Puntos ESPECIALES del Lugar Geométrico de las Raíces [Inicio y Fin] - LGR # 004

En este video comenzaremos a entender las reglas de construcción del lugar geométrico de las raíces o LGR.

Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sergio Andrés Castaño Giraldo del canal de controlautomaticoeducacion.com.

Y con este video comenzaremos a entender cómo podemos construir el lugar geométrico de las raíces manualmente para que, posteriormente, hagamos varios ejercicios y te quede muy claro cómo desarrollar este tipo de actividades del control automático, bien sea que trabajes en tiempo continuo o en tiempo discreto.

Sin embargo, para que puedas seguir todo el curso sobre LGR que tenemos en este canal, te lo dejé todo en orden en esa tarjeta que ves que está saliendo aquí encima y también te lo dejé en la descripción de este video para que no te pierdas en este curso y apruebes tus disciplinas de control.

Si lo deseas, puedes aumentar la velocidad del video para que hagas la explicación mucho más rápida.

O dinámica.

Vamos a ver la primera regla para la construcción del LGR, del Root Locus, que serían los puntos especiales del lugar geométrico de las raíces.

Partiendo de nuestra ecuación polinomial, la que habíamos visto, donde tenemos el polinomio A en su variable compleja más el parámetro que estamos variando K, multiplicado B por su variable compleja, lo igualamos a cero porque estamos encontrando sus raíces.

Vamos a entender que ella, pues, tiene algunos puntos especiales.

Que cuál sería, de dónde yo inicio mi lugar geométrico de las raíces y dónde yo voy a terminar mi lugar geométrico de las raíces.

En este caso, miremos que supongamos que vamos a tener una ganancia positiva, solo para acotar un poco nuestra explicación, partiendo de nuestra ecuación, sabemos que A tiene un grado de N, B va a tener un grado de M, y simplemente la suma de este polinomio siempre tendrá este polinomio el orden del máximo polinomio.

Cierto, en este caso, generalmente A siempre es mayor que el polinomio B o por lo menos igual, por lo tanto, este polinomio será de grado N, porque sabemos que el orden de N es mayor o igual al grado del polinomio B.

Miremos que siempre que yo voy a iniciar el camino es con mi parámetro, supongamos que es cuando el parámetro comienza en cero, ese será el inicio del camino, es ahí es donde yo voy a arrancar.

Y el fin del camino es cuando yo haga este parámetro infinito, es decir, le pongo un valor sumamente grande, porque para nosotros los ingenieros, infinito sería como un número exageradamente grande.

Mira que si tú vuelves K igual a cero en esta ecuación, ¿qué va a pasar? Este término desaparece, ¿cierto?

Entonces, tú tienes A de C va a ser igual a cero, o sea, solo te quedaron los polos, porque sabes que A, al ser el denominador, va a contener los polos del sistema.

Y si las raíces o las soluciones de este polinomio, pues, sabemos que son N raíces.

Pues, de ahí puedo extraer las N raíces de mi polinomio, y vamos a ver que ahora, para el otro caso, suponiendo que vuelvo este K muy grande, tendiendo a infinito, un número súper súper grande.

Mira que aquí, en este caso, pues, yo podría volver a caer en lo que habíamos visto anteriormente, de acá tú puedes despejar K para dejar al lado izquierdo la razón de polinomios, de los ceros sobre los polos, es igual a la parte negativa de menos uno sobre K.

Y yo sé que con una ganancia positiva, pues, yo quiero hacer, mire que si este K se vuelve muy muy grande, ¿qué va a pasar con esto?

Pongan un número bien grande aquí, esto va a tender a ser cero, ¿cierto?

Usted divida por algo bien exageradamente grande.

Tiende a ser cero.

Entonces, vamos a ver que, de hecho, para encontrar ahora la solución aquí, que cumpla esto, tendría que encontrar las raíces de mi polinomio B igualadas a cero.

Entonces, sabemos que ahí tengo, digamos, M raíces.

Sin embargo, vamos a ver que esto va a ser verdad, pero ¿qué pasa si, por ejemplo, el polinomio A N es mucho mayor que M?

O, por lo menos, no sé, digamos que tengo un polinomio de orden dos en A, pero un polinomio de orden uno en B.

Vamos a ver que una de las raíces se va a ir, efectivamente, para este cero.

Tal vez aquí, conceptualmente, apenas lo vamos a ver, pero ya después lo entenderemos con gráficas, pero ¿qué pasa con la otra raíz, con el otro polo?

¿Dónde se van las otras raíces?

Vamos a ver que las raíces que sobran, si yo resto el número de raíces, por ejemplo, N menos M, si tengo dos menos uno, me queda una raíz sobrando, vamos a ver que esa raíz que queda sobrando, porque tengo más polos que ceros, las raíces que no tienen su cero, porque el cero generalmente es un atractor.

Todos los ceros que estén dentro del diagrama del lugar de las raíces van a traer uno de los polos, entonces un polo siempre va a morir en el cero, pero como hay generalmente más polos que ceros, eventualmente habrán, mire, habrán polos que no tendrán su cero, entonces van a ir a morir a un punto que sería el punto del infinito.

Y de esa manera garantizaría que esta razón, pues, tienda hacia cero.

Esa sería la primera característica especial del lugar geométrico de las raíces.

La segunda es, vamos a empezar a entender cómo encontrar las ramas del LGR.

Del Root Locus.

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Nos vemos en nuestro siguiente video.

Hasta luego.