ДЧ10. Похідні і диференціали вищих порядків. — Transcript

студенти, я Олексій Василенко.

Продовжуємо математичний аналіз, диференційне числення.

Сьогодні у нас похідні і диференціали вищих порядків.

Починаємо з похідних.

І спочатку другого порядку.

Якщо функція має похідну і не фіксувати точку, в якій ми цю похідну беремо, то ця похідна сама буде функцією від змінної X, визначеною на множині, де ця похідна існує.

І оскільки це функція, можна ставити питання про існування похідної від цієї функції. Так от, якщо ця похідна існує, вона називається другою похідною, позначається f2' (x), це буде похідна від першої похідної.

Ну, ще можна написати y2', теж позначення для аналогічне позначенню y'.

Ну, наприклад, y = cos²x.

Знайдемо похідну. y' тут у нас складена функція cos x², 2 cos x на похідну від косинуса - sin x.

З тригонометрії дуже схоже на синус подвійного аргумента, так і є: - sin 2x. Функція.

Можемо знайти від неї похідну, і це вже буде друга похідна. Друга похідна від цієї функції, це у нас - sin 2x', це буде другою похідною від косинуса і першою від першої похідної. Мінус виходить, похідна від синуса - це косинус того ж аргумента помножити на двійку, як похідна від аргумента косинуса, помножити на 2. Або так симпатичніше буде -2 cos 2x. Друга похідна.

Ну, якщо є бажання, можна взяти ще третю, четверту похідну і так далі.

Так що ми приходимо до означення енної похідної. Отже, вона визначається рекурентно, тобто наступна через попередню. Енною похідною позначається n, номер похідної арабською цифрою або літерою в дужках від x, називається похідна від попередньої n-1 похідної. Означення енної похідної.

Ну, і знову можна ще написати, це буде y(n) похідна. З приводу позначень. Менші похідні, перша, друга, третя, зазвичай позначаються штрихами: y', y'', y'''. Але 15 штрихів ніхто ставити не буде. Починаючи з якого місця, ну, десь там з п'ятої, шостої, сьомої похідної, від римських цифр, які можна читати, оці штрихи, як начебто римські цифри, ми переходимо до арабських цифр: y(10) похідна, y(35) похідна. Переходимо до такого позначення. Вони, в принципі, позначення рівноправні, але зрозуміло, для універсальності зручніше в дужках номер похідної. Але перші похідні позначають отак штрихами для краткості, для зрозумілості і традиційно.

Розглянемо ще приклад. Нехай треба знайти четверту похідну від функції y = 3^x.

Знайти зразу четверту похідну неможливо. Щоб дійти до четвертої, треба пройти всі попередні: першу, другу, третю.

Тому по черзі знаходимо. y' перша похідна. Похідна від 3^x ми маємо 3^x ln 3.

Друга похідна - це вже буде похідна від цієї першої похідної. Маємо 3^x ln 3 - це похідна від 3^x, і ще один логарифм - це константа, яка перемножується, маємо ln²3.

Третя похідна. Будемо мати ті ж самі 3^x, і ще один логарифм додасться, це у нас буде ln³3. І нарешті, четверта похідна - це у нас буде 3^x ln⁴3.

Якби нам сказали знайти 15-ту похідну, мабуть, ми б зразу і написали: 3^x ln¹⁵3. То можна спільне 15 логарифмів.

Так от, написати то можна, але це треба обґрунтувати. Такого вигляду завдання, мабуть, краще розв'язати методом математичної індукції, довести, що у нас y(n) похідна, наша догадка, буде дорівнювати 3^x lnⁿ3. Це гіпотеза, яку можна довести таким чином. Перевіряємо, для першої похідної це вірно. Вважаємо, що у нас вірно для n-ї похідної. Доведемо, що звідси випливає, що n-1 похідна буде мати аналогічний вигляд, тільки тут буде стояти n+1.

Спробуємо знайти n+1 похідну, наступну. Наступна похідна - це буде 3^x на ln 3 помножити на lnⁿ3. Ну, зрозуміло, що все, що треба, ми отримали: 3^x ln^(n+1)x. Отже, цей процес, зрозуміло, можна продовжувати до нескінченності, і ми отримаємо саме такий вираз для будь-якого порядку похідної. Порядок похідної.

Ще декілька прикладів, які достатньо важливі, вони ще будуть зустрічатись, які варто пам'ятати. Ну, майже очевидне y = e^x.

Тут це просто, навіть доказувати тут майже немає чого, майже очевидно, те, що n-на похідна - це буде знову таки e^x. Бо скільки не диференціюй e^x, e^x буде залишатись e^x.

Перший приклад. Другий приклад, розглянемо якийсь многочлен. Многочлен, скажімо, P2(x) загальний вигляд многочлена другого степеня. Це у нас буде ax² + bx + c. Спробуємо знайти похідну. Якщо ми знайдемо похідну P2'(x), ми будемо мати 2ax + b. Друга похідна нам залишить тільки 2a, тому що похідна від b буде нулем. Залишається 2a. Третя похідна вже буде 0, бо це константа. Отже, третя похідна від многочлена другого степеня є 0.

Четверта, ну, і далі тут зрозуміло, одні нулі будуть. Більше того, якщо ми маємо многочлен n-го степеня, це у нас буде так: a0, я напишу, a1x, розташовуючи степені в іншому порядку, + a2x² + і так далі + anxⁿ. По черзі диференціюючи, ми можемо отримати, що n-на похідна від многочлена n-го степеня залишить нам тільки член, який вийшов при диференціюванні останнього доданку. Бо n-1 степінь уже при n-му диференціюванні перетвориться в нуль. А останній доданок дасть нам an, і тут помножиться по черзі, ми будемо брати похідні n, n-1, n-2, і так далі. Коротше, помножити на n!. n-на похідна від многочлена n-го степеня є старший коефіцієнт і на n! помножене. А наступна похідна n+1 від многочлена n-го степеня - це вже 0. І всі подальші похідні перетворюють наш многочлен в 0. Отже, похідна n+1 порядку від многочлена n-го степеня є 0.

Ну, і ще один приклад. Нехай y = sin x.

Спробуємо знайти n-ну похідну від синуса. Диференціюємо. y' дає нам cos x.

y'' похідна від косинуса - sin x. Третя похідна - це похідна від синуса дасть - cos x.

Четверта похідна. Четверта від - cos x, похідна від косинуса - sin x, мінус на мінус sin x. Те ж саме, що було. П'ята похідна буде такий же косинус, шоста - sin. Коротше, оці чотири функції будуть чергуватись. Можна спробувати записати це якоюсь формулою.

Якщо згадати формули зведення, то можна побачити, що cos x - це є sin (x + π/2). - sin x можна записати як sin (x + 2π/2). Я натякаю на те, що - cos x ми отримаємо третю чверть туди перейдемо. cos x у нас буде sin (x + 3π/2). І так далі. Приходимо до формули y(n) похідна, якщо y sin x, sin x n-на похідна - це є sin (x + nπ/2). Теж варто пам'ятати цю формулу.

Бо якщо треба знайти n-ну похідну косинуса, це вже тепер просто. Просто продиференціювати, ми отримаємо cos (x + nπ/2). І помножити на одиничку, похідну аргумента, це виходить косинус точно так.

При обчисленні похідних вищих порядків іноді корисною буває формула Лейбніца.

Яка має отакий, має отакий вигляд: (u·v)(n) похідна - це є сума k від 0 до n, C(n,k) біноміальні коефіцієнти, u(k) v(n-k) похідна. За допомогою цієї формули можна обчислити похідну будь-якого порядку теоретично, але на практиці корисно, коли похідні якогось порядку обчислюються просто. Скажімо, одна з похідних експонента, яка завжди буде однією і тією ж.

Знову розглянемо приклад. Нехай треба знайти п'яту похідну від функції y = (x² - 3x + 5)e^x. От, скажімо, так. Треба знайти п'яту похідну.

Скористаємось формулою Лейбніца.

Для цього нам знадобляться біноміальні коефіцієнти. Тобто, п'ята похідна y(5) буде дорівнювати. k = 0, ми будемо мати просто сама функція (x² - 3x + 5) на e^x п'ята похідна. Плюс, похідна від многочлена. Біноміальні коефіцієнти. Згадаємо коефіцієнти: 1, я скористаюсь трикутником Паскаля. 1 2 1, 1 3 3 1, 1 4 6 4 1, 1 5 10 10 5 1. Ось наші біноміальні коефіцієнти.

Тоді другий доданок. Будемо мати 5. Похідна від многочлена (x² - 3x + 5)' на e^x четверта похідна. Плюс 10. (x² - 3x + 5)'' друга похідна на e^x третя похідна. Плюс 10. Третя похідна від многочлена другого степеня. Це ж нуль.

Це вже зайвий доданок, і наступного четвертого тим більше не буде. Це вже можна не розглядати. Плюс і так далі, я напишу, дорівнює. І обчислюємо ті похідні, які ми маємо. Тут просто дорівнює у нас буде (x² - 3x + 5) на e^x, бо п'ята похідна від e^x - це є e^x. Плюс 5 помножити на (2x - 3) на e^x. І нарешті, друга похідна від дужки (x² - 3x + 5) - це у нас буде 10 помножити на 2. І помножити на e^x. Це все. Залишилось згорнути для красоти. e^x виноситься за дужки. В дужках буде стояти поліном другого степеня. x² - 3 + 10 у нас 7x. 5 - 15 - 10 і + 20 буде + 10. І це відповідь.

Використання формули Лейбніца для обчислення деяких похідних вищих порядків. Навіть якби треба було знайти не п'яту похідну, а 25-ту, все одно у нас залишилось би тільки три доданки, тільки біноміальні коефіцієнти були б трошки іншими. Формула Лейбніца.

Тепер поговоримо про диференціали вищих порядків. Диференціал dy або df - це у нас є f'(x) dx. Що називається другим диференціалом? Ну, по аналогії з похідними, тут означення буде рекурентне. Другий диференціал - це диференціал від першого диференціала.

Ну, дійсно, диференціал є функцією від точки x. dx, до речі, від x не залежить в нашому випадку. Ми вважаємо dx незалежний такий приріст аргумента, він від x не залежить. Отже, ну, все одно це функція від x. І якщо це функція, ми від неї можемо брати диференціал. Як? Ну, ось написано як. Диференціал від f'(x) dx і обчислюємо. Перед нами функція. Щоб знайти диференціал цієї функції, треба взяти похідну цієї функції. Як я відмітив, dx не залежить від x, тобто це стала відносно x, і її можна винести за знак похідної. Залишиться похідна від f'(x). Приходимо до другої похідної від f. І dx². dx помножене на dx.

Ну, прийнято писати, часто пишуть dx². І це мається на увазі не x², а dx². Ну, це як звикнути, така умовність, яка виявляється природною. Отже, d²y - це є f''(x) dx². Якщо подивитись на позначення для першого диференціала, dy - це у нас похідна від dx. І звідси алгебраїчно знайти f'(x). То ми маємо поширене позначення dy/dx. Виявляється, це не просто позначення, як єдиний символ, як я колись про це казав. Що це єдиний символ, це не ділиться. Виявляється, його можна уявляти собі як відношення двох диференціалів. А диференціали самі по собі - це величини, які рухаються, які мають певні властивості, а не просто фіксовані числа. Таким чином, f'(x) - це відношення двох диференціалів. Як ми бачимо, тоді другий диференціал за аналогією, друга похідна за аналогією, може бути виражений як d²y / dx².

Ну, і як ми зараз побачимо, подальші диференціали, старші диференціали, будуть мати таку ж саму приблизно форму, якщо x - незалежна змінна. n-им диференціалом dⁿ від y, без дужок, n-ний диференціал, називається диференціал від попереднього n-1 диференціала. І якщо пройти оцю процедуру обчислення, ми будемо мати, що він дорівнює n-ній похідній з дужками на dx в степені n. Ну, як я натякав, n-на похідна тоді може мати позначення dⁿx / dxⁿ. Зверніть, де стоять цифри: d2, dx², d(n), dxⁿ. Ну, так прийнято. Це таке позначення, і ми маємо на увазі, що dx - це n раз помножений приріст на себе. Диференціали вищих порядків.

Їх обчислення зводиться до обчислення похідних відповідних порядків, і нічого принципово тут нового немає. Ну, наприклад, нехай треба знайти другий диференціал від, ну, просто логарифм візьмемо. Треба знайти другий диференціал d²y.

Для цього я спочатку знайду просто другу похідну. y' від логарифма - це похідна 1/x. Друга похідна дає нам -1/x². Отже, d²y в цьому випадку буде просто друга похідна -1/x² і помножено на dx². Можна це записати як і -dx² / x².

Перший диференціал має таку дуже важливу властивість, як інваріантність форми. А от другий і подальші диференціали такої властивості вже не мають. Але про це ми будемо говорити наступного разу.

Якщо ви залишитесь на нашому каналі, ви взнаєте це і ще багато інших речей. Я вам буду в цьому допомагати. Ставте лайки, підписуйтесь на канал. Я з вами, Олексій Василенко.