Speaker A
una disciplina de la matemática fundamental para el área de la informática.
Introducción a los conjuntos numéricos en Matemática Discreta, explicando su historia, clasificación y aplicaciones cotidianas.
Key Takeaways
- Los conjuntos numéricos se construyen de manera incremental, cada uno ampliando al anterior.
- Los números naturales son la base, pero no cubren todas las operaciones, por lo que se amplían a enteros, racionales e irracionales.
- Los números irracionales son fundamentales para entender cantidades que no pueden expresarse como fracciones exactas.
- El conjunto de números reales incluye todos los números racionales e irracionales y se representa en una recta numérica continua.
- Conocer estos conjuntos es esencial para aplicar correctamente las reglas matemáticas en contextos cotidianos y académicos.
Summary
- El video es una clase introductoria de Matemática Discreta a cargo de Viviana Cappello, enfocada en los conjuntos numéricos.
- Se explica la importancia de estudiar los números como herramientas para contar y razonar matemáticamente.
- Se presentan los números naturales, sus propiedades y usos en la vida cotidiana.
- Se amplía el concepto a los números enteros, incluyendo los negativos y su aplicación para representar deudas o niveles bajo cero.
- Se introducen los números racionales, representados como fracciones, y sus propiedades de cierre bajo operaciones básicas.
- Se discuten las reglas de signos para multiplicación y división con números enteros.
- Se explican los números irracionales, que no pueden expresarse como fracciones y tienen infinitas cifras decimales, como pi y raíz de 2.
- Se define el conjunto de números reales como la unión de racionales e irracionales, representados en la recta numérica.
- Se ejemplifica la clasificación de números según su conjunto de pertenencia con ejemplos prácticos.
- Se destaca la aplicación cotidiana de los distintos conjuntos numéricos en situaciones reales como mediciones, pagos y ubicaciones.
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Speaker A
Este curso estará a cargo de la ingeniera en sistemas Viviana Capelo, soy Diego Bagú y junto con Viviana somos docentes del Instituto de Ingeniería y Agronomía de la Universidad Nacional Arturo Jauretche.
Speaker A
Este primer video dedicado a los conjuntos numéricos es el puntapié inicial para dar este inicio al recorrido por esta disciplina más que interesante de la matemática.
Speaker A
Sean todos bienvenidos y bienvenidas.
Speaker B
Hola, bienvenidos y bienvenidas a una nueva clase de Matemática Discreta, abordaremos los temas de fundamentos de la Matemática Discreta.
Speaker B
Mi nombre es Viviana y voy a acompañarlos y acompañarlas en todas las clases de Matemática Discreta.
Speaker B
Por una cuestión de familiaridad, pensé en tener un avatar, así que esta es la imagen que van a ver cada vez que escuchen esta voz.
Speaker B
Hoy vamos a hablar sobre conjuntos numéricos, qué son los conjuntos numéricos o cómo los tenemos presentes en nuestra vida cotidiana y cómo han llegado a formarse de la manera que los tenemos hoy a lo largo de la historia de la humanidad.
Speaker B
La primera pregunta que nos hacemos es, ¿por qué tenemos que estudiar números?
Speaker B
Los números son los elementos que responden a preguntas humanas o a necesidades de poder contar con algo que nos exprese ciertas cantidades, son clave para el razonamiento matemático y en función de ciertas características se agrupan determinando un conjunto específico.
Speaker B
Los primeros números que se crearon son los números naturales, estos números se pueden finitamente determinar, obviamente que hay que escribir puntos suspensivos porque su cantidad es infinita.
Speaker B
Esta notación de la letra N es la que utilizamos para los números naturales, tiene algunas propiedades a través de la suma y de la multiplicación y no conserva las propiedades de cierre para la resta y para la división.
Speaker B
¿Cuándo se utilizan los conjuntos numéricos, siendo este el número natural protagonista? Cuando queremos, por ejemplo, contar planetas o de manera ordinal ubicar una posición o poder decir cuántos estudiantes tengo en el aula, cuántas vacas tiene un granjero o elementos que para cada posición le corresponde un único número.
Speaker B
Esa cardinalidad que presentan los números sirven para ubicar posiciones, puntos de partida o representar propiamente la nada, la nada de donde inicia.
Speaker B
Hay algunos autores que incluyen al cero como un número natural, ampliando este conjunto con un número más.
Speaker B
Luego, a la izquierda del cero, también se vivenciaron elementos que se consideran los números negativos, esos números negativos en conjunto con los números positivos, amplía el campo numérico al conjunto de los números enteros.
Speaker B
Estos números enteros lo que permiten es expresar deudas, niveles por debajo del piso, subsuelos, niveles de bajo del mar y todas aquellas expresiones naturales que nos permiten decir dónde estamos a la izquierda de un punto de partida.
Speaker B
Cuando yo tomo dos números enteros, los puedo dividir, puedo aplicar el cociente en un formato de fracción, siempre que el denominador sea distinto de cero, encontramos estos nuevos elementos que se denominan fracciones, A sobre B.
Speaker B
A es el numerador, B es el denominador y forman un cuerpo cerrado para la suma, la resta, el producto y la división, acá tenemos una imagen donde vemos una variedad de números fraccionarios, su representación, su equivalencia y algunos nombres particulares.
Speaker B
A lo largo de la escuela primaria y parte de la escuela secundaria, son números que han sido protagonistas de nuestras actividades matemáticas, la división de dos números enteros también exige conocer ciertas propiedades y cierta ley de signos.
Speaker B
Para ello, la división implica que cuando tenga dos números positivos, más por más o más dividido más, el resultado va a ser positivo, menos por menos o menos dividido menos es más, o sea, signos iguales, resultado positivo, signos distintos, resultado negativo.
Speaker B
Pensar también la división como una operación en la que obtengo un cociente y un resto, de la forma A igual a B por Q más R, si a B lo multiplico por Q y le sumo el resto, obtengo el dividendo.
Speaker B
Por ejemplo, si a 7 lo divido por 2, eso me da 3, porque 3 por 2 es 6 con un resto de 1 para llegar al dividendo original, en este caso, si a 24, que normalmente no lo anteponemos con un signo positivo, lo dividimos por -6, me da -4, porque 24 dividido 6 es 4 y más por menos es menos.
Speaker B
En este caso es dividido, pero nosotros tenemos esa forma de recordarlo con la palabra por.
Speaker B
30 dividido 5 es 6 y también tiene un signo negativo.
Speaker B
-30 dividido 5 es -6.
Speaker B
72 dividido 8 es 9.
Speaker B
Y 63 negativo dividido 9 negativo es 7 positivo.
Speaker B
No todos los números se pueden expresar como una fracción, no todo número cuando yo hago 1 dividido 2, encuentro un número decimal con finitas cifras decimales.
Speaker B
Hay un montón de números que se llaman irracionales porque en la época en la que fueron creados escapaban la razón humana y llevaron hasta la muerte de muchos matemáticos de esa época porque transgredían lo que la capacidad y el razonamiento humano podía aceptar.
Speaker B
¿Qué son los números irracionales? Aquellos que cuando yo divido el numerador por el denominador, encuentro infinitas cifras decimales, ejemplo de esto, el número pi, la raíz de 2, e, el número fi, utilizado en la belleza y en la armonía y en construcciones arquitectónicas muchísimas veces.
Speaker B
No pueden escribirse como una fracción y tampoco puedo determinar con exactitud la cantidad de cifras decimales porque ellas son infinitas.
Speaker B
Cuando nosotros completamos este conjunto numérico de naturales, negativos con los enteros, fracciones con los racionales, irracionales, nuestro conjunto en el plano bidimensional se completa con el conjunto más superador que tienen estos números.
Speaker B
Se llaman reales.
Speaker B
Decimos que la conformación del conjunto de los números reales es la unión entre los racionales y los irracionales y quedan representados en una recta real donde están todos ellos ubicados.
Speaker B
Entre dos números reales hay infinitos números.
Speaker B
Hay tantos números entre el 2 y el 3 como entre el 0 y el infinito, para ello necesitamos la notación de desigualdad o de intervalo para poder expresar de una forma qué números los contienen, cuáles son sus extremos y dónde están representados en una recta numérica.
Speaker B
Los números reales son los números con mayor representación en el campo bidimensional.
Speaker B
Todo lo que aprendimos está esquematizado en esta gráfica, pensar que cada conjunto amplía el anterior, significa que lo incorpora y suma otra cantidad de elementos.
Speaker B
Todos usan distintos contextos reales porque son aplicados a distintas situaciones, pensar que usamos cuando medimos una distancia, cuando pagamos en un supermercado, cuando estamos tomando una temperatura, cuando bajamos un piso en un edificio o cuando lo subimos, cuando debemos o cuando pagamos una cuota.
Speaker B
Estos números están todo el tiempo en nuestra vida cotidiana y debemos conocerlos para poder trabajar con exactitud a través de las reglas y leyes matemáticas que lo rigen.
Speaker B
Ejercitemos lo aprendido.
Speaker B
Por ejemplo, podríamos clasificar estos números en función del conjunto al que pertenecen.
Speaker B
A ver, hagamos lo siguiente, el primero, 9,5, es un número decimal, tiene finitas, o sea, significa pocas cifras decimales, lo puedo construir como una fracción, sí, 95 décimos, también es un número real, porque como vimos, el conjunto siguiente amplía el anterior.
Speaker B
No es un natural, no es un entero y tampoco es un irracional.
Speaker B
-6, signo negativo, es un número entero, a partir de allí también lo puedo escribir como una fracción con un denominador 1 o un número real, pero el primer conjunto que lo puede englobar o caracterizar es el conjunto de los números enteros.
Speaker B
45 es positivo, es un número natural.
Speaker B
Acá nos encontramos con un número decimal periódico, el 3 se repite periódicamente, infinitamente, los números periódicos pueden construirse como fracciones con denominadores 9, esto se escribe 3/9, o sea, 1/3, por lo tanto, es un número racional.
Speaker B
La raíz de -16 no tiene solución en el campo de los números reales, por lo tanto, este conjunto numérico constituye la solución a un conjunto de números que se llaman complejos e imaginarios y escapa la bidimensionalidad, la unidimensionalidad, permitiendo que haya una bidimensionalidad para su representación.
Speaker B
0,1223334444 es un número que tiene infinitas cifras decimales, podría llegar a pensarse que es un número irracional por estos puntos suspensivos y por no presentar una regularidad, para que yo lo pueda caracterizar como el 0.33, acá tendría que tener un arco, por ejemplo, de este estilo, que no lo tiene.
Speaker B
Si presenta el arco, me está diciendo que estas cifras decimales se repiten con esa regularidad infinitamente y ahí sí podría construirse en un número racional, al no tenerlo, lo considero irracional.
Speaker B
La raíz de 25 es un número natural, pero si proviene del despeje de una ecuación, admite doble solución, también podría ser un número entero, -5 por -5 es 25 y 5 por 5 también lo es.
Speaker B
Esta respuesta depende del contexto en el que el número esté presente, -3/2 es un número negativo, pero racional y a partir de allí aprendimos a clasificar y a darle nombres a ciertos números dependiendo las características que posea.
Speaker B
Esto ha sido todo por el primer encuentro, nos vemos la próxima.
Speaker A
Concluimos así nuestro primer video de este curso de matemática discreta, esperamos que haya sido de tu interés y que sume en gran manera a tu cursada regular, los veremos en el próximo de los videos dedicado a la lógica, un área de la matemática sumamente importante en lo que hace a los razonamientos e inferencias.
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