Conceptos del LUGAR GEOMÉTRICO de las RAÍCES [LGR] - Sistemas de Control # 002

Con este video aprenderás a solucionar un sistema de control empleando el lugar geométrico de las raíces, sin importar la cantidad de ceros, la cantidad de polos o la estructura o forma que tenga el sistema de control.

Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sergio Andrés Castaño Giraldo y veremos y entenderemos principalmente cómo funciona el lugar geométrico de las raíces.

Este es nuestro segundo video donde continuaremos explorando los conceptos sobre el lugar geométrico de las raíces.

Y posteriormente podremos avanzar para que hagamos varios ejemplos paso a paso numéricos, aquellos ejemplos que te va a pedir tu profe de control, pero aquí lo más importante es que entiendas el porqué nosotros hacemos el lugar geométrico de las raíces.

Qué es lo que está detrás de toda esta teoría y cómo es que la podremos ver en la vida real cuando la queramos aplicar.

Recuerda que aquí estamos abordando varios videos donde veremos ese concepto teórico y los ejercicios escritos que vamos a hacer también te los dejo aquí para que puedas aprobar tus disciplinas, sin embargo, para que no te pierdas en todos estos videos, me he encargado de recopilarlos uno a uno y paso a paso en esta lista de reproducción que ves que está saliendo aquí encima y también te la dejo abajo en la descripción de este video y en el primer comentario, así que comencemos.

Continuando entonces con el lugar geométrico de las raíces o el root locus, habíamos visto que era un método propuesto por Walter Richard Evans para analizar dónde se ubican las raíces y que todo dependía en incrementar uno de los parámetros, que en este caso era la ganancia proporcional para hacer que mis polos comenzaran a moverse en el plano complejo.

Del video anterior, rescatamos que necesitamos que nuestro polinomio característico tengan los coeficientes reales y esto es una suposición bastante válida, dado que nosotros estamos extrayendo las ecuaciones características, por ejemplo, de procesos reales, como una válvula, como un tanque, como un calentador, en fin, entonces, esa sería nuestra primera suposición.

Ahora comenzaremos con el desarrollo del método del root locus o el lugar geométrico de las raíces, como vimos que el polinomio característico depende de un parámetro K, que generalmente será la ganancia de nuestro controlador.

Siempre será posible expresar dicho polinomio o dicha ecuación característica que tendremos primero, evidentemente, que resolver el lazo cerrado de control que ya aprendimos cómo hacerlo.

Sin embargo, si estás cayendo de paracaídas en este video y todavía no sabes solucionar diagramas de bloques en un sistema de control, en esta lista de reproducción te dejo un curso gratuito con varios ejemplos para que los aprendas a solucionar.

Veremos entonces que la ecuación característica yo la puedo representar en un polinomio, recuerde que el polinomio lo representamos con P, que tiene su variable compleja, que puede ser S o Z, dependiendo del tiempo donde estemos trabajando y que estamos modificando un parámetro, que será la ganancia del controlador.

Y aquí voy a tener dos polinomios, un polinomio A que depende de la variable compleja, más la ganancia que yo estoy variando que multiplica el polinomio B que también depende de la variable compleja y observe que la estamos igualando a cero para efectivamente extraer sus raíces.

Aquí es importante que entiendas que como es partimos de sistemas reales, generalmente el polinomio A o el grado de ese polinomio A siempre será mayor o por lo menos igual al grado del polinomio B para que sea un sistema físicamente realizable y que exista evidentemente en la vida real.

El polinomio A y B también será importante que los configuremos como polinomios mónicos dentro de esta ecuación que vamos a empezar a utilizar en el método del lugar geométrico de las raíces, esto quiere decir que el coeficiente del máximo exponente siempre será uno.

Veamos el siguiente ejemplo, suponiendo que estamos trabajando en tiempo continuo, donde mi variable compleja, C, en este caso será S de la transformada de la plaza, donde estoy variando evidentemente K, digamos que tengo un sistema o un polinomio de segundo orden, aquí tengo un S cuadrado más S más K.

Observa que este polinomio yo puedo expresarlo en esta forma, si yo despejo, voy a ver que aquí los dos primeros términos S cuadrado más S, podrían ser mi polinomio A de C, en este caso A de S, porque es mi variable compleja, más mi variable K, que será la ganancia que voy a variar y mire que aquí el polinomio B, de hecho, sería simplemente un uno.

Entonces aquí, mire que he expresado un polinomio de segundo grado y lo llevé a la forma general que me permite a mí analizar el lugar geométrico de las raíces, el LGR. Sin embargo, si yo tuviera, por ejemplo, un polinomio en tiempo discreto, donde utilizo la transformada Z, digamos que es este polinomio de acá.

Observe que aquí también tenemos la variable K, que es la variable que estamos queriendo variar, recuerde que este polinomio siempre viene de la ecuación característica de lazo cerrado.

Y como lo decíamos en el video anterior, si tú no cierras el lazo, no tienes cómo hacer que las raíces comiencen a caminar por el plano complejo.

Vamos a llevar este polinomio, este polinomio de Z en la forma que vamos a trabajar durante todos estos videos.

Observa que aquí, simplemente organizando, voy a ver que el polinomio A vendría dado por Z cuadrado menos 1.9 Z más .9, tengo el K aquí y simplemente el polinomio B sería Z menos 0.6.

Entonces, observa que independientemente del polinomio que vos tengas, podremos siempre llevarlo a esta forma de A más K por B igual a cero.

Sin embargo, es importante tener un análisis de ese parámetro que estamos variando, en este caso, la ganancia K de nuestro controlador.

Para poder resolver la ecuación en el dominio complejo de A más K por B igual a cero, nosotros vamos a proceder a despejar el parámetro variable, en este caso, nuestra K, evidentemente.

Entonces, partiendo de nuestra ecuación, observa que voy a tener la siguiente expresión y de acá queda fácil ver que puedo despejar, pasando este parámetro hacia el otro lado de la igualdad y subiendo el B, simplemente vamos a ver que voy a llegar a esta expresión.

Observa que, como nosotros estamos queriendo dividir nuestro polinomio en dos subpolinomios, el polinomio B y el polinomio A, básicamente eso nos hace una alusión a que el polinomio B es el que más o menos va a contener los ceros del sistema, o sea, las raíces que están en el numerador y el polinomio A va a contener los polos del sistema, es decir, las raíces que están en el denominador.

Y eso es porque ya entendemos muy bien el concepto de una función de transferencia y a propósito, en este canal nos hemos esforzado para que entiendas qué es una función de transferencia y si no lo entiendes todavía muy bien, no te preocupes, pues aquí te lo dejo para que nunca más se te olvide.

Como ya tengo aquí mi sistema, observe algo muy interesante que sucede aquí, podemos primero extraer un análisis importante, observe que en esta ecuación estamos igualando una componente que es compleja, que sería la división de estos dos polinomios, porque ya vimos que eso puede tener raíces que son reales, pero también pueden tener raíces complejas conjugadas, dependiendo dónde estén ubicadas esos ceros o esos polos.

Y esta solución compleja la estamos igualando con un número, un número real que depende de K, sabemos que K varía de menos infinito a infinito, pero eso no deja de ser un simple número y vamos a ver que, dependiendo de el valor que yo le coloque acá, porque K es el parámetro que yo puedo modificar en mi sistema de control, en mi sistema automatizado, es ese el que yo mismo estoy variando.

Entonces yo le puedo poner desde un valor negativo hasta un valor positivo, entonces si yo le pongo a ese K un valor positivo que esté por encima de cero, usted va a ver que esta división siempre me va a dar negativo.

Claro, ponga un número positivo acá y usted va a ver que esto siempre va a dar negativo y sucede lo contrario, qué pasa si yo a este K le pongo un valor negativo que sea menor que cero.

En este caso, esta división de menos uno sobre K siempre me va a dar un valor positivo, porque menos por menos se va a cancelar y va a dar positivo.

Entonces, como estamos igualando una parte real con una parte compleja, nosotros siempre que igualamos un número complejo con un número real, debemos igualar tanto el módulo como la fase o el argumento.

Porque recuerda, siempre que trabajas con números complejos, siempre tienes dos componentes, la parte que será la magnitud y también la parte que será la fase.

Incluso eso lo abordamos un poco en la lista de reproducción cuando estudiamos el diagrama de Bode, que si no lo has visto, también te lo dejo en esta tarjeta.

Pero en este punto entonces, para que entiendas bien el root locus o el lugar geométrico de las raíces, es importante que tengas buenas bases sobre los números complejos.

Entonces, vamos a hablar un poco de esos números complejos para que no quede simplemente en el aire.

Si nosotros tenemos, por ejemplo, un punto, lo vamos a llamar el punto Z, ubicado sobre el plano complejo, donde nosotros la componente en Y será mi componente imaginaria, cuanto la componente en X será mi componente real.

Observa que en este punto yo puedo trazar un vector desde el origen para representar este número complejo.

Y yo tengo varias formas de hacer esta representación de ese número complejo.

La primera representación que podría hacer es la representación binómica, donde Z simplemente es compuesta por la componente real, que sería esta componente en A, más la componente imaginaria, que sería B multiplicado por I de imaginario.

Esa es la representación binómica de un número complejo, en este caso, el número Z, donde tengo A, siendo mi parte real y tengo B, siendo mi parte imaginaria.

Sin embargo, el mismo número complejo yo lo puedo representar en su forma polar y también es totalmente válido.

En este caso, en lugar de representarlo por sus componentes, voy a representarlo a través de un módulo y a través de una fase.

Mira que aquí, en este caso, como tengo un vector, ese vector, si tú miras, sería como la distancia que existe entre ese número complejo y el origen, entonces R sería la distancia del origen.

Y aquí vamos a ver que se forma un ángulo fi, que sería el ángulo desde el origen y es muy importante, este ángulo siempre está dado en radianes.

Esas serían las dos formas más típicas de representar un número complejo.

Sin embargo, hay otra forma más empleada para quienes estudian, por ejemplo, disciplinas como electrónica o eléctrica, donde nosotros vamos a ver que tenemos lo que es la notación angular, bastante parecida con la forma polar.

Que simplemente expresamos nuevamente R, siendo la distancia del origen, colocamos el ángulo y aquí simplemente colocaríamos la fase o el ángulo desde el origen.

Mira que R siempre será el módulo del complejo, así se le conoce en matemáticas y fi será el argumento de este número complejo.

Es importante que veas que si volvemos a ubicar nuestro número complejo aquí, suponiendo que lo vamos a expresar en su forma polar.

Vamos a ver que aquí yo tengo un ángulo, que sería el ángulo fi uno, entonces mire que el ángulo fi uno me está mostrando cuál es el ángulo que existe entre el origen hasta donde está ubicado exactamente mi vector.

Pero veremos que ese ángulo fi no está unívocamente determinando este número Z, ¿por qué?

Vamos a ver que, por ejemplo, sucede bastante claro aquí en la forma polar, qué pasa si yo hago, por ejemplo, un giro completo.

Entonces yo giro aquí 360 y giro otro poquito, sería fi dos.

Vamos a ver que fi dos me va a dejar exactamente el vector en el mismo lugar.

Mire que si yo lo lo muevo fi uno, pues va a quedar ubicado el vector aquí, pero si hago una vuelta y vuelvo a quedar aquí en fi dos, me va a simplemente expresar el mismo número complejo y me lo va a dejar en el mismo lugar.

Entonces es importante ver que cuando yo expreso un número complejo en su forma polar, yo puedo dar las vueltas que quiera en ese plano complejo, en ese esquema polar.

Y puedo simplemente llegar al mismo punto, o sea, que tendría el mismo R, pero tendría diferentes ángulos en este caso.

Por eso una forma de representar la forma polar sería la distancia al origen R por el argumento, donde el argumento será mi componente imaginaria, que sería fi, más dos veces pi.

Porque yo puedo dar las vueltas que sea, multiplicado por P, P sería el número de vueltas, una vuelta, dos vueltas, tres vueltas, cuatro vueltas.

El número de vueltas que yo quiera dar y de esa manera, pues podría encontrar innumeros ángulos para representar exactamente el mismo número complejo.

O sea, que tendría el mismo R, pero tendría diferentes ángulos en este caso.

Sin embargo, para nosotros restringir nuestro estudio, nosotros podríamos simplemente acutar ese ángulo para restringirlo para que varíe entre menos pi y pi.

Cuando nosotros hacemos esa restricción, nosotros vamos a denotar el ángulo como siendo el argumento de Z.

O fi, siendo el argumento de Z, donde este lo vamos a conocer como el argumento principal de Z.

Es decir, que este fi uno, pues es igual al fi dos, solo que simplemente ese sería como el argumento principal sin necesidad de estar dando vueltas para representar dónde está ubicado, de hecho, ese vector en mi número complejo.

Y este simplemente es un convenio donde las coordenadas estarán unívocamente determinadas ahora sí por Z.

Si lo expresamos de esta manera o si yo quiero expresar efectivamente quién es el argumento principal de Z.

Si tenemos aquí entonces en notación angular en el plano complejo, vamos a ver que si yo tengo este vector, pues yo tengo aquí mi ángulo fi.

El módulo de este vector siempre es la raíz cuadrada de la componente real, en este caso, A al cuadrado, más la componente imaginaria B al cuadrado.

Entonces, mire que R o el radio siempre lo expresamos con un módulo, que simplemente se expresa como valor absoluto para determinar la distancia o el tamaño como tal que tiene ese vector.

Y tenemos nuestro ángulo, que mire que aquí usted lo podría determinar fácilmente a través de trigonometría.

Mire que acá usted solo resuelve ese triángulo y para determinar ese ángulo, sería tangente inversa de la componente imaginaria B sobre la componente real.

Eso claro, si el vector estuviera en el primer cuadrante.

Si el vector está en el segundo cuadrante, en este caso Z2, aquí tendríamos un ángulo fi2 y ese ángulo fi2, pues vendría dado por 180, porque sumaríamos de aquí hasta acá, daría 180 menos tangente inversa de la componente imaginaria y la componente real, que en este caso sería menos B.

Si estuviera en el cuadrante 3, tendríamos un fi3, entonces aquí tendríamos 180, pero aquí ahora le sumamos tangente inversa de menos B, componente imaginario, menos A, componente real.

Y finalmente, si estuviéramos en el cuarto cuadrante, el ángulo fi4 lo podríamos expresar como siendo 360 menos tangente inversa de menos B imaginario sobre la componente A real.

De esta manera, tenemos las cuatro ecuaciones para expresar el ángulo, dependiendo dónde se ubique el vector dentro de nuestro cuadrante del plano complejo.

Para este punto tenemos algunas fundamentos primordiales cuando queremos entender el porqué del lugar geométrico de las raíces.

Si te ha gustado, suscríbete a este canal, no te pierdas nuestro próximo video donde continuaremos con estos conceptos básicos y claro, sigue toda la lista de reproducción desde el principio para que entiendas bien el concepto y posteriormente hagamos algunos ejercicios, que estés muy bien y nos vemos en el próximo video, hasta luego.