ДЧ14. Теорема Лагранжа і теорема Коші про середнє. — Transcript

Шановні студенти, я Олексій Василенко, математичний аналіз.

Маючи в арсеналі теорему Ролля, ми можемо сьогодні розглянути її узагальнення на теореми про середнє в диференціальному обчисленні, а саме теореми Лагранжа і Коші.

Починаємо з теореми Лагранжа.

Нагадаємо теорему Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку АБ, має похідну в кожній внутрішній точці цього відрізку, тобто на інтервалі АБ, і значення на кінцях однакові, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій похідна обертається в нуль.

Це теорема Ролля. Теорема Лагранжа є узагальненням теореми Ролля в тому сенсі, що знімається третя умова.

Цим самим ми розширюємо клас функцій, для яких ми розглядаємо.

Теорема Лагранжа стверджує, що функція, якщо функція неперервна на відрізку АБ, існує похідна в кожній внутрішній точці цього інтервалу АБ, то, але таке твердження не проходить.

Твердження буде трошки іншим. Тоді у нас знайдеться така точка С з середини інтервалу АБ, що F(b) - F(a) дорівнює F'(c) на довжину інтервалу АБ, на b - a.

Твердження теореми Лагранжа. Доведемо. Доведення спирається на теорему Ролля, завдяки тому, що ми вводимо допоміжну функцію.

Розглянемо функцію F(x), яка має вигляд F(x) - F(a) - (F(b) - F(a)) / (b - a) * (x - a).

Я хочу сказати, що ця функція задовільняє умовам теореми Ролля. Чому? Тому що, по-перше, вона буде неперервною на відрізку АБ, бо такою є функція F(x), ну і а це константи. X - a лінійна функція теж неперервна. Неперервна. Вона буде диференційованою всередині відрізку АБ.

Тому що диференційованою є F(x) і знову-таки похідна від x - a це просто одиничка, а це константи. Дві умови виконані. Залишилось перевірити на кінцях. Давайте перевіримо F(a). Значення функції на лівому кінці А, очевидно, буде нуль, тому що тут дивіться, F(a) - F(a) і тут буде a - a, нуль. Це нуль.

F(b). F(b), якщо підставити b, ми отримаємо F(b) - F(a) мінус F(b) - F(a) / (b - a), а тут буде стояти b - a. Уже видно, що можна скоротити b - a. І тоді в нас залишиться просто F(b) - F(a) і мінус той же самий вираз. Тобто теж нуль.

Значення функції на обох кінцях співпадають, дорівнює нулю. Отже, функція F велике від x задовільняє всім умовам теореми Ролля. І тоді за теоремою Ролля існує така точка С з середини інтервалу АБ, що F'(c) буде дорівнювати нулю.

Знайдемо похідну від F, щоб підставити туди точку С. Похідна F'(x) від x буде дорівнювати F'(x). Так, це константа. Це коефіцієнт мінус F(b) - F(a) / (b - a) і похідна від x - a одиниця. О, оце така похідна. І якщо сюди підставити замість x точку С, ми отримаємо, що цей вираз буде дорівнювати нулю.

З останнього, переносячи в інший бік цей коефіцієнт, ми отримаємо F'(c) дорівнює F(b) - F(a) / (b - a). В принципі, це той же самий вираз, що твердження теореми Лагранжа, тільки по-іншому записаний. Теорема Лагранжа доведена.

Щоб з'ясувати геометричний зміст теореми Лагранжа, я перепишу її твердження у вигляді F'(c) дорівнює F(b) - F(a) / (b - a). Такий вираз у нас уже зустрічався в доведенні тільки що. І розглянемо функцію, ну яка-небудь, ну така от, скажімо, задано на відрізку АБ, F(a), F(b).

З'єднаємо кінці цього графіка хордою і розглянемо відношення F(b) - F(a) до b - a. Що це буде? F(b) - F(a) - це приріст функції, це оцей відрізок. b - a - відрізок. Це два катети прямокутного трикутника. Їх відношення дає тангенс кута альфа. Таким чином, оце відношення є тангенс кута альфа.

Ми отримали, що і похідна в якійсь точці С буде дорівнювати тангенсу кута альфа. Але геометричний зміст похідної в тому, що це тангенс кута нахилу дотичної до графіка в точці С. Отже, існує така точка, в якій тангенс кута нахилу дотичної буде співпадати з тангенсом кута нахилу хорди. Існує така точка С, що ці дві лінії будуть паралельні. В цьому полягає геометричний зміст теореми Лагранжа.

Подивимося іще на оцей вираз. Похідна є границя відношення приросту функції до приросту аргумента. Але якщо ми будемо зменшувати відрізок, спрямуємо до нуля b - a, приріст аргумента, відповідний приріст функції теж буде зменшуватись і граничне значення дасть нам значення похідної в точці А за означенням похідної. А тут написано, що похідна в деякій точці співпадає з відношенням приростів без прямування до нуля, залишаючи їх не нескінченно малими, а скінченними. Звідси назва: теорема про скінченні прирости. Причому значення похідної в якійсь середній точці.

Вона якось усереднює значення похідної на всьому інтервалі. Тому що ця теорема ще й називається теоремою про середнє значення в диференціальному численні. Отака різні назви, різні форми представлення показують важність, важливість теореми Лагранжа в подальшому. І дійсно, ми з нею будемо не один раз і ще зустрічатись. Ну, а тепер можна перейти до подальшого узагальнення, до теореми Коші.

Узагальнення полягає в тому, що ми будемо розглядати тепер дві функції: F(x) і G(x), які мають такі властивості.

По-перше, і F(x) і G(x) обидві неперервні на замкненому відрізку АБ. По-друге, вони обидві мають похідну всередині відрізку АБ. І по-третє, G'(x) не дорівнює нулю для будь-якого x з інтервалу АБ. А так умови співпадають з теоремою Лагранжа. До речі, ця умова показує, що функція G буде монотонною, зокрема.

Так от, в цьому випадку теорема Коші стверджує: існує така точка С всередині інтервалу АБ, що F(b) - F(a) / (G(b) - G(a)) дорівнює F'(c) / G'(c). Теорема Коші.

Ну, з першого погляду тут нема чого доводити. Адже в чисельнику у нас стоїть теорема Лагранжа для функції F, а в знаменнику стоїть теорема Лагранжа для функції G. Поділили одне на інше, отримали твердження. А ні. Так не можна, тому що теорема Коші трошки сильніша.

Якби ми так робили, то точка С для кожної функції була б своя. Тут С1, тут С2. І зовсім не обов'язково, щоб вони співпали б. Швидше за все, ні. Теорема Коші стверджує, що знайдеться спільна точка С для обох функцій. В цьому її сила. Але доведення її таке ж саме, як теореми Лагранжа. Тобто ми розглядаємо допоміжну функцію F(x), яка побудована точно так: F(x) - F(a) - (F(b) - F(a)) / (G(b) - G(a)) * (G(x) - G(a)). Неважко бачити, що ця допоміжна функція буде і неперервною, і диференційованою всередині, бо такими є функції F і G.

І крім того, перевіримо F(a) буде дорівнювати нулю, бо ці функції, ці дужки нам дають нуль. І F(b) точно так, якщо підставити замість x точку b, ми отримаємо F(b) - F(a) мінус F(b) - F(a) / (G(b) - G(a)) і помножене на G(b) - G(a). Скорочуючи дужки, ми отримаємо нуль. Отже, задовільняються всі умови теореми Ролля, яка стверджує, що тоді існує точка С з інтервалу АБ, в якій F'(c) дорівнює нулю.

Залишається знайти похідну функції F. Похідна функції F буде дорівнювати F'(x) мінус F(b) - F(a) / (G(b) - G(a)) і помножене на G'(x). Підставляючи замість x С знову, ми отримаємо нуль. І виражаючи відношення, неважко отримати відношення цих похідних, як це ми це робили в теоремі Лагранжа.

Теорема дещо таке штучне узагальнення, хоча насправді вона буває корисною, зокрема при доведенні умов правила Лопіталя, вона нам знадобиться. На цьому ми завершуємо цикл з декількох теорем про середнє в диференціальному численні. Але диференціальне числення продовжується. Залишайтесь на нашому каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки. Успіхів вам, а я з вами, Олексій Василенко. До побачення.