Matemática do Zero | Conjuntos numéricos - Brasil Escola

Seja bem-vindo ao canal Brasil Escola. Eu sou o Pedro Ítalo, o seu professor de matemática, e hoje nós vamos iniciar essa playlist maravilhosa que vai fazer você aprender matemática de uma vez por todas. Nós vamos iniciar essa playlist onde todas as aulas serão sequenciais e hoje nós vamos começar com a nossa primeira aula falando sobre conjuntos numéricos. Então enquanto roda a vinheta já fica de olho que a nossa vídeo aula já vai começar.

Conjuntos numéricos são basicamente conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.

Então vamos iniciar logo de vez pelo conjunto dos números naturais. A letra que representa o conjunto dos números naturais é a letra N.

Como o próprio nome já fala, os números naturais surgiram com a necessidade natural do homem de contar. Antes o pastor de ovelhas tinha, passava a ovelha para o curral, ele pegava uma pedrinha e colocava no seu alforje.

Passava outra ovelha, ele pegava outra pedrinha e colocava no seu alforje. Então não sabia ele quantas, qual a quantidade que ele tinha de ovelhas, 100 ovelhas, 30, 40, 1000 ovelhas, nenhuma ovelhas, 1 milhão de ovelhas.

Então os números naturais surgiram com essa necessidade natural do homem de contar, por isso que os números naturais vão representar para nós quantidade. Então os números naturais são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 milhão, 1000, 1 trilhão, 1 quadrilhão, 1 quintilhão, 998 quadrilhões, blá blá blá blá blá.

Não tem fim, é um conjunto infinito, tá? Agora, existem alguns livros que não consideram o número como o número zero, né, como um número natural.

Se você não quer que o zero não pertença ao conjunto dos números naturais, aqui nesse caso, você vai colocar um asterisco no N. Então todas as vezes que você vê asterisco, significa que você está retirando o número zero daquele conjunto. Então aqui seria do um para a frente, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, vai embora, né? Não tem fim, é infinito.

Nós podemos representar um conjunto, além de ser do jeito que está representado aí aparecendo na tela para vocês, por uma região, por uma limitação, uma beba, um círculo, um quadrado, um retângulo, qualquer coisa que você quiser, fechado, limitado e que represente com a letra daquele conjunto numérico.

Dessa forma, eu gosto de usar um quadradinho. Então esse quadradinho aqui vai representar para a gente o conjunto dos números naturais.

Então os números naturais surgiram com a necessidade natural do homem de contar, de representar quantidade. Se você quer retirar o número zero, você vai colocar o asterisco nesse conjunto.

Outra ideia que você tem que pensar é o seguinte, conforme foi a evolução, imagina você fazer essa conta, ó, 15 - 20.

Se nós pensarmos apenas nos números naturais, não teria resposta. Eu sei que você sabe que 15 - 20 é -5, só que -5 é um número que não pertence ao conjunto dos números naturais.

Por isso que não poderia parar por aqui os conjuntos numéricos. É para isso que vai surgir o conjunto dos números inteiros. A letra que vai representar para a gente o conjunto dos números inteiros é a letra Z.

Quais são os números inteiros? São os naturais com seus respectivos opostos. O oposto de 4 é -4, o oposto de 10 é o -10, oposto de 1000 é o -1000 e assim sucessivamente.

Então por isso que a gente representa o conjunto dos números inteiros como algo vindo do infinito negativo, ora vai passar pelo -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e vai embora. Se você observar, os números naturais estão dentro do conjunto dos números inteiros.

Ou seja, eu posso escrever aqui, só para você ver uma conexão que existe com algo que você já estudou, que os números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Os naturais está dentro do conjunto dos números inteiros, mas os inteiros não estão contido nos números naturais. Os inteiros não está contido nos naturais.

Então se eu fosse fazer um desenho para representar isso, eu teria aqui o conjunto dos números naturais.

E esse conjunto, ele tem que estar dentro do conjunto dos números inteiros, porque o natural está contido nos inteiros, ou seja, todo natural é inteiro, mas nem todo inteiro é natural, por isso que os inteiros não estão contido nos naturais.

Agora nós temos algumas escritas diferentes para o conjunto dos números inteiros e que eu preciso te alertar. Se nós colocamos Z asterisco, como eu já expliquei para você, nós estamos retirando o zero.

É como se a gente pensasse apenas nos números negativos, inteiro negativo e os inteiros positivos.

Outra escrita que nós também temos em alguns livros e que é comum na matemática.

É essa aqui, ó, é o Z mais.

Z mais primeiro, depois eu vou colocar Z mais asterisco, tá? Mas vamos pensar no Z mais primeiro. Na sua cabeça, eu sei que você está enxergando que são os inteiros positivos.

Só que se você falar para mim que são apenas os inteiros positivos, não está correto, porque você está tirando o número zero aqui nesse caso. O zero é neutro, ele é positivo e negativo ao mesmo tempo.

Então se você falar para mim que são os inteiros positivos, o zero não entraria, só que você está vendo que aqui está faltando o asterisco, então o zero faz parte. Para ser os inteiros positivos com o zero não fazendo parte, no caso, né, só os inteiros de fato positivos.

Para ser do um aqui para a frente, tinha que ter essa escrita. Então qual que é a nomenclatura correta desse conjunto aqui de cima? São inteiros não negativos. Porque quando você fala que um número não é negativo, o zero entra, porque o zero é neutro e os positivos também entram.

Agora no conjunto de baixo, como o zero que é neutro não faz parte, aí sim, você pode dizer que são os inteiros positivos.

Ah, professor, então quer dizer que os inteiros não negativos, que é esse conjunto, são os números naturais? Sim, os números naturais são os inteiros não negativos. É um sinônimo, tá?

Outra escrita que eu já vi também foi o Z menos. Ora, o que que seria o Z menos? Pensa aí na sua cabeça, qual seriam os elementos que pertenceriam ao conjunto Z menos?

Se você pensou no -3, -2, -1 e 0, você está correto. Ou seja, são os inteiros não positivos.

Os inteiros não positivos são esses números aí, ó, os negativos e o zero junto. Então inteiros não positivos. E se você quer somente os inteiros negativos, então você tem que colocar o asterisco para tirar o número zero e aí você teria os inteiros negativos.

Bom, são algumas questões de definição mesmo de conjunto numérico para que você entenda melhor.

Então nós temos os naturais, que são para representar quantidade, e os inteiros, que são os naturais com seus respectivos opostos.

Mas não para por aqui. Imagine que existisse somente esses dois tipos de números, só os inteiros. Como que você ia fazer essa conta? 3 dividido por 4.

Como que você faria essa conta? Daria, eu sei que se você já é bom de raciocínio de cabeça, você já sabe que isso é 0,75. Só que 0,75 é um número que não pertence aos naturais, é um número que não pertence aos inteiros.

É para isso que vem o conjunto dos números racionais, representado pela letra Q.

Agora a gente precisa colocar uma definiçãozinha aqui para você. O que que é um número racional? É todo número que você consegue escrever ele na forma A sobre B.

Tal que A e B pertence aos inteiros, então o número de cima tem que ser inteiro, o número de baixo tem que ser inteiro, só que o de baixo, ele não pode ser zero.

Eu ainda vou explicar isso para você mais à frente, em outra aula, mas eu sei que você sabe que isso é uma fração.

O número de cima é chamado de numerador e o número de baixo é chamado de denominador. Então, em resumo, o que que é um número racional? É qualquer número que você conseguir escrever ele em forma de fração.

Onde o de cima é inteiro e o de baixo é inteiro diferente de zero.

Por exemplo, 3/4, já está escrito em forma de fração.

Em cima é inteiro, embaixo é inteiro, ele é racional.

-2/5, em cima é inteiro, embaixo é inteiro, está em forma de fração.

Eu consigo escrever em forma de fração, já está, na verdade, é racional.

Outra coisa que a gente vai estudar mais para a frente, ó, 2 inteiros e 3/7. Isso é um número misto. O número misto, que é parte inteira e parte fracionária, você consegue escrever em forma de uma fração só, que é chamada de fração imprópria.

Você faria 7 x 2, que dá 14, 14 + 3 dá 17. Então isso aqui é a mesma coisa que a fração imprópria 17/7. A gente vai ver isso nos mínimos detalhes.

Estou te mostrando exemplo de números racionais.

Vou te mostrar um outro exemplo de um número racional, 5.

5 é um número inteiro.

E ele é racional.

Por quê? Porque debaixo do 5 eu posso colocar o denominador 1.

5/1, 5 dividido por 1 é 5.

Ah, professor, mas eu não pensei nisso não.

Eu pensei em 10/2, 10 sobre 2, que é 5, é racional.

-3, você consegue escrever o -3 em forma de fração? Claro, debaixo dele eu posso colocar o número 1.

Então ele é racional.

0.

Debaixo dele eu posso colocar 1, 10, 1000, 1 milhão, ele é racional.

Ah, professor, então quer dizer que todo número inteiro tem um como denominador?

Se todo inteiro tem o 1 como denominador, você está querendo me dizer que todo inteiro é racional?

Isso aí mesmo.

Todo inteiro é racional.

O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.

Então inteiro está contido nos racionais.

Mas nem todo racional é inteiro, 3/4 é um número racional que não é inteiro.

Por isso que os racionais não está contido nos inteiros, não está dentro do conjunto dos números inteiros.

Mas eu não tenho só esses tipos de números racionais.

Eu posso escrever aqui para você, por exemplo, 1,5.

1,5.

Você conseguiria escrever 1,5 em forma de fração? Claro que sim.

É a mesma coisa que 15/10. 15/10, se eu tenho só uma casa após a vírgula, é chamado de décimo.

Então 15/10 é 1,5, 15 décimos é 1,5.

Eu consigo escrever em forma de fração, é racional.

Poderia ser 3/2 também, 3/2 é 1,5.

Ah, eu posso colocar para você qualquer número decimal finito que você vai conseguir escrever ele em forma de fração.

Tipo, 34,1763. É um decimal finito, a gente consegue escrever ele em forma de fração. É como se fosse 341763.

Se são quatro casas decimais, é como se fosse dividido por 10.000.

Ah, professor, então quer dizer que todo número decimal finito, ele vai ser racional?

Com certeza.

Todo número inteiro é racional.

Todo decimal finito vai ser racional.

Toda fração que o de cima e o de baixo é inteiro e o de baixo é diferente de zero.

É racional, número misto vai ser racional.

Raiz exata, raiz exata, raiz quadrada de 36 é 6, porque 6 x 6 é 36.

Então raiz quadrada de 36 é um número racional, porque é 6 e 6 você consegue escrever em forma de fração.

Raiz cúbica de 8 é um número inteiro, é 2. Se é inteiro, é racional, você consegue escrever em forma de fração.

Vou te dar outro exemplo, ó, esse famoso cara aqui, ó, 0,4 e uma barra em cima do 4.

Está reconhecendo que número é esse?

Vou escrever de uma forma diferente, 0,44444.

Está reconhecendo que número é esse?

Ah, se você pensou em dízimas periódicas, você está correto.

A fração geratriz dessa dízima periódica é 4/9.

Se você pegar o 4 e dividir por 9, acrescenta o zero, zero e a vírgula, por 4, que dá 36, sobra 4, acrescenta o zero e continua a divisão, por 4, dá 36, sobra 4.

0,44444.

Vamos estudar também dízimas periódicas, tá?

Então, toda dízima periódica, você consegue encontrar a fração geratriz.

Ou seja, você consegue escrever uma dízima periódica em forma de fração.

Se você consegue escrever em forma de fração, é um número racional.

Eu posso te mostrar vários e vários exemplos aqui que a gente tem um leque de possibilidades muito grande.

Por exemplo, 5 ao cubo.

É uma potência de um número inteiro e que vai dar um número racional.

5 ao cubo é 5 x 5, 25, 25 x 5, 125.

Também vamos estudar potência nessa playlist.

Ou 3 elevado a -2.

Ah, esse expoente negativo, você inverte a base.

Então fica 3 elevado a 2, aí o expoente fica positivo.

E 3 elevado a 2 é 9, então isso é 1/9.

Está vendo o leque de possibilidades agora que eu tenho de números?

Então o que que são números racionais? É qualquer número que você conseguir escrever em forma de fração, onde o de cima e o de baixo é inteiro, lembrando que o de baixo, que é o denominador, ele tem que ser diferente de zero.

E aqueles números que você não consegue escrever em forma de fração, aqueles números que você não consegue escrever em forma de fração.

Eles são chamados de números irracionais.

Irracionais.

Representado pela letra I.

E em alguns livros eu também já vi a anotação Q linha.

Q é racional, Q linha, irracional.

Então o que que é um número irracional? São todos os números, desde que ele não pertença aos racionais.

Se as dízimas periódicas, você consegue escrever em forma de fração?

São racionais?

As dízimas não periódicas, você não vai conseguir escrever em forma de fração.

Por exemplo, de uma dízima que não é periódica, 2,1734568, blá blá blá.

Infinito.

É uma dízima não periódica, não tem um período.

É um número decimal infinito que não tem período.

Isso é irracional.

Se as raízes exatas são racionais.

As raízes não exatas são irracionais.

Por exemplo, raiz quadrada de 2.

Raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1,41.

Se você pegar na sua calculadora aí e colocar raiz quadrada de 2.

Vai aparecer um número assim, ó, grande na sua calculadora.

Vai aparecer um número que tem fim.

Mas é porque não tem mais possibilidades de colocar outros números.

Então é um número irracional.

Raiz quadrada de 3.

É um número irracional.

Vale aproximadamente 1,73.

Então qualquer raiz não exata, ela será irracional.

E aí nós temos alguns números irracionais que são muito clássicos.

O primeiro deles é o pi, o número de ouro.

Lá da regra de ouro.

Ele vale aproximadamente 1,61.

Um número de ouro, lá da regra de ouro.

Outro número irracional muito clássico na matemática.

É o fi, o número de ouro, lá da regra de ouro.

Ele vale aproximadamente 1,61.

Um número de ouro, lá da regra de ouro.

Outro número irracional clássico é o número de Euler.

Número de Euler, lá do LN, do logaritmo natural.

Se você não viu isso.

Relaxa.

Vale aproximadamente 2,71.

Então nós tínhamos que os naturais.

Está contido nos inteiros.

Os inteiros.

Está contido nos racionais.

E os irracionais?

Aonde que eles vão estar?

Eles vão estar de fora.

Os irracionais.

Vão estar de fora.

Ah, professor, então quer dizer que o irracional, eles são isolados?

Claro que não.

É por isso que veio o conjunto dos números reais.

Os números reais.

Representado pela letra R.

O que que é o conjunto dos números reais?

O conjunto dos números reais vai ser a união dos racionais com os irracionais.

É como se eu viesse aqui.

Pegasse esse desenho que eu estou mostrando aqui para você.

E fizesse um por fora que unisse os dois conjuntos.

E eles são os reais.

Mas para a gente finalizar.

Só está faltando o conjunto de um tipo de número.

É.

De um tipo de número.

Esse cara aqui, ó, imagina, por exemplo.

Qual que é a raiz quadrada de 36?

É 6.

Porque 6 x 6 é 36.

Qual que é a raiz quadrada de 81?

9.

Porque 9 x 9 é 81.

Mas qual que seria a raiz quadrada de -4?

Qual é o número que eu elevo ao quadrado que dá -4?

Se você disse 2, você está equivocado.

2 ao quadrado é 2 x 2, 4.

Se você disse -2, você também está equivocado.

Porque -2 x -2, menos vezes menos é mais e 2 x 2 é 4.

Então isso também dá 4 positivo.

Ah, professor, então quer dizer que não existe raiz quadrada de -4?

Existe sim.

Só que é um número que não pertence ao conjunto dos números reais.

Quando você aprende, por exemplo, a fórmula de Bhaskara e você vai fazer o delta.

O discriminante e o delta dá negativo.

Geralmente os professores mandam parar a conta ali.

E alguns alunos falam porque não tem resposta.

Mas não é que não tem resposta, não tem resposta pertencente aos números reais.

Eu vou te mostrar.

Você dá uma viajada na maionese aí.

Olha só.

-4 é a mesma coisa que 4 x -1.

Se é uma multiplicação, a gente pode separar as raízes.

Vamos ver isso na nossa aula de radiciação.

A raiz quadrada de 4 é 2.

E a raiz quadrada de -1?

Esse é o nosso problema.

Esse é o nosso problema.

Por isso que nós vamos dar o nome para a raiz quadrada de -1 de I, como unidade imaginária.

Então qual que é a raiz quadrada de -4?

É 2i.

Deixa eu ver se tu entendeu.

Qual que é a raiz quadrada de -25?

5i.

Isso é um número.

Isso é um conjunto numérico.

Tem que ter resposta.

Para isso que surgiu esse conjunto numérico.

Que são os números complexos.

Conjunto dos números complexos.

Representado pela letra C.

E qual que é o conjunto dos números complexos? São todos os números que podem ser escrito da forma Z = A + BI.

Tal que A e B pertence aos reais e I é a unidade imaginária.

Valendo a raiz quadrada de -1.

Então se você for fazer um desenho como aquele.

Os números complexos é praticamente o último conteúdo que você estuda.

Do ensino médio, tá?

Então se você não está no ensino médio.

Então um pouco perdido.

Não se preocupe.

É um, talvez você não tenha visto ainda.

É o último conjunto numérico que você estuda.

Conjunto dos números complexos.

Esses são os conjuntos numéricos.

Natural, inteiro, racional, irracional, real e complexo.

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