Speaker A
студенти, я Олексій Василенко. Ми продовжуємо вивчати математичний аналіз, диференційне числення, і сьогодні розглянемо таку цікаву властивість диференціалу, як інваріантність форми першого диференціалу.
Олексій Василенко пояснює інваріантність форми першого диференціалу та її застосування у математичному аналізі.
Key Takeaways
- Форма першого диференціалу залишається інваріантною при заміні змінних.
- Зміст dx залежить від того, чи є змінна незалежною чи залежною.
- Другий диференціал для залежної змінної містить додатковий член, пов’язаний з другим диференціалом аргументу.
- Інваріантність форми першого диференціалу корисна для спрощення обчислення інтегралів.
- Розуміння цих властивостей є фундаментальним для подальшого вивчення диференціального числення.
Summary
- Огляд поняття інваріантності форми першого диференціалу для диференційованої функції y = f(x).
- Розгляд складеної функції y = f(φ(t)) та її диференціалу через похідну складеної функції.
- Пояснення, що форма диференціалу dy = f'(x) * dx залишається незмінною, хоча зміст dx змінюється.
- Визначення другого диференціалу для незалежної та залежної змінної, зокрема формули d²y = f''(x) * dx² + f'(x) * d²x.
- Пояснення, що другий доданок у формулі другого диференціалу з’являється лише для залежної змінної.
- Практичне застосування інваріантності форми першого диференціалу для спрощення обчислення інтегралів.
- Приклад інтегралу sin²x * cosx * dx та його перетворення за допомогою диференціалу.
- Підкреслення важливості розуміння інваріантності форми для подальшого вивчення математичного аналізу.
- Заклик до підписки на канал та підтримки відео лайками.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Де про що? Нехай диференційована функція y = f(x) має диференціал цієї функції, dy буде знаходитись як похідна від x * dx.
Speaker A
dx величина - це приріст, це незалежний приріст, її можна взагалі розглядати як незалежну змінну якусь, яка змінюється незалежно від x.
Speaker A
Я позначу цю рівність зірочкою, щоб в подальшому посилатись на неї.
Speaker A
А тепер розглянемо випадок, коли функція f(x) є складеною, тобто її аргумент x залежить від якоїсь змінної, і ми будемо вважати оцю залежність функцію фі теж диференційованою.
Speaker A
І тоді dx буде мати вигляд f'(t) * dt. Це диференціал функції x.
Speaker A
Тоді ми маємо складену функцію y = f(φ(t)), я її позначу як F(t).
Speaker A
Яка задає залежність y від t.
Speaker A
Оскільки і f, і φ вважаємо диференційованими відповідно на відповідній множині, функція F(t) теж буде диференційована як складена функція.
Speaker A
І тоді її диференціал dy буде дорівнювати F'(t) * dt.
Speaker A
В цьому випадку диференціал функції є похідна від складеної функції на dt.
Speaker A
На диференціал внутрішнього аргументу.
Speaker A
Де dt вже вважаємо незалежним.
Speaker A
Так от, ми зараз покажемо, що останній рядок,
Speaker A
ну, я його позначу дві зірочки,
Speaker A
можна записати у вигляді однієї зірочки, от в такому вигляді.
Speaker A
Ну, дійсно.
Speaker A
Що таке похідна F'(t)?
Speaker A
Перед нами це похідна складеної функції.
Speaker A
Похідна складеної функції буде f'(φ(t)) * φ'(t).
Speaker A
Тоді, підставляючи сюди значення цієї похідної, отримаємо:
Speaker A
dy = f'(φ(t)) * φ'(t) * dt.
Speaker A
Але φ'(t) * dt - це є dx, як ми знаємо.
Speaker A
А φ(t) - це просто x.
Speaker A
Отже, останній вираз можна записати як f'(x)
Speaker A
замість φ(t)
Speaker A
і dx замість ось цього виразу.
Speaker A
Ми отримали, що дві зірочки можна записати у вигляді однієї зірочки.
Speaker A
Тобто виразу dy = f'(x) * dx.
Speaker A
Незмінність форми, інваріантність форми першого диференціалу.
Speaker A
Але я підкреслюю тільки форми.
Speaker A
Тому що,
Speaker A
зміст у dx зовсім різний.
Speaker A
Якщо тут перед нами dx - це незалежний приріст, який ми можемо обирати як завгодно, і він не залежить від точки x,
Speaker A
то тут виявляється залежність, тому що dx насправді не просто приріст, а це диференціал якоїсь іншої функції.
Speaker A
Форма однакова, але зміст різний.
Speaker A
Інваріантність форми першого диференціалу.
Speaker A
Властивість стає зрозумілішою, коли ми розглянемо другий диференціал від складеної функції.
Speaker A
Але спочатку нехай це у нас не складена функція, а x буде незалежним аргументом.
Speaker A
Тоді другий диференціал d²y буде дорівнювати f''(x) * dx².
Speaker A
Ми знаємо цю формулу.
Speaker A
А тепер нехай x залежить від якоїсь диференційованої функції φ(t).
Speaker A
І розглянемо другий диференціал в цьому випадку.
Speaker A
В будь-якому випадку це другий диференціал є диференціал від першого диференціалу.
Speaker A
А перший диференціал у нас є вираз, підставимо d від f'(x) * dx.
Speaker A
У нас складена функція, dx не є незалежним аргументом, незалежною змінною.
Speaker A
Диференціал від цього виразу - це функція від x - є похідна від цього виразу,
Speaker A
f'(x) * dx похідна,
Speaker A
і помножити на dx.
Speaker A
Знаходимо похідну.
Speaker A
Маючи на увазі, що тут добуток, тому що dx не константа.
Speaker A
Маємо:
Speaker A
f' від f' - це буде f''(x) * dx.
Speaker A
Плюс f' без змін і помножити на похідну від dx.
Speaker A
dx похідна.
Speaker A
І все це множиться на dx.
Speaker A
Розкриємо дужки, множачи dx сюди.
Speaker A
Маємо f''(x) * dx².
Speaker A
dx на dx.
Speaker A
Плюс f'(x), а що маємо тут?
Speaker A
Похідна від якоїсь функції помножити на dx - це є диференціал від цієї функції.
Speaker A
Тобто диференціал від dx.
Speaker A
А диференціал від dx - це є другий диференціал.
Speaker A
Отже, остаточно маємо формулу: d²y = f''(x) * dx²
Speaker A
плюс f'(x) * d²x.
Speaker A
Як ми бачимо, зовсім не співпадає.
Speaker A
Ну, тобто відрізняється одним доданком.
Speaker A
До речі, можна зразу відмітити, що якщо x - незалежна змінна, для незалежної змінної другий диференціал завжди дорівнює нулю.
Speaker A
А у випадку, коли x - залежна змінна, це не нуль, і тому зберігається другий доданок.
Speaker A
На завершення відмітимо, що властивість інваріантності дуже корисна при обчисленні інтегралів.
Speaker A
Ну, наприклад, і ми з цим ще стикнемось в подальшому.
Speaker A
Нехай у нас стоїть інтеграл sin²x * cosx * dx.
Speaker A
Я можу записати cosx у вигляді похідної від синуса.
Speaker A
Адже косинус - це похідна від синуса.
Speaker A
Отже, інтеграл sin²x * похідна sinx * dx.
Speaker A
А тепер ми бачимо, що sinx похідна dx - це є диференціал синуса.
Speaker A
Отже, інтеграл sin²x * диференціал sinx.
Speaker A
І завдяки інваріантності я можу позначити sinx літерою якоюсь u, скажімо.
Speaker A
І отримаю u² * du.
Speaker A
І інтеграл спрощується, суттєво спрощується.
Speaker A
Його вже досить легко обчислити.
Speaker A
Ну от, цими прикладами ми закінчуємо сьогоднішню зустріч.
Speaker A
Я бажаю вам успіхів.
Speaker A
Підписуйтесь на канал.
Speaker A
Ставте лайки.
Speaker A
Залишайтесь на ньому.
Speaker A
А я з вами, Олексій Василенко.
Topics:інваріантністьперший диференціалматематичний аналіздиференціальне численняскладена функціядругий диференціалінтегралипохіднаОлексій Василенкоукраїнська мова
