Que es el circulo unitario — Transcript

Mis autodidactas, a continuación vamos a aprender uno de los temas más interesantes dentro de la trigonometría, siendo el círculo unitario, en donde vamos a aprender cómo escribirlo y de igual manera vamos a aprender cómo memorizarlo de una manera muy sencilla y muy práctica.

Entonces, a continuación podemos observar que vamos a tener un fondo blanco con el fin de que no se me pierdan y básicamente el círculo unitario es un círculo con un radio que es igual a uno, el cual está dentro del plano coordenado con el centro en el origen, es decir, las coordenadas 0,0, como lo podemos observar en la siguiente imagen.

Básicamente este círculo nos permite extender el dominio tanto del seno como del coseno a todos los números reales y de igual manera podemos determinar tanto el seno y el coseno para cualquier ángulo teta, entonces, básicamente podemos observar las primeras cuatro coordenadas, las cuales de cajón nos tenemos que aprender.

Ahora, sabemos que estamos en un plano coordenado, lo cual nos quiere decir que tenemos coordenadas tanto en X como en Y. Sabemos que acá nuestra línea vertical va a ser igual a Y y nuestra línea horizontal va a ser igual a X.

Ahora, como tenemos el radio de la unidad, sabemos que esta línea cuando toca por acá, tenemos el lado 1,0, es decir, avanzamos una unidad en X, pero no avanzamos nada en Y. Ahora, lo mismo pasa con este otro puntito por acá, no avanzamos nada en X, es por eso que tenemos el cero y avanzamos una unidad en Y, es por eso que tenemos la coordenada 0,1.

Ahora, lo mismo pasa con estas otras dos coordenadas, sin embargo, sabemos que esos cuadrantes son negativos, es decir, acá tenemos -1,0, avanzamos -1 unidad en X, pero no avanzamos nada en Y.

Y acá tenemos el 0,-1, en donde no avanzamos nada en X, pero disminuimos una unidad en Y. Entonces, estas son las cuatro primeras coordenadas que tenemos que aprendernos y a continuación van a observar la relación que van a tener.

Sin embargo, ustedes se han de preguntar, ¿qué tiene que ver un círculo unitario con las funciones trigonométricas y aparte qué tiene que ver con un triángulo? Pues bueno, de manera muy sencilla y como lo vamos a observar dentro de toda nuestra formación académica, podemos observar que a partir de esta circunferencia podemos trazar una vertical en donde el radio toca la circunferencia.

Es decir, a partir de este punto podemos trazar una vertical y dentro de esta vertical podemos observar que vamos a formar un ángulo teta. Entonces, podemos observar que la vertical al ángulo que acabamos de formar va a ser el cateto opuesto y la línea que vamos a tener por debajo va a ser el cateto adyacente.

Entonces, a continuación podemos observar que hemos formado un triángulo a partir del radio y sabemos que el radio de este círculo unitario va a ser igual a la unidad. Entonces, a partir de eso es que formamos el círculo unitario.

Entonces, a continuación vamos a observar qué más podemos hacer con este círculo unitario. Básicamente sabemos que la hipotenusa siempre va a ser igual a la unidad.

Debido a que si nos paramos por aquí o nos paramos por acá o nos paramos por acá, el radio va a ser exactamente lo mismo. Lo único que va a estar cambiando va a ser el ángulo que vamos a estar denotando y a partir de ese ángulo, pues podemos trazar diferentes triángulos para obtener tanto el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Entonces, aquí podemos observar que tenemos un triángulo rectado formado a partir de la vertical que acabamos de trazar, en donde nuevamente el lado que es opuesto al ángulo teta va a ser el cateto opuesto y tenemos que recordar claramente qué función trigonométrica trabaja con el cateto opuesto. Básicamente la función que trabaja con el cateto opuesto es el seno de teta y si recordamos que la hipotenusa es igual al radio y esta es igual a la unidad, podemos observar que el seno de teta va a ser igual al cateto opuesto sobre la unidad.

De tal manera que podemos observar que en Y, dado que nos estaríamos moviendo en Y, siendo el cateto opuesto, pues las coordenadas en Y van a estar en función del seno de teta y el seno de teta va a estar en función del cateto opuesto. Sin embargo, esta parte del cateto opuesto no es tan relevante porque vamos a estar trabajando con los triángulos especiales que previamente hemos aprendido.

Entonces, a partir de esta observación, es importante recalcar que las coordenadas en el plano coordenado en Y van a depender del seno de teta. Por otro lado, dentro de este mismo triángulo podemos observar que tenemos el cateto adyacente, el cual claramente va a ser el lado adyacente al ángulo teta.

Ahora, si recordamos que la función trigonométrica que relaciona el cateto adyacente es el coseno y nuevamente recordamos que la hipotenusa es igual al radio y este es igual a la unidad, podemos observar que el coseno de teta va a ser igual al cateto adyacente sobre la unidad.

Y entonces, esto nos dice que el movimiento en donde nos vamos a estar desplazando en X en el plano coordenado va a depender de la función del coseno de teta, siendo igual al cateto adyacente. Pero nuevamente, debido a que vamos a estar trabajando con triángulos especiales, pues esta parte del cateto adyacente no nos importa.

Lo importante es entender que dentro del plano coordenado, lo que nos vamos a estar moviendo en Y y lo que nos vamos a estar moviendo en X va a depender de las funciones del seno y del coseno. Entonces, es lo que vamos a ver a continuación. Podemos observar que acá tenemos nuestro plano coordenado y las coordenadas en el círculo unitario, siendo X y Y, van a depender del coseno de teta y van a depender del seno de teta.

En donde, como podemos observar, acá podemos observar que el coseno y el seno de teta se van a estar desplazando de -1 a 1 y de -1 a 1. Esto por qué? Porque podemos observar en morado que acá tenemos la línea que nos representa el movimiento que va a tener el coseno de teta dentro del círculo unitario y podemos observar que claramente va de -1 a 1.

Lo mismo pasa con el seno de teta. Acá podemos observar el desplazamiento que vamos a tener en el plano coordenado y nuevamente va a ir de -1 a 1, siendo igual a -1 o igual a 1, sin embargo, nunca mayor.

Entonces, a partir de eso es que vamos a estar formando nuestro círculo unitario. Entonces, vamos a empezar a aprenderlo. Ahora, ya que hemos definido todo lo que forma el círculo unitario y ya sabemos que acá tenemos las coordenadas X y Y, las cuales van a depender del coseno de teta y el seno de teta, podemos empezar a darle forma.

En primer lugar vamos a partir de cero. Después tendríamos el grado de 90, los grados a 180 y 270. Ahora, estos son los primeros cuatro grados que tenemos que aprendernos de una manera muy exacta.

Entonces, básicamente acá podemos observar que tenemos los grados sexagesimales. Acá vamos a tener los radianes, debido a que usualmente lo tenemos que aprender con los radianes y acá tenemos los valores de las coordenadas en X y Y.

Ahora, esto es muy importante y a continuación vamos a explicar por qué. Sabemos que tenemos las coordenadas X y Y, las cuales 1,0.

Sin embargo, esto a qué se refiere con el coseno y el seno? Pues es muy sencillo. Esto nos quiere decir que el coseno de 0 grados o el coseno de 0 radianes va a ser igual a la unidad.

Y de igual manera nos lo indica con el seno. El seno de 0 grados o el seno de 0 radianes va a ser igual a 0, siendo esta relación lo primero que nos tenemos que aprender a partir de las relaciones trigonométricas.

Ahora, nuevamente acá tenemos 90 grados, el cual es igual a pi medios, ya que sabemos la relación que tienen los radianes con los grados sexagesimales.

Básicamente esto nos indica que el coseno de 90 grados va a ser igual a 0, sin embargo, el seno de 90 grados o de pi medios va a ser igual a la unidad.

Entonces, como ustedes ya saben qué es un círculo unitario y sabemos desplazarnos tanto en X y Y, ya tenemos los primeros cuatro resultados a 0 grados, a 90 grados, a 180 grados y a 270 grados, es decir, el coseno de 180, podemos observar que va a ser igual a -1 y el seno de 180 va a ser igual a 0.

Lo mismo pasa con 270. El coseno de 270 va a ser igual a 0 y el seno de 270 va a ser igual a -1. Ahora, acá tendríamos el 2 pi. Ahora, a continuación, ¿qué tenemos que aprender? Pues bueno, vamos a comenzar marcando los siguientes ángulos.

En primer lugar, vamos a marcar con línea azul todos los múltiplos de pi sextos. Pi sextos por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, etcétera. Es decir, tenemos 30 grados y son múltiplos de 30 grados por 2, por 3, por 4, por 5, etcétera.

Básicamente yo les recomendaría aprenderse únicamente el primer cuadrante, debido a que a partir del primer cuadrante podemos formar los otros tres. Básicamente, como les he mencionado anteriormente, en azul vamos a marcar los múltiplos de pi sextos o 30 grados y es importante hacer la observación que a partir de estos vamos a estar formando el ángulo de 90, 180 y 270.

Sin embargo, como estos previamente ya los hemos aprendido, pues podemos omitirlos. Entonces, podemos observar que si trazamos la vertical acá, estaríamos formando únicamente nuestro triángulo especial 30, 60, 90, en donde, como previamente ya hemos visto en otro video, pues básicamente ya sabemos los valores de los catetos a partir de este triángulo, siendo igual a 1, la raíz de 3 y pues la hipotenusa va a ser de 2.

¿Por qué? Porque claramente este es un triángulo especial que previamente ya hemos aprendido. Entonces, como previamente ya hemos aprendido, ya sabemos los valores del coseno de 30 grados y el seno de 30 grados y sabemos que el coseno va a ser el desplazamiento de X y el seno va a ser el desplazamiento en Y.

Entonces, básicamente esto nos indica las coordenadas del plano, es decir, X va a ser igual a la raíz de 3 sobre 2 y en Y va a ser igual a 1/2. Entonces, básicamente a partir de esto podemos colocar las nuevas coordenadas, siendo raíz de 3 sobre 2, 1/2.

Ahora vamos a trabajar con nuestro siguiente grado, el cual va a ser 45 grados o pi cuartos. Entonces, tenemos que recordar nuevamente que cuando tenemos este 45 grados, estamos hablando nuevamente de un triángulo especial, siendo 45, 45, 90.

Y como previamente ya lo hemos discutido, ya sabemos los valores tanto del coseno de 45 grados y del seno de 45 grados. Entonces, nuevamente, este resultado, siendo raíz de 2 sobre 2 y raíz de 2 sobre 2, tanto en X como en Y, nos indican el desplazamiento en el plano coordenado de X y Y.

Entonces, nuevamente vamos a colocar estas coordenadas X y Y, siendo las mismas, como podemos observar a continuación. Y a continuación vamos a trabajar con 60 grados, siendo el múltiplo de 30 si lo multiplicamos por 2.

Ahora, nuevamente podemos observar que estaríamos recordando nuestro triángulo especial 30, 60, 90, sin embargo, esta vez vamos a estar trabajando con los 60 grados. Nuevamente sabemos ya los valores del coseno de 60 y del seno de 60, el cual es 1/2 y la raíz de 3 sobre 2.

Entonces, podemos observar que ya tenemos el desplazamiento en X y el desplazamiento en Y. Recuerden que básicamente lo que estamos haciendo es obtener precisamente la posición de estos puntos en el plano coordenado, utilizando las coordenadas que tenemos tanto en X como en Y.

Entonces, podemos observar que las últimas coordenadas que vamos a tener va a ser 1/2, la raíz de 3 sobre 2. Entonces, a continuación, podemos observar que ya tenemos las coordenadas tanto en X como en Y, en donde acá tenemos 1,0, siendo esta primera coordenada.

Después la raíz de 3 sobre 2, 1/2, siendo la segunda coordenada y así nos seguimos. Sin embargo, es evidente observar que tenemos una relación muy evidente. Podemos observar que el coseno de 0 va a ser igual al seno de 90 grados.

Entonces, podemos observar que la relación se repite, es decir, mientras una crece, otra decrece. Tenemos 1,1, raíz de 3 sobre 2, raíz de 2 sobre 2 y después tenemos 1/2 y después tenemos los ceros.

De tal manera que podemos observar que existe una relación entre estos, es decir, mientras una crece, la otra decrece. Entonces, usualmente es común trabajar con el seno, lo cual vamos a hacer a continuación.

Una manera de escribir el 0 va a ser la raíz de 0 sobre 2, debido a que vamos a aprender una forma en la cual podemos aprendernos el círculo unitario para escribirlo de una manera muy rápida y sencilla.

A continuación, una manera de escribir el 1/2 va a ser la raíz de 1 sobre 2, de tal manera que esto claramente nos daría 1/2. Ahora, los siguientes dos los vamos a dejar constantes, es decir, la raíz de 2 sobre 2 lo escribimos igual y la raíz de 3 sobre 2 lo escribimos igual.

Finalmente para obtener la unidad, pues podemos observar que podemos escribir la raíz de 4 sobre 2. De tal manera que al aprendernos la siguiente relación, podemos observar que podemos construir el círculo unitario de una forma muy sencilla.

Sin embargo, tenemos que aprender que estamos trabajando con el seno, es decir, tendríamos los valores en Y, siendo 0, 1/2, la raíz de 2 sobre 2, la raíz de 3 sobre 2 y la unidad.

De tal manera que lo único que tenemos que hacer es en primer lugar escribir los valores de Y y después escribir los valores de X, es decir, es escribir estos mismos valores, sin embargo, empezando por el último, siendo 1, la raíz de 3 sobre 3, la raíz de 2 sobre 2, 1/2 y 0.

De tal manera que con eso ya tenemos la formación de todo el círculo unitario. Bueno, únicamente de la primera parte. A continuación vamos a aprender cómo escribir la segunda parte de este mismo círculo unitario.

Entonces, es evidente observar que en esta ocasión tenemos todos los valores de X negativos, es decir, vamos a tener menos el coseno de teta. Sin embargo, eso no nos va a impedir aprenderlo de una manera muy rápida y sencilla.

Podemos observar que tenemos este mismo círculo unitario, sin embargo, tenemos nuestro primer valor, el cual va a ser 150 grados y podemos observar que es el mismo resultado que vamos a obtener del grado de 30 grados o pi sextos.

Y esto por qué lo sería? Pues básicamente, como les había mencionado antes, podemos observar que este ángulo que vamos a formar, básicamente es un ángulo a 30 grados, sin embargo, en otro cuadrante y lo único que va a cambiar, pues va a ser que estamos posicionados en valores negativos de X, es decir, por eso tenemos menos la raíz de 3 sobre 2.

Entonces, podemos observar que lo único que va a cambiar en el segundo cuadrante es que vamos a tener los mismos resultados, sin embargo, los valores de X van a ser negativos. Menos la raíz de 2 sobre 2, la raíz de 2 sobre 2.

Esto por qué? Pues claramente podemos observar que nuevamente los valores de X van a ser negativos, mientras que los valores de Y van a ser positivos. Y finalmente estaríamos trazando el grado correspondiente a 60 grados, el cual claramente va a ser igual a 120.

Y nuevamente podemos observar es el mismo resultado que hemos obtenido en 60 grados, sin embargo, ahora podemos observar que tenemos únicamente el valor de X negativo y el valor de Y positivo. Entonces, podemos observar que si trazamos una recta de aquí acá, pues claramente estaríamos teniendo el mismo valor del ángulo.

Lo mismo pasaría con el ángulo de 135 y 45 y con el ángulo de 30 grados y 150. Básicamente lo que tienen que aprender es que acá estaríamos teniendo un ángulo de 30, aquí estaríamos teniendo un ángulo de 45 y a partir de aquí estaríamos teniendo un ángulo de 60 grados.

Entonces, esta es una manera muy sencilla en la cual ustedes pueden aprenderse todos los valores del círculo unitario. Entonces, a continuación vamos a comenzar a trabajar con la tercera región del círculo unitario, en donde podemos observar que a partir de esta tercera región tenemos valores negativos tanto de X como de Y.

Entonces, para aprender esta tercera región existen muchos tips y son los tips que a continuación vamos a aprender. Entonces, en primer lugar, aquí ya tenemos trazados todos los ángulos. Entonces, el primer tip que yo les daría si están aprendiendo a hacer este círculo unitario desde 0, podemos observar que este primer ángulo, siendo el de 30 grados que acabamos de trazar en la primera región, lo podemos extrapolar a la tercera región.

De tal manera que lo extrapolamos hasta aquí y podemos observar que en este punto, claramente vamos a tener los mismos valores del ángulo de 30 grados, sin embargo, acá tendríamos menos la raíz de 3 y menos 1/2. ¿Por qué? Bueno, claramente mencionamos anteriormente que acá las coordenadas tanto de X como de Y son negativos porque estamos en el tercer cuadrante.

Ahora, nuevamente esto lo podemos observar a partir del ángulo de 45 grados, es decir, podemos extrapolar este ángulo de la primera región a la tercera región que tenemos por acá, con el fin de poder observar que tenemos el mismo resultado, sin embargo, tenemos los dos signos negativos.

Y lo mismo pasa con el ángulo de 60 grados. Si lo extrapolamos nuevamente por acá, podemos observar que vamos a formar el ángulo a 240 grados y vamos a tener los mismos valores que tenemos en el ángulo de 60 grados.

Ahora, esto mismo pasa a partir de la segunda región. Como lo hicimos anteriormente, lo único que tenemos que hacer es trazar una recta en donde obtuvimos el valor a 150 hacia la tercera región y podemos observar que vamos a obtener el mismo valor, sin embargo, con el valor negativo en Y.

Porque claramente estamos hablando de que en la tercera región los valores tanto de X como de Y son negativos. Lo mismo podemos hacer a partir de este ángulo, lo extrapolamos hacia la tercera región y podemos observar que coincide nuevamente con este mismo ángulo y lo mismo con 120 grados.

Sin embargo, lo que también podemos hacer es que podemos trazar estos mismos ángulos utilizando un mismo compás. Básicamente lo que queremos observar es que vamos a obtener los mismos valores de la primera región, sin embargo, lo único que va a estar cambiando van a ser los signos, ya que en la tercera región los dos signos son negativos.

Finalmente, lo último que tenemos que aprender es la cuarta región. Básicamente en la cuarta región volvemos a tener valores positivos de X y valores negativos de Y. Y como pueden observar, acá nuevamente ya tenemos trazados todos los ángulos, en donde podemos observar tanto los radianes como los grados sexagesimales.

Ahora, nuevamente podemos trazar una vertical a partir de este ángulo y podemos observar que vamos a obtener los mismos valores del ángulo de 30 grados, sin embargo, como sabemos que estamos en la cuarta región, los valores de Y van a ser negativos, como lo podemos observar con este -1/2.

Ahora, nuevamente podemos hacer lo mismo con el ángulo de 45 grados o con el ángulo de 60 grados y, como previamente lo hemos aprendido con la región 3, a partir de la región 2 podemos extrapolar este ángulo y podemos observar que vamos a tener los mismos valores, sin embargo, con diferente signo.

De igual manera, si extrapolamos este con este, vamos a obtener este mismo ángulo, sin embargo, nuevamente con los signos diferentes y lo mismo pasa con el ángulo a 150 grados. Ahora, nuevamente podemos aprenderlo con la tercera región, si es que necesitan otra forma de aprenderlo.

Y de igual manera, si trazamos una horizontal a partir de este ángulo hacia la cuarta región, podemos observar que nuevamente tenemos el mismo resultado, sin embargo, con un signo completamente diferente. Ahora, lo mismo pasa con estos otros dos ángulos.

Entonces, finalmente, a modo de conclusión, tenemos que recordar lo siguiente. Ya sabemos cómo formar el primer cuadrante y ya sabemos que vamos a tener los resultados de la raíz de 0 sobre 2, la raíz de 1 sobre 2, la raíz de 3 sobre 2, la raíz de 4 sobre 2, etcétera.

Entonces, a partir de esos resultados podemos formar el seno, siendo la función que depende en Y y a partir de eso, si lo ponemos de una manera inversa, podemos tener los resultados del coseno, en donde vamos a obtener los valores que vamos a tener en X.

Entonces, ya hemos aprendido a formar la primera región del círculo unitario y ya sabemos que las líneas azules siempre van a ser múltiplo de pi sextos o del ángulo de 30 grados, en donde a partir de este ángulo podemos formar todo el círculo unitario.

En donde podemos observar que 30 es múltiplo de 30, siendo la multiplicación de 30 por 2. Ahora, si tenemos 120, acá sería 30 por 4. 150 sería 30 por 5 y así nos podemos ir con todos los valores que tenemos en azul.

Ahora, nuevamente el 45 grados. Básicamente a partir de este ángulo de 45 podemos formar un cuadrado dentro de este círculo unitario. Y bueno, mis autodidactas, eso sería todo por el video del día de hoy.

Espero que les haya gustado, espero que les haya servido. No olviden checar las listas de reproducción porque ahí hay temas que pueden ser de su interés.

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