Speaker A
Олексій Василенко. Математичний аналіз, диференційне числення, теореми про диференціювання функції.
Огляд теореми Ролля з формальним доведенням та прикладами, що пояснюють її застосування у диференційному численні.
Key Takeaways
- Теорема Ролля гарантує існування точки з нульовою похідною між двома точками, де функція має однакові значення.
- Для застосування теореми функція має бути неперервною на замкненому відрізку та диференційовною на відкритому інтервалі.
- Геометрично теорема означає наявність горизонтальної дотичної до графіка функції.
- Доведення базується на теоремах Вейєрштрасса та Ферма.
- Частковий випадок теореми корисний для функцій, що дорівнюють нулю на кінцях відрізка.
Summary
- Відео присвячене теоремі Ролля в контексті математичного аналізу та диференційного числення.
- Розглядаються умови теореми: неперервність на замкненому відрізку, диференційовність на відкритому інтервалі, та рівність значень функції на кінцях відрізка.
- Формулюється твердження теореми: існує точка C всередині інтервалу, де похідна функції дорівнює нулю.
- Пояснюється геометричний зміст теореми – наявність горизонтальної дотичної.
- Проводиться формальне доведення теореми з розглядом двох випадків: стала функція та не стала функція.
- Використовується теорема Вейєрштрасса для доведення існування максимуму або мінімуму функції на відрізку.
- Застосовується теорема Ферма для визначення, що в точці максимуму або мінімуму похідна дорівнює нулю.
- Наводиться наслідок теореми Ролля для випадку, коли функція має нульові значення на кінцях відрізка.
- Автор закликає підписуватись на канал для подальшого вивчення теорем про диференційовані функції.
Full Transcript — Download SRT & Markdown
Speaker A
Маючи в арсеналі теорему Ферма, ми сьогодні зможемо рухатись далі в серії теорем про диференційні функції і будемо розглядати теорему Ролля.
Speaker A
По-перше, неперервна на відрізку AB, на замкненому відрізку AB якомусь.
Speaker A
По-друге, диференційовна, тобто має похідну в кожній точці інтервалу AB.
Speaker A
В кожній точці інтервалу функція має похідну відкритого інтервалу. І третє, f(a) = f(b).
Speaker A
Значення функції на кінцях співпадають. Ну, тобто у нас функція буде мати вигляд приблизно такий.
Speaker A
Тоді твердження теореми: існує така точка C всередині інтервалу AB, в якій похідна обертається в нуль.
Speaker A
f'(c) = 0. Геометрично це означає, що має горизонтальну дотичну. Така точка обов'язково знайдеться. Це стверджує теорема Ролля. Проведемо формальне доведення цієї теореми.
Speaker A
По-перше, ми розберемось з випадком, коли функція стала, тотожно дорівнює якійсь константі. В цьому випадку для будь-якого C з інтервалу AB похідна буде дорівнювати нулю, бо похідна в цьому випадку сталої всюди нуль. І теорема уже доведена, якщо функція стала.
Speaker A
Цікавіше, коли функція не є сталою. От приблизно такий випадок. В цьому випадку, користуючись тим, що функція неперервна на замкненому відрізку, ми, посилаючись на теорему Вейєрштрасса, стверджуємо, що функція буде досягати свого найменшого і найбільшого значення, яке я позначив m маленьке і M велике.
Speaker A
І вони різні, тому що функція не стала. І досягає, що означає досягає? Це означає, що будуть існувати точка x_m маленьке, в якій функція прийме своє найменше значення. На нашому малюнку це оця точка x_m маленьке. І буде існувати точка x_M велике, така що x_M велике дасть нам M велике. Оце точка в мене на нашому малюнку x_M велике.
Speaker A
Точки, в яких досягаються ці найбільші і найменші значення. Тому що f(a) = f(b), ці дві точки не можуть бути одночасно на кінцях. Тому що значення на кінцях однакові, а у нас значення найменшого і найбільшого значень різні.
Speaker A
Отже, принаймні одна з цих точок буде всередині інтервалу AB. Нехай у нас x_M велике для визначеності належить інтервалу AB. Але це ж точка найбільшого значення. Це означає, що це точка максимуму. І в цій точці існує похідна, тому що похідна існує в кожній точці інтервалу AB.
Speaker A
Похідна в цій точці існує. А за теоремою Ферма, це означає, що ця похідна буде дорівнювати нулю, що нам і треба було. Теорема Ролля доведена.
Speaker A
Перш ніж завершити сьогоднішню зустріч, відмітимо один наслідок цієї теореми. Частковий випадок, коли f(a) = f(b) = 0. Тобто наша функція має на кінцях відрізку AB нульові значення.
Speaker A
От приблизно так може. Тоді теорема Ролля стверджує, що існує точка C між A і B, така що f'(c) = 0. Тобто між двома нулями функції існує нуль похідної. Частковий випадок, але корисний, часто зустрічається.
Speaker A
На цьому сьогоднішня зустріч завершена. Залишайтесь на нашому каналі, підписуйтесь на нього, ставте лайки. Ми продовжимо розгляд теорем про диференційовані функції наступного разу. А на сьогодні все. До побачення. Я з вами, Олексій Василенко.
Topics:теорема Ролляматематичний аналіздиференційне численняпохіднатеорема Ферматеорема Вейєрштрассагоризонтальна дотичнанеперервністьдиференційовністьматематика
