Inertimoment

Næste afsnit her i vores lille kursus, supplerende fysikkursus, skal omhandle inertimomenter.

Øhm, og når vi snakker om inertimomenter, så snakker vi om inerti i forbindelse med rotationer.

Vi kan lige prøve at kigge på nogle definitioner først. En inerti har ikke kun noget med rotationer at gøre.

Den gælder sådan generelt og er defineret som en træghed mod at ændre hastighed/retning.

Og det er jo egentlig også det, der ligger i Newtons første lov, den kaldes også for inertiens lov, siger, at et legeme, som ikke påvirkes af en resulterende kraft, vil enten være i hvile eller udføre en jævn retlinet bevægelse.

Og skal man have den ud af den enten hvile eller retlinet bevægelse, jamen så skal vi påvirke den med en eller anden kraft.

Så der er noget inerti i momentet, der giver en træghed mod bevægelse.

Snakker vi om den om inerti i forbindelse med rotation, jamen så snakker vi om, at vi har et legeme, som er i gang med at rotere.

Eller skal i gang med at rotere, og så er der en træghed imod at ændre den der rotationshastighed.

Så det er den, vi vil prøve at koncentrere os om.

Det klassiske eksempel, når vi tager udgangspunkt i inertimomenter, det er at prøve at kigge på et svinghjul.

Så hvis vi har et svinghjul der med en given masse, der kører rundt omkring den akse der.

Der.

Så vil den køre rundt med en eller anden fart.

Og er det her friktionsløst, jamen så fortsætter den egentlig med at køre med den fart, indtil vi vi stopper det igen.

Og den der træghed i i imod det, det er den, vi definerer som inertimomentet.

Og sammenhængen mellem det hænger sammen med, hvor stort et moment, jeg er nødt til at tilføre for at ændre den hastighed.

Så der er den sammenhæng heroppe, at det moment, jeg skal bruge for at ændre hastigheden.

Det afhænger af to ting.

Det afhænger af inertien.

Og det afhænger af, hvor hurtigt jeg skal accelerere det op.

Det er klart, jo hurtigere jeg skal accelerere mit svinghjul op, jo større moment skal jeg påvirke det med.

Og jo større inerti der er i svinghjulet, jo tungere det er, jo større moment skal jeg også påvirke det med.

Det er sådan med inertien, den afhænger både af massen.

Men også hvor at massen ligger henne.

Så jo større svinghjulet er i diameter, jo større vil inertien også være.

Men det vil vi se lige om et øjeblik.

Vi kan prøve at flytte den der rundt.

Så kan vi se, at inertien, den kan vi også definere som det rotationsmoment.

Det moment, der skal til for at at få det til at rotere, divideret med den acceleration, der opstår på grund af momentet.

Så kender vi ikke inertimomentet på et given svinghjul, jamen så kan vi sætte det til at, vi kan påvirke det med en given moment.

Og så kan vi måle, hvor hurtigt det accelererer, og så kan vi egentlig bestemme vores inertimoment på den måde.

Og enheden er kilogram gange meter i anden.

Lige for at vise, der er en anden sammenhæng også.

Så kan vi prøve at kigge også, det rotationsmoment, som jeg skal påvirke det her svinghjul med.

Det kan vi også sige, det er en kraft gange en arm.

Og den kraft gange arm skal ud og påvirke det her svinghjul, men hvor er det lige, vi skal påvirke det henne?

Og der kan vi egentlig gå ud og sige, jamen det her svinghjul består af en hel masse masser.

Og hvis jeg nu tager en, udplukker det her svinghjul, så ser jeg, der har en masse, jeg påvirker med en kraft et i radius et.

Og jeg har en masse to, jeg påvirker med en kraft to i radius to.

Og sådan kunne jeg blive ved med at lave alle mulige masser, indtil jeg samlet set har et helt svinghjul.

Øhm, og så kan vi prøve at kigge på det.

Fordi så må det samlede moment jo være summen af alle de der delmomenter.

Øhm, og vi ved fra Newtons anden lov, at en kraft, det er en masse gange en acceleration.

Og i forbindelse med en rotation, der er det jo en masse gange en baneacceleration.

Vi ved også, at accelerationen, baneaccelerationen, det er en radius gange vinkelaccelerationen.

Og så kan vi egentlig begynde at sætte det sammen.

Og sige, jamen den, det moment, der ligger ude på masse nummer et herude.

Det må jo være massen gange radius gange alfa gange en.

Hvis vi lige prøver at kigge på det her.

Skal lige have til at skrive.

Så kan vi jo sige, at den, jeg har der, radius gange alfa.

Det er jo min baneacceleration, som vi ser lige ovenover.

Og massen gange min baneacceleration, det er så min kraft.

Og min kraft gange radius, det er så mit moment.

Sådan hænger det sammen.

Og det vil også sige, nu har jeg massen gange radius gange radius gange vinkelaccelerationen.

Det vil sige, det er radius i anden.

Og det kan jeg gå ind og gøre op for alle de delmasser, jeg har, og det er derfor, der står prikker til sidst.

Fordi der skal være rigtig mange masser, hvis jeg skal udregne hele svinghjulet.

Men samler vi det sammen på en linje, så kan vi se, at vinkelaccelerationen, den går jo igen for alle masserne.

Det er jo den samme acceleration, de er udsat for.

Så den kan vi trække udenfor.

Og sige accelerationen gange summen af masser gange deres radiusser i anden potens.

Og kigger vi igen lige, prøver at sammenholder det med det, der står for oven.

Så siger den jo, at momentet er accelerationen gange inertien.

Hernede siger vi, at det momentet er lig med accelerationen gange summen af masser gange r i anden.

Det vil så betyde også, at inertien, den kan vi også udtrykke som summen af masser gange deres placering i anden potens.

Og der er det måske mere logisk, at vi får en enhed på inertien, der hedder kilogram gange meter i anden.

Kilogram gange meter i anden her.

Og der kan vi også tydeligt se, at inertien afhænger af, hvor stor en masse vi, det drejer sig om.

Men også i høj grad af, hvor langt ude, hvor langt væk fra centrum ligger den masse.

Jo længere væk den ligger, jo større er inertien.

Og det afhænger faktisk af afstanden i anden potens.

Så hvis vi har 100 kg til et svinghjul, så er det bedre at lave det et tyndt svinghjul, hvor vi får massen langt ud.

End at have et svinghjul, hvor det ligger langt inde.

I hvert fald, hvis vi skal have en stor inerti.

Lad os lige prøve at kigge på et eksempel på det.

Vi har svinghjulet her, der kører rundt.

Øh, vi kan sige, den har en diameter på 25 cm.

Den kører rundt med 400 o/min.

Og inertien på det her svinghjul er 200 kg·m².

Heroppe, nu kører den rundt.

Nu vil jeg godt have den bremset.

Så der har jeg en bremseklods, jeg påvirker med en eller anden kraft.

Og når jeg trykker den an ned imod svinghjulet, så får jeg lavet en eller anden friktion ude i diameteren derude.

Lad os sige, den er på 100 N.

Nu vil jeg godt finde, jamen hvad er vinkelaccelerationen, altså hvor hurtigt bremser jeg det her ned?

Og hvad er tiden for nedbremsningen?

Jamen, hvis vi tager fat i i inertiformlen eller momentformlen, der hedder moment er lig med vinkelaccelerationen gange inertien.

Så kan vi skrive den en lille smule om, sige accelerationen er lig med momentet divideret med inertien.

Og det moment, som jeg skal lave for at bremse ned, det må jo komme af min F gange r.

Altså min friktion, der ligger derude, gange den radius, der ligger derude.

Så sætter vi tallene ind her, så er det 100 N gange 25 cm i diameter, divideret med inertimomentet.

Og jeg sætter min friktion ind i minus 100, fordi den virker imod bevægelsesretningen.

Det vil sige, jeg får en acceleration på minus 0,125 s⁻².

Og at accelerationen er negativ, betyder jo bare, at jeg er ved at bremse den ned i forhold til, hvor vi er nu.

Hvis vi skal finde tiden, så kan vi gå ind og finde vores.

Vores formler, der er en rigtig god formelsamling på side 48 i fysikbogen.

Der viser noget om det her, men den ene formel, vi kan bruge, det er den, der hedder, at vinkelhastigheden slut er lig med vinkelhastigheden start.

Plus vinkelaccelerationen gange tiden.

Skriver jeg den en lille smule om, sætter tiden udenfor.

Så kan vi se, at så er det vinkelhastigheden et minus vinkelhastigheden nul divideret med accelerationen.

Og vinkelhastigheden et, det er jo den, jeg slutter med.

Så den ender med at være bremset helt ned til nul.

Det jeg startede med, det er de 400 omdrejninger.

Skal jeg regne det om i vinkelhastighed.

Så er det 2π gange n.

Og husk, det skal være per sekund.

Derfor dividerer jeg med 60.

Nu bliver tælleren negativ, og når jeg så dividerer med vinkelaccelerationen her på de minus 0,125.

Så får jeg så ud, at den her nedbremsning, den tager 335 sekunder.

Så det var et lille eksempel på, hvordan vi kan bruge inertien her.

Vi skal også lige prøve at kigge en lille smule på, hvordan vi kan bestemme inertien.

For nogle foruddefinerede bare størrelser.

Hvis nu jeg har en akse, som den der, hvor at den lille sorte streg, jeg har der.

Jamen, den viser egentlig bare et et omdrejningspunkt.

Det vil sige, hvis jeg har en streg, en omdrejningspunkt her ned igennem den.

Lige igennem centrum.

Så har jeg en stang, der roterer om den centrum, har jeg kaldt det.

Øhm, og der er nogen, der har regnet ud, hvad er inertien for sådan en stang for os.

Og den er en halv gange massen gange radius på den her stang i anden potens.

Det var en type standardfigur, vi kunne måle på.

Vi kunne også tage en stang, vi har boret ud.

Så er den blevet til et rør.

Og det er stadigvæk det samme omdrejningsakse, altså igennem centrum af stangen.

Det vil sige, et rør, der roterer om den centrum.

Der er inertien en halv gange m gange den yderste diameter i anden plus den inderste diameter i anden.

Øhm, det er ikke noget, vi skal bevise, men sådan er det.

Vi kunne også tage en stang, som den her.

Hvor vi sætter en omdrejningsakse lige igennem midten, men altså på tværs af stangen.

Det vil sige, når stangen begynder at rotere, så begynder den altså at rotere omkring sin egen længdeakse.

Øhm, og der kan man sætte en formel op, der hedder, at inertimomentet er lig med en 12. gange massen gange længden på stangen i anden potens.

Og den sidste, vi lige vil tage, det er, at hvis jeg har den samme stang her.

Men nu har jeg så placeret mit omdrejningspunkt ude i enden af stangen.

Det vil sige, stangen roterer omkring sin egen ende.

Så øhm, er inertimomentet en tredjedel gange momentet gange længden i anden potens.

Det kunne man godt bevise, hvis man har lyst til at jonglere med de her formler.

Men det gider vi ikke bruge tid på.

Et lille eksempel.

Vi kunne tage en.

Det kunne være en skrueaksel.

Vi kan sige, den er 50 cm i diameter og 18 m lang.

Det er til et halvt stort skib det her.

Og i hver ende er der nogle flanger, flangerne er 75 cm i diameter, og de har en tykkelse på 5 cm.

Og det er lavet af stål med en massefylde på 7800 kg/m³.

Lad os prøve at finde inertien på hele det akselsystem der.

Vi kigger på selve akslen først.

Og jeg starter lige med at finde volumen, og volumen må jo være π/4 gange diameteren i anden gange længden, altså π/4 gange en halv meter i anden gange længden på de 18 m.

Og det vil sige, der er 3,53 m³ stål i den i det akselstykke, der er i midten der.

Skal jeg det regne det om til en masse, så ganger jeg med massefylden.

Og så får jeg, at den vejer 27,6 tons.

27.600 kg.

Og det kan jeg så sætte ind i min formel, jeg havde fra forrige side, der sagde, at inertien for sådan en aksel, det var en halv gange m gange radius i anden.

Det vil sige, en halv gange 27.600 gange radius, og det er så de 0,25 i anden.

Og det vil sige, jeg har et inertimoment på selve akslen i midten der på 861,5 kg·m².

Vi kan prøve at kigge på flangerne også.

Samme manøvre, men nu er det kun π/4 gange 0,75 i anden, og så gange 0,05, altså 5 cm i tykkelsen.

Der er ikke nær så meget masse i den eller volumen i dem.

Kun 0,022 m³.

Massen, der ganger vi igen med massefylden.

Det vil sige, hver flange i enderne der vejer 172 kg.

Og regner jeg det om i inertien herude, så er det en halv gange de 172 massen gange radius i anden, 37,5 cm.

Altså 0,375 m i anden.

Og det vil sige, flangerne der, de bidrager med et inertimoment på 12,1 kg·m².

Og det kan vi lægge sammen.

Det vil sige, det samlede inertimoment for hele akslen der, den er inertimomentet for akslen plus to flanger.

Det vil sige, 885,7 kg·m².

Det var et lille eksempel på, hvordan man kunne regne det.