Speaker A
Василенко. Ми з вами продовжуємо вивчати математичний аналіз, обчислення похідних.
Відео пояснює метод логарифмічного диференціювання для похідних степенево-показникових функцій з прикладами.
Key Takeaways
- Логарифмічне диференціювання ефективне для степенево-показникових функцій, де стандартні формули не застосовні.
- Метод полягає у логарифмуванні функції, диференціюванні отриманого виразу та знаходженні похідної оригінальної функції.
- Загальна формула похідної для Y=U^V включає суму двох доданків, що нагадують похідні степеневої та показникової функцій.
- Логарифмічне диференціювання також спрощує обчислення похідних складних добутків і часток функцій.
- Цей метод дозволяє уникнути громіздких алгебраїчних перетворень і робить диференціювання більш інтуїтивним.
Summary
- Олексій Василенко продовжує тему математичного аналізу, зокрема обчислення похідних.
- Розглядається прийом логарифмічного диференціювання для функцій виду x^α, A^x та степенево-показникових функцій x^x.
- Пояснюється, чому стандартні формули похідних не підходять для функцій виду x^x.
- Дано приклад диференціювання функції Y = sin(x)^(√x) за допомогою логарифмічного диференціювання.
- Покроково показано логарифмування, диференціювання та знаходження похідної Y'.
- Виведена загальна формула для похідної степенево-показникової функції Y = U^V, де U і V – функції від x.
- Пояснено, що формула складається з двох доданків, схожих на похідні степеневої та показникової функцій.
- Наголошено, що логарифмічне диференціювання спрощує обчислення похідних складних функцій, включно з добутками та частками.
- Розглянуто приклад диференціювання функції у вигляді добутку та частки степеневих виразів з логарифмуванням.
- Завершено заняття з підкресленням корисності методу та анонсом подальших відео на каналі.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Сьогодні розберемо один прийом, який називається логарифмічне диференціювання. Це про що?
Speaker A
X в степені альфа, похідна степеневої функції - це альфа X в степені альфа - 1.
Speaker A
А А в степені X, похідна, похідна показникової функції - це А в степені X, логарифм натуральний А. Зовсім різні вигляди, різні трошки функції.
Speaker A
А якщо X в степені X? Ця функція називається степенево-показникова. Ні та, ні інша формули не підходять.
Speaker A
Тут нам і допоможе логарифмічне диференціювання.
Speaker A
Розглянемо такий приклад: Y = sin(x) в степені √x.
Speaker A
sin(x) в степені, степенево-показникова функція.
Speaker A
Саме під логарифмічне диференціювання. Логарифмічне диференціювання. Починаємо з логарифмування, тоді будемо диференціювати.
Speaker A
Спочатку логарифмуємо, тобто я знаходжу логарифм натуральний лівої і правої частини. Логарифм Y у мене буде дорівнювати логарифму sin(x) в степені √x.
Speaker A
Користуючись властивістю логарифма, я показник аргумента можу перенести коефіцієнтом перед логарифмом. √x ln(sin(x)). Прологарифмував.
Speaker A
Тепер диференціювати, тобто знаходити похідну. Ліворуч стоїть логарифм Y. Тут складена функція, якщо придивитися, логарифм від Y, а Y - функція від X якась.
Speaker A
Тому тут складена функція і за формулою складеної функції похідна від логарифма 1 / Y помножити на похідну від аргумента Y. І тут ми маємо добуток двох функцій. Похідна добутку: похідна від кореня з X помножити на логарифм sin(x) плюс √x на похідну від логарифма sin(x).
Speaker A
Це я виписав похідну добутку двох функцій. Обчислюю ці похідні. Похідна від кореня - це 1 / 2 таких же кореня логарифм sin(x) плюс √x залишається, а похідна від логарифма синуса.
Speaker A
Логарифм U в якості проміжної функції синус, похідна від логарифма складеної функції - це у нас буде sin(x) і помножити на похідну від синуса - це cos(x). Я зразу напишу cos(x).
Speaker A
Маємо похідні обох частин ми знайшли. Але ж нам треба знайти Y'. Так ми можемо звідси його знайти звичайним алгебраїчним шляхом. Тобто Y' звідси буде дорівнювати Y помножити на увесь цей вираз. Маємо Y' дорівнює, а Y - це ж у нас sin(x) в степені √x. sin(x) в степені √x - це є Y поставив.
Speaker A
Ну і цей весь вираз: логарифм sin(x) / 2√x плюс, ну cos(x) / sin(x) - це у нас буде cot(x), √x cot(x). Можна вважати це відповідь. Ми знайшли похідну степено-показникової функції.
Speaker A
Прийом логарифмічного диференціювання можна використовувати для будь-якої степенево-показникової функції. Можна навіть вивести формулу. Нехай у нас Y - степенево-показникова функція U в степені V. U і V - це функції від X. Я аргумент писати не буду, щоб не загромоджувати.
Speaker A
Тоді знайдемо похідну від Y шляхом логарифмічного диференціювання. Логарифмуємо, як тільки що ми робили. Логарифм Y буде дорівнювати, я зразу напишу логарифм U в степені V дорівнює V вийде коефіцієнтом, але я напишу так: логарифм U помножити на V. Мені далі зручніше так буде. Я скористався властивістю логарифма. V множиться на логарифм.
Speaker A
Диференціюємо. Y' / Y - похідна від логарифма Y. Буде дорівнювати похідній від добутку. Логарифм U похідна на V плюс логарифм U на V'. Знаходимо похідну від логарифма U. Ми будемо мати те ж саме U' / U помножити на V плюс логарифм U помножити на V'.
Speaker A
Я знайшов похідну обох частин. Звідси знаходжу Y', який нам потрібен. Множу обидві частини на Y. Але Y у мене U в степені V. Тому Y' буде дорівнювати U в степені V помножити на V / U U' плюс логарифм U на V'. Розкрию дужки. Я отримаю тут U в степені V і ще тут U в знаменнику. Це у мене буде V помножити на U в степені V - 1. Показник на одиницю зменшиться завдяки знаменнику. І помножити на U' плюс U в степені V логарифм U помножити на V'.
Speaker A
В принципі, формула. Причому, якщо придивитись, вона складається якби з двох доданків. Перший з них дуже схожий на похідну від X в степені альфа, а другий на похідну від А в степені X. Степенево-показникова функція. Можна запам'ятати цю формулу, але можна і не запам'ятовувати. Значно приємніше, мені здається, прологарифмувати, прологарифмувати і продиференціювати.
Speaker A
Більше того, логарифмічне диференціювання іноді буває корисним і для інших видів функцій, від яких треба взяти похідну. Отака. Ну, досить страшно сюди починати обчислювати як похідну частки, ще зі складеними функціями, тобто тут не так просто. Виявляється, якщо прологарифмувати цю функцію, вигляд значно спрощується. Давайте спробуємо.
Speaker A
Спочатку я перепишу в такому вигляді: (x+2) в степені 1/2, (x-1) в степені 2/3, (2x+1) в степені 1/3.
Speaker A
І тепер прологарифмую. Логарифм Y буде дорівнювати. Логарифм частки є різниця логарифмів. Тому, а логарифм чисельника, показник виходить коефіцієнтом: 1/2 ln(x+2) мінус. Знаменник піде з мінусом: 2/3 ln(x-1) і мінус 1/3 ln(2x+1).
Speaker A
Я прологарифмував. Тепер диференціюю. Ліворуч, як завжди, Y' / Y. Похідна від логарифма (x+2) - це 1 / (x+2) помножене на похідну від (x+2). Ну, похідна від (x+2) - одиниця, тому залишається просто (x+2). Мінус. Точно так тут: 2 / 3(x-1). І нарешті мінус 1/3 * 1 / (2x+1), але тут похідна від аргумента дасть нам двійку. В чисельнику буде стояти двійка.
Speaker A
Ну, от Y' / Y. Знаходимо звідси тепер Y', множачи обидві частини на Y, на оцей вираз. Y у нас такий тепер. Маємо: √x+2 / (³√(x-1)²(2x+1)) * (1 / (2(x+2)) - 2 / (3(x-1)) - 2 / (3(2x+1))). Такий вираз для похідної. В принципі, можна тут якось спростити, привести до спільного знаменника, може щось скоротиться, спроститься. Але до логарифмічного диференціювання ці перетворення вже відношення не мають.
Speaker A
Ми з вами розібрали випадки використання логарифмічного диференціювання і сам цей метод. На цьому закінчене заняття. Залишайтесь на нашому каналі, далі буде. А я з вами, Олексій Василенко.
Topics:логарифмічне диференціюванняпохіднаматематичний аналізстепенево-показникова функціядиференціюванняпохідна степеневої функціїпохідна показникової функціїформула похідноїОлексій Василенкоприклади похідних
![VOCÊ DECIDE SER LIVRE OU NÃO🔥 [Parte 2] – Min. Teatral … — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/fpyve0kSDPI/maxresdefault.jpg)
![ESSA ILUSTRAÇÃO VAI CONFRONTAR VOCÊ 😱 [Parte 1] – Min. … — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/GEmB7P_pO-8/maxresdefault.jpg)
