LUGAR GEOMÉTRICO de las RAÍCES [LGR] - Fácil de Entender # 001

En este video te enseñaré a graficar el lugar geométrico de las raíces y a calcularlo, no importa cuántos ceros, cuántos polos tenga el sistema de lazo cerrado.

La esencia de este video es que primero entiendas el porqué hacemos esto, cuál es el concepto detrás del lugar geométrico de las raíces y posteriormente, claro, vamos a desarrollar varios ejercicios para que te quede claro todo el procedimiento que vamos a llevar a cabo siempre y cuando enfocándonos en el saber el porqué de las cosas.

Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sergio Andrés Castaño Giraldo y estás en controlautomaticoeducacion.com.

Como te he dicho, vamos a estudiar sobre el lugar geométrico de las raíces.

Y para eso, he preparado algunos videos, los cuales veremos aquí, donde abordaremos los conceptos básicos para que entiendas por qué lo hacemos y cuáles son las reglas que seguimos al momento de elaborar un lugar geométrico de las raíces.

Y claro, posteriormente desarrollaremos varios ejercicios numéricos para que sepas cómo abordar cada problema que te coloque tu profe de control de procesos, lo haremos para ejemplos en tiempo continuo y también para tiempo discreto y verás que eso no tiene ninguna diferencia si trabajamos en un tiempo u otro.

Y obviamente, para que no te pierdas, no te preocupes que te la voy a dejar todo aquí, si le das clic a esta lista de reproducción podrás ver el paso a paso todo en orden para que lo puedas ver sin ningún problema, así que vamos a comenzar.

Este es un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, el cual fue desarrollado por Walter Richard Evans, el cual ha sido extensamente utilizado en la teoría de control.

Veremos que este método es llamado el lugar de las raíces (root locus method) donde el movimiento de las raíces de la ecuación característica se grafican para todos sus valores en base a un parámetro variable, (generalmente es la ganancia del sistema pero puede ser otra variable de la función de transferencia de lazo abierto).

Para entender el concepto del lugar geométrico de las raíces, vamos a suponer que tenemos el siguiente proceso, el cual consiste en un horno, ese horno que, por ejemplo, puedes tener en la cocina de tu casa.

Y vamos a suponer que nosotros hemos desarrollado un controlador, en este caso, un controlador proporcional integral, uno de los controladores más sencillos y eficaces para el control de temperatura, digamos que nuestro horno está representado por un modelo matemático dado por una ecuación de primer orden.

Y muy importante, vamos a cerrar el lazo, donde evidentemente tendremos un medidor de temperatura, el cual estaremos realimentando hacia el controlador para que en todo momento pueda regular la variable del proceso.

Si nosotros resolvemos este diagrama de bloques desarrollando el lazo cerrado, siguiendo todas las reglas que ya aprendimos sobre los diagramas de bloques.

Que en este punto es importante que entiendas que esto hace parte de los conceptos básicos de control y ya tienes que saber solucionar diagramas de bloques.

Y si no has visto eso, te voy a dejar acá una lista de reproducción con un curso completo de diagramas de bloques.

Al cerrar este lazo, tendremos dos polos, un polo aportado por el controlador y otro polo aportado por la planta y tendremos un cero aportado por el controlador.

Si lo graficamos en el diagrama de polos y ceros, veremos ambos polos junto con el cero.

Observarás que ambos polos tienen componente imaginaria y tenemos un polo ubicado en el eje real.

En este caso, observa que aquí tenemos un parámetro el cual nosotros podemos variar, primero verás que el horno, pues él ya tiene una función de transferencia y el sistema es como es.

Yo no tengo cómo modificar el horno, él ya está construido de esa manera, tiene una determinada potencia, una determinada dinámica, pero eso yo no lo puedo cambiar.

Lo único que yo puedo cambiar son los propios parámetros de lo que yo estoy agregando, en este caso estoy agregando un controlador.

Para efectos de estudio, vamos a suponer que el tiempo integral lo voy a dejar fijo y lo único que yo voy a comenzar a variar será la ganancia del controlador.

Aumentando o disminuyendo esa ganancia, voy a conseguir con aumentar o disminuir la velocidad con que yo quiero controlar la temperatura de este horno.

Observa algo muy interesante, cuando yo comienzo a variar este parámetro en este lazo cerrado de control.

Vamos a ver qué le sucede a las raíces que hemos graficado aquí a la derecha.

Si movemos nuestro diagrama, vamos a ver la siguiente animación, observa que en la medida que yo comienzo a aumentar esa ganancia, vas a ver que los polos van a comenzar a moverse y eso me va a ir dando una dinámica diferente.

Observa que cada vez más las oscilaciones comienzan a disminuirse en la medida que voy aumentando esa ganancia hasta que eventualmente las raíces se ubican sobre el eje imaginario y voy disminuyendo cada vez más las oscilaciones.

Con este claro ejemplo donde estamos controlando la temperatura de este horno y variando únicamente la ganancia de este controlador, estamos viendo que partimos de tener un cero y dos polos.

Y vamos a ver que ese cero que nosotros lo habíamos ubicado por aquí más o menos en dos, él se mantuvo estático.

Sin embargo, los polos, los dos polos de la ecuación característica, ellos se comenzaron a mover o a desplazar sobre el plano complejo en la medida que yo aumentaba esa potencia.

Y aquí estamos viendo el camino que recorrieron esos dos polos, vamos a ver que el primer polo, vamos a trazar su camino en este color rojo, él vino hasta este punto, llegó al eje real y fue y buscó el cero.

Sin embargo, el otro polo, que lo trazamos en este caso en color verde, vino por este otro camino, cuando llegó al eje real, él se fue hacia infinito.

Entonces, lo que me dice a mí el lugar geométrico de las raíces es que si yo varío un parámetro, sea cual sea, en este caso, la ganancia de mi planta.

Yo lo que estoy haciendo es hacer que mis polos se muevan para tener una determinada dinámica, así como lo íbamos viendo, en la medida que yo se iban moviendo, por ejemplo, la oscilación de mi sistema de temperatura iba disminuyendo.

Y eso solo lo puedo conseguir en un sistema de control solo si tengo el lazo cerrado, porque si no tengo el lazo cerrado, voy a ver que mis polos se van a mantener estáticos.

Esa es la importancia de tener el lazo cerrado de control y ya lo explicábamos en videos anteriores, cuando aprendíamos la diferencia de tener un sistema en lazo abierto y en un lazo cerrado.

Es importante que veas todos los videos de conceptos básicos de sistemas de control para que tengas los fundamentos de entender esta teoría y te lo voy a dejar todo en esta tarjeta que sale aquí con la lista de reproducción de esos fundamentos básicos.

Observemos que el polinomio característico siempre tendrá una variable compleja, si nosotros, por ejemplo, trabajamos con control continuo, trabajaremos con la variable S del dominio transformado de la plaza.

Sin embargo, si ya estamos un poco más avanzados y estamos aprendiendo sobre control discreto, vamos a trabajar con la variable Z de la transformada Z.

Y a pesar de cualquiera de las dos variables complejas que trabajemos, nosotros nos vamos a dar cuenta que siempre iremos a trabajar con coeficientes reales.

Para ejemplificar aquí nuestra situación, vamos a decir que nuestro polinomio lo representamos como P mayúscula y ese polinomio en sí está conformado de dos características.

Primero tenemos la variable compleja, que la voy a llamar C, independiente si tú trabajas en tiempo continuo o en tiempo discreto, eso no interesa.

Y segundamente, por la ganancia del controlador, que en este caso yo la voy a llamar como K.

Como esto es un polinomio y yo quiero encontrar las raíces, como lo hemos estudiado diversamente en álgebra, lo que yo voy a hacer es igualar el polinomio al cero para encontrar sus singularidades.

Tengo entonces P, donde será mi polinomio, a lo largo de esta lista de reproducción, esta C será mi variable compleja, S si trabajo en tiempo continuo, Z si estoy en discreto.

Y K es el parámetro que yo efectivamente voy a modificar, como lo hacíamos en el ejemplo del horno.

Es decir, que eso será una variable que yo voy a variar en todo el dominio de los reales, desde menos infinito hasta más infinito para ver qué sucede con las raíces, qué suceden con los polos.

Y posteriormente, claro, qué va a suceder con mi sistema de control que estoy implementando.

Digamos que en este caso, yo voy a considerar un sistema continuo, entonces yo voy a decir que mi variable compleja, pues la voy a representar en S, porque voy a trabajar en el dominio transformado de la plaza.

Entonces, yo tendría, por ejemplo, un sistema, un polinomio de segundo grado, S cuadrado más uno sobre tau S más Kp, observe que lo que yo voy a variar es el Kp, que sería el K o la ganancia.

Y estoy sobre la variable compleja S, estoy en tiempo continuo.

Pero también podría pensar, si tú trabajas con control discreto, que mi variable C está en la transformada Z y podría tener el siguiente polinomio, Z a la menos uno, Z a la menos punto nueve más punto dos Kp.

Y Kp sería la ganancia que voy a modificar, Z menos punto ocho y aquí estoy en tiempo discreto.

Mire que ambos polinomios están igualados a cero y simplemente lo que yo voy a tratar de determinar son las raíces de esos polinomios.

Básicamente, cuando nosotros trabajamos con el lugar geométrico de las raíces, nosotros simplemente estamos trabajando con polinomios.

Es solo aplicar la teoría matemática enfocado a los polinomios y posteriormente, cuando tengamos la solución, vamos a hacer un análisis específico para el área de automatización y control.

Porque la idea es, claro, si yo entiendo cómo se mueven mis raíces, yo voy a poder automatizar y posteriormente controlar un proceso, bien sea un proceso industrial o cualquier proceso al que yo le quiera ejercer un sistema de control.

Por lo tanto, el lugar de las raíces puede ser aplicado indiferentemente para sistemas de tiempo continuo con la variable compleja C igual a S o para sistemas en tiempo discreto con la variable compleja C igual a Z.

Lo único que cambia va a ser su análisis.

Sin embargo, es importante tener en cuenta que debemos respetar algunas características de nuestro polinomio.

Habíamos dicho que es necesario que ese polinomio sea conformado por coeficientes reales.

Y esto es una característica, dado que esto me va a permitir que mi polinomio tenga simetría con sus raíces cuando lo grafiquemos en el plano complejo, donde dichas raíces podrán ser raíces complejas conjugadas.

Vamos al siguiente ejemplo, digamos que tenemos un polinomio de segundo grado con la variable X.

X al cuadrado más 10X más 169, observe que en este caso, nuestro polinomio efectivamente tiene coeficientes reales.

Donde tengo el coeficiente uno, el 10 y el 169, por lo tanto, si yo resuelvo este polinomio y obtengo sus raíces.

Voy a ver que como es un polinomio de segundo grado, voy a tener dos soluciones o dos raíces.

En este caso, mi primera solución, X1, sería una raíz compleja conjugada, donde mi solución sería menos cinco en la componente real más 12 imaginario en la componente imaginaria.

Y la segunda raíz sería el conjugado de esta solución, es decir, mire que tiene la misma parte real, menos cinco, sin embargo, tiene el conjugado que sería menos 12i.

Si lo graficamos en el plano complejo, vamos a ver que esas componentes estarán a la misma distancia del eje real.

Esta característica no sucede si tú tomas, por ejemplo, un polinomio que tenga coeficientes imaginarios, como en este caso, X al cuadrado más 2X, pero mira que el término independiente es un número complejo, uno menos I.

Si tienes esta situación, vas a ver que no vas a respetar la simetría al momento de graficar las raíces en el plano complejo, por lo tanto, no está respetando la propiedad que se debe cumplir en el lugar geométrico de las raíces.

Entonces, siempre que estamos automatizando un proceso o para un sistema de control, vamos a ver que siempre que trabajemos con el root locus o el lugar geométrico de las raíces, nuestros polinomios siempre tendrán coeficientes reales.

Y esto es una suposición muy válida porque los polinomios característicos que vamos a comenzar a resolver siempre provienen de ecuaciones diferenciales de sistemas físicos reales donde dichos coeficientes van a depender de propiedades físicas como el área de un tanque, la abertura de una válvula, etcétera.

De hecho, en este canal ya hemos solucionado varios sistemas reales, varios sistemas industriales, los hemos puesto en el papel a través de ecuaciones diferenciales y si quieres ver algunos de esos ejemplos para que veas cómo pasas un sistema real a una ecuación matemática expresada en ecuaciones diferenciales.

Te voy a dejar aquí en esta tarjeta un ejemplo para que lo observes, sin embargo, podemos dejarlo hasta este punto para que profundices y analices lo que hemos abordado hasta ahora sobre el lugar geométrico de las raíces.

Y en el siguiente video continuaremos explorando un poco el porqué de las cosas, cuál es el concepto, porque recuerda que nada sirve simplemente solucionar ejercicios si no entiendes el concepto.

Porque más adelante te vas a olvidar cómo solucionar este tipo de problemas, aquí lo importante veremos es que si tú entiendes el concepto.

Ya más adelante incluso puedes desarrollar todo esto con un software que también lo aprenderemos a hacer aquí usando MATLAB y también usando Python.

Así que si te ha gustado este video, suscríbete a este canal.

Te invito a que veas toda la lista de reproducción del lugar geométrico de las raíces y te veo en el siguiente video donde continuaremos con la parte teórica sobre este interesante concepto.

Que estés muy bien, hasta luego.