Verificar si una funcion es transformacion lineal, un e… — Transcript

Bien, vamos a empezar con el primer ejercicio, que consta de lo siguiente, vamos a tener, en este caso, este es el 2.1, donde vamos a tener dos ejemplos de funciones y hay que verificar que esas aplicaciones son transformaciones lineales.

Vamos a empezar con el primer ejemplo acá, donde vamos a tener la primera transformación que va a ir, en este caso, de R3 a R, y va a estar definida como la transformada de X, Y, Z, que en este caso nos va a quedar como 2Z - 3Y.

Esa sería la idea, ¿qué es lo que tenemos que hacer nosotros acá para probar que algo es transformación lineal?

Y esto que vamos a ver también se aplica para los casos que siguen, ¿no? Bien, nosotros vamos a tener que una transformación lineal cumple con lo siguiente, nosotros tenemos, va a ser una transformación que va a ir de un espacio V a un espacio W, ¿no? O sea, es una aplicación entre dos subespacios, primera cuestión, ¿no?

Entonces, tiene que cumplir los requisitos de que ambos vectores son pertenecientes a un subespacio determinado, ¿sí? Piensen que el concepto es análogo al de las funciones en el caso de análisis, por ejemplo, donde nosotros vamos viendo, ¿sí?

Y vamos analizando la función en términos de, ya les digo, dominios de imagen y, en este caso, el dominio y la imagen son conjuntos de subespacios.

Entonces, vamos a tener dos elementos del dominio, vamos a llamarle U y V corta, que pertenecen al dominio V, y sus este imágenes, respectivamente, pertenecen al codominio o imagen de la función, ¿okay? Entonces, para entenderlo de la siguiente forma, la transformación, nosotros vamos a ingresar un vector, por ejemplo, el U, se aplica una cuenta y, básicamente, se obtiene la imagen.

Al igual que una función normal, pero tiene algunas propiedades esto, por ejemplo, la primera de las dos es que si hacemos la suma de los dos vectores, o sea, hacemos U + V, y luego aplicamos la transformación de esa suma, eso nos va a dar lo mismo que si hacemos la transformación por separado de las dos y luego la sumamos.

Esa es la primera condición que tiene que cumplir una transformación lineal, y después vamos a ver en qué se basa esto, qué lo diferencia de una aplicación o una función que no cumple con estos requisitos, ¿okay? Y por qué justamente tiene el nombre de transformación lineal, y después supongamos que vamos a tener un escalar alfa que pertenezca a K.

Yo estoy usando la nomenclatura de la cátedra, que en general álgebra K pueden ser o los números reales o los números complejos, ¿okay? Entonces, en este caso, si hacemos la transformada de un vector y lo multiplicamos por un escalar, es lo mismo que si hacemos la transformada directamente de ese mismo escalar multiplicado por el vector.

Entonces, con que se cumplan estas dos condiciones para cada transformación, ya es una transformación lineal, esto aplica en general en los casos de los de las transformaciones vectoriales es más sencillo.

Pero en las transformaciones que son más teóricas, como los ejercicios que siguen, hay que aplicarla a rajatabla porque no hay otra forma de salir, digamos, de ese de esa encerrona si no es aplicando esta esta identidad, entonces, por ejemplo, ¿no? Acá es muy sencillo, vamos a ver en este caso, supongamos que tenemos un U1, ¿sí? Que en este caso va a tener tres coordenadas, por ejemplo, X1, Y1 y Z1, y vamos a tener un B1, ¿sí? Que en este caso nos va a quedar como o B2, si quieren, X2, Y2 y Z2.

Entonces, por ejemplo, si aplicamos la transformación de cada uno de estos, transformada de U1, nos va a quedar, fíjense, 2Z1 - 3Y1, luego tenemos la transformada de B2, que en este caso nos va a quedar como 2Z2 - 3Y2.

Y cuando hacemos la suma de las dos, transformada de U1 más la transformada de U2, en este caso, vamos a sacar factor común 2 para Z1 y Z2, podemos sacar factor común -3 para Y1 + Y2, y fíjense que queda este este ejercicio.

Y fíjense que si hiciéramos la transformación de otra forma, supongamos que le llamamos W a un vector que sería la suma de U1 + B2, que sería X1 + X2, Y1 + Y2, y después Z1 + Z2, el resultado sería que la transformada de W nos va a quedar exactamente igual que esto, ¿sí? Fíjense, 2 * Z1 + Z2 - 3 * Y1 + Y2, o sea que el resultado va a quedar exactamente igual.

O sea que la primera condición, perfecto, hasta ahora la cumplimos, y ahora hay que ver que se cumpla la segunda, entonces, en el caso que se cumpla la segunda, hay que plantearlo de la misma manera, fíjense, vamos a tener alfa por U, en este caso, esto nos va a quedar como alfa por X1, alfa por X2, alfa por X3.

Disculpen, ahí tengo un mal día.

Esto sería Y1 y Z1.

Bien, entonces, acá tenemos 2 * alfa * Z1 - 3 * alfa * Y1.

Si sacamos con alfa, esto nos queda como 2Z1 - 3Y1, y después si hacemos el cálculo complementario, que sería el que nos pide la definición.

En este caso, T por alfa por T por U, T por U1 se había quedado esto.

Fíjense, vuelve a quedar el mismo resultado que este paréntesis, con lo cual, comprobamos ya que la segunda propiedad se cumple.

Así que, fantástico, ya tenemos las dos propiedades en línea.

Bien, lo mismo hay que aplicar en cada uno de los casos que siguen.

Entonces, básicamente, hasta ahí, probando que las dos propiedades se cumplen, directamente ya es un punto para nosotros.

Ya sabemos que se va a cumplir la propiedad del este pedida.

Entonces, por ejemplo, en este caso, vamos a tener una transformada que va a ir de R3 a R2.

O sea, en este caso, la transformada va a ser en función de X, Y, Z, y va a ser de la forma 2Z - 3Y, y luego la segunda componente que va a ser -Z + 3X, ¿no?

Entonces, en este caso, la misma historia.

Vamos a tener U, que vamos a tener como X1, Y1, Z1, V, que nos va a quedar como X2, Y2, Z2.

Cuando hacemos la suma, esto cómo nos queda, fíjense, de esta forma, ¿no? Y cuando aplicamos la transformada de esta suma, vamos a tener esta cuenta, ¿no?

Fíjense, Z, a veces sí conviene trabajarlo más con valores primados, si les parece, está está bueno, fíjense, esto esta suma la llamamos X prima, Y prima, Z prima.

No es que agregue nada, pero hace un poco más eh, digamos, claro el procedimiento si le sirve, no hay problema, ¿okay? Bueno, entonces, en este caso, fíjense, ahora es momento de reemplazar con las variables originales, ¿no?

Entonces, esto nos va a quedar como 2 * Z prima, que es la unión de Z1 + Z2, -3 * Y1 + Y2, cerramos ahí, esto sería -Z1 + Z2, ¿de acuerdo?

Y luego +3 * X1 + X2.

Bien, si hacemos las transformadas de los dos vectores por separado.

¿Cómo nos quedaría a diferencia de lo que tenemos hasta ahora nosotros?

Esto lo vamos a dejar en standby, fíjense, ¿no? Vamos a tener de acá, transformada de U, esto sería directamente reemplazar acá, ¿no?

Tenemos 2 * Z1 - 3 * Y1, pues tenemos -Z1 + 3 * X1, y para la transformada de B, lo mismo, pero con todo su índice 2, ¿no?

Porque no cambia mucho la cuenta, excepto, obviamente, en el subíndice.

Pero, ¿cuál es la diferencia cuando hacemos la suma de las dos?

Fíjense, ¿no? Vamos a tener, esto nos va a quedar, fíjense, acá cuando hacemos la suma, yo podría para simplificarlo más, sacar factor común 2, sacar factor común -3 en la primera componente y repetir lo mismo si voy a la segunda parte, a la segunda componente vectorial.

Entonces, en limpio, me va a quedar 2 * Z1 + Z2 - 3 * Y1 + Y2.

Cierro acá, y acá voy a tener -1 * Z1 + Z2 + 3 * X1 + X2.

De acuerdo, listo, primera propiedad cumplida.

Y después la segunda, que consta de lo siguiente, ¿no?

Fíjense, vamos a tener U, ya lo habíamos definido arriba.

En este caso, tenemos alfa por U, que cómo nos va a quedar, alfa por X1, alfa por Y1, alfa por Z1.

Si aplicamos la transformada, esto nos va a quedar, fíjense, 2 * alfa * Z1 - 3 * alfa * Y1.

Pues tenemos -alfa * Z1 + 3 * alfa * X1.

Fíjense que alfa es un factor común de todo el vector, con lo cual nos da la posibilidad, maravillosa, de poder sacarlo fuera de la multiplicación.

Entonces, vamos a tener alfa por y el vector restante que va a ser 2Z1 - 3Y1, y luego -Z1 + 3X1.

Y si se fijan, esto mismo, ¿qué era? Esto mismo era la imagen o la transformada de U a secas, sin requerir, digamos, la intervención del alfa.

Con lo cual, fantástico, hasta el momento.

Bien, entonces, ya con esto tenemos la segunda propiedad cumplida, y si se fijan, ya es una transformación lineal.

Y si volvemos a el caso de la transformada de la tercer el tercer caso es exactamente igual, ¿sí?

Porque fíjense que acá, ¿cuál es el patrón que estamos encontrando? Básicamente que no importa cuál es el rango de la transformación, en este caso, siempre y cuando sigan este patrón de ser transformadas vectoriales, lo que estamos viendo es que hasta ahora cumplen sin problema con la definición de transformación lineal.

Entonces, ¿qué es lo que va a cambiar un poco todo esto, que va a ser un problema que que viene en la guía más adelante, pero yo ahora les estoy pasando el tráiler, ¿no? Para para que vean, digamos.

En este caso, lo que va a ocurrir es que este, siempre que una transformación lineal se pueda pensar en forma de en forma matricial, como es este caso, ¿sí?

Va a ser una transformación lineal.

Entonces, eso ya les digo, se los adelanto para que ustedes lo vayan viendo.

Sí, este, y sepan más o menos con qué se van a encontrar.

Entonces, va a simplificar mucho eso la cuestión al momento de resolver este tipo de problemas.

Fíjense, tenemos la transformada en base U, ¿sí? Que nos va a quedar todo esto mismo, pero con subíndice X1, eh, 1, perdón.

Z1 - 3Y1, después tenemos -Z1 + 3X1, y después Y1 - 2X1.

Lo mismo para la transformada en función de B, o sea, todo lo mismo con subíndice 2, ¿está?

Cuando hacemos la suma, ¿qué se puede hacer? El factor común de los escalares que teníamos al principio.

Entonces, tenemos 2 * Z1 + Z2 - 3 * Y1 + Y2, mismo de este lado, -1 * Z1 + Z2.

Sigo acá abajo, +3 * X1 + X2, y acá esto que sería Y1 + Y2 - 2 * X1 + X2.

Con lo cual, fíjense que si hacemos la suma primero de estos dos vectores y hacemos la transformada, queda exactamente igual.

Así que, bien, por ahora no estamos teniendo sorpresas desagradables.

Y lo mismo pasa cuando tenemos la multiplicación por el escalar alfa por U.

Que en este caso nos va a quedar como alfa por X1, alfa por Y1, alfa por Z1.

Que ya en este paso ya podríamos hacer esta cuenta de hacer alfa por X1, Y1, Z1.

Con lo cual, al momento de aplicar la transformación, si reemplazamos, fíjense, en lo que está aquí arriba.

Okay, si lo reemplazamos tal cual, ¿con qué nos vamos a encontrar? Que alfa va a estar acompañando a cada una de las variables.

Con lo cual, lo podemos sacar como factor común por fuera del vector.

Y eso, ¿qué nos garantiza? De que la transformada, ¿sí? En este caso, de alfa por U, nos va a quedar, ¿sí?

Todo esto, alfa por cuánto, por 2 por 2 por Z1 - 3 por Y1, y así sucesivamente, ¿no?

Y qué es esta transformada, bueno, esta transformada que estamos describiendo acá, no es otra cosa que la transformada de U suelta.

Con lo cual, ya esta propiedad cumple con la segunda propiedad necesaria de este tipo de vectores y es una transformación lineal sin problema.

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