Speaker None
вивчати математичний аналіз, похідні.
Відео розглядає приклади обчислення похідної складеної функції з детальним поясненням формул та спрощенням результатів.
Key Takeaways
- Похідна складеної функції обчислюється за формулою f'(u)*u', де u – внутрішня функція.
- Для складних виразів важливо правильно розпізнавати зовнішню та внутрішню функції, особливо у випадках степенів і тригонометричних функцій.
- Заміна змінних може значно спростити обчислення похідних громіздких функцій.
- Використання таблиці похідних і знання основних формул є ключем до швидкого та правильного диференціювання.
- Спрощення отриманих похідних робить результати більш зрозумілими і зручними для подальшого використання.
Summary
- Розгляд прикладів знаходження похідних складених функцій та застосування формул похідної суми, добутку і частки.
- Пояснення, як переписувати вирази для зручності диференціювання, наприклад, степені та експоненти.
- Обчислення похідної логарифма від тангенса з використанням формули похідної складеної функції.
- Аналіз похідної функції виду cos^2(sin(x/3)) з розбором зовнішньої та внутрішньої функцій.
- Приклад похідної логарифма від виразу з коренем та параметром, що веде до похідної ареа синуса.
- Розбір похідної степеня в степені, зокрема функції 3^(2^x), та особливостей асоціативності степенів.
- Показано метод заміни змінних для спрощення обчислення похідних складних функцій, на прикладі arccos(x).
- Використання таблиці похідних для спрощення обчислень та рекомендації щодо її оновлення.
- Пояснення тригонометричних формул, що допомагають у спрощенні похідних складених функцій.
- Загальна методика поетапного диференціювання складених функцій з детальним розбором кожного кроку.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker None
Сьогодні у нас практичні задачі.
Speaker None
Ми розглянемо декілька типових прикладів на знаходження похідних, в першу чергу, похідної складеної функції.
Speaker None
Почнемо з простого.
Speaker None
Нехай задана отака функція 3√x ln x + e^-x cos x.
Speaker None
Тут складеної функції немає, тут у нас сума двох функцій, кожна з яких є добуток двох інших функцій, тому будемо користуватись формулами похідної суми і добутку.
Speaker None
Маємо.
Speaker None
Я спочатку перепишу трохи по-іншому цей вираз.
Speaker None
Тут у мене буде 3 √x, запишу як x в степені 1/3.
Speaker None
Саме так мені буде зручно брати похідну.
Speaker None
На логарифм x плюс, а e^-x.
Speaker None
Користуючись тим, що у нас показник від'ємний.
Speaker None
Я можу записати в знаменнику e^x.
Speaker None
І тепер маємо похідну добутку і похідну частки.
Speaker None
Користуємось формулами.
Speaker None
Знаходимо y'.
Speaker None
3, так, u' це в нас буде.
Speaker None
У мене u тепер тут це, а v логарифм.
Speaker None
x^1/3' на логарифм x плюс, тепер x^1/3 залишилась на логарифм x похідна.
Speaker None
Я використав формулу похідної добутку.
Speaker None
Далі.
Speaker None
Плюс.
Speaker None
Тут похідна частки.
Speaker None
Тут тепер у мене u і v.
Speaker None
u' cos x похідна на e^x мінус cos x без змін на e^x похідна.
Speaker None
І поділити все на e^2x.
Speaker None
e^x^2 це e^2x.
Speaker None
Дорівнює.
Speaker None
Обчислюємо похідні, які у нас стоять.
Speaker None
Посилаючись на таблицю похідних.
Speaker None
x^1/3 це буде 3 помножити.
Speaker None
1/3 x^1/3 - 1.
Speaker None
Логарифм x плюс.
Speaker None
x^1/3, а тут у нас похідна від логарифма.
Speaker None
Це 1/x.
Speaker None
Плюс.
Speaker None
Похідна від косинуса.
Speaker None
Дає нам -sin x на e^x.
Speaker None
Мінус похідна від e^x так же саме залишається.
Speaker None
cos x e^x на e^2x.
Speaker None
В принципі, похідну ми вже взяли.
Speaker None
Але в такому вигляді залишати якось непристойно.
Speaker None
Варто це спростити.
Speaker None
Будемо спрощувати все, що можна.
Speaker None
Ну, в такому вигляді вже можна і залишити.
Speaker None
Але можна записати в наближеному до того, що було.
Speaker None
Якщо я тут запишу тут логарифм x, а трійка загубилась.
Speaker None
Отут трійка в мене.
Speaker None
Логарифм x + 3 - e^-x (sin x + cos x).
Speaker None
В такому вигляді, мабуть, варто залишати.
Speaker None
Ми знайшли похідну від заданої функції.
Speaker None
Наступна функція.
Speaker None
Логарифм від тангенса x/2 вже тут складена функція.
Speaker None
Логарифм від не x, а від тангенса.
Speaker None
Саме тангенс.
Speaker None
Є аргументом логарифма.
Speaker None
Бо логарифма іншого аргументу немає.
Speaker None
Тоді, раз складена функція.
Speaker None
Згадуємо формулу похідної складеної функції.
Speaker None
f(u)' = f'(u) * u'.
Speaker None
В даному випадку у нас функцією u буде саме тангенс.
Speaker None
От ми тангенс.
Speaker None
Маємо на увазі, це у нас u.
Speaker None
Логарифм від u.
Speaker None
Знаходимо похідну.
Speaker None
Похідна від логарифма u це буде 1 / u.
Speaker None
Як похідна від логарифма.
Speaker None
І помножити на похідну від u'.
Speaker None
Тобто, це буде 1 / tg x/2 помножити на похідну від tg x/2.
Speaker None
Перший крок зроблено.
Speaker None
Але тепер у нас похідна від тангенса.
Speaker None
Треба взяти цю похідну.
Speaker None
Тангенс, якби був просто x.
Speaker None
Похідна від тангенса x у нас стоїть в таблиці похідних.
Speaker None
А от похідна від тангенса x/2 знову-таки складена.
Speaker None
Бо аргументом у нас x/2.
Speaker None
Користуємось тією ж самою формулою, де в якості u у нас тепер виступає x/2.
Speaker None
1 / tg x/2 помножити похідна від тангенса u.
Speaker None
Це у нас буде 1 / cos^2 аргумента x/2.
Speaker None
І помножити на x/2 похідна.
Speaker None
От.
Speaker None
Похідна від x/2 це просто 1/2.
Speaker None
І тому, ага.
Speaker None
А тангенс це у нас sin / cos.
Speaker None
Якщо розписати, косинус скоротиться.
Speaker None
Залишається у нас 1.
Speaker None
sin x/2 помножити на cos x/2.
Speaker None
І похідна від x/2 це 1/2.
Speaker None
Я двійку напишу спереду.
Speaker None
Зразу згадується формула з тригонометрії.
Speaker None
Про синус подвійного аргумента.
Speaker None
Але тепер, оскільки у нас половини, подвійний не буде просто sin x.
Speaker None
І маємо 1.
Speaker None
На sin x.
Speaker None
Похідна складеної функції.
Speaker None
Я користувався оцією формулою.
Speaker None
Для логарифма.
Speaker None
Хочеться відмітити, що в такому вигляді.
Speaker None
Логарифм u похідна дорівнює 1/u'.
Speaker None
Варто переписати всю таблицю похідних.
Speaker None
Що я вам і рекомендую зробити.
Speaker None
От приблизно так.
Speaker None
І саме такою таблицею користуватись, коли ми маємо справу з похідними складеної функції.
Speaker None
Тепер дещо підступний приклад.
Speaker None
cos^2 від sin x/3.
Speaker None
В цьому прикладі дещо замаскована зовнішня функція.
Speaker None
І це викликає певні проблеми.
Speaker None
Справа в тому, що cos^2, як це розуміти?
Speaker None
Якщо ми пишемо cos^2, це мають, от, скажем, cos^2 x.
Speaker None
Це як?
Speaker None
Це насправді (cos x)^2.
Speaker None
В такому вигляді видно, що у нас зовнішня функція це квадрат.
Speaker None
Це зовнішня.
Speaker None
А в якості внутрішньої, тобто u в наших формулах, виступає косинус.
Speaker None
Хоча тут здається, що косинус це зовсім зовнішня.
Speaker None
Тому, звичайно, простіше.
Speaker None
Знайти похідну від √cos x.
Speaker None
Ніж від cos^2.
Speaker None
Але ми з цим розібрались.
Speaker None
Тому це у нас косинус, я навіть перепишу (cos(sin x/3))^2.
Speaker None
Перед нами це отака функція.
Speaker None
І для неї користуємось формулами для складеної функції.
Speaker None
y'.
Speaker None
Похідна від u^2.
Speaker None
В якості проміжного у нас виступає весь цей вираз.
Speaker None
Це буде 2u, тобто 2 cos(sin x/3).
Speaker None
Похідна від u^2 це є 2u * u'.
Speaker None
2u * u', похідна від cos(sin x/3)'.
Speaker None
От тепер будемо брати похідну від косинуса вже на наступному кроці.
Speaker None
2 cos(sin x/3) це залишається вже назавжди.
Speaker None
Тепер знаходимо похідну від косинуса нашого нового u.
Speaker None
Похідна від cos u це -sin.
Speaker None
Мінус sin цього самого аргумента sin x/3.
Speaker None
І помножити на похідну від цього аргумента.
Speaker None
sin x/3 похідна.
Speaker None
Нарешті це останній крок.
Speaker None
Похідна від x/3 1/3.
Speaker None
Остаточно маємо.
Speaker None
1/3 sin(2 sin x/3) cos x/3.
Speaker None
Наступний приклад іноді лякає своєю громіздкістю.
Speaker None
Але красота отриманої відповіді робить цей приклад одним із улюблених прикладів більшості викладачів.
Speaker None
Тому давайте на нього подивимось.
Speaker None
Ну, звичайно, тут просто складена функція.
Speaker None
Логарифм від якогось аргумента, логарифм u.
Speaker None
І тоді похідна буде 1 / (x + √(x^2 + a^2)).
Speaker None
І помножити на похідну аргумента логарифма.
Speaker None
Помножити на (x + √(x^2 + a^2))'.
Speaker None
Знаходимо цю похідну.
Speaker None
Маємо.
Speaker None
1 / (x + √(x^2 + a^2)) * (1 + ...).
Speaker None
А у нас константа.
Speaker None
Маємо це на увазі, що а просто константа, параметр.
Speaker None
Це незмінна.
Speaker None
Змінна x, і тому беремо похідну від кореня.
Speaker None
Похідна від кореня це 1 / (2 таких же кореня).
Speaker None
2√(x^2 + a^2).
Speaker None
Помножене на похідну від підкореневого виразу.
Speaker None
Під коренем у нас стоїть x^2 + a^2.
Speaker None
І тому похідну від кореня ще треба помножити на 2x.
Speaker None
Похідна від a^2 0.
Speaker None
Будемо спрощувати.
Speaker None
Скоротились двійки.
Speaker None
Приводимо до спільного знаменника в дужках.
Speaker None
1 / (x + √(x^2 + a^2)).
Speaker None
Знаменник √(x^2 + a^2).
Speaker None
Сюди у нас іде √(x^2 + a^2).
Speaker None
Тут у нас залишається x.
Speaker None
Плюс x.
Speaker None
Ну от.
Speaker None
Довгоочікуване спрощення.
Speaker None
Скорочуються два множники.
Speaker None
І залишається достатньо красива відповідь.
Speaker None
1 / √(x^2 + a^2).
Speaker None
До речі, оця функція обернена до гіперболічного синуса.
Speaker None
Ареа синус називається.
Speaker None
І оце формула похідної від ареа синуса.
Speaker None
Наступний приклад не складний.
Speaker None
Але цікавий тим, що тут от степінь в степені.
Speaker None
Треба розібратись тут з зі складеною функцією.
Speaker None
Що від чого залежить.
Speaker None
Хочеться відмітити, що у нас, як читати такий вираз?
Speaker None
3^2^x.
Speaker None
В якій послідовності треба виконувати дії?
Speaker None
Тут все-таки 3 в степені якась функція 2^x.
Speaker None
А не 3^2, 9^x.
Speaker None
Цей вираз не дорівнює 9^x.
Speaker None
Піднесення до степені неперестановочна.
Speaker None
Не можна і по-іншому розставити дужки.
Speaker None
Немає асоціативності тут.
Speaker None
Це у нас буде 3^2^x.
Speaker None
Отак.
Speaker None
Ну і тепер уже складена функція.
Speaker None
В цьому випадку y'.
Speaker None
Буде дорівнювати 3^u похідна, це у нас буде 3^2^x.
Speaker None
На логарифм 3 за таблицею похідних.
Speaker None
Помножено на похідну показника.
Speaker None
2^x похідна.
Speaker None
А похідна від 2^x за тією ж формулою.
Speaker None
Нам дасть логарифм 3 помножити на 2^x логарифм 2.
Speaker None
Ну, хіба що можна переписати.
Speaker None
Суттєвого спрощення я далі не бачу.
Speaker None
Похідна від 3^2^x.
Speaker None
На завершення я хочу показати один з прийомів, який іноді дозволяє спростити обчислення похідних.
Speaker None
Достатньо громіздких.
Speaker None
Ну, от, скажімо, така похідна.
Speaker None
Її обчислення можна спростити, якщо зробити заміну змінних.
Speaker None
От саме заміна змінних іноді дозволяє трошки спростити обчислення.
Speaker None
Ми бачимо, що arccos x у нас присутній декілька разів.
Speaker None
У нас тут arccos x^2.
Speaker None
Ми вже про це казали.
Speaker None
Таким чином, якщо я прямо явно позначу через u arccos x.
Speaker None
То наша функція.
Speaker None
Може бути записана як u^2 * ln u.
Speaker None
І тоді знаходження похідної.
Speaker None
Зведеться до знаходження похідної (u^2 * ln u)' * u'.
Speaker None
Складена функція.
Speaker None
Цей шлях дещо простіший, ніж весь час брати похідну від arccos x і за собою носити.
Speaker None
Ми похідну від arccos x винесли окремо.
Speaker None
Будемо брати тільки один раз.
Speaker None
А цей вираз знаходиться похідна, як звичайна похідна добутку.
Speaker None
Маємо.
Speaker None
u^2' * ln u + u^2 * ln u'.
Speaker None
І помножити на похідну від u.
Speaker None
Похідна від arccos x.
Speaker None
А похідна від arccos x у нас -1 / √(1 - x^2).
Speaker None
Ну тепер можна згадати, що u насправді у нас arccos.
Speaker None
І тому в чисельнику дробу.
Speaker None
-1 / √(1 - x^2).
Speaker None
Я цю дужку перенесу в чисельник.
Speaker None
Мінус виніс перед дробом.
Speaker None
Тут у нас буде стояти 2 arccos x ln arccos x.
Speaker None
Плюс u^2 і u скорочується.
Speaker None
Залишається просто arccos x.
Speaker None
На цьому сьогоднішні приклади завершуються.
Speaker None
Наступного разу розберемо спеціальні випадки обчислення похідних.
Speaker None
Логарифмічне диференціювання, неявна, параметрична функція.
Speaker None
Залишайтесь на нашому каналі.
Speaker None
До наступних зустрічей.
Speaker None
Будьте з нами.
Speaker None
А я з вами.
Speaker None
Олексій Василенко.
Speaker None
До побачення.
Topics:похіднаскладена функціяматематичний аналіздиференціюваннялогарифмтригонометріяпохідна добуткупохідна часткизаміна зміннихпохідна степеня
![ESSA ILUSTRAÇÃO VAI CONFRONTAR VOCÊ 😱 [Parte 1] – Min. … — Transcript](https://i.ytimg.com/vi/GEmB7P_pO-8/maxresdefault.jpg)
