ДЧ15. Доведення правила Лопіталя. — Transcript

Олексій Василенко.

Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, сьогодні розглянемо доведення теореми, яка носить назву правило Лопіталя.

Правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеності, для розв'язання конкретних задач, але самі приклади на розв'язання задач ми розглянемо пізніше, сьогодні тільки доведення теореми, теоретичне підґрунтя.

Отже, теорема.

Нехай перше: функції f(x) і g(x) визначені і диференційовні в околі точки А за виключенням, можливо, самої точки А.

По-друге: границя x прямує до А f(x) дорівнює границі x прямує до А g(x) і дорівнює нулю.

По-третє: g'(x) не дорівнює нулю в околі точки А, там, де ми розглядаємо наші функції.

Якщо існує границя, коли x прямує до А відношення похідних, тоді існує і границя відношення самих функцій, причому ці дві границі дорівнюють між собою.

Доведемо.

Ми казали про те, що функції можуть бути невизначеними в точці А, нам тільки треба, щоб границі були визначені цих функцій в точці А і дорівнювали нулю.

Якщо невизначене, то довизначимо функції нулем в точці А, тобто покладемо f(А) = g(А) = 0.

Це довизначення за неперервністю, і тому тепер функції стали неперервними і, відповідно, диференційовними в околі точки А.

Розглянемо випадок, нехай x > А, тобто я оберу якийсь x. Мені треба довести, що границя відношення функцій дорівнює границі відношення похідних.

Ну, розгляну границя x прямує до А f(x) / g(x), оцю границю відношення. Користуючись тим, що f(А) і g(А) дорівнює нулю, я можу приписати сюди в чисельник f(x) - f(А), g(x) - g(А). Рівність не порушилась.

І, користуючись тим, що функції диференційовні за першою умовою, і g'(x) не дорівнює нулю в околі точки А, я використаю теорему Коші. За теоремою Коші існує точка С з інтервалу (А, x) така, що це відношення буде дорівнювати f'(С) / g'(С).

Це теорема Коші. Відношення приростів дорівнює відношенню похідних в деякій точці всередині інтервалу АВ, в точці С. А де у нас точка С? У нас точка С буде тут між А і x. А x прямує до А. Куди буде прямувати С? Зрозуміло, С більше нема куди діватися, і я можу написати, що це буде границя С прямує до А f'(С) / g'(С). А тут не в літері справа. Хоч літерою Z познач. Все одно, якщо ця величина прямує до А, границя відношення цих функцій буде те ж саме, що і можна переписати, як границя x прямує до А f'(x) / g'(x).

Ми довели теорему для випадку, коли x > А. Ну, зрозуміло, те ж саме можна повторити, якщо x < А, просто це буде, ну, в інший бік все буде. Теорема в цьому вигляді доведена.

Ми користувались умовою тим, що у нас границя f(x) і g(x) в точці А дорівнює нулю. Таким чином, відношення f(x) / g(x) є відношення невизначеності 0/0. Тільки 0/0.

Але аналогічна теорема зберігає ту ж саму формулював той же самий висновок, коли у нас невизначеність нескінченність на нескінченність. Ну, як можна переформулювати було б? Все дуже просто, ми просто поміняємо тут на нескінченність. І тоді формулювання залишається таким же, але доведення там інше, я повторювати доведення для нескінченності не буду.

Розглянемо деякі приклади.

Нехай треба знайти границю, коли x прямує до нуля sin(x) / x. Перша важлива границя, ми її проходили. Всі з нею добре знайомі. Доведемо її.

Використовуючи правило Лопіталя, тому що тут у нас невизначеність 0/0, ми знаходимо похідну окремо чисельника і знаменника. Похідна в чисельнику дасть нам cos(x), похідна знаменника - це просто одиниця. Отже, маємо одиницю, ну, про яку ми й так знали, але метод доведення значно простіше, ніж це буває елементарними методами можна довести це саме співвідношення.

І ще приклад. Розглянемо границю, коли x прямує до нескінченності. Я відмічу, що число А умовно названо числом А, тому що, якщо замінити А на нескінченність, зміст твердження зберігається. А не обов'язково повинно бути скінченним числом.

Користуємось тим, що x прямує до нескінченності і розглянемо відношення x^n / e^x. Отакий дріб. В даному випадку у нас нескінченність на нескінченність. Відношення степеневої функції до показникової.

Нескінченність на нескінченність дозволяє нам використати правило Лопіталя, диференціюємо. Маємо границя x прямує до нескінченності n*x^(n-1), а знаменник не змінюється, бо похідна від e^x є e^x. Підставляємо замість x нескінченність на нескінченність. Невизначеність збереглась. Що робити? Знову використовуємо правило Лопіталя.

Диференціюємо чисельник і знаменник. Границя x прямує до нескінченності. Ну, тут вийде тепер степінь n-2. І знову буде невизначеність нескінченність на нескінченність. Ми знову будемо диференціювати. Навіщо? А тому що на n-ному кроці, саме на n-ному кроці, ми отримаємо в чисельнику n!, а в знаменнику збережеться n-1. n разів ми продиференціювали, n кроків зробили. Тепер вже, коли x прямує до нескінченності, у нас знаменник прямує до нескінченності, а чисельник прямує до нуля. Чисельник залишається константою. Отже, коли x прямує до нескінченності, цей вираз буде нулем.

Хочу звернути увагу, в принципі, тут був би той же, та сама відповідь була, але далі диференціювати не можна. До цього відношення правило Лопіталя уже не не підходить, тому що у нас границі не є ні нуль, ні нескінченність, у нас зникла невизначеність.

Хочеться відмітити, що ця границя показує, що знаменник у нас прямує до нескінченності швидше, потужніше, ніж чисельник. Він в кінці кінців задавив наш степене, нашу степінь. Показникова функція потужніша за степеневу, прямує до нескінченності швидше. Це висновок з отриманої границі.

На цьому можна питання доведення правила Лопіталя завершити. На наступній зустрічі ми розглянемо приклади використання. Залишайтесь на каналі, підписуйтесь. Я з вами, буду допомагати. Олексій Василенко.