказ.
- Пояснюється умова неперервності та строгої монотонності для існування похідної оберненої функції.
- Наводиться приклад знаходження похідної оберненої функції для натурального логарифма та експоненти.
- Підкреслюється важливість теорем для розв’язання складних задач з похідними.
- Автор анонсує подальші заняття з більш змістовними прикладами.
- Заклик підписатися на канал для подальшого вивчення теми.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Продовжуємо розглядати властивості похідних.
Speaker A
Сьогодні в нас теореми про похідні складеної і оберненої функції.
Speaker A
Починаємо зі складеної функції.
Speaker A
Нехай функція y = f(u) має похідну в точці u₀.
Speaker A
А функція u = g(x) має похідну в точці x₀, такі що u₀ = g(x₀). Точки u₀ і x₀ пов'язані.
Speaker A
Тоді складена функція F(x) = f(g(x)) має похідну в точці x₀. Причому F'(x₀) буде дорівнювати f'(g(x₀)) помножити на g'(x₀).
Speaker A
Доведемо теорему.
Speaker A
Дамо x приріст Δx.
Speaker A
Тоді функція u = g(x) отримає приріст Δu, який дорівнює g(x₀ + Δx) - g(x₀).
Speaker A
А маючи приріст Δu, функція y = f(x) отримає приріст Δy, f(u₀ + Δu) - f(u₀).
Speaker A
Розглянемо похідну функції F, складеної функції. Похідна функції F, як функції від x.
Speaker A
В точці x₀ є границя, коли Δx прямує до нуля, приросту функції ΔF, а це в нас буде Δy, поділене на Δx.
Speaker A
Помножимо вираз після границі на Δu чисельник і знаменник. Ми можемо помножити на будь-яке ненульове число.
Speaker A
Δy помножити на Δu, Δu помножити на Δx. Я так напишу. Маємо добуток двох відношень.
Speaker A
Розпишемо границю добутку як добуток границь. Границя Δx прямує до нуля Δy на Δu помножити на границю Δx прямує до нуля Δu на Δx.
Speaker A
Границя Δu на Δx - це ж у нас є якраз похідна функції g. u(x) - це похідна від функції g. Це в нас буде g'(x₀).
Speaker A
А тут, а тут я не можу так написати, тому що в мене Δx прямує до нуля, а тут стоїть Δu. Якби тут стояв Δx.
Speaker A
Я згадую, що оскільки функція u має похідну, і y теж має похідну.
Speaker A
Функція u буде неперервною. А оскільки функція u неперервна, то коли приріст аргумента прямує до нуля, той приріст функції Δu теж буде прямувати до нуля.
Speaker A
Це те ж саме, що Δu прямує до нуля. І я замість Δx можу поставити Δu прямує до нуля, як наслідок того, що Δx прямує до нуля. І тоді ми таки маємо похідну.
Speaker A
Остаточно F' в точці u₀ помножити на g' в точці x₀. Ну, це те ж саме, що тут написано, з урахуванням того, що u₀ є g(x₀).
Speaker A
Теорема доведена.
Speaker A
Розглянемо приклад.
Speaker A
Нехай ми знаємо, що sin x похідна у нас є cos x, а x² похідна є 2x.
Speaker A
Знайдемо похідну від функції y = sin(x²).
Speaker A
Похідна від sin x є cos x, якщо це x. А якщо тут стоїть x², насправді ми маємо складену функцію. y = sin u, де u в свою чергу дорівнює x².
Speaker A
І тоді, користуючись формулою, яку ми тільки що отримали, будемо мати y' = похідна від зовнішньої функції, яка від u залежить. Це у нас буде cos, але аргумента той, який був, x².
Speaker A
cos(x²). Помножити на похідну від x². Маємо cos x² помножити на 2x. Це відповідь. Похідна складеної функції.
Speaker A
Ще один приклад. Подивимось на вираз y = e^(sin(ln x)). log x - це аргумент синуса.
Speaker A
Тут двічі складена функція. Її можна розкласти як y = e^u, u в свою чергу - це у нас буде sin v, а v у нас буде ln x. Така складена функція.
Speaker A
В цьому випадку, щоб знайти похідну, ми теж будемо користуватись цією формулою. На першому кроці у нас зовнішня функція - експонента. Похідна від e^x дорівнює e^x.
Speaker A
Але це x, а у нас u. Це буде e^u помножити на похідну від нашого u. А u - це у нас sin(log). Помножити на sin(ln x) похідна. e^(sin(ln x)) залишається. Обчислюємо похідну цієї складеної функції. sin від чогось. Ну, це вже схоже на цей x², тому ми будемо мати cos від ln x і помножити тепер на похідну ln x. На похідну від аргумента cos.
Speaker A
І нарешті остаточно відповідь e^(sin(ln x)) помножити на cos(ln x) і помножити ще на 1/x, як похідну від ln x. Три функції, які вкладені одна в одну, похідна знаходиться по черзі. Ланцюгом, так, англійською мовою ця формула називається chain rule, ланцюгове правило. От ланцюжок якраз дозволяє знайти похідну складеної функції будь-якого рівня складності.
Speaker A
Більш змістовні приклади ми розберемо в окремому занятті в наступні зустрічі. А тепер перейдемо до похідної оберненої функції.
Speaker A
Теорема про похідну оберненої функції. Нехай функція y = f(x) неперервна і строго монотонна в околі точки x₀.
Speaker A
І має похідну f'(x₀) в цій точці.
Speaker A
Тоді обернена функція x = g(y) має похідну в точці y₀, яка дорівнює f(x₀). Похідна оберненої функції є обернена в алгебраїчному сенсі до похідної прямої функції.
Speaker A
Доведемо. Спочатку зауважимо, що в умовах неперервності і строгої монотонності в околі точки x₀, в околі точки y₀ обернена функція буде існувати. Вона існує. І ще й буде неперервною.
Speaker A
Неперервність оберненої функції означає, що границя Δx, коли Δy прямує до нуля, буде дорівнювати нулю. Коли аргумент оберненої функції, приріст аргумента прямує до нуля, приріст функції теж буде прямувати до нуля.
Speaker A
Неперервність оберненої функції. Користуючись цим, користуючись цим, ми отримаємо g' в точці y₀. Це є границя Δy прямує до нуля Δx на Δy. Це за означенням похідної.
Speaker A
Але функції цієї. Границя Δy прямує до нуля 1 поділена на Δy на Δx. Я просто зробив алгебраїчне перетворення під знаком границі.
Speaker A
Якщо границя існує, а вона існує за умовою, то я можу символ границі перенести в знаменник. Ну і тепер згадаємо, що коли Δy прямує до нуля, то і Δx буде прямувати до нуля.
Speaker A
Якщо Δx прямує до нуля, я можу тут поставити Δx прямує до нуля замість Δy. І тоді це буде таки похідна, яка нам потрібна. Це буде саме f'(x₀). Теорема доведена.
Speaker A
Розглянемо приклад використання цієї теореми.
Speaker A
Нехай ми знаємо, що похідна від ln x дорівнює 1/x.
Speaker A
Розглянемо похідну оберненої до логарифма функції. Логарифм натуральний, тому обернена функція буде, ну, мені зручніше буде написати функцію e^x, а до неї обернена буде x = ln y.
Speaker A
Ми знаємо похідну від логарифма. Функція логарифм неперервна і строго монотонна всюди в області визначення, тобто в, коли y > 0. При цьому множина значень x змінюватись буде від мінус нескінченності до плюс нескінченності.
Speaker A
Тоді функція e^x визначена у нас від мінус нескінченності до плюс нескінченності. І оскільки похідна в кожній точці 1/x, ми можемо отримати похідну y' як похідну оберненої функції. 1 поділена на похідну від оберненої функції. x' - це 1/y. 1 поділена на 1/y дорівнює y.
Speaker A
Але виходить тоді e^x похідна буде e^x. Похідна від e^x дійсно вийшла e^x. Ну, це відомі, я сподіваюсь, вам формули, це як приклад використання цієї теореми.
Speaker A
Більш змістовні приклади в наступних зустрічах. Залишайтесь на нашому каналі, підписуйтесь на нього, а я з вами Олексій Василенко. До побачення.
Topics:похіднаскладена функціяобернена функціяланцюгове правиломатематичний аналізОлексій Василенкотеорема про похіднупохідна логарифмапохідна експонентипохідна складеної функції
