Condición del Ángulo en el Lugar Geometrico de las Raíces # 003

En este video entenderemos cómo solucionar el lugar geométrico de las raíces o el rod locus aplicado a los sistemas de control.

Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sergio Andrés Castaño Giraldo y te doy la bienvenida a nuestra lista de reproducción de el rod locus o el lugar geométrico de las raíces.

Donde estamos analizando el por qué se hace este estudio en los sistemas de control, cuál es la concepción que hay detrás de eso.

Cómo lo podemos ver en la vida real y cuál es el fundamento matemático y claro, vamos a solucionar varios ejercicios numéricos.

Sin embargo, es importante antes que nada entender el concepto, entender primero las nociones de dónde sale todo este background.

Del lugar geométrico de las raíces y para eso también he preparado varios videos teóricos.

Que de hecho son estos primeritos que estamos abordando aquí en la lista de reproducción y para que no te pierdas.

Pues te los voy a dejar todos en orden en esta lista que está saliendo aquí encima para que los puedas seguir sin ningún problema.

Así que vamos con nuestro tercer video de fundamentos.

Donde entenderemos que todo el problema lo vamos a encerrar simplemente enfocado a una solución.

Prácticamente geométrica utilizando los conceptos de los polinomios.

Comencemos.

Si lo deseas, puedes aumentar la velocidad del video para que hagas la explicación mucho más rápida.

O dinámica.

Estamos estudiando entonces lo que es el lugar geométrico de las raíces.

Y en los dos videos anteriores aprendimos que lo que estamos haciendo es variar un parámetro.

En este caso, la ganancia del controlador para que los polos que se ubican en el mapa de polos y ceros.

Comiencen a moverse.

Sin embargo, recuerda que es importante que para que estos polos de hecho se muevan.

Mira que tú, el sistema que estés controlando en la vida real, lo que estés automatizando.

Eso siempre tiene que estar en lazo cerrado.

Porque si no está en lazo cerrado, estos polos nunca se van a mover.

También vamos a ver que estos ceros siempre estarán estáticos.

Y veremos más adelante que los polos van a tender a buscar los ceros.

Y otros tienden a buscar el punto infinito.

Habíamos visto que el lugar geométrico de las raíces, de hecho, puede ser empleado.

Tanto para quien esté estudiando sistemas en tiempo continuo con la transformada de la plaza.

Como en tiempo discreto para quien esté estudiando la transformada Z.

Y es totalmente indiferente, funciona exactamente igual.

Y la esencia es sacar primero la ecuación característica.

Y llevar siempre esa ecuación característica que no deja de ser un polinomio.

Para escribirlo en esta forma, en la forma A más K por B.

Que mira que independientemente si estás en el dominio de la plaza o en la transformada Z.

Siempre puedes llevarlo a esa forma.

Y en la clase anterior hablamos un poco de los números complejos.

Su representación binómica, polar o angular.

Y habíamos hablado del argumento principal que es simplemente el ángulo principal.

Que tiene un número complejo.

Y esta anotación es importante porque es la que vamos a empezar a utilizar de aquí hasta finalizar nuestra lista de reproducción.

Es momento entonces de comenzar a analizar nuestro parámetro K.

Y en el video anterior habíamos visto que nuestra ecuación puede ser expresada en esta forma.

Donde habíamos visto que teníamos una parte real que simplemente es un número cualquiera.

Que está igualado a una parte compleja, una parte que puede tener soluciones.

Tanto reales como complejas conjugadas.

Entonces, en este caso, habíamos dicho que como estamos igualando una parte compleja.

Necesito igualar lo que es el módulo o simplemente aquí el R.

Que es expresado como la raíz cuadrada de la componente real más la componente imaginaria.

Ambas al cuadrado, junto con la fase o el ángulo que forma el número complejo.

Entonces vamos a hacer eso.

Primero vamos a obtener cuál es la condición del módulo.

En este caso, la condición del módulo siempre la expresamos como un valor absoluto.

Entonces mira que aquí esta razón de polinomios.

La expresamos en valor absoluto para indicar que vamos a extraer el módulo.

Simplemente vamos a extraer esa distancia del vector.

Es igual al valor absoluto de -1 sobre K.

Sin embargo, como esto es un número, es un real.

Entonces simplemente me queda positivo.

Y también necesitamos igualar las fases.

Porque como claro, una parte compleja.

Tiene tanto módulo como fase, lo veíamos aquí.

Tiene tanto módulo R como una fase o un ángulo que en este caso es fi.

Dado por un número de vueltas indeterminados que depende de P.

Una vuelta, dos vueltas, tres vueltas.

Entonces esa fase en esta serie de videos siempre la vamos a denotar con esta letra griega.

Con barfi, entonces siempre que diga barfi, por ejemplo, de B sobre A.

Simplemente estoy preguntando cuál es la fase de la división de estos polinomios.

La fase de B sobre A, recuerde que C simplemente la componente compleja.

Tú la sustituyes por S si estás trabajando con la transformada de la plaza.

O la sustituyes por Z si trabajas en el dominio discreto.

Entonces estoy igualando la fase que me dé este número con la fase que me dé el número real.

Y aquí va a salir lo que es nuestra condición de fase del R locus.

O del lugar geométrico de las raíces, la cual será muy importante.

Para poder construir nuestro diagrama.

La condición de fase siempre va a depender si nuestra ganancia es positiva o negativa.

Vamos a ver que dependiendo si es positiva o negativa.

Pues la fase me va a dar bien sea cero.

O me va a dar 180.

Y es que vamos a ver que en un sistema de control no necesariamente está acá.

Tiene que ser positiva.

Muchas veces, dependiendo de la planta, del proceso que vos querrás automatizar.

A veces esa propia K tiene que ser negativa.

Miremos que si K, en este caso, la más usual, si es positiva.

Entonces nosotros tenemos que garantizar que la fase cuando hagamos esta división.

O sea, la fase de la división de los polinomios.

Sí o sí me tiene que dar un múltiplo de 180.

Bien sea positivo o negativo, el signo no importa.

Y como ya vimos que esto puede dar varias vueltas.

Pues puede simplemente ser un múltiplo de la cantidad de vueltas que yo esté dando.

Pero la idea es que siempre esté más o menos apuntando hacia el lado izquierdo.

En este caso sería mi vector rojo.

Para cuando la ganancia de hecho sea positiva.

Tendremos otros casos para nuestro sistema de control.

Donde nuestra ganancia será negativa.

En este caso, la fase que genera la división de estos dos polinomios.

Siempre tendrá que ser cero o un múltiplo de cero.

Por ejemplo, 360.

Saben que básicamente si yo doy una vuelta, vuelvo y llego al mismo punto.

Entonces, en este caso, para ganancia positiva, estaría buscando un vector que siempre esté apuntando hacia ese lado.

Como lo vemos en este vector azul.

De la condición anterior, puedo concluir rápidamente que lo único que yo voy a necesitar conocer.

Para poder determinar el ángulo de fase o la condición de fase en el lugar geométrico de las raíces.

Que es importantísima, es simplemente, por ejemplo, saber.

Si esta K es positiva o si es negativa.

Yo sabiendo el signo de la K, ya sé.

Si necesito cumplir la condición del ángulo para 180 o -180.

Y si la K es negativa, ya sé que tengo que cumplir la condición de cero.

O un múltiplo, pues, de cero, en 360.

Vamos a ver que como todo parte de esta ecuación, como lo veíamos en los videos anteriores.

Que recuerda que está en la lista de reproducción, pero sin embargo, también es importante destacar.

Que esta lista aquí hace parte de los fundamentos en control.

Y si tú no has visto todos los videos hasta este punto, pero quieres entender todos los fundamentos y aprobar tus disciplinas de control.

Te lo dejo aquí en esta lista de reproducción para que empieces desde cero.

Entendiendo el por qué de las cosas en los sistemas de control.

Vamos a ver que todo ese problema del lugar geométrico de las raíces.

Yo simplemente lo puedo transformar en un simple problema geométrico.

En este caso, hasta este punto y espero que no hayan dudas.

Nosotros tenemos dos polinomios, el polinomio B que va a tener los ceros del sistema.

Y el polinomio A que va a tener los polos.

Y en forma polinómica, nosotros podríamos verlos de forma general como lo siguiente.

Digamos que yo tengo un polinomio B donde tengo varias raíces.

Vamos a expresar las raíces explícitamente.

Donde yo las pueda ver, entonces digamos que tengo aquí, recuerde que C es la variable compleja.

Entonces, por ejemplo, tengo una raíz Z1 o un 01, una raíz Z2 o un 02.

Así sucesivamente hasta un 0 a la M.

Digamos que tengo M raíces o M ceros.

Porque estamos hablando del polinomio B.

Si lo llevamos más a la teoría del control, mire que si usted está trabajando en tiempo continuo.

Simplemente sustituya la C por S, S - Z1, S - Z2.

Así sucesivamente, pero si tú trabajas en tiempo discreto.

Solo sustituye a la C por Z.

Mira que no cambian absolutamente nada.

Trabajar en un dominio en otro va a ser exactamente lo mismo.

Solo cambia el análisis más adelante cuando finalicemos la construcción del lugar de la raíz.

Entonces aquí vamos a ver que vamos a tener M ceros.

Y ese M me va a establecer a mí el orden del polinomio B.

De la misma manera, pues yo puedo tener mi polinomio A en su variable compleja.

Donde tengo un polo 1, un polo 2, un polo 3.

Tengo N polos.

Y nuevamente yo lo puedo expresar si estoy en tiempo continuo.

Lo transformo a la transformada de la plaza, S - P1, S - P2.

Y en transformada Z sería Z - P1, Z - P2.

Y mire que siempre vamos hasta la P a la sub N.

En este caso, tenemos N polos.

O sea que N me indica a mí el orden del polinomio.

Si colocamos nuestros dos polinomios.

Expresadas aquí de una forma más general.

Vamos a ver algunas propiedades cuando yo hablo de las fases.

Porque habíamos dicho que como estos son polinomios con variable compleja.

Porque la transformada de la plaza S o el S y o la Z.

Son números complejos.

Entonces estamos trabajando con números que tienen una componente real.

Pero también tienen una componente imaginaria.

Y habíamos visto que hay que igualar tanto el módulo como la fase.

Pero en este caso lo más importante para nosotros en el lugar geométrico de las raíces.

Es casi siempre analizar las fases.

Las fases son esenciales, por eso necesitamos cumplir.

Con la condición de fase que detallábamos anteriormente.

Observa que hay una propiedad de las de la fase, por ejemplo, mira que si tú tienes la fase de la división de dos polinomios.

X sobre Y, tú lo puedes expresar como simplemente siendo la resta de las fases.

Entonces tú tomas la fase del numerador o la fase del cero.

Se la restas a la fase del polinomio del denominador o la fase de los polos.

Y hay otra regla, por ejemplo, u otra propiedad que si tú tienes dos polinomios multiplicando.

Y si quieres obtener la fase porque son números complejos conjugados.

Este producto lo puedes expresar como una suma.

Simplemente la fase del polinomio X que sería el numerador o los ceros.

Los sumas a la fase del polinomio Y del polinomio de los polos.

Entonces, aplicando esta propiedad, mire que aquí tenemos varios productos.

Entonces podemos aplicar esta propiedad, yo puedo expresar mi polinomio B como siendo simplemente voy separando cada uno.

Entonces digo, lo voy a separar como la fase de C - Z1.

Más la fase de C - Z2 y así sucesivamente hasta la fase de C a la Z a la M.

Aplicando la segunda propiedad.

Hago exactamente lo mismo con el polinomio A que contiene los polos.

Simplemente este producto pasa a ser la suma de las fases.

Y si yo sustituyo en la condición del ángulo y aplicando la fase de un cociente se tiene que.

Nosotros teníamos anteriormente en la condición del ángulo, déjeme yo me devuelvo.

Recordamos que habíamos llegado aquí a la condición del ángulo que solo teníamos que determinar.

Si K era positiva o si K era negativa.

De qué, de la ecuación donde nosotros partimos.

Mire que aquí tenemos la división de los ceros con los polos.

Entonces, partiendo de aquí, digamos que para K positiva.

Donde tengo que ir a múltiplos de -180.

O más 180, eso no importa, dependiendo cómo yo esté dando las vueltas.

Mire que simplemente si yo sustituyo por la propiedad que tenemos aquí.

Podría solamente tomar, por ejemplo, la fase de todos los ceros.

Entonces tomo la fase de los ceros que sería esta de acá.

Pero como ya le habíamos aplicado esta propiedad, entonces quedaría la fase de C Z - 1.

Más la fase de C - Z a la 2, así sucesivamente hasta la fase de C a la Z a la M.

Le aplicamos el menos.

Y ahora la fase del polinomio Y.

Entonces, la polinomio Y en este caso sería el polinomio A.

Simplemente vamos a restar, entonces básicamente volveríamos a copiar todo este polinomio A.

Pero ahora con signo intercambiado, todos con signo menos.

Menos C - P1, menos la fase de C - P2.

Así sucesivamente hasta la fase de C - P a la N.

Y eso va a ser igual a quién, a 180.

Más menos 180, no importa por.

Un múltiplo de el número de vueltas que yo esté dando.

Ahí en ese punto.

Por qué es esto importante, porque nosotros vamos a ver.

Que ya cuando muestre esto gráficamente, básicamente lo que hice fue transformar un problema de la teoría del control.

Que aparentemente parece muy complejo.

Simplemente lo pasé a un problema de fases.

Que es muy simple de resolver.

Mire, este problema de fases, vamos a ver más adelante.

Es simplemente calcule un angulito o un ángulo.

Y sume, sume, reste, sume, reste.

Calculando angulitos, ángulos.

Como es un problema geométrico, simplemente aplicamos teoría geométrica.

Eh, trigonometría para encontrar esos ángulos y haga si no sumar y restar ángulos.

Y ver si al final si la suma y la resta de todos esos ángulos le da 180.

O un múltiplo de 180 si estamos suponiendo que la ganancia es positiva.

O que me dé cero si en este caso necesitamos que la ganancia sea negativa.

Entonces, calcular ángulos es super fácil.

Y sumar y restar, pues más todavía.

Entonces vemos que básicamente el problema queda mucho más sencillo de resolver.

Geométricamente.

Y eso que estamos solucionando un sistema de control.

Que esta información o esta teoría más adelante nos va a permitir para desarrollar controladores o compensadores.

Que permitirán que nuestro sistema que queremos automatizar, que queremos controlar.

Se comporten de la manera que nosotros queremos.

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Para contextualizar lo que hemos visto en este video, veamos un ejemplo netamente conceptual.

Donde vamos a analizar la condición del ángulo o de fase.

Y para eso vamos a suponer que inicialmente estamos en tiempo continuo.

Aplicando la transformada de la plaza S.

Y que solamente contamos con un cero y un único polo.

Digamos entonces que aplicando la propiedad de la división de fases.

Simplemente entonces voy a decir la fase de B menos la fase de A.

Que es lo que tengo aquí, entonces voy a tener simplemente un cero.

Z a la 1, no me importa el valor.

Y tengo un polo, sería P1.

Vamos a graficarlo en el plano complejo.

Supongamos que mi cero está más cerca al eje imaginario.

Y mi polo está aquí.

Mire que ambos son raíces reales porque están sobre el eje real.

No tienen ninguna componente imaginaria.

La idea del lugar geométrico de las raíces es una vez que vos ubicas las raíces.

Bien sea un polo, bien sea un cero.

Es averiguar si un determinado punto hace parte del lugar geométrico de las raíces.

Qué quiere decir con eso.

Si cuando yo comience a aumentar la ganancia y ya vimos que el polo va a comenzar a moverse.

Cuando yo aumente la ganancia siempre y cuando esté en lazo cerrado.

Yo quiero ver si el el polo va a pasar por ese punto que yo estoy colocando aleatoriamente.

En otras palabras, si es parte de mi lugar geométrico de las raíces.

Vamos a suponer que yo pongo un punto aquí cualquiera.

De mi cabeza me saqué ese punto, lo puse ahí.

¿Será que yo cuando empiece a aumentar la ganancia de mi lazo cerrado.

Será que este polo en algún momento va a pasar por aquí por este punto P?

Si eso es verdad.

Indica que ese punto hace parte de mi lugar de las raíces.

Si no, entonces no hace parte, o sea, por ahí nunca en la vida va a pasar ese polo.

A pesar de que yo aumente y disminuya esa ganancia todo lo que quiera.

Pero entonces, ¿cómo yo descubro si esto es o no es?

Parte del lugar geométrico de las raíces.

Básicamente necesito, vea, asegurarme de cumplir la condición de ángulo.

De fases y como lo decía anteriormente, esto es un problema muy sencillo.

Simplemente calcule ángulos, sume y reste.

Y mire a ver si le da 180.

O un múltiplo de 180, si sí, perfecto.

Si no, eso no hace parte.

Para hacer eso, entonces, listo, tracemos dos vectores.

Desde el cero hasta el punto que yo me inventé de mi cabeza.

Y también desde el polo hasta ese punto.

En este caso, pues necesito entonces empezar a calcular fases.

Mire, fases es solo calcule ángulos.

Ponga ángulos y sume y reste.

En este caso, mire, solo tengo que restar.

Entonces, necesito calcular primero la fase del cero.

Entonces, esta sería mi fase del cero, que es esta de acá.

Simplemente abreviándole, digamos que sea la fase que está aquí en Z1.

De la raíz Z1.

Y lo mismo aquí, vea, siempre partimos de desde el eje real.

Entonces, la fase del polo sería desde aquí hasta acá.

Representado en rojo.

Mire, lo que yo necesito saber es si la resta de estas dos fases.

Efectivamente me va a dar 180 o no.

Acá claramente, pues tenemos un triángulo.

Pues podemos aplicar geometría para encontrar si efectivamente.

Esta resta me da 180 o no.

A pesar de que yo no tengo ninguna información numérica, pues puedo intuir fácilmente.

Si eso me va a dar 180 o no.

Vamos a suponer que, mire que aquí en este triángulo.

Yo podría encontrar, si usted observa, este ángulo simplemente sería como la razón.

Entre o simplemente la fase de B sobre A.

Es básicamente la resta de estos dos ángulos.

Pero vamos a ver por qué.

Vamos a simplemente complementar.

Miramos que como esto es un triángulo, vamos a complementar lo que nos hace falta aquí.

Con un ángulo que lo voy a llamar ángulo beta.

Porque yo sé que existe una propiedad, como estoy viendo aquí un triángulo.

Que si yo sumo todas los ángulos dentro de un triángulo.

Me tiene que dar 180.

Entonces, hagamos eso.

Vamos a sumar todos los ángulos de este triángulo.

Entonces, comencemos, vea, beta, se lo sumamos a este ángulo que se llama barfi de B sobre A.

Y se lo sumamos a este ángulo que sería simplemente barfi de P1.

O simplemente la fase de P1.

Yo sé que la suma de esos tres ángulos me tiene que dar 180.

Y de aquí voy a despejar barfi o la fase de B sobre A.

Voy a despejar este ángulo, entonces me va a dar 180 menos beta.

Menos la fase de P1.

Una segunda ecuación que podría obtener de este triángulo que tengo aquí.

Sería, por ejemplo, todo el ángulo que forma aquí, este ángulo llano.

Entonces, mire que yo sé que la suma del ángulo beta con la suma de la fase Z1.

La suma de esos dos ángulos me tiene que dar 180.

Véalo acá, despejemos beta de aquí.

Entonces, beta sería 180 menos la fase de Z1.

Mire que tengo dos ecuaciones.

Las extraje simplemente con conocimiento.

O conceptos geométricos.

Voy a aplicar la ecuación 2 en la ecuación 1.

Entonces, esta ecuación 2 sustituyo beta aquí por 180 menos la fase de Z1.

Me va a quedar entonces que la fase de B sobre A será 180 menos 180 más la fase de Z1 más la fase de Z2.

Vemos que estos 180 se cancelan, evidentemente.

Entonces, vea que evidentemente aquí la fase de B sobre A es simplemente la resta de estos dos ángulos.

Incluso aplicando las propiedades que habíamos visto.

Vea que aquí queda demostrado que de la propia ecuación que obtuvimos aquí, simplemente sería la fase de Z1.

Que está acá, menos la fase del polo 1.

Y esto sabemos que esto lo puedo expresar con la propiedad que vimos.

Simplemente sería la fase de Z1 sobre P1.

Y miramos que, de hecho, pues esto aquí, con seguridad, con seguridad, esta fase.

Entre B sobre A, que era lo primero que nosotros necesitábamos.

Con seguridad, esa fase aquí nunca va a dar 180.

Incluso aquí se ve claramente, eso nunca iría a dar 180.

Porque estamos suponiendo una ganancia positiva.

Entonces, en este caso, pues no cumple la condición del ángulo.

Por lo tanto, este punto P que yo me saqué de la cabeza.

Pues no es una solución de la ecuación.

O sea, por aquí nunca va a pasar ese polo por más que yo aumente o disminuya la ganancia del lazo cerrado de control.

Recordamos que esta es la condición del ángulo.

Y yo estoy suponiendo que mi K es positiva.

Por eso siempre el la fase entre B sobre A.

Siempre tiene que dar -180 o 180.

Pues no importa el signo.

O un múltiplo aquí.

Dependiendo del número de vueltas P que yo haga.

Vamos entonces a continuar con el mismo problema.

Ya vi que yo colocándolo aquí aleatoriamente.

Pues evidentemente no es solución.

Pero entonces, ¿qué pasa si ahora yo coloco ese punto P?

Digamos sobre todo el eje real, digamos en este punto.

¿Será que este punto será solución o no será solución?

Hacemos el mismo procedimiento, trazamos un vector azul hasta el punto P desde el cero.

Trazamos un vector rojo desde P1 hasta este P.

Y volvemos y aplicamos, recuerde que lo que queremos hacer.

Es simplemente calcular ángulos, sumar y restar.

No hemos hecho absolutamente nada.

Una cosa netamente sencilla.

Y mire que acá es mucho más fácil encontrar los ángulos.

No me tengo que matar para hacer eso.

Entonces, vea, la fase de B sobre A, que es lo que yo quiero encontrar.

Que quiero ver si me da 180.

Vamos a ver, aquí en este punto, ¿cuánto es la fase o el ángulo que está formando aquí Z1?

Pues sería cero, ¿cierto?

Y cuál es el ángulo o la fase que está formando aquí P1?

Este vector aquí con respecto a este punto, pues también es cero.

0 - 0, o sea que me da cero.

Entonces, estoy viendo que este punto no sería punto o no sería lugar de las raíces.

Si yo estuviera considerando un K positivo.

Sin embargo, si fuera el caso de mi sistema de automatización o mi sistema de control.

Donde yo estoy considerando un K negativo.

Porque, por ejemplo, si la planta tiene una ganancia negativa, entonces yo caería por aquí.

Si K fuera negativo, entonces, mire que mi fase ya no tiene que dar 180.

Sino que mi condición de fase tiene que dar cero.

En este caso, P sería solución para la condición de tener una ganancia negativa.

K menor que cero.

Entonces, aquí lo voy a trazar como esta línea azul.

Diciendo que esto será una solución que está entre el cero hasta el punto más infinito.

Y esto, evidentemente, teniendo K negativa.

Si yo pongo un punto en este otro lado, al lado del polo izquierdo.

Mire que si yo trazo los vectores hasta este punto.

Aquí ambos vectores me irían a dar 180.

Mire, el el ángulo de Z1 hasta P sería 180.

Y el ángulo de el polo hasta P también sería 180.

180 - 180 me vuelve a dar cero.

Entonces, veo que este punto también sería solución para la condición de ángulo.

Donde yo considere la ganancia negativa.

En otras palabras, si yo comienzo a aumentar la ganancia de mi controlador.

Voy a ver que este polo X va a comenzarse a mover por aquí.

Y eventualmente va a aparecer por el otro lado y va a venir hasta llegar al cero.

Entonces, es importante recalcar.

Que eso solamente es solución si yo considero la K negativa.

Ahora, ¿qué pasaría si yo considerara la K positiva?

En ese caso, vamos a ver que aquí en este punto será solución si mi K es positiva.

Porque mire que si usted traza un ángulo, primero, ¿cuál es la fase de Z1?

Vea, desde este cero hasta el polo, si usted traza un vector.

Va a ver que va a tener un un ángulo de 180.

Pero si traza un vector desde el polo hasta P, va a ver que el ángulo es cero.

180 - 0 me va a 180.

Entonces, estoy cumpliendo con la condición de fase.

Y P sería una solución en el caso de que mi ganancia fuera positiva.

Entonces, sería una solución entre P1 y Z1.

Claro, para toda K positiva.

Y mire cómo es de fácil saber si esto es un lugar geométrico de las raíces.

Si de hecho es un camino por donde va a caminar este polo rojo P1.

Simplemente calcule angulitos, calcule ángulos y véalos y réstelos.

Y mire a ver si le da 180 o si le da cero.

Dependiendo de cuál de las dos condiciones estoy tratando.

Entonces, mire que lo llevo a un problema geométrico netamente sencillo.

Este ejemplo hemos mostrado que sin la necesidad de realizar cálculos muy elaborados.

Solo calculé ángulos y haga sumas y restas.

Yo consigo saber, de hecho, cuáles son los caminos que va a seguir los polos.

En la medida que yo comience a incrementar la ganancia del controlador.

Sin embargo, vamos a ver que estar colocando puntos al azar.

Dentro del polo de polos y ceros, pues sería algo muy absurdo.

Estar tratando de adivinar si este punto es, si este punto no es.

Y para eso, Richard Evans, pues idealizó una serie de reglas.

Para poder determinar de una mejor manera cuáles son las ramas o cuáles son los caminos, de hecho, que va a seguir nuestro polo.

De ese sistema de automatización que queremos aplicar.

Cuando estemos aumentando las ganancias de nuestro controlador.

Y, de hecho, pues eso es justamente lo que nosotros vamos a aprender en los próximos videos.

Que vienen de nuestra serie de lugar geométrico de las raíces.

Vamos a aplicar todas las normas elaboradas por Evans.

Para entender cómo hacemos o solucionamos este tipo de problemas.

Por lo tanto, si te ha gustado este video, no olvides suscribirte al canal.

Te hago la invitación para que veas nuestro cuarto video.

Donde hablaremos ahora sí de esas reglas para que posteriormente procedamos a solucionar ejercicios.

Y claro, no te pierdas toda la lista de reproducción del lugar geométrico de las raíces.

Y que veas alguno de mis cursos premium para que aprendas mucho más.

Nos vemos en el siguiente video.