ДЧ08. Приклади. Похідні неявно або параметрично заданих… — Transcript

Василенко.

Ми з вами продовжуємо вчитись знаходити похідні функцій в рамках курсу математичний аналіз.

Сьогодні розберемо знаходження похідних від функцій, які задані неявно або параметрично.

Що таке неявно задана функція?

Розглянемо рівняння F(x,y) = 0. Це рівняння пов'язує дві змінних x і y.

Якщо вважати x незалежною змінною і давати їй будь-які значення, за цією формулою можна буде знаходити y. Якщо можна явно розв'язати звідси y знайти, ми отримаємо явну функцію. Але досить часто це зробити неможливо або нераціонально. І тоді ми будемо казати про неявну функцію, яка кожному x ставить у відповідність певний y.

На жаль, досить часто ця функція не є однозначною, тобто кожному x відповідає не один y. Скажімо, x² + y² = 1. Це рівняння задає точки, які розташовані на одиничному колі. Кожному x відповідає два y, ну, крім крайніх точок. Два y. І таким чином сказати, що це функція неможливо. Тут насправді дві функції. Але кожна з них y = √(1-x²) і y = -√(1-x²) - це функції. Ще й диференційовані, ми можемо знайти похідну від кожної з них. Виявляється, ці похідні можна знаходити, виходячи з виразу в неявному вигляді. Як це зробити у випадку, коли така функція існує і має похідну, ми розберемо. Питання, коли це буває, коли це можливо, ми відкладемо на наступні наші зустрічі.

Розглянемо, наприклад, таку, таке рівняння. Воно задає функцію, яка неявно виражає y через x. Кожному x буде відповідати якийсь один або декілька y. Наша мета - знайти похідну y'.

Для того, щоб знайти цю похідну, похідну від y по змінній незалежній x, я зроблю наступні кроки. Продиференціюю обидві частини, знайду похідні обох частин, вважаючи y якоюсь функцією від x, маючи на увазі, якась там функція, вона існує.

Тобто y⁴ для мене буде складеною функцією. Як це буде виглядати тепер на практиці? Похідна від x⁴ - це 4x³. Похідна від y⁴ - складена функція. 4y³, але помножити на y', на похідну проміжної функції. Дорівнює. Диференціюємо праву частину. Тут добуток. Тому маємо похідну від x² - це 2x * y² без змін. І плюс x² без змін на похідну від y². Як складеної функції 2y y'.

Звідси, так звідси мені треба знайти саме y'. Ну, тепер вже алгебраїчним шляхом. Немає особливих таких принципових проблем тут. Я перенесу всі одночлени, які містять y' в ліву частину, а решту в праву частину. Маємо y' я винесу за дужки, то в мене залишиться 4y³ - 2x²y. Праворуч буде 2x y² - 4x³. І звідси знайду y', поділивши праву частину на множник при y'. Маємо дріб.

Ну, тут, якщо двійку винести і тут двійку винести, вони скоротяться. Це легко зробити. Тут буде x y² - 2x³. А в знаменнику 2y³ - x²y. Ну, далі начебто не скорочується, винести xy можна, ну, це вже не принципово. Похідна знайдена.

Єдине, що хочеться відмітити, тут похідна виражена і через x, і через y. І з цим нічого не поробиш, так доводиться і залишити. Згадайте коло. Коли в точці x одній і тій же ми будемо мати дві різні похідні, два різних кути нахилу. Тобто залежить не тільки від x результат, а й від y. Тому в результаті і повинні бути і x, і y. І якщо конкретно задана точка якась з координатами x₀ y₀, ми зможемо обчислити конкретне значення похідної саме в цій точці, підставивши відповідні числа замість x y. Похідна неявно заданої функції.

Коли ми кажемо про функції, задані параметрично, мається на увазі пара рівнянь: x = φ(t), y = ψ(t). Ця пара рівнянь насправді може задавати функціональну залежність y від x.

Ну, дійсно, якщо я оберу якийсь x, з першого рівняння, якщо дозволяють властивості функції φ, я зможу знайти обернену функцію φ⁻¹(x), виразивши звідси t. А тоді підставити в друге рівняння замість t. Я отримаю y = ψ(φ⁻¹(x)). І таким чином явно виразив y через x. Ну, якщо це можливо. І якщо це раціонально, може воно і нераціонально зовсім, тому що отриманий вираз може бути достатньо складним.

А функції самі, ну, можуть бути простішими. Тому варто спробувати обчислити похідну цієї функції без явного вираження t через обернену функцію. Маємо, якщо знайти похідну цього виразу, ми маємо похідну складеної функції. y' буде дорівнювати похідна від зовнішньої функції. ψ' від аргумента, який ми маємо, φ⁻¹(x). Помножити на похідну аргумента, на похідну від φ⁻¹(t). φ⁻¹(x) похідна. Похідна оберненої функції є обернена до самої функції. Це буде 1 / φ'(t). Оскільки сама функція φ дає залежність x від t. Але і φ⁻¹(x) φ⁻¹(x) - це є саме t. Отже, ми маємо ψ'(t) / φ'(t). Або ще пишуть похідна від y' по t, x' по t. Від x по змінній t, від y по змінній t, позначення. І тоді тут можна написати y' по x, щоб не плутати, яка похідна в цьому випадку мається на увазі.

Розглянемо приклад. Є функція задана параметрично. y залежить від x. Ми маємо на увазі, у нас функція y(x), яка задана параметрично. Треба знайти похідну цієї функції.

Формулу ми тільки що отримали: y' по x - це є y' по t / x' по t. Тобто знаходимо спочатку похідні від цих двох рівностей по t. x' по t нам дає похідну від логарифма (1 + t²). Складена функція. Похідна від логарифма - це 1 / аргумент. І помножити на похідну від аргумента. Похідна (1 + t²) дасть мені 2t. Я можу записати трошки компактніше: 2t / (1 + t²). Тепер знайдемо y' по t. y' по t. Похідна від t - це 1. Мінус похідна арктангенса - 1 / (1 + t²). Якщо привести тут до спільного знаменника, ми будемо мати тут додатковий множник (1 + t²). -1 залишиться t². / (1 + t²). Ну, і нарешті залишилось скористатись формулою. y' по x в мене буде дорівнювати t² / (1 + t²) / (2t / (1 + t²)). (1 + t²) обидва знаменники скорочуються. t² і t скорочуються. Квадрат залишається просто t / 2.

Функція задавалась через параметр t, ми і похідну отримали через параметр t. Знаходження похідної функції, заданої параметрично.

На цьому наша зустріч закінчується. Продовжуємо далі. Залишайтесь на нашому каналі. Підписуйтесь на нього, ставте лайки. А я з вами, Олексій Василенко.