Speaker A
Næste afsnit her i vores lille kursus, supplerende fysikkursus, skal omhandle inertimomenter.
Introduktion til inertimoment og dets betydning for rotation, herunder definition, beregning og praktiske eksempler med svinghjul.
Key Takeaways
- Inertimoment er en rotationsanalog til masse som mål for træghed mod ændring i bevægelse.
- Inertimoment afhænger stærkt af både masse og dens placering i forhold til rotationsaksen.
- For at ændre rotationshastighed kræves et moment, der er proportionalt med inertimoment og vinkelacceleration.
- Svinghjul med masse placeret langt ude har større inertimoment og dermed større træghed mod hastighedsændringer.
- Praktiske beregninger af inertimoment og vinkelacceleration kan bruges til at forstå og styre rotationssystemer.
Summary
- Inertimoment beskrives som træghed mod ændring i rotationshastighed.
- Forståelse af inerti i både lineær bevægelse og rotation med Newtons første lov som grundlag.
- Sammenhæng mellem det påførte moment, inertimoment og vinkelacceleration forklares.
- Inertimoment afhænger af både masse og massens afstand til rotationsaksen (radius i anden potens).
- Udledning af inertimoment som summen af masse gange radius i anden potens for alle delmasser i et legeme.
- Enheden for inertimoment er kilogram gange meter i anden (kg·m²).
- Eksempel med et svinghjul, der roterer med en given diameter og hastighed, og hvordan inertimomentet påvirker bremseprocessen.
- Beregningsmetode for vinkelacceleration ved påvirkning af et moment via friktion på svinghjulet.
- Tidsberegning for nedbremsning ved brug af vinkelhastighedsformler.
- Betydningen af at placere masse langt fra rotationsaksen for at øge inertimomentet.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Øhm, og når vi snakker om inertimomenter, så snakker vi om inerti i forbindelse med rotationer.
Speaker A
Vi kan lige prøve at kigge på nogle definitioner først. En inerti har ikke kun noget med rotationer at gøre.
Speaker A
Den gælder sådan generelt og er defineret som en træghed mod at ændre hastighed/retning.
Speaker A
Og det er jo egentlig også det, der ligger i Newtons første lov, den kaldes også for inertiens lov, siger, at et legeme, som ikke påvirkes af en resulterende kraft, vil enten være i hvile eller udføre en jævn retlinet bevægelse.
Speaker A
Og skal man have den ud af den enten hvile eller retlinet bevægelse, jamen så skal vi påvirke den med en eller anden kraft.
Speaker A
Så der er noget inerti i momentet, der giver en træghed mod bevægelse.
Speaker A
Snakker vi om den om inerti i forbindelse med rotation, jamen så snakker vi om, at vi har et legeme, som er i gang med at rotere.
Speaker A
Eller skal i gang med at rotere, og så er der en træghed imod at ændre den der rotationshastighed.
Speaker A
Så det er den, vi vil prøve at koncentrere os om.
Speaker A
Det klassiske eksempel, når vi tager udgangspunkt i inertimomenter, det er at prøve at kigge på et svinghjul.
Speaker A
Så hvis vi har et svinghjul der med en given masse, der kører rundt omkring den akse der.
Speaker A
Der.
Speaker A
Så vil den køre rundt med en eller anden fart.
Speaker A
Og er det her friktionsløst, jamen så fortsætter den egentlig med at køre med den fart, indtil vi vi stopper det igen.
Speaker A
Og den der træghed i i imod det, det er den, vi definerer som inertimomentet.
Speaker A
Og sammenhængen mellem det hænger sammen med, hvor stort et moment, jeg er nødt til at tilføre for at ændre den hastighed.
Speaker A
Så der er den sammenhæng heroppe, at det moment, jeg skal bruge for at ændre hastigheden.
Speaker A
Det afhænger af to ting.
Speaker A
Det afhænger af inertien.
Speaker A
Og det afhænger af, hvor hurtigt jeg skal accelerere det op.
Speaker A
Det er klart, jo hurtigere jeg skal accelerere mit svinghjul op, jo større moment skal jeg påvirke det med.
Speaker A
Og jo større inerti der er i svinghjulet, jo tungere det er, jo større moment skal jeg også påvirke det med.
Speaker A
Det er sådan med inertien, den afhænger både af massen.
Speaker A
Men også hvor at massen ligger henne.
Speaker A
Så jo større svinghjulet er i diameter, jo større vil inertien også være.
Speaker A
Men det vil vi se lige om et øjeblik.
Speaker A
Vi kan prøve at flytte den der rundt.
Speaker A
Så kan vi se, at inertien, den kan vi også definere som det rotationsmoment.
Speaker A
Det moment, der skal til for at at få det til at rotere, divideret med den acceleration, der opstår på grund af momentet.
Speaker A
Så kender vi ikke inertimomentet på et given svinghjul, jamen så kan vi sætte det til at, vi kan påvirke det med en given moment.
Speaker A
Og så kan vi måle, hvor hurtigt det accelererer, og så kan vi egentlig bestemme vores inertimoment på den måde.
Speaker A
Og enheden er kilogram gange meter i anden.
Speaker A
Lige for at vise, der er en anden sammenhæng også.
Speaker A
Så kan vi prøve at kigge også, det rotationsmoment, som jeg skal påvirke det her svinghjul med.
Speaker A
Det kan vi også sige, det er en kraft gange en arm.
Speaker A
Og den kraft gange arm skal ud og påvirke det her svinghjul, men hvor er det lige, vi skal påvirke det henne?
Speaker A
Og der kan vi egentlig gå ud og sige, jamen det her svinghjul består af en hel masse masser.
Speaker A
Og hvis jeg nu tager en, udplukker det her svinghjul, så ser jeg, der har en masse, jeg påvirker med en kraft et i radius et.
Speaker A
Og jeg har en masse to, jeg påvirker med en kraft to i radius to.
Speaker A
Og sådan kunne jeg blive ved med at lave alle mulige masser, indtil jeg samlet set har et helt svinghjul.
Speaker A
Øhm, og så kan vi prøve at kigge på det.
Speaker A
Fordi så må det samlede moment jo være summen af alle de der delmomenter.
Speaker A
Øhm, og vi ved fra Newtons anden lov, at en kraft, det er en masse gange en acceleration.
Speaker A
Og i forbindelse med en rotation, der er det jo en masse gange en baneacceleration.
Speaker A
Vi ved også, at accelerationen, baneaccelerationen, det er en radius gange vinkelaccelerationen.
Speaker A
Og så kan vi egentlig begynde at sætte det sammen.
Speaker A
Og sige, jamen den, det moment, der ligger ude på masse nummer et herude.
Speaker A
Det må jo være massen gange radius gange alfa gange en.
Speaker A
Hvis vi lige prøver at kigge på det her.
Speaker A
Skal lige have til at skrive.
Speaker A
Så kan vi jo sige, at den, jeg har der, radius gange alfa.
Speaker A
Det er jo min baneacceleration, som vi ser lige ovenover.
Speaker A
Og massen gange min baneacceleration, det er så min kraft.
Speaker A
Og min kraft gange radius, det er så mit moment.
Speaker A
Sådan hænger det sammen.
Speaker A
Og det vil også sige, nu har jeg massen gange radius gange radius gange vinkelaccelerationen.
Speaker A
Det vil sige, det er radius i anden.
Speaker A
Og det kan jeg gå ind og gøre op for alle de delmasser, jeg har, og det er derfor, der står prikker til sidst.
Speaker A
Fordi der skal være rigtig mange masser, hvis jeg skal udregne hele svinghjulet.
Speaker A
Men samler vi det sammen på en linje, så kan vi se, at vinkelaccelerationen, den går jo igen for alle masserne.
Speaker A
Det er jo den samme acceleration, de er udsat for.
Speaker A
Så den kan vi trække udenfor.
Speaker A
Og sige accelerationen gange summen af masser gange deres radiusser i anden potens.
Speaker A
Og kigger vi igen lige, prøver at sammenholder det med det, der står for oven.
Speaker A
Så siger den jo, at momentet er accelerationen gange inertien.
Speaker A
Hernede siger vi, at det momentet er lig med accelerationen gange summen af masser gange r i anden.
Speaker A
Det vil så betyde også, at inertien, den kan vi også udtrykke som summen af masser gange deres placering i anden potens.
Speaker A
Og der er det måske mere logisk, at vi får en enhed på inertien, der hedder kilogram gange meter i anden.
Speaker A
Kilogram gange meter i anden her.
Speaker A
Og der kan vi også tydeligt se, at inertien afhænger af, hvor stor en masse vi, det drejer sig om.
Speaker A
Men også i høj grad af, hvor langt ude, hvor langt væk fra centrum ligger den masse.
Speaker A
Jo længere væk den ligger, jo større er inertien.
Speaker A
Og det afhænger faktisk af afstanden i anden potens.
Speaker A
Så hvis vi har 100 kg til et svinghjul, så er det bedre at lave det et tyndt svinghjul, hvor vi får massen langt ud.
Speaker A
End at have et svinghjul, hvor det ligger langt inde.
Speaker A
I hvert fald, hvis vi skal have en stor inerti.
Speaker A
Lad os lige prøve at kigge på et eksempel på det.
Speaker A
Vi har svinghjulet her, der kører rundt.
Speaker A
Øh, vi kan sige, den har en diameter på 25 cm.
Speaker A
Den kører rundt med 400 o/min.
Speaker A
Og inertien på det her svinghjul er 200 kg·m².
Speaker A
Heroppe, nu kører den rundt.
Speaker A
Nu vil jeg godt have den bremset.
Speaker A
Så der har jeg en bremseklods, jeg påvirker med en eller anden kraft.
Speaker A
Og når jeg trykker den an ned imod svinghjulet, så får jeg lavet en eller anden friktion ude i diameteren derude.
Speaker A
Lad os sige, den er på 100 N.
Speaker A
Nu vil jeg godt finde, jamen hvad er vinkelaccelerationen, altså hvor hurtigt bremser jeg det her ned?
Speaker A
Og hvad er tiden for nedbremsningen?
Speaker A
Jamen, hvis vi tager fat i i inertiformlen eller momentformlen, der hedder moment er lig med vinkelaccelerationen gange inertien.
Speaker A
Så kan vi skrive den en lille smule om, sige accelerationen er lig med momentet divideret med inertien.
Speaker A
Og det moment, som jeg skal lave for at bremse ned, det må jo komme af min F gange r.
Speaker A
Altså min friktion, der ligger derude, gange den radius, der ligger derude.
Speaker A
Så sætter vi tallene ind her, så er det 100 N gange 25 cm i diameter, divideret med inertimomentet.
Speaker A
Og jeg sætter min friktion ind i minus 100, fordi den virker imod bevægelsesretningen.
Speaker A
Det vil sige, jeg får en acceleration på minus 0,125 s⁻².
Speaker A
Og at accelerationen er negativ, betyder jo bare, at jeg er ved at bremse den ned i forhold til, hvor vi er nu.
Speaker A
Hvis vi skal finde tiden, så kan vi gå ind og finde vores.
Speaker A
Vores formler, der er en rigtig god formelsamling på side 48 i fysikbogen.
Speaker A
Der viser noget om det her, men den ene formel, vi kan bruge, det er den, der hedder, at vinkelhastigheden slut er lig med vinkelhastigheden start.
Speaker A
Plus vinkelaccelerationen gange tiden.
Speaker A
Skriver jeg den en lille smule om, sætter tiden udenfor.
Speaker A
Så kan vi se, at så er det vinkelhastigheden et minus vinkelhastigheden nul divideret med accelerationen.
Speaker A
Og vinkelhastigheden et, det er jo den, jeg slutter med.
Speaker A
Så den ender med at være bremset helt ned til nul.
Speaker A
Det jeg startede med, det er de 400 omdrejninger.
Speaker A
Skal jeg regne det om i vinkelhastighed.
Speaker A
Så er det 2π gange n.
Speaker A
Og husk, det skal være per sekund.
Speaker A
Derfor dividerer jeg med 60.
Speaker A
Nu bliver tælleren negativ, og når jeg så dividerer med vinkelaccelerationen her på de minus 0,125.
Speaker A
Så får jeg så ud, at den her nedbremsning, den tager 335 sekunder.
Speaker A
Så det var et lille eksempel på, hvordan vi kan bruge inertien her.
Speaker A
Vi skal også lige prøve at kigge en lille smule på, hvordan vi kan bestemme inertien.
Speaker A
For nogle foruddefinerede bare størrelser.
Speaker A
Hvis nu jeg har en akse, som den der, hvor at den lille sorte streg, jeg har der.
Speaker A
Jamen, den viser egentlig bare et et omdrejningspunkt.
Speaker A
Det vil sige, hvis jeg har en streg, en omdrejningspunkt her ned igennem den.
Speaker A
Lige igennem centrum.
Speaker A
Så har jeg en stang, der roterer om den centrum, har jeg kaldt det.
Speaker A
Øhm, og der er nogen, der har regnet ud, hvad er inertien for sådan en stang for os.
Speaker A
Og den er en halv gange massen gange radius på den her stang i anden potens.
Speaker A
Det var en type standardfigur, vi kunne måle på.
Speaker A
Vi kunne også tage en stang, vi har boret ud.
Speaker A
Så er den blevet til et rør.
Speaker A
Og det er stadigvæk det samme omdrejningsakse, altså igennem centrum af stangen.
Speaker A
Det vil sige, et rør, der roterer om den centrum.
Speaker A
Der er inertien en halv gange m gange den yderste diameter i anden plus den inderste diameter i anden.
Speaker A
Øhm, det er ikke noget, vi skal bevise, men sådan er det.
Speaker A
Vi kunne også tage en stang, som den her.
Speaker A
Hvor vi sætter en omdrejningsakse lige igennem midten, men altså på tværs af stangen.
Speaker A
Det vil sige, når stangen begynder at rotere, så begynder den altså at rotere omkring sin egen længdeakse.
Speaker A
Øhm, og der kan man sætte en formel op, der hedder, at inertimomentet er lig med en 12. gange massen gange længden på stangen i anden potens.
Speaker A
Og den sidste, vi lige vil tage, det er, at hvis jeg har den samme stang her.
Speaker A
Men nu har jeg så placeret mit omdrejningspunkt ude i enden af stangen.
Speaker A
Det vil sige, stangen roterer omkring sin egen ende.
Speaker A
Så øhm, er inertimomentet en tredjedel gange momentet gange længden i anden potens.
Speaker A
Det kunne man godt bevise, hvis man har lyst til at jonglere med de her formler.
Speaker A
Men det gider vi ikke bruge tid på.
Speaker A
Et lille eksempel.
Speaker A
Vi kunne tage en.
Speaker A
Det kunne være en skrueaksel.
Speaker A
Vi kan sige, den er 50 cm i diameter og 18 m lang.
Speaker A
Det er til et halvt stort skib det her.
Speaker A
Og i hver ende er der nogle flanger, flangerne er 75 cm i diameter, og de har en tykkelse på 5 cm.
Speaker A
Og det er lavet af stål med en massefylde på 7800 kg/m³.
Speaker A
Lad os prøve at finde inertien på hele det akselsystem der.
Speaker A
Vi kigger på selve akslen først.
Speaker A
Og jeg starter lige med at finde volumen, og volumen må jo være π/4 gange diameteren i anden gange længden, altså π/4 gange en halv meter i anden gange længden på de 18 m.
Speaker A
Og det vil sige, der er 3,53 m³ stål i den i det akselstykke, der er i midten der.
Speaker A
Skal jeg det regne det om til en masse, så ganger jeg med massefylden.
Speaker A
Og så får jeg, at den vejer 27,6 tons.
Speaker A
27.600 kg.
Speaker A
Og det kan jeg så sætte ind i min formel, jeg havde fra forrige side, der sagde, at inertien for sådan en aksel, det var en halv gange m gange radius i anden.
Speaker A
Det vil sige, en halv gange 27.600 gange radius, og det er så de 0,25 i anden.
Speaker A
Og det vil sige, jeg har et inertimoment på selve akslen i midten der på 861,5 kg·m².
Speaker A
Vi kan prøve at kigge på flangerne også.
Speaker A
Samme manøvre, men nu er det kun π/4 gange 0,75 i anden, og så gange 0,05, altså 5 cm i tykkelsen.
Speaker A
Der er ikke nær så meget masse i den eller volumen i dem.
Speaker A
Kun 0,022 m³.
Speaker A
Massen, der ganger vi igen med massefylden.
Speaker A
Det vil sige, hver flange i enderne der vejer 172 kg.
Speaker A
Og regner jeg det om i inertien herude, så er det en halv gange de 172 massen gange radius i anden, 37,5 cm.
Speaker A
Altså 0,375 m i anden.
Speaker A
Og det vil sige, flangerne der, de bidrager med et inertimoment på 12,1 kg·m².
Speaker A
Og det kan vi lægge sammen.
Speaker A
Det vil sige, det samlede inertimoment for hele akslen der, den er inertimomentet for akslen plus to flanger.
Speaker A
Det vil sige, 885,7 kg·m².
Speaker A
Det var et lille eksempel på, hvordan man kunne regne det.
Topics:inertimomentrotationfysiksvinghjulvinkelaccelerationmomentinertiNewtonfriktiondynamik
