ДЧ16. Приклади. Правило Лопіталя. — Transcript

Василенко, математичний аналіз, диференційне числення. Сьогодні у нас використання правила Лопіталя для обчислення границь, точніше для розкриття невизначеностей.

Правило Лопіталя показує, що якщо у нас є невизначеність 0 на 0 або нескінченність на нескінченність, ми можемо скористатись тим, що границя відношення двох функцій дорівнює границі відношення похідних цих функцій.

Розглянемо деякі приклади. Почнемо з невизначеності 0 на 0. Нехай треба знайти границю x прямує до нуля x - sinx / x - tgx. Отака границя. Якщо підставити замість ікса 0, ми отримуємо 0 в чисельнику, 0 в знаменнику.

Дійсно, у нас 0 на 0 невизначеність. За правилом Лопіталя диференціюємо окремо чисельник і окремо знаменник. Не плутатись з похідною частки. Тут ніякої похідної частки немає. Беремо границю окремо чисельник: 1 - cosx і похідна від знаменника: 1 - 1 / cos²x. Ну все, підставляємо замість ікса 0. Маємо 1 - 1 = 0 в чисельнику, а в знаменнику теж 0. 0 на 0 невизначеність залишилась.

Ну, іноді буває, і не так уже рідко. Що робимо? Знову використовуємо правило Лопіталя. Є невизначеність, функції нормальні, диференційовані. Диференціюємо ще разок. Маємо границя x прямує до нуля. В чисельнику похідна від -cosx дасть нам sinx, а в знаменнику похідна від одиниці 0. Тут у нас буде похідна від 1 / cos²x. Складена функція. Похідна від u² в знаменнику, це в нас -2 буде з мінусом, це буде 2 cos³x * похідну від cosx. Похідна від cosx -sinx. І це все в знаменнику. Дорівнює. Тепер ми маємо можливість не диференціювати вже, а скоротити синуси і отримати границю, яка показує, що перед нами буде стояти -cos³x / 2. І якщо тепер підставити замість ікса 0, невизначеності вже немає. Ми позбулись невизначеності. В чисельнику одиниця, в знаменнику двійка. -1/2. Нам довелось двічі продиференціювати.

До речі, можна було другий раз і не диференціювати. Якщо подивитись на цей вираз, то ми можемо отримати приблизно іще отак. Границя x прямує до нуля. Привести до спільного знаменника в знаменнику. При цьому знаменник знаменника піде в чисельник. Будемо мати 1 - cosx cos²x, а в знаменнику буде стояти cos²x - 1. Неважко бачити, що в нас різниця квадратів у знаменнику. Один з множників, яких буде cosx - 1. Ну, я розпишу. Границя x прямує до нуля. 1 - cosx cos²x, а в знаменнику буде стояти cosx - 1 cosx + 1. Скорочення цих двох множників залишить нам одиницю, бо вони відрізняються -1, я маю на увазі. Вони відрізняються знаком. А підставити замість ікса 0 в чисельник 1 і тут буде двійка. -1/2. Те ж саме елементарним шляхом. Ну, тут на любителя. Кому простіше ще раз продиференціювати, а кому зручніше скористатись якимись елементарними перетвореннями, які приводять до того ж самого результату. Використання правила Лопіталя 0 на 0.

Розглянемо тепер випадок нескінченність на нескінченність. Нехай треба знайти отаку границю. Коли x прямує до одиниці. В чисельнику, коли x прямує до одиниці, tg πx/2 прямує до плюс нескінченності, а в знаменнику, коли x прямує до одиниці, аргумент прямує до нуля, а логарифм величин прямуючих до нуля, прямує до мінус нескінченності. Нескінченність на нескінченність. Ну, правда, тут зі знаком. Швидше за все, у нас відповідь повинна вийти від'ємною. Подивимось. Диференціюємо. Лопіталь нам це дозволяє.

Границя x прямує до одиниці. Похідна чисельника 1 / cos² πx/2. Похідна від тангенса і помножити на похідну від аргумента, це буде ще π/2. Диференціюємо знаменник. Похідна від логарифма - це 1 / аргумент логарифма і помножити на похідну від аргумента -1. Мінус з'явився. Підставляємо замість ікса одиницю. В знаменнику, так, що в нас в знаменнику? Тут прямує до нуля. Знаменник весь прямує до нескінченності. В чисельнику, якщо замість ікса підставити одиницю, cos π/2 - це 0. Знову таки, 1 / 0 - нескінченність. Збереглась невизначеність нескінченність на нескінченність.

Для подальшого спрощення диференціювання, я переміщу знаменник знаменника в чисельник. Ну, тобто, позбудусь чотириповерховості цієї дроби. Ну, і заодне винесу за знак границі константу -π/2. Границя x прямує до π/2. В чисельнику в мене буде стояти 1 - x / cos² πx/2. О. А чого це π/2? Тут одиниця в мене. Одиниця. Так от, коли x прямує до одиниці, чисельник тепер прямує до нуля, але й знаменник прямує до нуля. Після такого перетворення ми прийшли до невизначеності 0 на 0. Як бачимо, іноді невизначеності переходять одна в одну.

Але це залишає можливість нам використати правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник. -π/2 нехай постоїть. В чисельнику похідна - це -1. А в знаменнику будемо мати похідна від cos² - це у нас 2 cos πx/2 * похідну від cos -sin πx/2 і помножити ще на похідну від аргументу на π/2. Перетворюємо, що можемо. З мінусами, їх троє, один залишився. Якісь мінуси парні пішли. π/2 тут і π/2 тут зникає. Вони скорочуються π/2. В знаменнику залишається 2 cos * sin, а це ж sin подвійного кута. Границя x прямує до одиниці. 1 / sin πx. Коли x прямує до одиниці. Ну що ж, в знаменнику у нас 0, тому що sin π = 0. Але в чисельнику одиниця. Невизначеності немає. 1 / величину, яка прямує до нуля, дає нам -нескінченність з урахуванням оцього мінуса. Задача розв'язана. Ми знайшли границю відношення двох нескінченностей. Невизначеність нескінченність на нескінченність.

Попереду іще п'ять видів невизначеностей. Їх всього сім. Дві розібрали, зараз переходимо до інших. Оскільки я вже сказав, що невизначеності сім, я зараз їх випишу. Крім 0 на 0, нескінченність на нескінченність, у нас є невизначеність нескінченність - нескінченність. Є невизначеність 0 * нескінченність. І три показникових невизначеності: 1 в степені нескінченність, 0 в степені 0 і нескінченність в степені 0. Оце сім варіантів невизначеності, які існують в математичному аналізі. Але правило Лопіталя у нас працює тільки з 0 на 0, нескінченність на нескінченність. Про ці невизначеності Лопіталь нічого не каже. Тому,

тут метод простий. Звести ці невизначеності до тих, які ми вже знаємо. Ми вже стикались з тим, що невизначеність може переходити в невизначеність. Там у нас вийшло це, ну, випадково, а тепер ми будемо штучно перетворювати. Ну, от, скажімо так. Це невизначеність нескінченність на нескінченність. Тому що arctg 0 - 0, нескінченність, x теж дає нам ще одну нескінченність. Нам треба звести до однієї з тих двох невизначеностей. Особливість цих невизначеностей - дріб. Як тільки ми отримаємо дріб, ми можемо сподіватись, що буде потрібна нам невизначеність. Ну, тут просто отримати дріб звичайним шляхом так і проситься привести до спільного знаменника. Приводимо до спільного знаменника. Границя x прямує до нуля. В чисельнику ми будемо мати 1 - arctg x, а в знаменнику буде стояти x arctg x. Дріб. Причому чисельник прямує до нуля, різниця двох нулів, і знаменник до нуля. 0 на 0, що ми й хотіли.

Маємо невизначеність 0 на 0. Тепер використовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо. В чисельнику ми будемо мати 1 - похідна від arctg - 1 / 1 + x². В знаменнику у нас добуток двох функцій. Тому диференціюємо спочатку x, отримаємо arctg x + похідна arctg * x нам дає отакий вираз x². Продиференціювали, підставляємо замість ікса 0. Якщо підставити 0, будемо мати 0. А в знаменнику 0 теж 0. Невизначеність збереглась.

Ну, немає іншого шляху, як знову диференціювати. В такому вигляді не хочеться. Я сподіваюсь, воно трошки спроститься, якщо позбутись чотириповерховості, якщо привести до спільного знаменника, дійсно скоротяться знаменники, вони будуть однаковими. Тому я перетворюю цю цей вираз до дробу. Тут, якщо у нас буде, о, тут взагалі добре. 1 + x² - 1 залишиться просто x² в чисельнику. Я маю на увазі, що знаменники вже скоротяться. А тут, якщо привести до спільного знаменника, не так красиво, але 1 + x² arctg x + x. Отакий вираз. Невизначеність 0 на 0 зберігається. Тут два нуля оці і тут 0. Тому диференціюємо чисельник і знаменник. Границя x прямує до нуля. В чисельнику маємо 2x. В знаменнику, ну, такий трошки подовше буде. Маємо 2x arctg x + 1 + x² на похідну arctg. Похідна arctg 1 / 1 + x². І + 1. Зрозуміло, тут у нас буде одиничка. По суті, тут стоїть 1 + 1 = 2. Підставляємо замість ікса 0. В чисельнику 0, в знаменнику цей вираз 0, а тут двійка. Виходить 0 / 2 - це у нас буде 0. Ми розкрили невизначеність нескінченність - нескінченність. Звели її до невизначеності 0 на 0.

Наступний приклад. Границя, коли x прямує до нуля, x² e в степені 1 / x². Коли x підставити 0, отримаємо 0, а тут e в степені нескінченність - це нескінченність. Таким чином, маємо 0 на нескінченність невизначеність.

Ну, знову нам потрібен дріб. Інакше нічого не вийде. Лопіталь не допоможе інакше. Границя x прямує до нуля. Тут достатньо просто зробити дріб. Ми можемо записати x² із чисельника в знаменник знаменника. От і дріб буде. e в степені 1 / x² / 1 / x². І тепер ми маємо невизначеність нескінченність, яка залишилась, а цей 0 зробив нескінченністю наш знаменник. Нескінченність на нескінченність. Диференціюємо. Границя x прямує до нуля. Похідна чисельника - це e в степені 1 / x² * похідну від показника. Це у нас буде -2 / x³. І знаменник диференціюємо. Ну, тут просто буде те ж саме буде -2 / x³. Якщо скоротити отримані вирази, ми отримаємо, що прийшли до границі x прямує до нуля e в степені 1 / x². І коли x прямує до нуля, ми вже бачили, показник прямує в нескінченність, а e в нескінченному степені дає нам нескінченність. Таким чином, ця границя нескінченна.

До речі, дріб можна було зробити іншим шляхом. Я отримав тут нескінченність на нескінченність, але ж можна було і e в степені 1 / x² опустити в знаменник. Границя x прямує до нуля. x² / e в степені -1 / x². І диференціювати. Чесно кажучи, я нікому не побажаю, тому що тут все буде значно складніше і позбутись легко невизначеності не вдається. Тут треба мати якусь інтуїцію, мабуть, щоб зрозуміти, що пустити в знаменник, а що залишити в чисельнику. Кому як пощастить. Я вам бажаю в цьому питанні успіху в подальшому. А тепер інші невизначеності.

Наступний приклад. ctg в степені 1 / lnx. x прямує до нуля. Що відбувається? Коли x прямує до нуля, ctg прямує в нескінченність. Зрозуміло, що тут у нас x > 0, ми будемо мати плюс нескінченність. Якщо ж lnx тут прямує до нуля, логарифм прямує в мінус нескінченність, виходить 0. Перед нами невизначеність нескінченність в степені 0. Ну, одна оце остання.

Як тут зробити дріб? Тут допомагає взагалі з цими трьома невизначеностями підхід однаковий. Ми користуємось тотожністю. Будь-який вираз A можна записати у вигляді e в степені ln A. Оскільки логарифм і показникова функція взаємно обернені функції. І нам треба тепер цей вираз записати у такому вигляді. Будемо мати границя x прямує до нуля e в степені логарифм натуральний оцього виразу. ctg x в степені 1 / lnx. Що це дає? В даному випадку 1 / lnx плине сюди, і ми будемо мати границя x прямує до нуля e в степені логарифм ctg x / lnx.

Користуємось тим, що якщо функція неперервна, ми можемо поміняти місцями знак функції і знак границі. Границя вноситься в аргумент. І тому я можу обчислити окремо показник і вважати, що границя e в степені границя показника буде границею самого e в степені показник. Обчислю окремо границю x прямує до нуля логарифм ctg x / lnx. Коли x прямує до нуля, логарифм ctg нескінченність, оскільки логарифм нескінченності нескінченність, а логарифм нуля теж нескінченність, правда, з мінусом. Отже, маємо нескінченність на нескінченність. Лопіталь може допомогти.

Диференціюємо. Границя x прямує до нуля. Похідна чисельника - це 1 / ctg - це буде просто tg x * похідну від ctg. На -1 / sin²x. В знаменнику 1 / x. Так. tg - це ж sin / cos. Якщо розписати tg як sin / cos, видно, що скоротиться sin. Залишається мінус, я винесу за знак границі. Залишається границя x прямує до нуля. В чисельнику буде стояти 1 / sin x cos x, а в знаменнику 1 / x. В знаменнику добуток sin cos. Можна іще раз продиференціювати, але можна тепер вже скористатись першою важливою границею. Оскільки відношення x / sin, коли x прямує до нуля, дає нам одиницю, будемо мати мінус границя x прямує до нуля cos x, а це -1. Але це ж показник. Це ми знайшли границю показника. І тоді границя самого виразу буде дорівнювати границя x прямує до нуля e в степені -1. Одиниця на e. Кому приємніше, можна написати так: 1 / e. От у нас невизначеність нескінченність в степені 0.

Я підкреслю, що всі три невизначеності розв'язуються отаким шляхом.

Нарешті, останній на сьогодні приклад. x прямує до нескінченності, x в степені 1 / x. Перевіряємо невизначеність. x прямує до нескінченності, нескінченність в степені 1 / x, тут буде 0. Нескінченність в степені 0.

От невдача. Знову така ж сама невизначеність. Ну, повірте мені, ці розв'язуються таким же самим методом. Яким методом? Ну, записуємо у вигляді границя x прямує до нескінченності e в степені логарифм x в степені 1 / x. Переносимо 1 / x перед логарифмом. Маємо границя x прямує до нескінченності e в степені логарифм x / x. В показнику невизначеність нескінченність на нескінченність. Можна використовувати правило Лопіталя, якщо границю перенести в показник.

Границя x прямує до нескінченності. Ми отримуємо e в степені границя x прямує до нескінченності. В показнику невизначеність нескінченність на нескінченність. Лопіталь може допомогти. Диференціюємо. Границя x прямує до нескінченності. Похідна чисельника 1 / x. Похідна знаменника 1. Отже, коли x прямує до нескінченності, ми будемо мати 0 на 1 - це 0. e в нульовому степені - це 1. Я обрав цей приклад, бо він корисний. І особливо, коли x буде дискретною величиною. Тобто, границя n прямує до нескінченності n в степені 1 / n, або границя n прямує до нескінченності корінь n-го степеня з n, виявляється, дорівнює 1. Ну, це варто запам'ятати як корисне співвідношення. А ми його вивели за допомогою правила Лопіталя.

На сьогодні тема вичерпана. Ми розібрали декілька прикладів використання правила Лопіталя для розкриття невизначеностей. Цей потужний метод використовується всюди в математичному аналізі, і я вам бажаю його засвоїти. Залишайтесь на каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки. А я з вами, Олексій Василенко. До побачення.